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UNIVERSIDAD
LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER N°
NOMBRE DE LA ASIGNATURA:
TÍTULO:
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
Calculo Diferencial
Limites
CALCULO, Conceptos y Contextos. James Stewart,
Ed. Thomson.
CALCULO, con Geometría Analítica (Calculo
1). Larson, R. , Hosteller, R. y Edwards, B. .
Editorial McGraw Hill. Octava Edicion.
Docente: Lic. Jairo Alberto Mora Fernández
1.
OBJETIVO
Facilitar al estudiante la comprensión del concepto de limite y su aplicación en
la construcción de nuevos conceptos matemáticos.
2.
CONCEPTUALIZACION Y EJEMPLOS.
El concepto de LIMITE de una función es fundamental en calculo,
particularmente en la construcción del concepto de DERIVADA de una función.
Pero mas allá de este hecho particular, este concepto se aplica al análisis de
funciones en cuanto al comportamiento de la relación de dependencia entre los
valores de x y los correspondientes de f(x). Para una función y = f(x) en
particular, y asumiendo que f(x) es continua en x = a (f(x) es continua en x = a
significa que la función no esta cortada o interrumpida en x = a), se puede
verificar, evaluando la función, que si x = a entonces f(x) = f(a). Pero, será
cierto que si se toman valores de x que se aproximan al valor a, los
correspondientes valores de f(x) se aproximaran a f(a) ? Si esto es cierto,
podemos afirmar que el limite de f(x) es f(a), cuando x toma valores
suficientemente próximos al valor a. Esta idea puede ser simbolizada como
f(x) → f(a)
o como
x→ a
lim f(x) = f(a)
x→a
Ilustremos esta idea con un ejemplo:
EJEMPLO 1. Consideremos la función cuadrática básica f(x) = x2 y
analicemos el concepto en las proximidades del valor x = 2. Si evaluamos a
f(x) cuando x = 2, obtendremos que f(2) = 22 = 4. Pero será que si tomamos
valores de x que se aproximan a 2, los valores de f(x) se aproximarán a f(2) =
4 ?. Tomemos unos cuantos valores de x que se aproximen a 2 y veamos
como se comporta f(x). Separadamente tomemos valores de x que se
aproximen a 2 por valores menores que 2 (por la izquierda de 2, o por 2 - ), y
por valores mayores que 2 ( por la derecha de 2, o por 2+). Se pide al
estudiante que elabore la grafica, sobre el mismo plano cartesiano, de las dos
tablas de valores siguientes:
Tabla No. 1
Tabla No. 2
Tomando valores menores que 2:
Tomando valores mayores que 2:
x
f(x) = x2
x
f(x) = x
0
1
1.5
1.9
1.95
1.99
1.995
1.999
1.9995
1.9999
.
.
2.0
0
1
2.25
3.61
3.8025
3.9601
3.980025
3.996001
3.99800025
3.99960001
.
.
4.0
4
3
2.5
2.1
2.05
2.01
2.005
2.001
2.0005
2.0001
.
.
2.0
16
9
6.25
4.41
4.2025
4.0401
4.020025
4.004001
4.00200025
4.00040001
.
.
4.0
Obsérvese en la Tabla No.1 que cuando x toma valores que se
aproximan mucho a 2 por la izquierda, o por valores menores que 2, el
valor de f(x) se aproxima a 4. Este comportamiento de la función se
representa simbólicamente como
lim x2 = 4
x → 2-
En esta expresión, la indicación x → 2- significa que x se aproxima a 2
por la izquierda de 2, o por valores menores que 2. Igualmente, en la
Tabla No. 2 se observa que cuando x toma valores que se aproximan a
2 por valores mayores que 2, esto es, por la derecha, los valores de f(x)
se aproximan a 4. Este hecho se simboliza como
lim x2 = 4
x → 2+
Igual aquí, la expresión
x → 2+ significa que x tiende a 2 por la
derecha, o por valores mayores que 2.
Dado que, según lo observado en el ejemplo,
lim x2 = 4
y
x → 2-
lim x2 = 4
x → 2+
podemos concluir que, en efecto,
lim x2 = 4
x→2
______________________________________
En algunos casos muy particulares, el valor f(a), la evaluación de la función en
x = a , puede no ser el valor hacia donde tiende f(x) cuando x tiende al valor
a. Por esta razón, una definición formal del concepto de limite es la siguiente:
“Se afirma que el limite de f(x), cuando x tiende al valor a, es igual a L,
denotado
lim f(x) = L
x→a
si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L, tomando x lo
bastante cercano al valor a, pero no igual a a.”.
