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BAXX5714_Fr
14/5/08
07:40
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1 bachillerato
Matemáticas
Maribel Deusa
Rodolfo Esteve
Pascual Montesinos
Antonio J. Ramírez
Ernesto Veres
BAXX5714_Fr
14/5/08
07:40
Página 2
Matemáticas
1 bachillerato
©ES PROPIEDAD
Maribel Deusa Francés
Rodolfo Esteve Arolas
Pascual Montesinos Estevan
Antonio J. Ramírez
Ernesto Veres Ferrer
Editorial ECIR, S.A.
Diseño de interior: Diseño gráfico ECIR
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad, ni parte
de este libro puede ser reproducido o transmitido mediante procedimientos electrónicos o mecanismos de
fotocopia, grabación, información o cualquier otro sistema, sin el permiso escrito del
editor.
Edición: Editorial ECIR
Impresión: Industrias Gráficas Ecir (IGE)
Ilustraciones: Diseño gráfico ECIR / Salvador Lorente
Diseño e ilustración cubierta: Valverde e Iborra / Diseño gráfico ECIR
Fotografía:Archivo ECIR/Istockphoto
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E-mail: [email protected] - http://www.ecir.com
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Al confeccionar el presente texto de Matemáticas se han desarrollado los contenidos especificados para este curso por el nuevo currículo
de la LOE y se han tenido muy en cuenta los criterios necesarios que
faciliten a los alumnos el tránsito de Secundaria Obligatoria a
Bachillerato.
En nuestra experiencia docente hemos podido constatar que una
de las mayores dificultades con la que se encuentra un alumno es la
falta de método, tanto en el planteamiento y resolución de problemas
como en el razonamiento o en la adquisición de técnicas elementales.
Por ello se ha elaborado un texto para ser leído y utilizado por el alumno y que le permitirá adentrarse de forma progresiva en el método
matemático ya que se utiliza un lenguaje claro y preciso, no exento del
rigor necesario, y se justifican todos aquellos resultados que los alumnos pueden asumir como necesarios.
También somos conscientes de que aquello que no se dice, difícilmente puede ser descubierto por el alumno; por eso tras la exposición
teórica, en la que los resultados más importantes aparecen resaltados,
aparecen ejemplos que en realidad son auténticos ejercicios resueltos.
A continuación el alumnado siempre encontrará una selección de ejer cicios propuestos, destinados a consolidar lo aprendido.
En la parte final de cada unidad se desarrolla un apartado dedicado
a la resolución de problemas. En ellos el alumno puede encontrar la
forma de abordar y presentar la solución de un ejercicio. Tras ellos se
ha introducido un formulario que revisa las principales fórmulas tratadas en el tema. Después se encuentran los ejercicios finales, en número lo suficientemente elevado como para que el profesor pueda seleccionar los que estime oportuno.
Una prueba de autoevaluación con respuesta múltiple puede servir
de indicador si los contenidos de la unidad han sido adquiridos.
También se ha elaborado un libro del profesor que contiene la solución de todos los ejercicios propuestos en el texto, material complementario, así como comentarios y justificaciones didácticas
Presentación
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Presentación de la unidad
Tema 1
1.
LOS NÚMEROS REALES
Cada unidad se presenta mediante una
imagen acompañada de una cita o texto
relacionado con los contenidos del
tema.
Números irracionales
Complementando a los números racionales (fracciones de números
enteros) se encuentran los números irracionales.
Un número irracional es un decimal con infinitas cifras decimales no
periódicas.
Ejemplos de números irracionales son:
• 1,23456789101112131415…
• 0,102030405060708090100110120130…
• 3,1122334455667788991010111112121313…
Un número irracional no es el cociente de dos enteros. Esta característica ya fue estudiada por la escuela pitagórica la cual incluso demostró la
«irracionalidad» de algunos números, en particular del número 2 mediante
una brillante demostración basada en el método de reducción al absurdo.
Demostración de que
2 es irracional:
El método de reducción al absurdo es un método de demostración que
consiste en suponer cierto lo contrario
de lo que se quiere demostrar y llegar
así a una contradicción o absurdo.
Supongamos que lo que se quiere demostrar es falso, esto es, supongamos que 2 es un número racional.
Si 2 es racional entonces se puede escribir como la fracción irreducible
a
a
, es decir: 2 = con a y b enteros y primos entre sí.
b
b
a
a2
Si 2 =
entonces
= 2 ⇒ a 2 = 2b 2 ; por tanto a2 es un número
b
b2
par (es múltiplo de 2) luego a no puede ser impar pues si lo fuera su cua-
En el Teeteto de Platón (147d-148b) se
cuenta cómo Teodoro había demostrado que las raíces de los enteros no cuadrados perfectos son irracionales.
drado sería impar. Así pues a es par luego a = 2k.
b2
Si a = 2k entonces a2 = 4k2 y por tanto 4k2 = 2b2 o lo que es lo mismo
= 2k2 y se deduce, igual que antes, que b2 es par y por tanto b es par.
Hemos obtenido que tanto a como b son pares, luego no son primos
entre si y este resultado contradice la hipótesis inicial; por tanto es necesario negarla y concluir que 2 no es un número racional.
El conjunto de los números irracionales se denota por I.
Platón y Aristóteles detalle del cuadro “La Academia de Atenas”
de RAFAEL
Museos vaticanos
«Prueban que la diagonal del cuadrado es inconmensurable con el lado, mostrando que si se admite que es conmensurable, un número impar sería igual que
uno par» (Aristóteles, Analíticos posteriores. I, 23).
Además del comentado
π, e, Φ =
π es la relación entre la longitud y el diámetro de una circunferencia.
e es la base de un sistema de logaritmos
que estudiarás mas adelante.
2 otros irracionales famosos son:
1+ 5
. Aquí los tienes con sus 30 primeras cifras decimales:
2
Φ es la proporción entre la diagonal y el
lado de un pentágono regular (considerada perfecta en la antigua Grecia).
π = 3,141592653589793238462643383279...
e = 2,718281828459045235360287471352...
Φ = 1,618033988749894848204586834363...
2
3
Tema 1. Los números reales
Desarrollo de la unidad
Las explicaciones teóricas van acompañadas de multitud de ejemplos y notas
marginales que sirven para una mejor
comprensión del tema tratado. Además
encontramos también ejercicios para
repasar lo aprendido antes de seguir
adelante.
En resumen: Un número irracional es un decimal con infinitas cifras
decimales no periódicas que no puede escribirse como el cociente de
dos números enteros.
Muchas obras de arte han sido construidas con dimensiones áureas, como el
Templo de la Concordia de Agrigento en
Sicilia.
Ejemplos
2
Dado que un número irracional tiene una expresión decimal infinita no
periódica, sólo es posible escribirlo mediante una aproximación decimal finita. Los números 3,14 o 3,1416 son aproximaciones decimales de π, así
como 1,618 es una aproximación decimal de Φ. En la práctica no tiene sentido decir, por ejemplo, que la longitud de un poste es 4 2 m, ni tampoco
decir que esta longitud es 5,656854249 m, por tanto es necesario trabajar
con aproximaciones decimales que acarrean un error que debemos conocer.
lizada para hallar la anchura de una calle.
Como en la práctica no suele conocerse el valor exacto de un número a, no es posible hallar el error absoluto ni el relativo, entonces lo que
se hace es determinar cotas o márgenes de error, es decir, números
positivos mayores que el valor absoluto del error.
Dicho redondeo se hace hasta un orden y este orden determina el
número de cifras que se consideran.
Una vez conocido el orden del redondeo se sigue la siguiente regla:
1. Si la primera cifra que no se considera es menor que 5 el número se
deja como está.
2. Si es mayor o igual que 5 se suma una unidad a la última cifra conservada (si ésta es 9 se reemplaza por un 0 y se aumenta en 1 la
cifra anterior).
ε es la letra griega épsilon.
Se dice que a' es un valor aproximado de a con error menor que ε si
|a – a'| < ε. Al número ε se le llama cota del error absoluto.
Redondear un número es aproximarlo con otro con el menor error posible.
Cuando se realiza una medida se cometen errores que pueden ser sistemáticos
(originados por defectos en los instrumentos de medida) o accidentales (debido a imperfecciones cometidas por el
lector).
Al medir la longitud de un puente de 500 m se ha obtenido un valor de 499 m y al hallar la anchura de una calle
de 20 m se ha obtenido 21 m. En ambos casos el error absoluto es 1 m y esto indica que considerar solamente el error absoluto no da idea clara de la calidad de la medida.
Los respectivos errores relativos son:
1
1
En el puente:
= 0,002 = 0,2 %. En la calle:
= 0,05 = 5 %.
500
20
El menor error relativo cometido en la medida del puente deja claro que es más exacta dicha medida que la rea-
2. Aproximaciones decimales y errores
En la práctica es costumbre presentar los resultados correspondientes
a datos científicos (a) de forma que se observe tanto el valor estimado (a')
como la cota del error (ε) de la forma: a = a' ± ε.
a´
a–ε
a
a+ε
Ejemplos
3
Sabemos que π = 3,141592654… entonces:
3,14 es un valor aproximado de π con error menor que 0,01 pues |π – 3,14| < 0,01.
3,15 también es un valor aproximado de π con error menor que 0,01 pues |π – 3,15| < 0,01.
Ejemplos
1
4
Dado el número A = 4,256197 se tiene:
a) Redondeo entero: A = 4.
Se ha medido la longitud de una hoja del cuaderno de un alumno y se ha obtenido que dicha longitud está entre
21,7 cm y 21,8 cm. Como la verdadera longitud de la hoja es desconocida, parece razonable decir que dicha
longitud es el valor medio 21,75 cm y asignar una cota de error de 0,05 cm. Para esta forma se puede decir que
b) Redondeo a centésimas (a 10–2) : A = 4,26 (pues la primer cifra no considerada es 6).
c) Redondeo a milésimas (a 10–3) : A = 4,256 (pues la primera cifra no considerada es 1).
d) Redondeo a cienmilésimas (a
valor
obtenido
a'
valor
exacto
error
absoluto
a
10–5)
: A = 4,25620 o también A = 4,2562.
Si el valor exacto de un número a se sustituye por a' se ha cometido un
error denominado error absoluto
E = |a – a'|.
