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Los números reales.
Los números reales.
ÍNDICE.
1.Los números racionales.
2.Representación decimales de fracciones.
3.Número irracionales.
4.Números reales.
5.Orden de los números reales.
6.Intervalos de la recta real.
7.Valor absoluto.
8.Distancia.
9.Entorno de un punto.
10.Números aproximados.
11.Notación científica.
12.Cifras significativas.
13.Potencias. Propiedades de las Potencias.
14.Radicales. Potencias de exponente racional.
15.Propiedades de los radicales.
16.Operaciones con los radicales.
Los números racionales
 Los NÚMEROS RACIONALES, son aquellos que se pueden expresar en forma de
fracción de la forma a/b, donde a y b son números enteros y b 0, como por ejemplo:
(-5), 0.0001, 1.333 …..
Ya que:

Los números racionales contienen a los NÚMEROS NATURALES y a los
NÚMEROS ENTEROS. Los NÚMEROS NATURALES son los que habitualmente
sirven para ordenar o contar y se representa por  = {0, 1, 2, 3, 4, … }
Representación de los números naturales en la recta real.

Los NÚMEROS ENTEROS los componen los NÚMEROS NATURALES y sus
opuestos y se representan por  = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
Representación de los números enteros en la recta real.
Los números racionales

Los NÚMEROS RACIONALES es un conjunto DENSO, ya que entre cualquier par
de números racionales distintos siempre podemos encontrar otro intermedio. Pues por
ejemplo entre 0,001 y 0,002, el número 0,0015 es intermedio.
 Los NÚMEROS RACIONALES se representan por 
Representación aproximada de 3,14156 en la recta real.
Ver REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES en la recta (DESCARTES)
Representa en Excel un número racional (haz CLIC en la imagen)
Representación decimales de fracciones

Dada una fracción, al dividir el numerador a entre el denominador, obtendremos
como resultado un número entero o decimal. Si el resultado es decimal, éste puede ser:
Representación en fracciones de decimales

En caso contrario, es decir si tenemos un número racional D, para obtener una
fracción equivalente
Si D es DECIMAL EXACTO. Si tiene n cifras decimales, se efectúan las operaciones
D Ч10
n
10
n
Si D es DECIMAL PERIÓDICO PURO. Si tiene n cifras decimales de periódo, se
efectúan las operaciones
D Ч10n –D
10n –1
Ejemplo :
є Ч100 –17, 67
є
17, 67
1750
є
17, 67 =
=
100 –1
99
Si D es DECIMAL PERIÓDICO MIXTO. Si tiene n cifras decimales de periódo, y m
de decimales no periódicos, se efectúan las operaciones
(D Ч10n –D )Ч10m
(10n –1)Ч10m
Ejemplo :
» =
1, 23456
» Ч1000 –1, 23456
» ) Ч100
(1, 23456
123333
=
(1000 –1) Ч100
99900
Números irracionales

Los números que no se pueden expresar como fracciones (y por tanto tampoco
como decimales periódicos) se denominan NÚMEROS IRRACIONALES y se
representa por , En las antiguas civilizaciones como la de Grecia y la de Roma, los
números irracionales generaron bastantes problemas matemáticos, pues dado que al
utilizar por ejemplo el teorema de Pitágoras obtenían números no racionales, pues por
ejemplo, la diagonal de un cuadrado de lado 1 unidad, tiene longitud √2, que no se
puede expresar en forma de fracción ya que √2 = 1.414213562 … tiene infinitas cifras
decimales, y no es un decimal periódico.

El número √2 no se puede poner en forma de fracción, pues si suponemos que
existe una fracción a/b, con a y b primos entre sí, tal que √2 = a/b. Elevando ambos
miembros de la ecuación al cuadrado, obtendríamos la ecuación:
2 = a² / b ²
Pero a² / b²  2, ya que a², b ² son primos entre sí, por serlo a y b, y llegamos una
contradicción. Por tanto √2 no se puede poner en forma de fracción
 Lo mismo sucede con cualquier raíz, de un número primo √3, √5, √7, etc. Además,
existen números irracionales, que por su importancia matemática están definidos por un
símbolo o un nombre, como por ejemplo: Pi, Fi o e.
Números irracionales
 Todos los números irracionales rellenan todos los huecos de la recta real
que no ocupan los racionales. Además, mediante recursos geométricos
podemos representar algunos números irracionales, como por ejemplo 2,
basta con que sobre los ejes de coordenadas dibujemos un triángulo
equilátero de lado 1, y como la hipotenusa mide 2 basta con abatirla
mediante un compás en la recta real
Números irracionales
 A partir de 2 podemos construir otro triángulo rectángulo de catetos 2
y 1, cuya
diagonal es 3, que al abatirla sobre el eje de abscisas obtendríamos la representación
de en la recta real de 3
3
Los números reales

