Download Permutaciones y probabilidad.

PROBABILIDAD
U. D. 13 * 4º ESO E. AC.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.
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PERMUTACIONES
U. D. 13.2 * 4º ESO E. AC.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.
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PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN
• De m elementos tomados de m en m , son los diferentes grupos que
con ellos se pueden formar, de modo que, entrando todos ellos en
cada grupo, un grupo se diferencie de los demás en el orden de
colocación de los elementos.
PERMUTACIONES
SIN
REPETICIÓN
P = m!
m
Lista de todos los alumnos de una clase
Colocar los libros en una estantería
Maneras de colocarse unas personas
alrededor de una mesa
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.
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Factorial de un número
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Se llama factorial de un número entero y positivo n , al producto de n
factores consecutivos, que comienzan en la unidad y terminan en n.
2! = 1.2 = 2
3! = 1.2.3 = 6
4! = 1.2.3.4 = 24
5! = 1.2.3.4.5 = 120
Los símbolos 1! y 0! no tienen significado por si mismos, pero por
convenio (y sobre todo por funcionamiento práctico) su valor es 1.
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Todo número factorial se puede descomponer en factores. Ello es muy
práctico en la simplificación de operaciones.
Así: 8! = 8.7.5.4! , 13! = 13.12.11.10.9! , 110! = 110.109.108!
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13! / 8! = 13.12.11.10.9.8! /8! = 13.12.11.10.9
110! / 108! = 110.109.108! / 108! = 110 . 109
Etc
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.
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EJERCICIOS
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EJEMPLO 1
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Con las letras de la palabra AMOR, ¿cuántas palabras de cuatro letras
distintas se pueden formar?
Si compongo una palabra al azar, ¿qué probabilidad hay de que
comience con la letra M?
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Resolución:
Importa el orden de colocación, se cogen todas las letras y deben ser
letras distintas…
Luego son permutaciones ordinarias
P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24
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Al componer al azar la palabra, la letra M ya es fija, está condicionada.
P3 = 3! = 3.2.1 = 6 formas de colocar al azar las otras tres letras.
Probabilidad por Laplace: P = Cf/Cp = 6 / 24 = ¼ = 0,25 = 25%
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Matemáticas 2º Bach. C.T.
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EJERCICIOS
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EJEMPLO 2
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Con los seis alumnos de la clase, ¿de cuantas formas diferentes les
puedo ordenar en una lista?
Si realizo la lista al azar, qué probabilidad hay de que Luis esté el
primero y Ana la última?.
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Resolución:
Importa el orden de colocación, se cogen todos y serías absurdo repetir
alguno de ellos…
Luego son permutaciones ordinarias
P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 manera distintas de ordenarlos.
Al componer al azar la lista, los dos nombres ocupan posiciones ya
fijadas de antemano, luego no pueden combinarse más.
P4 = 4! = 4·3.2.1 = 24 formas de colocar al azar a los otros cuatro.
Probabilidad por Laplace: P = Cf/Cp = 24/ 720 = 0,03333 = 3,33%
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Matemáticas 2º Bach. C.T.
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EJERCICIOS
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EJEMPLO 3
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Resolución:
Importa el orden de colocación, debo elegir 6 de los 24 pupitres, y no
puedo sentar a dos alumnos en el mismo pupitre (no hay repetición )…
Luego son variaciones ordinarias
V24,6 = 24! / (24-6)! = 24. 23. 22. 21. 20. 19 = 96.909.120
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Con los seis alumnos de la clase, ¿de cuantas formas diferentes les
puedo ordenar en clase, si dispongo de 24 pupitres?
Importante: No puedo ordenar los 6 alumnos tomados de 24 en 24.
Hay que razonar y ver el problema desde los pupitres. Debo elegir 6
pupitres, uno para cada alumno.
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Matemáticas 4º ESO E. AC.
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PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
8
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
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Ejercicios
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EJEMPLO 3
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En una carrera ciclista participan 4 equipos, con 7, 6, 5 y 4 corredores
respectivamente. ¿De cuántas formas diferentes pueden llegar a la meta los 22
corredores si sólo me importan los equipos?.
¿Qué probabilidad hay de que mi equipo, con 4 corredores, sea el ganador?.
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Resolución:
Importa el orden de colocación, se cogen todos los corredores, pero hay
repetición de corredores al haber sólo 4 equipos.
Luego son permutaciones con repetición.
P227, 6, 5, 4 = 22! / 7!·6!·5!·4! = 107.550.162.720 formas
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Fijado el primero, las formas de llegar a la meta de los restantes será:
P217, 6, 5, 3 = 21! / 7!·6!·5!·3! = 19.554.575.040 formas
Probabilidad por Laplace:
P = Cf/Cp = 19.554.575.040 / 107.550.162.720 = 0,1818
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Matemáticas 2º Bach. C.T.
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Ejercicios
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EJEMPLO 4
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Empleando todos los dígitos siguientes {5, 5, 5, 7, 7, 7, 7}
¿Cuántos números diferentes se pueden formar?.
Si compongo un número al azar, ¿qué probabilidad hay de que comience en 7 y
termine en 55?.
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Resolución:
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Importa el orden de colocación, se cogen todos y se repiten tres y cuatro
veces…
Luego son permutaciones con repetición.
P7 3,4 = 7! / 3!·4! = 35 números diferentes.
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Fijado el primero y los dos últimos, sólo el 7 se repite tres veces.
P43 = 4! / 3! = 4 formas
Probabilidad por Laplace:
P = Cf/Cp = 4 / 35 = 0,1143 = 11,43%
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Matemáticas 2º Bach. C.T.
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