Se llama error relativo al cociente entre el error absoluto y el real
| a – a '|
e=
|a |
Ejercicios
27
; B = 2 + 5 ; C = π – 3 se pide dar de cada uno un redondeo de orden:
17
a) entero; b) a décimas; c) a centésimas; d) a milésimas.
1
Dados los números A =
2
Da el error absoluto y el relativo que se comete al hacer los redondeos anteriores.
3
Se ha medido una longitud de 500 m con un «metro» cuya longitud exacta es de 98 cm. Determina el error absoluto y el error relativo cometido.
4
Sabiendo que 2 ≈ 1,414 213 562… Indica cuál es la cota de error cometido al redondear 2 como:
a) 1;
b) 1,41;
c) 1,414 21.
Si e se multiplica por 100 se obtiene el porcentaje de error relativo.
4
Tema 1. Los números reales
5
Ejercicios resueltos
La gran cantidad de ejercicios resueltos
que aparecen a lo largo de cada tema
sirven para reforzar los contenidos y facilitan la comprensión de lo estudiado en
cada tema.
EJERCICIOS RESUELTOS
3
α en función de sen α.
Escribe sen 3α
6
sen 3α = sen(2α + α) = sen 2α cos α + cos 2 α sen α = 2 sen α cos α cos α + (1 – 2 sen2 α) sen α =
Como sen 2x = 2 sen x cos x, sustituyendo se obtiene: 2 sen x cos x = sen x
= 2 sen α cos2 α + sen α – 2 sen3 α = 2 sen α (1 – sen2 α) + sen α – 2 sen3 α =
4
Resuelve la ecuación sen 2x = sen x.
Solución:
Solución:
⇒
sen x = 0
2 cos x – 1 = 0
Sabiendo que A + B + C = 180° demostrar que se verifica: tg A + tg B + tg C = tg A tg B tg C.
⇒
sen x (2 cos x – 1) = 0
de donde obtenemos las soluciones:
= 2 sen α – 2 sen3 α + sen α – 2 sen3 α = 3 sen α – 4 sen3 α
Así pues sen 3α = 3 sen α – 4 sen3 α
7
Solución:
x = 0° ó x = 180°
1
⇒ cos x =
⇒
2
x = 60° ó x = 300°
Resuelve la ecuación cos x + cos 2 x = 0
Solución:
Como cos 2x = 2 cos2 x – 1, sustituyendo en la ecuación queda: cos x + 2 cos2 x – 1 = 0
Como C = 180° – (A + B ) entonces recordando las relaciones entre ángulos suplementarios:
tg C = − tg ( A + B ) = −
es decir: 2 cos2 x + cos x – 1 = 0.
tg A + tg B
1 − tg A · tg B
Haciendo cos x = t tenemos la ecuación: 2 t 2 + t – 1 = 0.
Resolviendo:
sustituyendo tg C en ambos miembros del enunciado:
tg A + tg B −
t =
tg A + tg B
tg A + tg B
= − tg A ⋅ tg B ·
1 − tg A ⋅ tg B
1 − tg A ⋅ tg B
Es decir: cos x =
−1 ± 1 + 8
−1 ± 3
=
=
4
4
1
⇒ x = 60° ó 300°
2
1
2
–1
cos x = –1 ⇒ x = 180°
Operando en el primer miembro:
− tg2 A · tg B − tg A · tg2B
tg A − tg2 A · tg B + tg B − tg A · tg 2B − tg A − tg B
=
1 − tg A · tg B
1 − tg A · tg B
8
Resuelve la ecuación sen x + cos x = 1
Solución:
Elevando al cuadrado: (sen x + cos x )2 = 12 = 1
Operando en el segundo miembro:
sen2 x + cos2 x + 2 sen x cos x = 1, pero sabemos que sen2 x + cos2 x = 1 y 2 sen x cos x = sen 2x (fórmula del
ángulo doble), luego:
− tg2 A · tg B − tg A · tg2B
1 − tg A · tg B
1 + sen 2x = 1
⇒
sen 2x = 0
⇒
2x = 0° ó 2x = 180° de donde x = 0° ó x = 90°.
lo que justifica la igualdad pues en ambos miembros se ha obtenido igual resultado.
9
2
5
Simplifica las expresiones: A = sen3 x + sen x cos2 x ; B =
sen x
1 + cos x
Un barco que se encuentra frente a un golfo es observado desde los dos cabos que lo forman y que
distan 10 km. Desde cada cabo se ve el barco y el otro cabo con ángulos de 28° y 32°. Calcula la
menor distancia a que se encuentra el barco de la costa.
Solución:
Solución:
Para A basta sacar sen x como factor común:
A = sen x (sen2 x + cos2 x ) = sen x
Para B se aplica la relación sen2 α = 1 – cos2 α:
B =
22
sen2 x
1 − cos2 x
(1 + cos x )(1 − cos x )
=
= 1 − cos x
=
1 + cos x
1 + cos x
1 + cos x
A
Con los datos del enunciado se tiene el siguiente esquema:
Como a menor ángulo se opone menor lado, tenemos que calcular el
lado AC. Puesto que la suma de los tres ángulos es 180°:
Por el teorema de los senos:
10
AC
=
⇒
sen 120 ° sen 28 °
AC =
32°
28°
B
A = 180° – (28° + 32°) = 120°
C
10 km
10 sen 28 °
≈ 5, 24 km.
sen 120 °
Tema 6. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera
23
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Página formulario
Esta página aparece antes de los ejercicios finales de cada tema
y srive de resumen de todo lo estudiado anteriormente para
poder tener los conceptos claros antes de pasar al apartado
siguiente.
FORMULARIO
Relaciones entre las razones de ángulos distintos
Complementarios
Suplementarios
cos (90° – α) = sen α
Difieren en 180°
sen (180° – α) = sen α
Opuestos
sen (180° + α) = –sen α
sen (360° – α) = sen (–α) = –sen α
sen (90° – α) = cos α
cos (180° – α) = –cos α
cos (180° + α) = –cos α
cos (360° – α) = cos (–α) = cos α
tg (90° – α) = ctg α
tg (180° – α) = –tg α
tg (180° + α) = tg α
tg (360° – α) = tg (–α) = –tg α
Fórmulas de adición
Razones de la suma
Razones de la diferencia
sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β
sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen β
cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β
cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β
tg α + tg β
tg (α + β) =
1 − tg α tg β
tg (α – β) =
tg α − tg β
1 + tg α tg β
Fórmulas del ángulo doble y mitad
Ángulo doble
Ángulo mitad
sen 2α = 2 sen α cos α
sen
A
1 − cos A
= ±
2
2
cos
A
1 + cos A
= ±
2
2
tg
A
1 − cos A
= ±
2
1 + cos A
cos 2α = cos2 α – sen2 α
cos 2α = 1 – 2 sen2 α = 2cos2 α – 1
tg 2α =
2 tg α
1 – tg2 α
Teoremas
Teorema de los senos:
a
b
c
=
=
= 2R
sen A sen B
sen C
C
siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
b
Teorema del coseno: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
o también: b2 = a2 + c2 – 2ac cos B ; c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
A
a
c
Tema 6. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera
B
25
Ejercicios finales
EJERCICIOS FINALES
49 Calcula “rápidamente”:
a) cos 73° cos 17° – sen 73° sen 17°
b)
tg 47 ° + tg 13 °
1 + tg 47 ° tg 13 °
60 Hallar la longitud de la diagonal de un pentágono
regular de 3 m de lado.
66 Halla el ángulo α de la figura determinado por la
diagonal de una cara de un cubo y la diagonal del
mismo.
73 Calcula la distancia de un avión A a los puntos P y
Q sabiendo que α = 70°, β = 40° y que la distancia
entre P y Q es 7 Km.
61 Calcula la altura del edificio de la figura con los
datos que en él aparecen.
α β
A
c) 2 cos2 45° – 1
d) 2 sen 135° cos 135°
α
a
50 Halla tg α sabiendo que tg 2α =
3.
a
60°
51 Desarrollar:
a) sen (a + b + c)
b) cos (a + b + c)
a
30°
P
70 m.
¡OJO! ACTUALIZAR FIGURA ES MUY ANTIGUA
52 Simplifica las expresiones siguientes:
62 Calcula la altura de la torre de la figura donde
DE = 50 m, α = 68°, β = 30° y γ = 42°.
1 − cos 2A
a)
1 + cos 2A
b)
sen 2A
2 sen A
c)
1 + ctg A ctg B
1 − ctg A ctg B
B
67 Para medir la distancia que hay entre dos puntos A
y B entre los que se interpone un obstáculo, por lo
que no se puede medir directamente, se procede
de la siguiente manera:
O
Haz un esquema y calcula la distancia AB.
A
d) sen (60° + x ) + sen (60° – x )
e) sen (30° + x ) + sen (30° – x )
f) sen (90° + x ) cos (180° – x ) +
+ cos (90° + x ) sen (180° – x )
53 Halla los ángulos de un triángulo isósceles conociendo la base 12,4 cm y un lado desigual 20,6 cm.
Del 54 al 58. Resuelve el triángulo ABC en cada
uno de los siguientes casos.
54 a = 26 m,
b = 40 m
y
c = 42 m.
55 b = 13 m,
c = 15 m
y
A = 14° 15'.
56 a = 13 m,
b = 14 m
y
A = 53° 8'.
57 a = 41 m,
A = 8° 22' y
B = 67° 23'.
58 c = 6 m,
A = 45°
B = 75°.
y
59 Resuelve el triángulo ABC del que se conoce
a = 10 m, ha = 6 m y C = 15°. (ha, es la altura sobre
el lado a).
C
α β
γ
D
E
¡OJO! ACTUALIZAR FIGURA ES MUY ANTIGUA
68 Queremos saber la distancia entre dos puntos A y
B, ambos inaccesibles. Elegimos dos puntos C y D
y efectuamos las mediciones siguientes: CD = 85 m
y los ángulos ACB = 12°, BCD = 23°, CDA = 20°
y ADB = 17°.
Haz un esquema y calcula la distancia AB.
63 El ángulo bajo el cuál se ve, desde un barco, la torre
de un faro es de 30°. Cuando el barco ha recorrido
200 m. en la dirección del faro dicho ángulo es de
45°. Calcula la altura de la torre sobre el nivel del
mar y la distancia a la que se encuentran el barco
del faro en el momento de la segunda medición.
69 Calcula los ángulos de un rombo sabiendo que
su lado mide 20 cm y que su diagonal menor es
26 cm.