El conjunto de los NÚMEROS REALES está formado por la unión de los números
racionales e irracionales, y se designa por , es decir  U 
PROPIEDADES DE LA SUMA Y PRODUCTO DE LOS NÚMEROS REALES .
1. Asociativa.
2.
Conmutativa.
3.
Existencia de elemento.
SUMA
PRODUCTO
a + ( b + c) = ( a + b ) + c
a × ( b × c) = ( a × b ) × c
a+b=b+a
a×b=b×a
a+0=a
a×1=a
a + (- a) = 0.
a × ( 1/a ) = 1
4. Existencia de elemento opuesto e inverso.
5. Propiedad distributiva:
a × ( b + c) = a × b + a × c
(a+b)×c=a×c+b×c
Orden de los números reales
 Dados dos números reales a y b, diremos que a es menor que b, y se escribe a < b,
cuando b – a es positivo. Es decir: a < b si y solo si b – a > 0.
Dados dos números reales a y b, diremos que a es mayor que b, y se escribe a > b,
cuando b < a.
Dados dos números reales a y b, a es menor o igual que b, y se escribe a  b,
cuando a < b o a = b.
Dados dos números reales a y b, a es mayor o igual que b, y se escribe a  b,
cuando a > b o a = b .
Ejemplos:
2 < 5, ya que 5 – 2 = 3 > 0
8  8, ya que 8 = 8
Propiedades de orden de los reales con respecto a las
operaciones habituales.

El conjunto NÚMEROS REALES con la relación , con respecto de las
operaciones de la suma y del producto, cumple las siguientes propiedades
PROPIEDADES DE ORDEN CON RESPECTO DE LA SUMA Y DEL PRODUCTO.
PROPIEDAD
EJEMPLO
a  b y b  c => a  c
3  8 y 8  11 => 3  11
a  b y c  d => a + b  c + d
3  8 y 2  3 => 3 + 2  8 + 3
a  b y k real => a + k  b + k
3  8 y k = (-2) => a + (-2)  b + (-2)
1.
2.
3.
4.
a  b y k real positivo => a × k  b × k
3  8 y k = 2 =>
3×2  8×2
Intervalos de la recta real

Dados dos números reales a, b con a < b. Denominamos INTERVALO ABIERTO de
extremos a y b, al conjunto (a,b) = { x : a < x < b}
 Dados dos números reales a, b con a  b. Denominamos INTERVALO CERRADO de
extremos a y b, al conjunto [a,b] = { x : a  x  b}

Dados dos números reales a, b con a < b. Denominamos INTERVALO
SEMIABIERTO O SEMICERRADO de extremos a y b, al conjunto
(a,b] = { x : a < x  b}

Dados dos números reales a, b con a < b. Denominamos INTERVALO
SEMIABIERTO O SEMICERRADO de extremos a y b, al conjunto
[a,b) = { x : a  x < b}
Intervalos de la recta real

