Download Representación gráfica en R.

NÚMEROS REALES
U.D. 1 * 1º BCT
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 1º Bachillerato CT
1
ORDENACIÓN EN R
DESIGUALDADES
U.D. 1.2 * 1º BCT
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2
ORDENACIÓN EN R
• Dados dos números reales a y b, se dice que a ≤ b si y sólo si b – a
es positivo o cero.
• La relación es una relación de orden en R, ya que cumple las
siguientes propiedades:
• Reflexiva: a ≤ a
• Ejemplo: 5 ≤ 5
• Antisimétrica: si a ≤ b y b ≤ a  a = b
• Ejemplo: 5 ≤ a y a ≤ 5  a=5
• Transitiva: si a ≤ b y b ≤ c  a ≤ c
• Ejemplo: e ≤ 3 y 3 ≤ π  e ≤ π
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3
DESIGUALDADES
•
La relación de orden en R, <, permite utilizar las siguientes expresiones
entre desigualdades:
•
Signo:
Se lee:
•
•
a < b
2 < 5
a es siempre MENOR que b
2 es siempre MENOR que 5
•
•
a ≤ 7
a ≤ b
a es MENOR o IGUAL que 7
a es MENOR o IGUAL que b
•
•
a > b
0 > –3
a es siempre MAYOR que b
0 es siempre MAYOR que – 3
•
•
a ≥ b
5 ≥ b
a es MAYOR o IGUAL que b
5 es MAYOR o IGUAL que b
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4
PROPIEDADES
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo
número, no varía el sentido de la misma.
Si
Si
–3 > 1  –3+4 > 1+4  1>5
3 > –2  3–4 > –2–4  –1 > –6
Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica por un número
real positivo, no cambia el signo.
Si
Si
– 2 < 5  3.(– 2) < 3.5  – 6 < 15 
2 > – 1  5.2 > 5.(– 1)  10 > – 5
Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica por un número
real negativo, la desigualdad cambia el signo.
Si
Si
2 > (– 1) 
–3<–1 
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(– 2).2 ? (– 2).(– 1)  – 4 < 2
(– 5).(– 3) ? (– 5).(– 1)  15 > 5
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5
Gráfica
de
Racionales
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES ( Q )
NÚMEROS NATURALES ( N )
0
1
2
3
4
R
Mediante un punto negro representamos el 1, el 3 y el 4
NÚMEROS ENTEROS ( Z )
-2
-1
0
1
2
R
Mediante un punto negro representamos el - 1, el 1 y el 2
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NÚMEROS FRACCIONARIOS
Sea el número 2 / 3 , que es un número fraccionario puro ( menor que la
unidad).
0
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1
R
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Método de representación.
• Sobre el eje real, R, se señala la unidad de medida, el 1.
• Desde el origen, el O, se traza una recta cualquiera.
• Se divide dicha recta en tres segmentos iguales de medida
cualquiera, d.
• Se une el estremo final de los tres segmentos con el 1 de la recta
real.
• Se trazan paralelas a la última línea trazada desde las divisiones de
los segmentos a la recta real R.
• La unidad de medida, del O al 1, de la recta real ha quedado
dividido en tres segmentos iguales.
• Como queremos representar el número racional 2/3, tomamos dos
de los tres segmentos ocasionados.
• Tenemos ya el punto que representa la medida exacta del número
racional 2/3.
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8
OTRO EJEMPLO
Sea el número 7 / 4 , que es un número fraccionario mixto
7 / 4 = 4 / 4 + 3 / 4 = 1 + 3 / 4.
0
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1
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2
9
Método de representación.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Sobre el eje real, R, se señala la unidad de medida, el 1 y la 2.
A partir del 1 hay que llevar 3 / 4 sobre la recta real.
Desde el 1 se traza una recta cualquiera.
Se divide dicha recta en cuatro segmentos iguales de medida
cualquiera, d.
Se une el extremo final de los cuatro segmentos con el 2 de la recta
real.
Se trazan paralelas a la última línea trazada desde las divisiones de
los segmentos a la recta real R.
La unidad de medida, del 1 al 2, de la recta real ha quedado
dividido en cuatro segmentos iguales.
Como queremos representar el número racional 3/4, tomamos tres
de los cuatro segmentos ocasionados.
Tenemos ya el punto que representa la medida exacta del número
irracional 7/4 = 1 + 3 / 4
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Gráfica de Irracionales
NÚMEROS IRRACIONALES DE LA FORMA √N
Sea el número √2
Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√1)2 ] = √ [1+1] = √2
√2
1
1
0
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1
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√2
2
11
Sea el número √3
Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√2)2 ] = √ [1+2] = √3
√3 √
2
√21
1
0
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1
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√3
2
12
Sea el número √13
Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(2)2 + (√3)2 ] = √ [4+9] = √13
√13√
2
31
21
0
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1
2
3
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√13
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REPRESENTACIÓN DE
NÚMEROS IRRACIONALES
•
INTERVALOS ENCAJADOS
•
Los números irracionales, salvo √N , no se pueden representar de forma
exacta sobre el eje real.
Para representarlos de forma aproximada utilizamos los INTERVALOS
ENCAJADOS.
•
•
•
•
•
Sea el número irracional x = 2,123703…
Como su valor está entre el 2 y el 3  2 < x < 3
Como su valor está entre 2,1 y 2,2  2,1 < x < 2,2
Como su valor está entre 2,12 y 2,13  2,12 < x < 2,13
•
Y así podríamos seguir indefinidamente, cada vez con intervalos más
pequeños, encajados, dentro de los intervalos anteriores.
Con ello, por aproximación, nos iríamos acercando al valor real del número.
•
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14
•
En el ejemplo anterior:
•
Sea el número irracional x = 2,123703…
2,123
2,124
2,12
2,13
2,1
2,2
2
3
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