64 Calcula la distancia entre los puntos A y B, entre
los que hay un obstáculo, sabiendo que las distancias a un punto fijo C son AC = 175 m y BC = 90
m y que el ángulo ACB es de 37°.
Calcula bajo qué ángulo se verá al doble de distancia de la chimenea.
65 Desde un faro de 25 m de altura se observa un
punto sobre la superficie del mar con un ángulo de
depresión de 28° 30'. Hallar la distancia de dicho
punto al pie del faro.
Ángulo de depresión es el ángulo que forma la visual con el plano horizontal.
Q
74 Las circunferencias de la figura tiene radios 8 y 5
cm respectivamente. Halla la distancia entre los
centro O y O’.
Se elige otro punto C accesible desde A por lo
que se puede medir la distancia AC = 120 m y con
un teodolito se miden los ángulos BAC = 80° y
ACB = 50°.
70 Desde un punto de una superficie horizontal se ve
una chimenea bajo un ángulo de 25°.
71 En una circunferencia de 1 m de radio trazamos
una cuerda que une los extremos de un arco de
110°. Calcula la distancia del centro a la cuerda.
72 Calcula el ángulo que forman las dos rectas tangentes a una circunferencia de 25 cm de radio
trazadas desde un punto que dista 40 cm del
centro.
28
O’
30°
En las últimas páginas de cada tema se
incluye un conjunto de ejercicios para
poder trabajar los conceptos desarrollados en la unidad y aplicar así la teoría
estudiada.
75 Demuestra que si A, B y C son los ángulos de un
triángulo se verifica:
B+C
A
=0
sen – cos
2
2
76 Haya la longitud del segmento PQ de la figura siguiente:
D
C
10 cm
P
8 cm
Q
A
B
77 Demuestra que si A, B y C son los ángulos de un
triángulo se verifica:
A
B+C
1 – sen2
= sen2
2
2
Tema 6. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera
29
Autoevaluación
El tema concluye con una antoevaluación tipo test que sirve
para poner a prueba la asimilación de los contenidos estudiados. Al mismo tiempo permite trabajar la autonomía e iniciativa
personales.
AUTOEVALUACIÓN
1
La medida del ángulo de 4 444° al ser reducida al primer giro coincide con la del ángulo de:
A 124°
2
B 34°
B
Si tg α =
B
A α = 233°
Si sen α =
A cos α =
B sen α = 0,8
21
5
B α ≈ 156° 25' 19''
Si α es un ángulo tal que sec α =
B cos α =
2 21
21
D nada de lo anterior
1
, entonces:
2
2
2
C
es necesario conocer el signo
B c= 3 m
C c=2m
D nada de lo anterior
B B tiene 2 soluciones
C ABC es un segmento
D nada de lo anterior
D nada de lo anterior
Si en un triángulo ABC, a = 1 m, b = 3 m y A = 10°, entonces un posible valor de B es:
A B = 30°
10
D nada de lo anterior
C tg α =
Si en un triángulo ABC, a = 5 m, b = 5 m y c = 10 m, entonces B:
A C tiene 2 soluciones
9
D nada de lo anterior
3
C cos α = −
5
Si en un triángulo ABC, a = 2 m, b = 1 m y C = 60°, entonces:
A c=1m
8
D nada de lo anterior
C α = 53º 13’
2
y 90° < α < 180°, entonces:
5
A no existe α
7
sen α = – 0, 8
4
y 180° < α < 270°, entonces:
3
5
6
C tangente y cotangente
secante y coseno
Si α es un ángulo agudo tal que cos α = 0,6 entonces
A sen α = 0,8
4
D nada de lo anterior
La secuencia de signos + – – + corresponde a las razones trigonométricas:
A cosecante y seno
3
C 45°
B B = 148,6°
C no tiene solución
D nada de lo anterior
Si en un triángulo ABC, a = 2 m, b = 2 m y A = 30°, entonces un posible valor de B es:
A B = 30°
B tiene 2 soluciones
C no tiene solución
D nada de lo anterior
Tema 6. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera
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Así es tu libro
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TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES
1. Números irracionales................................................................................................................................................
11
2. Aproximaciones decimales y errores ......................................................................................................................
12
3. Raíces de índice n ....................................................................................................................................................
14
4. Racionalización..........................................................................................................................................................
16
5. Potencias de exponente fraccionario ....................................................................................................................
17
6. El conjunto de los números reales: la recta real ....................................................................................................
18
7. Intervalo ....................................................................................................................................................................
19
8. Valor absoluto: distancia en la recta ......................................................................................................................
20
9. Inecuaciones de primer grado con una incógnita ................................................................................................
22
TEMA 2: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
1. La ecuación ax + by + c = 0 ....................................................................................................................................
35
2. Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas ..................................................................................................
36
3. Discusión de sistemas ..............................................................................................................................................
37
4. Inecuaciones lineales con dos incógnitas ..............................................................................................................
39
5. La ecuación de segundo grado ..............................................................................................................................
41
6. Propiedades de las raíces ........................................................................................................................................
43
7. Ecuaciones reducibles a cuadráticas ......................................................................................................................
44
8. Otros sistemas de ecuaciones ................................................................................................................................
46
TEMA 3: COMBINATORIA
1. Permutaciones ordinarias ........................................................................................................................................
57
2. Variaciones ordinarias ..............................................................................................................................................
58
3. Variaciones con repetición ......................................................................................................................................
59
4. Permutaciones con repetición ................................................................................................................................
60
5. Combinaciones ordinarias........................................................................................................................................
61
6. Número combinatorio ..............................................................................................................................................
62
7. El triángulo de Tartaglia y el binomio de Newton ................................................................................................
64
TEMA 4: SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
1. Sucesiones de números reales ................................................................................................................................
77
2. Sucesiones aritméticas ............................................................................................................................................
78
3. Suma de términos consecutivos de una sucesión aritmética ..............................................................................
81
4. Sucesiones geométricas ..........................................................................................................................................
82
5. Suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica ..........................................................................
83
TEMA 5: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo......................................................................................................
93
2. Uso de la calculadora ..............................................................................................................................................
94
3. Otras razones trigonométricas ................................................................................................................................
95
4. Razones de los ángulos de 0°, 30°, 45°, 60° y 90° ................................................................................................
96
5. Resolución de triángulos rectángulos ....................................................................................................................
97
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TEMA 6: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS: GENERALIZACIÓN
1. Ángulos orientados. Reducción al primer giro ...................................................................................................... 109
2. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera .............................................................................................. 110
3. Las razones en el círculo trigonométrico................................................................................................................ 112
4. Obtención del ángulo conocida una razón............................................................................................................ 113
5. Relaciones entre razones de ángulos distintos...................................................................................................... 115
6. Fórmulas de adición ................................................................................................................................................ 118
7. Razones del ángulo doble y del ángulo mitad ...................................................................................................... 120
8. Fórmulas de transformación en producto.............................................................................................................. 121
9. Ecuaciones trigonométricas .................................................................................................................................... 121
10. Resolución de triángulos cualesquiera .................................................................................................................. 122
11. Casos de resolución de triángulos.......................................................................................................................... 124
12. Área del triángulo y radio del círculo circunscrito ................................................................................................ 126
TEMA 7: LOS NÚMEROS COMPLEJOS
1. Números imaginarios .............................................................................................................................................. 139
2. Números complejos.................................................................................................................................................. 140
3. Representación gráfica ............................................................................................................................................ 141
4. Operaciones .............................................................................................................................................................. 142
5. Forma polar de un número complejo .................................................................................................................... 144
6. Operaciones en forma polar.................................................................................................................................... 146
TEMA 8: VECTORES
1. Vector fijo .................................................................................................................................................................. 161
2. Vectores iguales. Vector libre .................................................................................................................................. 162
3. Producto de un número por un vector .................................................................................................................. 162
4. Suma y resta de vectores ........................................................................................................................................ 163
5. Combinación lineal de vectores. Base.................................................................................................................... 164
6. Base ortonormal. Componentes de un vector en una base ortonormal ............................................................ 165
7. Las operaciones en función de las coordenadas .................................................................................................. 166
8. Producto escalar de dos vectores .......................................................................................................................... 167
9. Consecuencias y propiedades ................................................................................................................................ 168
TEMA 9: LA RECTA EN EL PLANO
1. Ecuaciones de la recta en el plano ........................................................................................................................ 181
2. Ángulo de dos rectas .............................................................................................................................................. 184
3. Paralelismo y perpendicularidad de rectas ............................................................................................................ 185
4. Distancia de un punto a una recta .......................................................................................................................... 187
5. Haces de rectas ........................................................................................................................................................ 188
6. Bisectrices del ángulo de dos rectas ...................................................................................................................... 189
índice
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TEMA 10: LAS CÓNICAS
1. Lugar geométrico .................................................................................................................................................... 199
2. Las cónicas ................................................................................................................................................................ 200
3. Ecuación de la circunferencia .................................................................................................................................. 201
4. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia ........................................................................................ 202
5. La elipse .................................................................................................................................................................... 204
6. Otras ecuaciones de la elipse.................................................................................................................................. 206
7. La hipérbola .............................................................................................................................................................. 207
8. Otras ecuaciones de la hipérbola .......................................................................................................................... 209
9. La parábola................................................................................................................................................................ 210
10. Otras ecuaciones de la parábola ............................................................................................................................ 211
TEMA 11: LAS FUNCIONES
1. Función real de variable real.................................................................................................................................... 223
2. Ideas para el cálculo del dominio .......................................................................................................................... 225
3. Funciones usuales .................................................................................................................................................... 226
4. Funciones definidas a trozos .................................................................................................................................. 229
5. Operaciones con funciones .................................................................................................................................... 231
6. Composición de funciones ...................................................................................................................................... 232
7. Función inversa de otra............................................................................................................................................ 233
TEMA 12: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
1. Límite de una función en un punto ........................................................................................................................ 241
2. Límites laterales ........................................................................................................................................................ 243
3. Límites infinitos. Asíntotas verticales ...................................................................................................................... 244
4. Límites en el infinito. Asíntota horizontal .............................................................................................................. 245
5. Continuidad de una función .................................................................................................................................... 246
6. Cálculos de límites.................................................................................................................................................... 248
TEMA 13: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1. El sistema circular...................................................................................................................................................... 261
2. Funciones periódicas................................................................................................................................................ 263
3. La función seno ........................................................................................................................................................ 263
4. La función coseno .................................................................................................................................................... 264
5. La función tangente.................................................................................................................................................. 265
6. Funciones trigonométricas inversas ........................................................................................................................ 266
TEMA 14: LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
1. La función exponencial ............................................................................................................................................ 273
2. La función f (x ) = ex .................................................................................................................................................. 275
3. Problemas exponenciales ........................................................................................................................................ 276
4. Logaritmo de un número ........................................................................................................................................ 278
5. La función logarítmica .............................................................................................................................................. 280
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TEMA 15: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. APLICACIONES
1. Tasa de variación media de una función ................................................................................................................
