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Reducción al primer cuadrante
•Cuando los ángulos son mayores
que 90º, se expresa como un
ángulo entre 0º y 90º, teniendo en
cuenta el signo correspondiente.
•Esto permite calcular las razones
trigonométricas de ángulos de
cualquier cuadrante.
Razones trigonométricas que difieren en 2
• Estos ángulos se expresan como “a y a + 2 pi”
Y
a
a + 2pi
X
En la figura se observa que <a y <(a + 2pi) tienen el mismo lado
Inicial y el mismo lado terminal.
• Cada una de las razones que difieren en 2pi
tienen el mismo valor.
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Sen(a + 2pi) = sen a
Cos(a + 2pi) = cos a
Tg(a + 2pi) = tg a
Cosec( a + 2pi) = cosec a
Sec(a + 2pi) = sec a
Cotg(a +2pi) = cotg a
• Ejemplo: Calcular las razones
trigonométricas para un ángulo de 420º.
• Como el 420º = 60º + 360, entonces:
• Sen420º = sen60º = ….
• Calcula las otras razones.
• Razones trigonométricas de ángulos cuya
suma es cero o 2.
• Estos ángulos se expresan como a y (-a) o bien
como (a) y (2 – a)
• En la figura se observa que (2 – a) y (-a),
tienen el mismo lado terminal OR.
Y
P
O
(2pi - a)
a
-a
Q
X
R
Triángulo OPQ congruente con triángulo ORQ, luego OR representa a sen(-a)
Y OQ a cos(-a)
• Así entonces:
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Sen(2pi – a) = sen(-a) = -sen(a)
Cos(2pi – a) = cos(-a) = cos (a)
Tg(2pi – a) = tg(-a) = -tg(a)
Cosec(2pi – a) = cosec(-a) = -cosec(a)
Sec(2pi – a) = sec(-a) = sec(a)
Cotg(2pi – a) = cotg(-a) = -cotg(a)
• Ejemplo: calcular las razones
trigonométricas para un ángulo de 330º.
Como 330º = 360º - 30º, se tiene entonces:
Sen330º= sen(-30º) = -sen30º = …
Calcula las otras razones.
• Razones trigonométricas de ángulos que
difieren en pi
• Los ángulos cuya diferencia es pi, se expresan
como (a) y (a + pi)
Y
D
a + pi
A
O
a
a
B
Triángulo OAB congruente con triángulo OCD
C
X
• Como OA y OC representan al cos(a) y
además CD y AB representan al sen(a),
con las medidas respectivas negativas
para ángulos del tercer cuadrante, así:
• Sen(a + pi) = -sen(a)
• Cos(a + pi) = -cos(a)
• Tg(a + pi) =tg(a)
• Cosec(a + pi) = -cosec(a)
• Sec(a + pi) = -sec(a)
• Cotg( a + pi) = cotg(a)
• Ejemplo: Calcular las razones de un
ángulo de 225º.
• Como 225º = 180º + 45º, entonces.
• Sen225º= -sen45 = …
• Calcula las otras razones.
• Razones trigonométricas de ángulos
suplementarios.
Estos ángulos llamados suplementarios se
expresan como (a) y (pi – a)
Y
B
D
(pi - a)
a
A
a
C
X
Triángulo OAB congruente con triángulo OCD.
Se sabe que AB y CD representan al sen(a) y OA con OC representan a cos(a)
• De lo anterior entonces:
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Sen(pi – a) = sen(a)
Cos(pi – a) = -cos(a)
Tg(pi – a) = -tg(a)
Cosec(pi – a) = cosec(a)
Sec( pi – a) = -sec(a)
Cotg(pi –a) = -cotg(a)
• Ej: Calcular las razones para un ángulo de 150º.
• Recordar 150º = 180º - 30º
• Razones de ángulos que difieren en (pi/2)
Estos ángulos cuya diferencia es (pi/2), se
expresan como (a) y (pi/2 +a)
Y
B
a (pi/2 + a)
D
a
A
O
C
X
Triángulo OAB congruente con triángulo OCD, con CD = OA = sen(a)
Además OC = AB = cos(a), siendo sen(a) positivo y cos(a) negativo
• Se tiene entonces:
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Sen(pi/2 + a) = cos(a)
Cos(pi/2 +a) = -sen(a)
Tg(pi/2 +a) = -cotg(a)
Cosec(pi/2 +a) = sec(a)
Sec(pi/2 +a) = -cosec(a)
Cotg(pi/2 + a) = -tg(a)
Ej: Calcular las razones para un ángulo de
150º, recordar 150º = 90º + 60º