Download Factoriales. Binomio de Newton.

NÚMEROS
COMBINATORIOS
U.D. 2
@ Angel Prieto Benito
*
1º BCT
Apuntes 1º Bachillerato CT
1
BINOMIO DE
NEWTON
U.D. 2.4
@ Angel Prieto Benito
*
1º BCT
Apuntes 1º Bachillerato CT
2
FACTORIALES
•
•
•
•
•
•
•
•
El número de permutaciones de n elementos es:
Pn= n· (n– 1) · (n– 2) · ... · 3 · 2 · 1
A este producto de n factores decrecientes a partir de n se le designa por n!
que se lee “factorial de n” o “n factorial”.
Por ejemplo, 2! = 2 · 1 = 2, 3! = 3 · 2 · 1 = 6, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
El valor de n! crece enormemente deprisa al aumentar n. Por ejemplo:
10! = 3 628 000
20! tiene 18 cifras
Los números que se obtienen al aplicar la fórmula de las combinaciones,
Cm, n, se llaman números combinatorios y se suelen designar así: (). Se
lee m sobre n.
 m  m.(m  1).(m  2)....(m  n  1)
 
n 
n!
17 
17!
17.16.15.14.13! 17.16.15.14 17.16.5.14



 2380
 
4
4!.(17

4)!
4!.13!
4!
4.3.2.1
 
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3
NÚMEROS COMBINATORIOS
•
Dados dos números naturales, m y n, donde m ≥ n , se denomina número
combinatorio y se lee “m sobre n” a
 m
m!

 
 n  n !.(m  n)!
•
Se determina que: 1! = 1 y que 0! = 1
•
PROPIEDADES
 m  m.(m  1).(m  2)....(m  n  1)
 
n!
n 
17 
17!
17.16.15.14.13! 17.16.15.14


 
4
4!.(17

4)!
4!.13!
4!
 
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4
NÚMEROS COMBINATORIOS
 m  m
     1
0   m
 m
m!
m!
1 1

  1
 
 m  m !.(m  m)! m !.0! 0! 1
 m
m!
m!
1 1



 1
 
0
  0!.(m  0)! 0!.m! 0! 1
m 
m!
m!
m m
  m


;

  
  


 n   m  n   n  n !.(m  n)!  m  n  (m  n)!.n !
7
7
7 7
7!
7!

;

;
 
 
      35
4
3
4!.(7

4)!
3!(7

3)!
 
 
 4 3 
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5
NÚMEROS COMBINATORIOS
 m   m   m  1
 


 n   n  1  n  1 
 m  m 
m!
m!




  

n
n

1
n
!.(
m

n
)!
(
n

1)!.(
m

n

1)!
  

(n  1).m !
(m  n).m !


(n  1).n !.(m  n)! (n  1)!.(m  n)(m  n  1)!
(n  1).m! (m  n).m!
m!.(m  1)


(n  1)!.(m  n)!
(n  1)!.(m  n)!


 m  1
(m  1)!


(n  1)!.(m  n)!  n  1 
 5   5   6  5!
5!
6! 5.4.3! 5.4! 6.5.4!


;


;