2. Derivada de una función en un punto ....................................................................................................................
3. Interpretación geométrica de la derivada..............................................................................................................
4. Función derivada ......................................................................................................................................................
5. Derivada de algunas funciones ..............................................................................................................................
6. Derivada de las operaciones ..................................................................................................................................
7. Derivada de la función compuesta ........................................................................................................................
8. La derivada y el crecimiento y decrecimiento........................................................................................................
9. Extremos condicionados ..........................................................................................................................................
293
295
297
298
299
300
302
303
305
TEMA 16: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
1. Distribuciones bidimensionales ..............................................................................................................................
2. Parámetros ................................................................................................................................................................
3. Covarianza ................................................................................................................................................................
4. Correlación lineal ......................................................................................................................................................
5. Rectas de regresión ..................................................................................................................................................
317
318
319
320
322
TEMA 17: PROBABILIDAD
1. Sucesos ......................................................................................................................................................................
2. Idea intuitiva de la probabilidad ............................................................................................................................
3. Probabilidad de Laplace ..........................................................................................................................................
4. Sucesos intersección y unión ..................................................................................................................................
5. Probabilidad de la unión de dos sucesos ..............................................................................................................
6. Probabilidad condicionada ......................................................................................................................................
7. Sucesos dependientes e independientes ..............................................................................................................
8. Tablas de contingencia y diagramas de árbol ......................................................................................................
9. Probabilidad total y teorema de Bayes ..................................................................................................................
337
339
341
342
343
345
347
348
350
TEMA 18: LA DISTRIBUCIÓN BINOMINAL
1. Variable aleatoria ......................................................................................................................................................
2. Función de probabilidad..........................................................................................................................................
3. Función de distribución............................................................................................................................................
4. Parámetros de una variable aleatoria discreta ......................................................................................................
5. La distribución binomial ..........................................................................................................................................
6. Función de distribución de la variable aleatoria binomial....................................................................................
363
365
366
369
371
374
TEMA 19: LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
1. Variable aleatoria continua ......................................................................................................................................
2. Función de densidad y función de distribución ....................................................................................................
3. La distribución normal ..............................................................................................................................................
4. Distribución normal tipificada..................................................................................................................................
5. Uso de tablas ............................................................................................................................................................
6. Tipificación de la variable ........................................................................................................................................
7. La normal como aproximación de la binomial ......................................................................................................
383
383
385
387
387
390
392
SOLUCIONARIO .............................................................................................................................................................. 403
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Tema 1
LOS NÚMEROS REALES
Platón y Aristóteles (los dos personajes del centro de la imagen).
Detalle de La Academia de Atenas de RAFAEL.
Museos vaticanos.
10
«Prueban que la diagonal del cuadrado es inconmensurable con el lado, mostrando que si se admite que es conmensurable, un número impar sería igual que
uno par» (Aristóteles, Analíticos posteriores. I, 23).
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Números irracionales
Complementando a los números racionales (fracciones de números
enteros) se encuentran los números irracionales.
Un número irracional es un decimal con infinitas cifras decimales no
periódicas.
Ejemplos de números irracionales son:
• 1,23456789101112131415…
• 0,102030405060708090100110120130…
• 3,1122334455667788991010111112121313…
Un número irracional no es el cociente de dos enteros. Esta característica ya fue estudiada por la escuela pitagórica la cual incluso demostró la
«irracionalidad» de algunos números, en particular del número 2 mediante
una brillante demostración basada en el método de reducción al absurdo.
Demostración de que
2 es irracional:
Supongamos que lo que se quiere demostrar es falso, esto es, supongamos que 2 es un número racional.
Si 2 es racional entonces se puede escribir como la fracción irreducible
a
a
, es decir: 2 = con a y b enteros y primos entre sí.
b
b
a
a2
entonces
= 2 ⇒ a 2 = 2b 2 ; por tanto a2 es un número
b
b2
par (es múltiplo de 2) luego a no puede ser impar pues si lo fuera su cuaSi
2=
drado sería impar. Así pues a es par luego a = 2k.
b2
El método de reducción al absurdo es un método de demostración que
consiste en suponer cierto lo contrario
de lo que se quiere demostrar y llegar
así a una contradicción o absurdo.
En el Teeteto de Platón (147d-148b) se
cuenta cómo Teodoro había demostrado que las raíces de los enteros no cuadrados perfectos son irracionales.
Si a = 2k entonces a2 = 4k2 y por tanto 4k2 = 2b2 o lo que es lo mismo
= 2k2 y se deduce, igual que antes, que b2 es par y por tanto b es par.
Hemos obtenido que tanto a como b son pares, luego no son primos
entre si y este resultado contradice la hipótesis inicial; por tanto es necesario negarla y concluir que 2 no es un número racional.
El conjunto de los números irracionales se denota por I.
Además del comentado
π, e, Φ =
2 otros irracionales famosos son:
1+ 5
. Aquí los tienes con sus 30 primeras cifras decimales:
2
π = 3,141592653589793238462643383279...
e = 2,718281828459045235360287471352...
π es la relación entre la longitud y el diámetro de una circunferencia.
e es la base de un sistema de logaritmos
que estudiarás mas adelante.
Φ (número aureo) es la proporción
entre la diagonal y el lado de un pentágono regular (considerada perfecta en la
antigua Grecia).
Φ = 1,618033988749894848204586834363...
Tema 1. Los números reales
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Muchas obras de arte han sido construidas con dimensiones áureas, como el
Templo de la Concordia de Agrigento en
Sicilia.
En resumen: Un número irracional es un decimal con infinitas cifras
decimales no periódicas que no puede escribirse como el cociente de
dos números enteros.
2. Aproximaciones decimales y errores
Dado que un número irracional tiene una expresión decimal infinita no
periódica, sólo es posible escribirlo mediante una aproximación decimal finita. Los números 3,14 o 3,1416 son aproximaciones decimales de π, así
como 1,618 es una aproximación decimal de Φ. En la práctica no tiene sentido decir, por ejemplo, que la longitud de un poste es 4 2 m, ni tampoco
decir que esta longitud es 5,656854249 m, por tanto es necesario trabajar
con aproximaciones decimales que acarrean un error que debemos conocer.
Redondear un número es aproximarlo con otro con el menor error posible.
Cuando se realiza una medida se cometen errores que pueden ser sistemáticos
(originados por defectos en los instrumentos de medida) o accidentales (debido a imperfecciones cometidas por el
lector).
Dicho redondeo se hace hasta un orden y este orden determina el
número de cifras que se consideran.
Una vez conocido el orden del redondeo se sigue la siguiente regla:
1. Si la primera cifra que no se considera es menor que 5 el número se
deja como está.
2. Si es mayor o igual que 5 se suma una unidad a la última cifra conservada (si ésta es 9 se reemplaza por un 0 y se aumenta en 1 la
cifra anterior).
Ejemplos
1
Dado el número A = 4,256197 se tiene:
a) Redondeo entero: A = 4.
b) Redondeo a centésimas (a 10–2) : A = 4,26 (pues la primer cifra no considerada es 6).
c) Redondeo a milésimas (a 10–3) : A = 4,256 (pues la primera cifra no considerada es 1).
d) Redondeo a cienmilésimas (a 10–5) : A = 4,25620 o también A = 4,2562.
valor
obtenido
a'
valor
exacto
error
absoluto
a
Si el valor exacto de un número a se sustituye por a' se ha cometido un
error denominado error absoluto
E = |a – a'|.
Se llama error relativo al cociente entre el error absoluto y el real
| a – a '|
e=
|a |
Si e se multiplica por 100 se obtiene el porcentaje de error relativo.
12
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Ejemplos
2
Al medir la longitud de un puente de 500 m se ha obtenido un valor de 499 m y al hallar la anchura de una calle
de 20 m se ha obtenido 21 m. En ambos casos el error absoluto es 1 m y esto indica que considerar solamente el error absoluto no da idea clara de la calidad de la medida.
Los respectivos errores relativos son:
1
1
En el puente:
= 0,002 = 0,2 %. En la calle:
= 0,05 = 5 %.
500
20
El menor error relativo cometido en la medida del puente deja claro que es más exacta dicha medida que la realizada para hallar la anchura de una calle.
Como en la práctica no suele conocerse el valor exacto de un número a, no es posible hallar el error absoluto ni el relativo, entonces lo que
se hace es determinar cotas o márgenes de error, es decir, números
positivos mayores que el valor absoluto del error.
ε es la letra griega épsilon.
Se dice que a' es un valor aproximado de a con error menor que ε si
|a – a'| < ε. Al número ε se le llama cota del error absoluto.
En la práctica es costumbre presentar los resultados correspondientes
a datos científicos (a) de forma que se observe tanto el valor estimado (a')
como la cota del error (ε) de la forma: a = a' ± ε.
a´
a–ε
a
a+ε
Ejemplos
3
Sabemos que π = 3,141592654… entonces:
3,14 es un valor aproximado de π con error menor que 0,01 pues |π – 3,14| < 0,01.
3,15 también es un valor aproximado de π con error menor que 0,01 pues |π – 3,15| < 0,01.
4
Se ha medido la longitud de una hoja del cuaderno de un alumno y se ha obtenido que dicha longitud está entre
21,7 cm y 21,8 cm. Como la verdadera longitud l de la hoja es desconocida, parece razonable decir que dicha
longitud es el valor medio 21,75 cm y asignar una cota de error de 0,05 cm. Para esta forma se puede decir que
la longitud l de la hoja es l = 21,75 ± 0,05 cm.
Ejercicios
27
; B = 2 + 5 ; C = π – 3 se pide dar de cada uno un redondeo de orden:
17
a) entero; b) a décimas; c) a centésimas; d) a milésimas.