Ejemplos: la representación gráfica de los intervalos (-4,1), (2,3] y [4,6] en la recta
real es la siguiente:
 Si algunos de los extremos del intervalo es , los intervalos podrán ser de la forma:
( -  , b ) ó ( a , +  ) ó (-  , b ] ó [ a , +  ) ó ( -  , +  ).
 Para representar un intervalo, que contenga un extremo infinito solemos representar
gráficamente dicho extremo con un flecha. Así por ejemplo, la representación gráfica
del intervalo [2,+ ) en la recta real es la siguiente:
 Para hallar el punto medio m de un intervalo (a,b), basta con hallar la media
aritmética de sus extremos, es decir
 Así por ejemplo, el punto medio del intervalo (3,8) es m = 5,5
Valor absoluto
 El valor absoluto de un número real, se designa por |a|, y se define como :
 Así por ejemplo, el |-3| = 3 y |2,8| = 2,8:
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
1.- |a|  0.
2.- |a| = 0 si y solo si a = 0.
3.- | a + b |  |a| + |b|
4.- | a . b | = |a| . |b|
Ejemplos
a)
6 = | 2 + 4 | = |2| + |4| = 6
b)
1 = | (-2) + 1 | < |(-2)| + |1| = 3
c)
3 = | (-1) . 3 | = |(-1)| . |3| = 3
Valor absoluto
INECUACIONES DE VALORES ABSOLUTOS
•
Si a es un número real positivo,
La inecuación |x|  a, tiene por solución el intervalo [-a,a].
La inecuación |x| < a, tiene por solución el intervalo (-a,a).
La inecuación |x| > a, tiene por solución ( -  , - a )  ( + a , +  )
La inecuación |x|  a, tiene por solución ( -  , - a ]  [ + a , +  )
• Si a = 0
La inecuación |x|  a, tiene por solución x = 0.
La inecuación |x| < a, no tiene solución.
La inecuación |x| > a, tiene por solución ( -  , 0 )  ( + a , 0 ).
La inecuación |x|  a, tiene por solución todos los números reales
• Si a < 0
Las inecuaciones |x|  a y |x| < a, no tienen solución.
Las inecuaciones |x| > a y |x|  a, tiene por solución todos los números
reales.
Valor absoluto
Ejemplos
|x|  2, se cumple cuando -2  x  2, es decir las soluciones son el intervalo [ - 2 , 2 ]
|x|  1, se cumple cuando x  - 1 y x  1, es decir la solución es: (-,-1)  (+a,+)
Distancia
 La distancia entre dos números reales, se designa por d(a,b), y es igual a
d(a,b) = | b – a |
PROPIEDADES DE LA DISTANCIA
1.- d(a,b) >= 0.
Puesto que | b – a | >= 0.
2.- d (a,a) = 0.
Puesto que | a – a | = |0| = 0.
3.- d(a,b) = d(b,a).
Puesto que | b – a | = | a – b |
4.- d(a,c) <= d(a,b) + d(b,c)
Puesto que
| c – a | = | (c – b) + ( b – a) | <= | (c – b) | + | ( b – a) |
Ejemplo
d(6,7) = | 7 - 6 | = |1| = |(-1)| = | 6 – 7 | = d(7,6)
Entorno de un punto
 Se denomina entorno de un punto de radio r (r > 0 ) al conjunto
r
a -r
r
a
a+r
Ejemplo
El entorno de centro 1 y radio 2, es decir E 2 (1), es el intervalo abierto (-1,3)
Números aproximados
 En ocasiones empleamos números aproximados en lugar de números exactos.
En particular, los solemos utilizar cuando estos números tienen muchas o infinitas
cifras decimales, o cuando son números muy grandes o muy pequeños, y el error de
calculo que podamos cometer no suponga obtener cálculos erróneos.
TRUNCAR un número a partir de una cifra dada, consiste en sustituir los dígitos por
ceros a partir de dicha cifra, si la cifra está a la izquierda de la coma decimal o
consiste en suprimir los dígitos, si la cifra está a la derecha de la coma decimal.
Ejemplos:
El número 567.437 truncado a las centenas es 567.400.
El número 23,456 truncado a las décimas es 23,4
REDONDEAR un número a partir de una cifra dada, consiste en truncar el número si la
cifra posterior a la dada es menor que cinco, o truncar el número y sumarle a dicha
cifra una unidad si la cifra posterior a la dada es menor que cinco.
En el caso de que la cifra posterior sea cinco, se deberá de tener en cuenta que
valor las cifras posteriores.
Ejemplos:
El número 567.437 redondeado a las centenas es 567.400.
El número 23,476 redondeado a las décimas es 23,6
Errores de números aproximados
 Si A es un número exacto y a es el número aproximado de A.
 Denominamos ERROR al tomar a en vez de A a: e
= A –a.
 Denominamos ERROR ABSOLUTO al tomar a en vez de a: ea
= | A – a |.
 Denominamos ERROR RELATIVA al tomar a en vez de a: er = ea / A .
En ocasiones el ERROR ABSOLUTO no nos aporta la bondad de aproximación,
mientras que el ERROR RELATIVO si. Además, es habitual que el ERROR
RELATIVO lo expresemos en tanto por cien.
Ejemplo: Si utilizamos el número a = 3,14 en lugar del número = 3,1415…cometemos
los siguientes errores:
Es decir que al utilizar a = 3,14 en lugar del número = 3,1415…cometemos un error relativo del 0,05 %.
Notación científica
 Habitualmente, cuando tenemos que utilizar número muy grandes o
números muy pequeños, solemos utilizar la notación científica, que
consiste en expresar dicho número como producto de un número
comprendido entre el 1 y el 10 (sin incluir el 10) denominado MANTISA y un
potencia de 10 .
Ejemplos:
La distancia media aproximada de la tierra al sol es 150.000.000.000 metros, que
expresado en notación científica es 1,50 × 1011 m.
La carga de un electrón es aproximadamente de 0,00000000000000000016
Culombios, que expresado en notación científica es 1,60 × 10-19 C.
Notación científica
 Cuando representamos un número entero en notación científica, el número de
dígitos que indican su exactitud, se denominan cifras significativas. Y se obtiene
contando los dígitos de izquierda a derecha, comenzando por el primero y
finalizando poR el último no nulo.
Ejemplo:
El número 478.000 tiene tres cifras significativas, y su representación exacta en
notación científica será 4,78 × 105.
 Cuando representamos un número decimal, el número de cifras significativas se
obtiene contando los dígitos de izquierda a derecha, comenzando con el primero no
nulo y finalizando con el último (sea cual sea).
Ejemplo:
El número 32,5 tiene tres cifras significativas, mientras que el número 151,00 tiene
cinco cifras significativas .
El número de cifras significativas de un número representado en notación científica
viene determinado por el número de dígitos de su mantisa.
Ejemplo: El número 4,78 × 105 tiene tres cifras significativas, mientras que el número
4,0000 × 105 tiene cinco cifras significativas .
Potencias. Propiedades de las potencias.
 Se denomina POTENCIA de base a y de exponente el número entero n, al producto:
 PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS:
Ejemplo:
Si el exponente es un número entero negativo – n (donde n es un natural positivo).
Dicha potencia se puede representar como:
Dado que utilizando propiedades de las potencias se cumple:
Ejemplo:
Radicales.
 Se denomina RAÍZ enésima de a al número b (se representa por
) tal que:
 Hay que observar:
Ejemplos:
Hay que observar, que si a es un número negativo y n es par
puede existir ningún número b tal que b n = a.
no existe, pues no
Potencia de exponente racional.
 Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, si utilizamos exponentes
fraccionarios, obtenemos la siguiente equivalencia

