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Continuidad
Definición de Continuidad
Teorema de los valores intermedios
Reglas para funciones continuas
Algunas Funciones Continuas
Ejemplos
Definición de Continuidad
El camino más sencillo para definir una función continua es decir que
una función es continua si se puede dibujar sin levantar el lápiz del
papel.
Función Continua
Función Discontinua
Una característica de las funciones continua es que tienen límite y
que el valor del límite es el valor de la función. Esta es la
“verdadera” definición de continuidad.
Funciones/Continuidad.
Funciones Continuas

lim f x
Definición Una función f es continua en x = x0 si el límite x x0
existe y se verifica lim f x  f x .
0
x x0
  
Una función f es continua por la izquierda en x = x0 si
existe y se verifica lim f x  f x .
0
x x0 
  
Una función f es continua por la derecha en x = x0
existe y se verifica lim f x  f x .
0
x x0 
  
si

lim f x
x x0 

lim f x
x x0 
Una función f es continua en un intervalo abierto si es continua
en cada punto del intervalo.
Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es
continua en el intervalo abierto (a,b), es continua por la izquierda en
b y continua por la derecha en a.
Una función que no es continua (en un punto o en un intervalo del
dominio de definición de la función) se dice que es discontinua.
Funciones/Continuidad.
Teorema de los Valores Intermedios
Si f es continua en un intervalo entonces toma cualquier valor entre
dos valores que tome la función. Ésta es la propiedad más importante
de las funciones continuas, que se conoce como el teorema de los
valores intermedios y que discutiremos posteriormente .
f
g
a
c
d
b
La función f es continua,
f(a) < 0 y f(b) > 0. Entonces
la ecuación f(x) = 0 tiene
solución entre a y b.
La función g no es continua
siempre. La ecuación
g(x) = 0 no tiene soluciones
aunque g toma valores positivos y
negativos.
Funciones/Continuidad.
Ejemplos de Funciones Continuas
1
2
3
f(x) = x3 – x es continua siempre.
Es continua si x ≠ 0, y discontinua en el
punto x = 0.
h(x) = sen(x)/x está definida y es continua para x ≠ 0.
Definiendo h(0) = 1 se extiende la función h a una
función continua en todo punto x.
Funciones/Continuidad.
Reglas de Funciones Continuas
Supongamos que las funciones f y g son continuas en x = x0.
Sea c  
Teorema
Las siguientes funciones son continuas en x = x0.
1
f(x) + g(x)
2
cf(x)
3
f(x) g(x)
4
f(x)/g(x) suponiendo que g(x0) ≠ 0
Demostración
El resultado es consecuencia inmediata de las
propiedades de los límites
Usaremos, sin demostrar el siguiente resultado
Teorema
Si f es continua en x = a, y g es continua en f(a),
entonces la función compuesta g ◦ f es continua en x = a.
Funciones/Continuidad.
Algunas Funciones Continuas
Como la función f(x) = x es continua, las reglas de las Funciones
Continuas implican que:
1. Los polinomios son funciones continuas.
2. Las funciones racionales, es decir los cocientes R = P/Q de
dos polinomios P y Q son continuas en los puntos x0 para los
cuales Q(x0) ≠ 0.
Se puede demostrar además que:
1. Las funciones xr, r   , son continuas donde están definidas.
2. Las funciones f(x) = ax, a > 0, son continuas. En particular la
Función Exponencial ex es continua.
3. Las funciones trigonométricas son continuas donde están
definidas.
4. Las funciones trigonométricas inversas son continuas donde
están definidas.
5. El logaritmo es continua donde está definida.
Funciones/Continuidad.
Ejemplos
1
¿Donde es continua la función tan x ?
Solución
Por las observaciones anteriores, tan x es
continua donde esté definida.
La función tan x = sen(x)/cos(x) está definida
en los puntos x para los que cos x ≠ 0.
Concluimos que la función tan x es continua para los puntos
x ≠ π/2 + nπ, siendo n un número entero . Observemos que para
los puntos x = π/2 + nπ, la función tan x no está definida.
Funciones/Continuidad.
Ejemplos
2
¿En que puntos es continua la función f(x) =  x +  –x ?
Nota: x  = mayor entero ≤ x.
Solución
Observemos que si n – 1 < x < n para algún entero n, entonces
 x  = n – 1 y  –x  =−n. Por tanto , si x no es un número entero
se tiene que f(x) = −1.
El límite de la función f es −1 siempre.
Por otro lado, si x es un número entero, entonces x = x, y –x = −x.
Por tanto , si x no un número entero se tiene que f(x) = 0.
Entonces f es continua en los puntos que no sean números enteros
y discontinua en los números enteros.
Funciones/Continuidad.
Ejemplos
3
¿Donde es continua la función
?
Solución
Observemos que el numerador está
definido y es continuo para x > 0.
El denominador ln x – 1 también
está definido para todo x, x > 0.
El denominador se hace 0 si x = e.
En este punto la función no está
definida y por supuesto no es
continua.
Respuesta
e
Gráfica de la función g.
La recta vertical de
color azul x = e es una
asíntota de g.
La función g es continua en los puntos x tal que x > 0, x ≠ e.
Funciones/Continuidad.
Ejemplos
4
Estudiar la continuidad de la función
Solución
1
Como x2 y la función Seno son ambas continuas, la
función compuesta sen( x2 ) es continua.
2
Como 1 + sen(x2) ≥ 0 para todo x,
definida y es continua para todo x.
3
está
El numerador
está definido y es continua
para todo x. El denominador x2 es una función continua,
y toma el valor 0 para x = 0.
Respuesta
La función f está definida y es continua para x ≠ 0.
Funciones/Continuidad.
Ejemplos
La función
5
está definida si x ≠ 0.
¿ Es posible definir f(0) para que la función f sea continua
en x = 0?
Solución
Necesitamos hallar el límite de la función f en x = 0.
Como
1  sin x  1
2

 
x  1  sin x 2  1


2

 
1
 
2
1  sin x  1

sin x 2
x 

2
2
Multiplicamos y
dividimos por el
conjugado del
numerador para
evitar el
problema de la
raíz cuadrada
x0
lim
  1
sin t
t
Entonces definiendo f(0) = ½ la función f es continua en x = 0.
t 0
Funciones/Continuidad.
Ejemplos
5
La función
está definida si x ≠ 0.
¿ Es posible definir f(0) para que la función f sea continua
en x = 0?
Solución
Concluimos que si f(0) = ½, la función
x = 0.
f es continua en
Problemas de este tipo se resuelven,
normalmente, hallando el límite (si
existe) de la función en el punto en el que
no está definida.
Gráfica de la función f.
Funciones/Continuidad.
Resumen
f continua,
f(x) = 0 tiene
solución.
g no es continua,
g(x) = 0 no tiene
soluciones.
g(x) =  x  – cos(x)
f(x) = x – cos(x)
A veces es necesario ver si la ecuación f(x) = 0 tiene solución o no.
Una estrategia es:
Si 1) f es continua en un intervalo, y 2) f toma valores positivos
y negativos en el intervalo, entonces la ecuación f(x) = 0 tiene
solución.
Ejemplo
La función f(x) = x – cos(x) es continua y toma valores positivos y
negativos . Por tanto f(x) = 0 tiene solución.
Funciones/Continuidad.