1
Dados los números A =
2
Da el error absoluto y el relativo que se comete al hacer los redondeos anteriores.
3
Se ha medido una longitud de 500 m con un «metro» cuya longitud exacta es de 98 cm. Determina el error absoluto y el error relativo cometido.
4
Sabiendo que 2 ≈ 1,414 213 562… Indica cuál es la cota de error cometido al redondear 2 como:
a) 1;
b) 1,41;
c) 1,414 21.
Tema 1. Los números reales
13
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3.
3
= raíz cúbica;
4
Raíces de índice n
El concepto de raíz cuadrada se puede ampliar para representar las solu-
= raíz cuarta
n
ciones de la ecuación x n = a mediante el símbolo a (radical de índice n).
La expresión
n
a = x implica que x n = a siendo n el índice de la raíz,
a es el radicando y x es la raíz n-sima de a. Evidentemente
n n
a
= a.
Ejemplos
4
a) 16 = 2 pues 24 = 16;
5
c)
3
3375 = 15 pues 153 = 3375;
b)
3
−27 = – 3 pues (– 3)3 = –27
d)
6
−36 no existe pues x6 ≥ 0 para todo valor de x.
El ejemplo anterior pone de manifiesto que las raíces de índice par sólo
existen si el radicando es positivo o nulo mientras que las raíces de índice
impar existen siempre y tienen el mismo signo que el radicando.
Comprueba si tu calculadora dispone de
la tecla
para obtener raíces de cualquier índice.
Operaciones
n
Producto
¡Cuidado!
n
a +b
n
a +n b
Cociente
a × n b = n a ×b
n
a
n
b
=n
a
b
( )
n
Potencia
a
p
(b ≠ 0)
= n ap
Ejemplos
6
a)
b)
c)
3
32 ×
5
224
5
=5
7
( 4) =
4
3
2
4
2 =
3
32 × 2 =
3
64 =
3
43 = 4
224 5
5
= 32 = 25 = 2
7
4
42 = 24 = 2
Las operaciones entre radicales de distinto índice se deben realizar
transformándolos previamente a un mismo índice. Para ello ten en cuenta
la regla siguente:
Un radical no varía si se multiplican o dividen el índice y el exponente
del radicando por un mismo número no nulo.
n
14
a p = nm a pm
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Ejemplos
7
6
a)
3
6 = 62 = 6 36 (multiplicando índice y exponente por 2)
b)
12
b 8 = 3 b 2 (simplificando por 4)
2 ×
c)
d)
3
a2
4
b
3
=
6
32 =
12
a8
12
b3
23 ×
= 12
6
34 =
6
23 × 34 =
6
648
a8
b3
Raíz de raíz
La raíz de una raíz es otra raíz que tiene el mismo radicando y su índice es el producto de los índices.
np
a =
np
a
Ejemplos
8
a)
3
a=
6
a;
b)
x =
8
c) 2 3 =
x;
22 ·
Extracción e introducción de factores
Puedes extraer factores de un radical cuando en él hay factores de
exponente mayor o igual que el índice.
Factor es aquello que multiplica. En el radicando de ab hay dos factores y en el de
La introducción de factores siempre es posible y la operación se realiza elevando el factor al índice del radical.
a + b hay dos sumandos, no factores.
Ejemplos
9
Extraer los factores posibles de los radicales: a)
a)
3
3
x9;
b)
4
a9
x 9 = 3 x 3 · 3 x 3 · 3 x 3 = x ·x ·x = x 3 ; o también si dividimos 9 : 3 = 3 ⇒
b) Para extraer factores del radical 4 a 9 , hacemos:
4
3
x 9 = x3
a 9 = 4 a 4 · 4 a 4 · 4 a = a · a · 4 a = a2 4 a
10 Introducción de factores:
5
5
2x 3x 2 = 5 (2x )5 3x 2 = 5 32x 5 · 3x 2 = 96x 7
Tema 1. Los números reales
15
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Página 16
Ejercicios
5
Usa la descomposición factorial de los radicandos y calcula:
a) 3 2744
6
b)
4
0,0016
493
c)
3
b) 4 23 · 12 · 3 32 · 22
c)
5
9a 2b
6
2x · 8 x 3
d)
16x 3
27a
b) 27 24 36
c) 2 2 2 2 4
d)
8x 3 y 12
d)
4
256
Extrae los factores posibles de los radicales:
a) 5 256
9
−512
Calcula:
a) 2 + 2 + 2 + 2 + 4
8
3
Calcula:
a) 23 9 · 27
7
d)
Escribe de la forma
b)
n
3
3x 4 y 6
c)
6
36a 8a 5
a los radicales:
a) 3x 3 y 4 2 y 2
b) −3ab 3 4a
4.
c) (a − b ) a + b
d)
3x
2
3
2x
3
Racionalización
Racionalizar una fracción es tranformarla en otra equivalente que no
contenga ningún radical en el denominador.
Algunos de los posibles casos son:
m
1. El denominador es un radical cuadrático:
a
Se multiplica y se divide por el radical
cuadrático del denominador.
Se hace:
m
a
=
m· a
a· a
=
m· a
( a)
2
=
m a
a
2. El denominador es un radical de índice n:
En este caso debes operar con el radical
«conveniente» a fin de conseguir índices
y exponentes iguales.
Aquí se multiplica y se divide por la
expresión conjugada del denominador,
sabiendo que la expresión conjugada de
A – B es A + B y recíprocamente.
16
Haremos:
m
n
ap
=
m · n a n−p
n
a p ·n a n−p
=
m
n
m · n a n−p
n
a p+n−p
ap
=
m · n a n−p
a
3. El denominador es una suma o diferencia con al menos un radical cuadrático:
m
m ·( a − b )
m ·( a − b )
=
=
a −b
a+ b
( a + b )·( a − b )
Análogamente:
m
a− b
=
m ·( a + b )
( a − b )·( a + b )
=
m ·( a + b )
a −b
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Página 17
Ejemplos
11 a) 10 = 10 · 5 = 10 · 5 = 2 5
3·5
3
3 5
3 5· 5
b)
c)
2
3
=
3
3
2 · 32
3
3
3 · 32
1
3+ 2
=
2· 3 9
=
3
33
=
2· 3 9
3
1·( 3 − 2 )
=
( 3 + 2 )·( 3 − 2 )
( 3 − 2)
=
3 −2
3− 2
Ejercicios
10 Racionaliza los denominadores:
a)
3
;
3
b)
6
;
c)
2 12
2
5
;
d)
4
5
7− 2
;
e)
22
5+ 3
5. Potencias de exponente fraccionario
El concepto de potencia se amplía al caso de exponente fraccionario
definiendo:
Si no dispones de la tecla
n
a m /n = a m
la tecla
de tu calculadora también te permi-
Admitimos que las reglas para el cálculo con potencias de exponente
entero siguen siendo válidas para potencias con exponente fraccionario.
te calcular raíces de cualquier índice.
Si el exponente es negativo, el signo menos corresponde al numerador.
Así, por ejemplo: 3
−
1
2
1
3
3− 1 =
=
Ejemplos
12 a) 3a1/3 = 3 3 a ;
Ahora podemos justificar la propiedad
En efecto:
También:
nm
np
pm
p
a pm = a nm = a n =
a=
c) 8− 1/3 = 8− 1 =
3
b) 43/2 = 43 = 64 = 8;
(p a )
1
n
=
( )
1
ap
1
n
n
n
3
1
1 1
=
=
8 38 2
a p = nm a pm
ap
1 1
×
n
= ap
1
= a pn =
np
a
Ejercicios
11 Opera las siguientes expresiones y da el resultado sin exponentes fraccionarios:
4
a) 3 · 25/2 ;
b)
;
c) 3a1/2b − 1/2c 3/4 ;
d)(2 a )1/3 (3a 2 )1/4 (ab 5 )− 1/6
1/2
6 − 21/2
Tema 1. Los números reales
17
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Página 18
6.
Si se trata de una fracción propia (numerador menor que el denominador), se
toman desde el cero tantas partes iguales
como indica el denominador. Uniendo la
última con el 1 y trazando paralelas
obtienes los puntos que representan las
diferentes fracciones propias todas con
igual denominador.
Si la fracción es impropia (numerador
mayor que el denominador) se escribe en
a
r
la forma = c + donde c es el cocienb
d
te y r el resto de la división de a entre b.
r
Ahora la fracción ya es propia.
d
El conjunto de los números reales:
La recta real
El conjunto formado por los números racionales Q y los irracionales I
recibe el nombre de conjunto de los números reales R.
El teorema de Tales permite representar a los números racionales en la
3
2
recta. Por ejemplo, para representar los números
y − se haría:
5
3
5
s
4
3
2
1
–1
– 2
3
0
3
5
1
1
2
3
Al representar los números racionales en la recta no debes pensar que
ésta se llena por completo, pues hay «huecos» que serán rellenados por
los irracionales.
Para representar algunos números irracionales puedes hacer la siguiente construcción basada en las relaciones del teorema de Pitágoras.
RELACIONES
Los números naturales están contenidos
en el conjunto de los números enteros
N Z
Los números enteros están contenidos
en el conjunto de los números racionales
Z Q
Así pues:
N Z Q
Entre Q e I no hay ninguna relación de
inclusión aunque ambos forman el conjunto R de los números reales
R=Q∪I
Luego:
N Z Q R
5
2
3
⊃
1
1
1
⊃
– 3 – 2
0
1
2
5
2
Los números irracionales llenan los huecos dejados por los racionales
y de esta forma a todo número real se le puede hacer corresponder un
único punto de la recta y recíprocamente. Los números reales llenan por
completo la recta. Esta recta se llama recta real.
⊃
⊃
⊃
⊃
⊃
–3
–5
2
–2 – 7
4
–1 – 9
10
0
2
5
1
2
5
Todo número racional o irracional se dice que es un número real.
18
3
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7.
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Página 19
Intervalos
Un conjunto de números reales es un intervalo de R si, y solamente si, contiene todos los números comprendidos entre dos cualesquiera de sus elementos.
Si a y b son dos reales tales que a ≤ b, la notación utilizada es:
Intervalo cerrado [a, b]
Intervalo abierto ]a, b[
a≤x≤b
a<x<b
x
a
Intervalo semiabierto a la izquierda ]a, b]
b
Intervalo semiabierto a la derecha [a, b[
a<x≤b
a≤x<b
x
a
x
a
b
b
a
x
b
Los números a y b son los extremos del intervalo.
