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Reducción al primer cuadrante •Cuando los ángulos son mayores que 90º, se expresa como un ángulo entre 0º y 90º, teniendo en cuenta el signo correspondiente. •Esto permite calcular las razones trigonométricas de ángulos de cualquier cuadrante. Razones trigonométricas que difieren en 2 • Estos ángulos se expresan como “a y a + 2 pi” Y a a + 2pi X En la figura se observa que <a y <(a + 2pi) tienen el mismo lado Inicial y el mismo lado terminal. • Cada una de las razones que difieren en 2pi tienen el mismo valor. • • • • • • Sen(a + 2pi) = sen a Cos(a + 2pi) = cos a Tg(a + 2pi) = tg a Cosec( a + 2pi) = cosec a Sec(a + 2pi) = sec a Cotg(a +2pi) = cotg a • Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas para un ángulo de 420º. • Como el 420º = 60º + 360, entonces: • Sen420º = sen60º = …. • Calcula las otras razones. • Razones trigonométricas de ángulos cuya suma es cero o 2. • Estos ángulos se expresan como a y (-a) o bien como (a) y (2 – a) • En la figura se observa que (2 – a) y (-a), tienen el mismo lado terminal OR. Y P O (2pi - a) a -a Q X R Triángulo OPQ congruente con triángulo ORQ, luego OR representa a sen(-a) Y OQ a cos(-a) • Así entonces: • • • • • • Sen(2pi – a) = sen(-a) = -sen(a) Cos(2pi – a) = cos(-a) = cos (a) Tg(2pi – a) = tg(-a) = -tg(a) Cosec(2pi – a) = cosec(-a) = -cosec(a) Sec(2pi – a) = sec(-a) = sec(a) Cotg(2pi – a) = cotg(-a) = -cotg(a) • Ejemplo: calcular las razones trigonométricas para un ángulo de 330º. Como 330º = 360º - 30º, se tiene entonces: Sen330º= sen(-30º) = -sen30º = … Calcula las otras razones. • Razones trigonométricas de ángulos que difieren en pi • Los ángulos cuya diferencia es pi, se expresan como (a) y (a + pi) Y D a + pi A O a a B Triángulo OAB congruente con triángulo OCD C X • Como OA y OC representan al cos(a) y además CD y AB representan al sen(a), con las medidas respectivas negativas para ángulos del tercer cuadrante, así: • Sen(a + pi) = -sen(a) • Cos(a + pi) = -cos(a) • Tg(a + pi) =tg(a) • Cosec(a + pi) = -cosec(a) • Sec(a + pi) = -sec(a) • Cotg( a + pi) = cotg(a) • Ejemplo: Calcular las razones de un ángulo de 225º. • Como 225º = 180º + 45º, entonces. • Sen225º= -sen45 = … • Calcula las otras razones. • Razones trigonométricas de ángulos suplementarios. Estos ángulos llamados suplementarios se expresan como (a) y (pi – a) Y B D (pi - a) a A a C X Triángulo OAB congruente con triángulo OCD. Se sabe que AB y CD representan al sen(a) y OA con OC representan a cos(a) • De lo anterior entonces: • • • • • • Sen(pi – a) = sen(a) Cos(pi – a) = -cos(a) Tg(pi – a) = -tg(a) Cosec(pi – a) = cosec(a) Sec( pi – a) = -sec(a) Cotg(pi –a) = -cotg(a) • Ej: Calcular las razones para un ángulo de 150º. • Recordar 150º = 180º - 30º • Razones de ángulos que difieren en (pi/2) Estos ángulos cuya diferencia es (pi/2), se expresan como (a) y (pi/2 +a) Y B a (pi/2 + a) D a A O C X Triángulo OAB congruente con triángulo OCD, con CD = OA = sen(a) Además OC = AB = cos(a), siendo sen(a) positivo y cos(a) negativo • Se tiene entonces: • • • • • • • Sen(pi/2 + a) = cos(a) Cos(pi/2 +a) = -sen(a) Tg(pi/2 +a) = -cotg(a) Cosec(pi/2 +a) = sec(a) Sec(pi/2 +a) = -cosec(a) Cotg(pi/2 + a) = -tg(a) Ej: Calcular las razones para un ángulo de 150º, recordar 150º = 90º + 60º