;10  5  15
     
 3   4   4  3!.2! 4!.1! 4!.2! 3!.2 4!.1 4!.2
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APLICACIÓN
• Ana y Luis son una pareja que van a pasar una semana de vacaciones.
Tienen 7 libros de lectura, pero en la mochila sólo hay hueco para 4.
• El número de posibles elecciones es: C (7,4) = 35
• Pero en el momento de hacer la elección surge una pequeña diferencia de
criterio: Ana exige que uno de los libros sea “El quijote”, mientras que Luis
rechaza esta posibilidad.
• ¿Cuántas son las posibilidades que admite Ana? Tantas como formas de
seleccionar los 3 libros acompañarán a “El quijote”, es decir: C(6,3) = 20
• ¿Cuántas son las posibilidades que admite Luis? Tantas como formas de
seleccionar 4 libros de entre los 6 que no son “El quijote”, es decir: C(6,4 ) =
15
• Si seleccionan 4 objetos, uno de los dos se saldrá con la suya. Es decir, que
• cualquier posible selección o es de las que quiere Ana, o es de las que
quiere Luis. Por tanto: C(6,4 )+ C(6,3 )= C(7,4 )
• Si en lugar de 7 libros tuvieran m, y en la mochila en vez de 4 cupiesen n:
• C m-1, n + C m-1, n-1 = C m, n
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BINOMIO DE NEWTON
Observar las potencias:
Fijarse en los coeficientes:
•
0
• (a+b) = 1
1
•
1
• (a+b) = a + b
1
1
•
2
2
2
• (a+b) = a + 2.a.b + b
1
2 1
•
3
3
2
2
3
• (a+b) = a + 3.a .b + 3.a.b + b
1
3
3
1
•
4
4
3
2 2
3
4
• (a+b) = a + 4.a . b + 6.a . b + 4.a. b + b
1
4
6
4
1
•
............ = .....................
•
•
•
Ya vistos por ser todos productos notables.
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Forman un triángulo
llamado
Triángulo de Tartaglia
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PROPIEDADES
• Sea el siguiente desarrollo:
• (x – 3)4 = C4,0 .x4 – C4,1 .x3 .3 + C4,2 .x2 .9 – C4,3 .x . 27 + C4,4 . 81
• PROPIEDADES
•
1.El número de sumandos o términos del desarrollo siempre
es igual al número del exponente más uno.
•
2.Los coeficientes numéricos forman siempre un triángulo,
donde un coeficiente cualquiera es siempre igual a la suma de los dos
coeficientes que están por encima de él.
•
3.El grado de todos y cada uno de los términos del desarrollo
es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio.
•
4.El grado del primer término del binomio, de ‘a’, va
disminuyendo desde el valor del exponente hasta cero.
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• Sea el siguiente desarrollo:
• (x – 3)4 = C4,0 .x4 – C4,1 .x3 .3 + C4,2 .x2 .9 – C4,3 .x . 27 + C4,4 . 81
•
PROPIEDADES
•
5.El grado del segundo término del binomio, de ‘b’, va
aumentando desde cero hasta el valor del exponente.
•
6.La suma de los grados de ‘a’ y de ‘b’ , en todos y cada uno
de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente
del binomio.
•
7.Si el binomio es una resta en lugar de una suma, los
términos de lugar par del desarrollo serán de signo negativo.
•
8.Los coeficientes numéricos presentan siempre simetría. Son
todos ellos Combinaciones sin repetición: C m,n
donde ‘m’ es el exponente del binomio y ‘n’ varía de 0 a ‘m’
•
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• EJEMPLOS
•
•
(x + 2)5 = C5,0 .x5 + C5,1 .x4 .2 + C5,2 .x3 .4 + C5,3 .x2 .8 + C5,4 .x .16 + C5,5 . 32
•
•
(x – 3)4 = C4,0 .x4 – C4,1 .x3 .3 + C4,2 .x2 .9 – C4,3 .x . 27 + C4,4 . 81
•
(4 – x)5 = C5,0 .45 – C5,1 .44 .x + C5,2 .43 . x2 – C5,3 .42 . x3 + C5,4 . 4. x4 – C5,5 . x5
•
(x + 1)17 = C17,0 .x17 + C17,1 .x16 + C17,2 .x15 + …. + C17,16 .x + C17,17
•
(x + 3)5000 = C5000,0 .x5000 + C5000,1 .x4999 .3 + C5000,2 .x4998 .9 + … + C5000,5000 . 35000
•
(– 2.x – 3)9 = C9,0 .(- 2x)9 + C9,1 .(- 2x)8 .(- 3) + C9,2 .(- 2x)3 .(- 3)2 +…. + C9,9 .(- 3)9
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• EXPRESIÓN FORMAL DEL BINOMIO DE NEWTON
•
•
•
(a+b)
•
Ejemplo 1
•
•
•
•
•
Hallar el término que ocupa el 6ª lugar en el desarrollo de :
•
•
•
•
•
m
0
m
= C .a
m
1 m-1
2 m-2 2
k k m-k
m m
+ C .a . b + C . a . b + ... + C . a . b
+ ... + C . b
m
m
m
m
8
(3 - x)
Tendrá 9 términos su desarrollo ( 8 + 1 ), pero sólo nos piden el 6º término.
Seguimos desarrollando el T. de Tartaglia hasta la 9ª fila, obteniendo:
1
8
28
56
70
56
28
8
1,
tomamos el 56
Igualmente podíamos haber hecho C8,6-1 = C8,5 = 56
Como ocupa lugar par, y el binomio es una resta, pondremos -56 al coeficiente.
Ahora, en nuestro ejemplo: a=3 y b= x
8
3 5
Finalmente aplicando restantes propiedades : (3-x) = ... - 56. 3 . x + ...
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•
Ejemplo 2
•
•
•
Hallar el término que ocupa el 8ª lugar en el desarrollo de :
•
•
•
11
(x + 2)
Tendrá 12 términos su desarrollo ( 11 + 1 ), pero sólo nos piden el 8º
término.
C11,8-1 = C10,7 = 10! / 7!.3! = 10.9.8/6 = 15.8=120
11
4 7
4
Finalmente queda: (x+2) = ... + 120. x . 2 + ... = 15360.x
•
Ejemplo 3
•
•
•
Hallar el término que ocupa el 3ª lugar en el desarrollo de :
•
•
•
27
(x - 5)
Tendrá 28 términos su desarrollo ( 17 + 1 ), pero sólo nos piden el 3º
término.
C27,3-1 = C27,2 = 27! / 2!.25! = 27.26/2 = 351
27
25 2
25
Finalmente: (x – 5) = ... – 351. x . 5 + ... = … – 8775.x + …
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