Observa que en un intervalo cerrado por un extremo indica que dicho
extremo sí pertenece al intervalo. Si el intervalo es abierto, el extremo
no pertenece.
Se puede generalizar el concepto para definir los intervalos de extremo
infinito.
Semirrectas cerradas
Semirrectas abiertas
[a, +∞[ = {x ∈ R y a ≤ x}
x
a
x
a
]–∞, b] = {x ∈ R y x ≤ b}
x
]a, +∞[ = {x ∈ R y a < x}
b
]–∞, b[ = {x ∈ R y x < b}
x
b
Como casos extremos hay que citar el intervalo {a} = [a, a] y el intervalo vacío Ø = ]a, a[.
El conjunto R sería pues el intervalo ]–∞, +∞[.
Tema 1. Los números reales
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Página 20
La intersección de dos intervalos es un intervalo pero la unión de dos
intervalos no es necesariamente un intervalo. Observa el ejemplo siguiente:
Ejemplos
13 Determina el conjunto P = (]– 3, 2[ ∩ [–1, 5] ∩ ]– 4, 3[) ∪ ]2, 5[
Llamando A = ]– 3, 2[ ∩ [–1, 5] ∩ ]– 4, 3[
]–3, 2 [
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
[– 1, 5]
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
]–4, 3 [
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
A
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
]2, 5 [
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
P
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Por tanto P = [–1, 2[ ∪ ]2, 5[
Ejercicios
12 ¿Verdadero o falso?
⊃
b) ]2, 3[
[2, 3[;
c) [1, 3]
⊃
]2, 3[;
]– ∞, 3];
d) [–3, 2]
⊃
⊃
a) [2, 3[
[– 4, 4]
13 Determina el conjunto A = {[1, 4[ ∪ ]5, 8]} ∩ {[–1, 2] ∪ ]3, 6[ ∪ ]7, 9]}
14 Determina el conjunto B = {]–1, 2[ ∩ [0, 3[ ∩ ]–5, 1[} ∪ ]1, 3].
8.
Valor absoluto: distancia en la recta
Sea x un número real. Se llama valor absoluto o módulo de x y se
escribe |x | al número positivo definido así:
• si x es positivo o nulo entonces |x | = x
• si x es negativo entonces |x | = –x.
Ejemplos
14 a) |8| = 8; |7,5| = 7,5; |–5,8| = 5,8; |–1| = 1;
b) |π – 3| = π – 3 pues π – 3 es positivo.
Propiedades
Cualesquiera que sean los números x e y se verifica:
1. |x | = |–x |
3.
20
x |x |
(con y ≠ 0)
=
y |y |
2. |x · y | = |x | · |y |
4. |x + y | ≤ |x | + |y |
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Página 21
Ejemplos
b) |(– 8) × 4| = |– 8| × |4| = 8 × 4 = 32
15 a) |3 – 7| = |7 – 3| = 4;
c)
|5|
5
5 5
=
=− =
|−4 | −4
4 4
d) |– 8 + 5| ≤ |– 8| + |5| pues |– 8 + 5| = 3 y |– 8| + |5| = 8 + 5 = 13
Además, si α ≥ 0 es fácil comprender que:
Equivale a
Gráficamente
|x | = α
|x | ≤ α
|x | > α
x = –α ó x = α
–α ≤ x ≤ α
x ∈ [– α, α]
x < –α ó x > α
x ∈ ]– ∞, – α[ ∪ ]α, +∞[
x
x
x
−α
0
α
−α
0
α
−α
La distancia entre dos puntos x e y de la recta real se define:
d(x, y ) = |x – y |
0
α
d(x, y)
x
y
Propiedades de la distancia
Cualesquiera que sean los números reales x, y, z se verifica:
1. d(x, y ) ≥ 0 y d(x, y ) = 0 si y sólo si x = y
2. d(x, y ) = d(y, x )
3. d(x, y ) ≤ d(x, z ) + d(z, y ) (propiedad triangular)
Ejemplos
16 a) d(3, 8) = |3 – 8| = 5;
b) d(–2, 5) = |(–2) –5| = |–7| = 7;
c) d(– 8, – 4) = |– 8 – (– 4)| = |– 8 + 4| = |– 4| = 4
Ejercicios
15 Da el valor absoluto de los siguientes números:
a) 4,6;
b) π + 3;
c) 5 – 26 ;
d) 5–2;
e) – 32;
f) 28000.
16 Calcula: ||– 2| – |– 4| – |– 3 × 5|| – |2 × (– 5)|
17 Halla x en las ecuaciones siguientes:
a) |x | = 7;
b) |x – 2| = 3;
c) |2 – 3x | = 1
Tema 1. Los números reales
21
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Página 22
9.
Inecuaciones de primer grado con
una incógnita
En ocasiones el enunciado de un problema se traduce al lenguaje algebraico mediante el uso de desigualdades. En tales casos hay que resolver
inecuaciones en las que es necesario utilizar las siguientes propiedades:
1. Si a < b entonces a + c < b + c
Aunque estas propiedades se han escrito con los signos < y > siguen siendo
válidas para los demás símbolos de desigualdad.
2. Si a < b y c > 0 entonces a × c < b × c
y
a b
<
c c
3. Si a < b y c < 0 entonces a × c > b × c
y
a b
>
c c
Ejemplos
17 Resolver la inecuación:
1
x − 3 23
−
≥ 3( x − 1) − (4x + 3)
2
3
6
Se multiplica toda la inecuación por el m.c.m. (3, 6, 2) que es 6: 2(x – 3) – 23 ≥ 18(x – 1) – 3(4x + 3)
Se realizan las operaciones indicadas: 2x – 6 – 23 ≥ 18x – 18 – 12x – 9
Transponiendo términos queda: 2x – 18x + 12x ≥ –18 – 9 + 6 + 23
Simplificando: – 4x ≥ 2
Para despejar x es necesario dividir por – 4 con lo que la desigualdad cambia de sentido: x ≤ −
La solución es x ≤ −
1
2
⎤
1
1⎤
o el intervalo ⎥ −∞, − ⎥
2
2⎦
⎦
Gráficamente:
–1
–1
2
0
Ejercicios
18 Resuelve las siguientes inecuaciones y expresa la solución gráficamente sobre la recta y como un intervalo:
1
x
5x – 9 7x + 5
d) x 3 − 6 ≤ 3 − 4x
a) 2x − ≤ 0;
b)
− 10− 3 > 0;
c)
>
;
2
3
100
3
19 Mismo ejercicio:
a)
6 − 5x 9 − 8x 11 − 10x
−
−
< 0;
3
4
12
b) 3x + 2 – (5x + 1) ≤ – (2x + 3) + x – 6;
c)
x −2 x −1 x − 6
;
−
>
3
5
3
d) 2x −
22
1 + 2x
x
>2+
3
2
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EJERCICIOS RESUELTOS
1
¿Verdadero o falso?
a) La diferencia de dos números irracionales es un irracional.
b) El producto de dos números decimales es un decimal.
c) La raíz cuadrada de un entero positivo es un número irracional.
a
d) Todo racional se puede escribir de forma única de la forma
con a y b primos entre sí.
b
Solución:
a) Falso. Los números A = 2 + 2 y B = 2 son irracionales y A – B = 2 que no es irracional.
11
6
,
= 183
= 0,54
b) Falso. Los números C =
y F =
son decimales y sin embargo C × F = 1.
6
11
c) Falso. Si el número es cuadrado perfecto su raíz cuadrada no es irracional. Así los números 1, 4, 9, 16, … n2
tienen raíz cuadrada entera.
d) Verdadero. Es una propiedad de los números racionales.
2
Demuestra que
Solución:
3 es irracional.
Por reducción al absurdo.
Supongamos que
3 es racional, esto es, supongamos que
3=
a
con a y b enteros y primos entre si.
b
a2
= 3 , luego a2 = 3b2 (*) y así a2 es múltiplo de 3, por tanto a2 = 3k y así a debe ser múltiplo de 3 pues
b2
si no lo fuera su cuadrado tampoco lo sería.
Entonces
Si a = 3p es a2 = 9p2 y de (*) tenemos que 9p2 = 3b2, es decir b2 = 3p2 y razonando análogamente, b sería también múltiplo de 3 en contra de la hipótesis de que a y b eran primos entre sí.
Por tanto es necesario negar la hipótesis, 3 no es racional luego es irracional.
3
Representa en la recta real los números 3 ,
5 y
6 .
Solución:
Partiendo de la representación de 2 hecha en el tema sólo hay que considerar que:
3 = 12 +( 2 )2 y así
Análogamente:
Por último:
3 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1 y 2 .
5 = 12 + 22 luego 5 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1 y 2.
6 = 12 +( 5 )2 luego
6 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1 y
3
La representación sería:
2
5
1
5 .
6
1
1
1
0
1
2
3
2
5 6
Tema 1. Los números reales
23
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EJERCICIOS RESUELTOS
4
Da un redondeo con la precisión p indicada de los siguientes números:
127
13
1
11
b)
(p = 10–2)
c)
(p = 10–1);
d)
(p = 10–3)
a)
(p = 10–4);
438
27
13
3
Solución:
Observando las expresiones decimales de cada uno de los números, los redondeos buscados son:
a)
5
13
≈ 0,7647;
17
b)
127
≈ 0,29;
438
c)
11
≈ 3,7;
3
d)
1
≈ 0,077
13
a) Calcula la expresión del área de un triángulo equilátero en función de su lado.
b) Calcula el área de los triángulos equiláteros de lados 1 cm y
3 cm.
c) ¿El área de los triángulos equiláteros es siempre un número irracional?
Solución:
a)
h=
l
l2
h
l
2
⎛ l⎞
−⎜ ⎟
⎝ 2⎠
Luego S =
l
2
b) Si l = 1 cm es S =
2
l×
=
l2 −
l2
=
4
3l 2
l
=
3
4
2
l
3
l2 3
2
=
2
4
3
cm2.
4
Si l = 3 cm es S =
( 3 )2 3
3 3
=
cm2.
4
4
c) No, basta considerar por ejemplo el triángulo equilátero de lado
S =
6
( 4 12 )2 3
=
4
Calcula
2ab 3 ·
3
4
12 cuya área es
12 · 3
3
= cm2 .