a a a 
a  a
 a  a


n veces
n
n
n

a a a
 n a  n an  a

1
n
1
n
1
n
n veces
1 1 1 n veces 1
  

n n n
n
1
n
1
n
 n a  a  n am 
 a
n
m
3
3
15
1
5
73  7  7 ;
1
3
1
3
56  56   2  7    2
3
1
3 3

1
3
m
1
m
m
 
  a   an  a n
 
1
n
Ejemplos:
15
1
7  27
1
3
Potencias. Propiedades de los radicales.
 PROPIEDADES DE LOS RADICALES:
a
n
n
a b  n a  n b

b
n
n
a
b
n m
a 
n m
a
Podemos simplificar radicales introduciendo y extrayendo factores de una raíz,
teniendo en cuenta que:
a  n an
7  3 2 2  3 73  3 2 2  3 73  22
Ejemplos:
4
28  32  4 28  4 32  22  4 32
En ocasiones para operar con radicales es necesario utilizar radicales equivalentes,
n
teniendo en cuenta que :
n
a 
m
nk
a
mk
n
a 
m
p
m
a
p
k y p son números
naturales y p es divisor de n y m.
Para poder multiplicar o dividir radicales de índices distintos, podemos utilizar
radicales equivalentes de índice el mínimo común múltiplo de ambos.
Ejemplo:
3
22  33  6 24  6 39  6 24  39
Operaciones con radicales.
 Radicales semejantes: Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y al
extraer o introducir algún factor tiene el mismo radicando
Ejemplo:
3
24
es semejante a
2g3 3 , ya que 3 24 =
3
8 g3 3 = 2g3 3
Podemos simplificar expresiones radicales, si contiene expresiones semejantes
Ejemplo:
 Racionalización de fracciones con radicales en el denominador.- En ocasiones
cuando tenemos que efectuar operaciones con fracciones con denominador radical, nos
es más práctico operar con fracciones equivalentes que no contengan números
racionales en el denominador .
Ejemplos:
Mas ayuda del tema de la página
lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/m
atematicas.htm)
En la siguiente diapósitiva