4
2
4a 2b ·
4
2b y da un resultado simplificado.
Solución:
Como m.c.m.(2, 3, 4) = 12 se transforman todos los radicales en otros equivalentes de índice 12.
2ab 3 ⋅ 3 4a 2b ⋅ 4 2b =
=
12 6 6 18
2 a b
=
12 17 14 25
2 a b
24
12
(2ab 3 )6 ⋅ 12 (4a 2b )4 ⋅ 12 (2b )3 =
⋅ 12 44 a 8b 4 ⋅ 12 23 b 3 =
= 2ab 2 12 25 a 2b
12 6 4 3 6 8 18 4 3
2 4 2 a a b b b
=
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3 –1
Simplifica la expresión:
3 +1
Solución
3 −1
Racionalizamos el radicando:
8
Calcula y simplifica la expresión:
a b
=
b a
3
Solución:
9
3 +1
2
3
⎛ a⎞ b
⎜⎝ b ⎟⎠ a =
6
( 3 − 1)( 3 − 1)
=
3
( 3 + 1)( 3 − 1)
=
( 3 − 1)2
( 3 )2 − 12
=
3 −1
3 −1
3 − 1 ( 3 − 1) 2
6− 2
=
=
2
2
2⋅ 2
=
a b
b a
a 2b
=
b 2a
6
a
b
Racionaliza los siguientes denominadores:
3
a)
;
b)
2 5
3xy 2
3
x 2y
;
c)
2
3− 2
;
d)
3+2 2
5−4 2
.
Solución:
3
a)
2 5
b)
c)
d)
3xy 2
3
x 2y
=
3 5
2 5 5
3
=
3− 2
3 5
3 5
=
2⋅5
10
3xy 2 ⋅ 3 xy 2
=
2
=
3+2 2
5−4 2
x 2 y ⋅ 3 xy 2
=
3xy 2 ⋅ 3 xy 2
3
2 (3 + 2 )
(3 − 2 )(3 + 2 )
=
x 3y3
=
3xy 2 ⋅ 3 xy 2
= 3 y 3 xy 2
xy
3 2+2 3 2+2
=
7
32 − 2
(3 + 2 2 )(5 + 4 2 )
=
(5 − 4 2 )(5 + 4 2 )
10 Simplifica la expresión
=
1
15 + 12 2 + 10 2 + 16 31 + 22 2
=
25 − 32
− 17
1
+
2+ 5
+
2+ 3
1
3+ 2
1
+
2 +1
Solución:
Racionalizando cada uno de los sumandos:
1
2+ 5
+
1
2+ 3
+
1
3+ 2
+
1
2 +1
=
=
2− 5 2− 3
+
+
4−5
4−3
3− 2
2 −1
+
3−2
2−1
5 − 2 + 2 − 3 + 3 − 2 + 2 −1=
5 −1
Pues todos los denominadores son 1 excepto el primero que es –1.
Tema 1. Los números reales
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Página 26
EJERCICIOS RESUELTOS
11 Convierte en potencias de exponente fraccionario las expresiones siguientes:
a)
5 ;
b)
3
3
;
2
c)
4
x +y ;
2 2
d)
Solución:
a) 5 =
51/2
b) 3
3 ⎛ 3⎞
=
2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
1/ 3
d) 2 2 =
c) 4 x + y = ( x + y )1/ 4
22 ⋅ 2 =
4
23 = 23 / 4
12 Resuelve la ecuación: |x + 6| = |x – 2|
Solución:
Cada uno de estos valores absolutos es en realidad una distancia. Sean A y B los puntos de abscisa – 6 y 2 respectivamente y sea M el punto de abscisa x.
La ecuación |x + 6| = |x – 2| equivale a que MA = MB luego M es el punto medio del segmento AB.
Por tanto la solución de la ecuación inicial es x = –2.
A
M
–6
–2
B
2
0
13 Representa como intervalos los conjuntos de números que verifiquen:
a) |x | ≤ 2
b) |x – 2| ≤ 4
c) |x | ≥ 3
d) d(x, 3) < 2
e) d(x, –1) ≤ 1
Solución:
a) |x | ≤ 2 equivale a –2 ≤ x ≤ 2, luego: x ∈ [–2, 2]
[
[
0
–2
2
b) |x – 2| ≤ 4 equivale a – 4 ≤ x –2 ≤ 4, luego: – 4 + 2 ≤ x ≤ 4 + 2 ⇔ –2 ≤ x ≤ 6. Así: x ∈ [–2, 6]
[
[
0
–2
6
c) |x | ≥ 3 equivale a x ≤ – 3 ó x ≥ 3. Si x ≤ – 3 entonces x ∈ ]– ∞, – 3]. Si x ≥ 3 entonces x ∈ [3, +∞]. Por tanto, |x | ≥ 3
equivale a: x ∈ ]–∞, – 3] ∪ [3, +∞[
[
–3
0
[
3
d) d(x, 3) < 2 equivale a |x – 3| < 2 o bien –2 < x – 3 < 2 ⇔ –2 + 3 < x < 2 + 3 ⇔ 1 < x < 5. Es decir x ∈ ]1, 5[
0
[
[
1
5
e) d(x, –1) ≤ 1 equivale a |x – (–1)| ≤ 1, es decir: |x + 1| ≤ 1 ⇔ –1 ≤ x + 1 ≤ 1 ⇔ –1 –1 ≤ x ≤ 1 – 1⇔ x ∈ [–2, 0]
26
[
[
–2
0
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x
14 Resuelve la inecuación:
3
−
5x − 4
2
≤ x −
12 − 5 x
6
Solución:
Multiplicándola por el m.c.m. (3, 2, 6) que es 6:
2x – 3(5x – 4) ≤ 6x – (12 – 5x )
2x – 15x + 12 ≤ 6x – 12 + 5x
Transponiendo:
2x – 15x – 6x – 5x ≤ –12 – 12
–24x ≤ –24
De donde: x ≥
24
= 1. Se ha cambiado el sentido de la desigualdad porque se ha dividido por un número negativo.
24
La solución es x ≥ 1 o bien x ∈ [1, +∞[
Gráficamente:
0
[
1
x
⎛
5⎞
4x + 3
15 Resuelve la inecuación: 2 ⎜ x − ⎟ ≥
2⎠
2
⎝
Solución:
Desarrollando el producto del primer miembro:
4x + 3
2x − 5 ≥
luego: 4x – 10 ≥ 4x + 3 ⇒ 0 ≥ 13
2
y como esta desigualdad es falsa, la inecuación propuesta no tiene solución.
16 Resuelve la inecuación:
x 13
4 ⎛ 7x 9⎞
+
− 2x ≤ 2x + − ⎜
− ⎟
2
5
5 ⎝ 2
5⎠
Solución:
− 3x 13
4 7x 9
+
+
≤ 2x + −
2
5
5
2
5
multiplicando la inecuación por 10, que es el m.c.m. (2,5) se obtiene:
Operando en cada miembro:
–15x + 26 ≤ 20x + 8 – 35x + 18 ⇒ –15x – 20x + 35x ≤ 8 + 18 – 26
Es decir:
0≤0
Y como esta expresión es siempre cierta, cualquier valor de x es solución de la inecuación.
Tema 1. Los números reales
27
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FORMULARIO
Errores y cota de error
Si el valor exacto de un número a se
sustituye por a' el error absoluto es
E = |a – a'|
y el error relativo es
e =
| a − a '|
|a |
Raíces de índice n
La expresión
n
a ×
n
Se dice que a' es un valor aproximado
de a con error menor que ε si
|a – a'| < ε e siendo ε la cota del error
absoluto.
Distancia entre puntos
La distancia entre dos puntos x e y
de la recta real es:
d(x, y ) = |x – y |
n
n
a = x implica que x n = a.
b = n a ×b
ap =
nm
a pm
n
n
a
b
=
np
n
a
(b ≠ 0)
b
a=
np
a
n
(n a )p = a p
a m /n =
n
Intervalos
El intervalo
se llama
y es un conjunto de
números x tales que
[a, b]
cerrado
a≤x≤b
]a, b[
abierto
a<x<b
[a, b[
semiabierto a
la derecha
a≤x<b
]a, b]
semiabierto a
la izquierda
a<x≤b
[a, +∞[ ó ]– ∞, a]
semirrecta cerrada
x≥a ó x≤a
]a, +∞[ ó ]– ∞, a[
semirrecta abierta
x>a ó x<a
Valor absoluto
Se llama valor absoluto o módulo del número real x y se escribe |x | al número positivo definido así:
• si x es positivo o nulo entonces |x | = x
• si x es negativo entonces |x | = –x
–
[
–
[
–
28
|x | = α equivale a x = α ó x = – α
0
0
0
am
[
|x | ≤ α equivale a – α ≤ x ≤ α o bien x ∈ [– α, α]
[
|x | > α equivale a
{ xx <> α– αo obienbien xx ∈∈ ]α,[– ∞+, ∞α[[
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EJERCICIOS FINALES
20 Dí qué números pertenecen a Q y cuáles a I.
a) 10 ;
b)
d) 4,323232…;
)
f) 7,324 ;
e) 2,010010001…
21 ¿Es cierto que
g)
4;
c)
2
;
3
0,04 ;
h) π2
355
= π ? Razona la respuesta.
113
22 En la figura siguiente es OB = 7 cm y CD = 5 cm.
c) – 6,4 y – 6,28
d) 5 y 6
Indica en cada caso cuál es la cota del error absoluto cometido.
26 En un reconocimiento médico se establece la estatura de un individuo en 183 cm cuando su estatura
real es 181 cm. La longitud de una pista de atletismo es de 100,5 m cuando debería ser de 100 m.
¿Cuál de las dos medidas comete menor error
absoluto? ¿Cuál tiene menor error relativo?
C
A
D
B
O
27 Indica qué porcentaje de error relativo se comete
cuando se hace un redondeo a décimas del número 15,86352.
28 Ordena en forma creciente los radicales:
3
Da el valor exacto y un redondeo a milésimas de la
medida del segmento AB.
23 Da la medida exacta y un redondeo a centésimas de
los segmentos AB, BC y BD del tangram siguiente:
D
2;
4
3;
4
6;
3;
3
4.
n
29 Escribe de la forma a b con b lo menor posible:
b) 3 2000 ;
a) 1200 ;
c)
5
36 ⋅ 24 ⋅ 57 ⋅ x 11 ;
d) x 2 − y 2 ;
3
e) x 3 − x 6 ;
f) 4 32xy
30 Justifica que:
A
8 cm
(
)
a) (a 2 − b 2 ) a + b = (a + b ) a − b (con a > b)
C
B
b) (a + b )2 − 4ab = a − b (con a > b)
8 cm
c)
24 ¿Cuál es el error absoluto y relativo que se comete
al redondear
a) 16,7528 a milésimas?
b) π a centésimas?
c)
2 a enteros?
d) 1,2345678… a diezmilésimas?
25 Expresa de la forma a = a' ± ε una medida de la que
se sabe que su valor está entre:
a) 24,96 y 25,12
b) 10,52 y 10,84
1
2 +1
+
1
3+ 2
=
3 −1
31 Calcula:
a)
1
+
2
2 +
4
4 +
6
8 −
74
64
2
1
56
18 − 4 64
8 +
2
2
13
34 3
1
3993
81 −
c) 6 576 − 3 81 +
10
5
2
b) 4 324 −
d) 56 8 − 310 32 − 88 16 + 24
1
8
Tema 1. Los números reales
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EJERCICIOS FINALES
32 Calcula y da el resultado utilizando una sola raíz
como máximo.
3
4
a) 5 · 15 · 75
b) 2 ·
4
c) 4 2x ·
d) 30 ·
8
8 ·
32
6
8x 5 ·
5
4
6
D = ⎡( 2 − 1)( 2 + 1)⎤
⎣
⎦
2
37 Introduce en el radical todos los factores posibles:
64x 2
7 5a · 180a
e) 3ab ·
4
f) 2xy ·
3z · 4 18z 3 y 2
3
C = (2 3 − 3 5 )2
8a b ·
6
3 5
a)4 2;
b)3a 2b ;
c)2xy 3 3 y 2 ;
d)(a + b ) a − b ;
e)(a − b ) a ;
f)3a 2b 2ab 3
24a b
4
38 Calcula:
33 Mismo ejercicio:
3
a)
d)
200
3
3
4
;
b)
c)
;
2
25
3 4 24a
3
8
4
;
e)
8a 6
50
4
50
2ab · a 2b
4
34 Calcula y simplifica:
3
a) ( 10 −
25 )( 10 +
c) (5 −
2
3 )(5 + 9 )
d) (5 3 − 3 5 )(5 5 − 3 3 )
f) ( 3 a −
3
3
32a 3b 3
3
3
a)
8;
3
0,625
b) 2 2 ;
ab +
3
b2 )
1
;
9
c) 2 3 9 ;
d) 3 9
e) 4 3 8
f) ( 3 4 )4 ;
(
a3 b
4
6
d)
256 ;
);
3
40 Racionaliza:
1
a)
;
5
2
b ) ( a2 +
2,56 + 3 1715
,
−
39 Escribe las siguientes expresiones bajo un solo
radical y simplifica el resultado:
g)
4
⎛
1 ⎞
e) ⎜ 2 +
⎟
⎝
2⎠
3
3
25 )
1
2a − 3
b) (2a − 3) ·
3
3
108
,
−
;
3
f)
;
2a
12
3
h)
b)
25
(
3
;
c)
15
;
e)
;
h)
5
15
;
3
8
;
5
2
)
x 2y
2+x
;
2−x
f)
35 Justifica que:
⎛ 3 − 2 2− 3⎞
1
+
⎜
⎟ 3+2 2 =
2
⎝
6
2 3 ⎠
36 Simplifica:
A=
5 −2
3
3
3
2a
4
3a 2
8xy
i)
;
5
4x 3 y 4
41 Escribe sin radicales las siguientes expresiones:
a)
1
;
b) 3 9 ;
8;
e)
c) 4 2 +
3
5 +2
B = 17 − 2 30 · 17 + 2 30
30
g)
d)
5 3 ·
3
3x
15 3x
;
1
;
4
f) 3 8 + 8
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Página 31
42 Escribe las siguientes expresiones sin exponentes
fraccionarios ni negativos:
a)
2
b) (4x 2 )3 ;
1
5x 2 ;
d) 5 · 3
−
1
2;
e)
5
1
2
2
c) 4
−
1
2;
f) (1 − x )
1
2
a)
c) 4
−
1
2
b) 27a 2 = 3a 2/3
= 0,5
d)
5
3 5
=
5
3
44 Indica qué números representan los puntos P, Q, R
y S representados a continuación.
P
1
2 Q
1
2
x −2
= | x + 1|
2
54 Calcula las intersecciones siguientes:
A = ]–2, 5[ ∩ [–1, 7]
B = ]– ∞, 6] ∩ [– 3, 10]
3
=2 x
0
53
−1
43 ¿Verdadero o falso?
1
2
4x
b) |–x + 1| >
52 |x + 3| = |x – 1|
−
;
51 a) |–x – 2| < 1;
55 Calcula las uniones siguientes:
C = ]– 6, 8] ∪ [– 3, 10[
D = ]– ∞, 3[ ∪ [0, 12]
56 Expresa como un intervalo el conjunto de valores
de x que verifican:
b) x ≥ 3
a) x > 5
x<8
x<4
{
c) x < 1
{ x ≥ –4
3
2
{
d) –2 < x ≤ 10
{ –8 < x < 5
57 Expresa como intervalos:
1
1
a) [–1, 3] – {0}
b) [2, 5[ – {2}
S –2
–1
0
1
2
c) R – {–2, 3}
d) R – [– 5, 0[
R
Del 45 al 53. Determina los números reales que
verifican la ecuación o inecuación propuesta.
45 a) |x | = 5;
46 a) |x – 1| = 0;
47 a) |x + 2| + 3 = 0;
48 a) |x | ≤ 5;
b) |x | =
3
;
2
Del 58 al 62. Resuelve las siguientes inecuaciones
y representa la solución sobre la recta real.
c) |x – 2| = 5
58 4x – 2(x – 3) > 7 + 3x
b) |x + 5| = 3
59
x + 1 x + 3 2x − 3
−
≥
2
5
2
60
x −
61
2x −
62
⎛
x⎞
4⎜ 5 − ⎟ > 2 − x
4⎠
⎝
b) |2x – 3| – 1 = 0
b) |x | ≥ 1;
49 a) |x – 4| ≤ 4;
b) |2x – 1| < 3
50 a) |3 – 2x | ≤ 3;
b) x −
1
≥2
2
5
c) |x | <
4
6 − 2x
3−x
≤ 2x + 2 −
4
2
x +6 1
≥ −x
5
4
Tema 1. Los números reales
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Página 32
AUTOEVALUACIÓN
1
El error absoluto cometido al redondear 15,1326 a milésimas es:
A 2
2
B 0,003
C 0,0004
El error relativo cometido al redondear
A 0,004
2 hasta centésimas es:
2 − 141
,
B
D nada de lo anterior
C menor de 2 milésimas
D nada de lo anterior
C
D nada de lo anterior
2
3
La diagonal de un cuadrado de lado
A 2
2 mide:
2
B
4
La altura de un triángulo equilátero de lado
A
3
6
5
El número
A
mide:
C
6
D nada de lo anterior
3
– 3 1,08 es igual a:
13
5
5
B 0,3419952
6
C
3 148
,
C
12
C
44 x3y
5( x + 5)
+
y
x − 25
D nada de lo anterior
6
La expresión
A
6
4ab2 · a3b2
3
a2b3
4a 4 b
es igual a:
B 2 3 ab
7
4x
Al racionalizar la expresión
4
A
4 4 x3y
5 x +5
+
y
x −5
8
xy 3
+
5
b5
D nada de lo anterior
queda:
x –5
4
B
24a 6
4x x 3 5( x + 5)
+
y
x −5
D nada de lo anterior
1
El número
A –1
52 – 1
1
52
es igual a:
+1
B
2
6
32
3
3
3
B
3 2,56
2
2 2
C
3− 5
2
D nada de lo anterior
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Página 33
Si un número x verifica que –2 ≤ x + 2 ≤ 1 entonces:
A x ∈ [–2, 3]
B x ∈ [– 4, –1]
10
La solución de la inecuación
A ]– ∞, 0[
C x ∈ ]– 4, 3[
D nada de lo anterior
2x + 1 x – 1 9x + 8
es:
–
≤
3
5
15
B [0, + ∞[
C
no tiene solución
D nada de lo anterior
MISCELÁNEA MATEMÁTICA
Los secretos pitagóricos
Los Pitagóricos habían considerado como núcleo dogmático de su Filosofía que «los números son la esencia del universo», sin embargo su propio Teorema atenta contra los fundamentos de su doctrina pues el cuadrado, que es una de las figuras geométricas más simples, proporciona una
terrible realidad: su diagonal no es conmensurable con el lado. Lo mismo
sucede entre la diagonal y el lado del pentágono. Así pues los números
(ellos llamaban números solamente a los enteros positivos) no podían
medirlo todo. La Geometría no medía siempre con exactitud. Apareció la
magnitud inconmensurable, lo irracional –no expresable mediante razones–, «el alogon», y provocó una crisis sin precedentes en la Historia de la
Matemática. Con el descubrimiento de los inconmensurables quedaban
afectadas y debían ser reconstruidas todas las pruebas pitagóricas de los
teoremas en los que haya que comparar razones de magnitudes geométricas. Se explica, pues, el consiguiente secretismo de los pitagóricos sobre
la cuestión irracional y la leyenda del castigo por su divulgación. La conmoción que el nuevo ente provocó en la Matemática griega queda reflejada en
el siguiente escrito de Jámblico (Vida Pitagórica. XXXIV, 246-247, p. 141).
«Se dice que el primero que reveló la naturaleza de la conmensurabilidad
e inconmensurabilidad a los indignos de participar de tales conocimientos
fue aborrecido [por la comunidad pitagórica] hasta el punto de que no sólo
lo expulsaron de la vida y de la vivienda en común, sino que incluso le erigieron una tumba como si él, que había sido una vez compañero, hubiese
abandonado la vida entre los hombres. [...] Otros afirman que la divinidad
se enojó contra quien divulgó la doctrina de Pitágoras, pereciendo como
un impío en el mar por sacrílego al haber revelado la doctrina de los números irracionales y la inconmensurabilidad.»
Pitágoras. Detalle de la Academia de
Atenas de Rafael.
Tema 1. Los números reales
33