El Ejemplo 1 anterior ilustra claramente que la existencia del limite de f(x) en
x = a depende de que existan los limites de f(x) por la izquierda y por la
derecha de a, y que estos limites sean iguales a un valor L. Una definición de
estos limites laterales, similar a la definición de limite, es la siguiente:
“El limite de f(x) cuando x se acerca al valor a desde la izquierda, es
igual a L, denotado
lim f(x) = L
x → a-
si podemos aproximar los valores de f(x) a L tanto como queramos,
escogiendo valores de x lo bastante cercanos de a pero menores que a”
Una definición del limite por la derecha, lim f(x) = L, puede hacerse en los
x → a+
mismos términos anteriores, y se deja al lector para que la redacte.
Dado que, como ya se comento, la existencia del limite de la función en valores
próximos a a depende de la existencia e igualdad de los limites laterales, la
siguiente afirmación es muy importante:
lim f(x) = L
x→a
si y solo si
x → a-
lim f(x) = L
y
x →a+
lim f(x) = L
ÁLGEBRA DE LIMITES
Para calcular el limite de una función determinada f(x) cuando x tiende a un
valor a, podríamos utilizar el método ilustrado en el Ejemplo 1, pero resulta
mejor utilizar las propiedades y reglas de los limites, que se plantean a
continuación.
Para las funciones básicas función constante f(x) = c (c un número real),
función idéntica f(x) = x, función potencia f(x) = xn con n un entero positivo, y
función raíz f(x)=n√x, las reglas de los limites se plantean como siguen:
1.
Limite de la función constante:
lim c = c
x→a
2.
Limite de la función idéntica:
lim x = a
x→a
3.
Limite de la función potencia:
lim xn = an
x→a
4.
lim n√x = n√a
Limite de la función raíz:
x→a
Como se ve, estos limites operan como un reemplazo directo de x por a en
cada caso.
Si consideramos ahora funciones cualesquiera f(x) y g(x), g(x) ≠ 0, tales que
los limites lim f(x) y lim g(x) existen, las leyes de limites relacionadas con
x→a
x→a
las operaciones suma, resta, múltiplo constante, producto, cociente, potencia y
raíz de estas funciones son, respectivamente:
5.
Limite de suma de funciones: lim [ f(x) + g(x) ] = lim f(x) + lim g(x)
x→a
6.
x→a
Limite de resta de funciones: lim [ f(x) - g(x) ] = lim f(x) - lim g(x)
x→a
7.
x→a
x→a
Limite del producto de funciones: lim[ f(x) * g(x) ] = lim f(x) * lim g(x)
x→a
9.
g(x)
x→a
x→a
n
x→a
Limite de potencia de funciones: lim [ f(x) ] = [ lim f(x)]n
x→a
11.
x→a
Limite del cociente de funciones: lim[ f(x) / g(x) ] = lim f(x) / lim
x→a
10.
x→a
Limite de múltiplo constante: lim c*f(x) = c*lim f(x)
x→a
8.
x→a
x→a
n
n
Limite de raíz de funciones: lim √f(x) = √lim f(x)
x→a
x→a
Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de estas reglas.
EJEMPLO 2: Evalué los siguientes limites. Justifique cada paso de su
proceso.
1.
lim (3x2-2x+5)
x→4
2.
lim ((2x3+3x2-2)/(4-x))
x → -3
3.
lim ((x2-4)/(x-2))
x →2
SOLUCION. La evaluación de estos límites se aborda aplicando el álgebra de
limites.
1.
lim (3x2-2x+5) = lim 3x2 - lim 2x + lim 5
x→4
=
x→4
2.
x→4
(Reglas 5 y 6)
x→4
3 lim x2 - 2 lim x + lim 5
x→4
=
=
x→4
(Regla 7)
x→4
3*42 - 2*4 + 5
45
(Reglas 1, 2 y 3)
lim ((2x3+3x2-2)/(4-x)) = lim (2x3 + 3x2 - 2) / lim (4 – x) (Reglas 9)
x → -3
=
x → -3
(lim 2x3 + lim 3x2 - lim 2) / (lim 4 - lim x) (Reglas 5 y 6)
x → -3
=
x → -3
3.
x → -3
x → -3
x → -3
(2 lim x3 + 3 lim x2 - lim 2) / (lim 4 - lim x)
x → -3
=
=
=
x → -3
x → -3
x → -3
x → -3
(2*(-3)3 + 3*(-3)2 - 2) / (4 -(-3))
(-54 +27 – 2) / 7
-29 / 7
(Reglas 1, 2 y 3)
lim ((x2-4)/(x-2)) = lim (x2 – 4) / lim (x – 2)
x →2
=
x →2
(22 – 4) / (2 – 2)
0 / 0
x →2
(Regla 9)
x →2
(lim x2 - lim 4) / ( lim x - lim 2)
x →2
=
=
x →2
(Reglas 7)
x → -3
(Reglas 5 y 6)
x →2
(Reglas 1, 2 y 3)
Obsérvese que el resultado de este limite,
0 / 0, es un valor indefinido,
además que su denominador es 0 lo cual es imposible. Esto no significa que el
limite no exista. De hecho, es posible revisar si la expresión en cuestión se
puede transformar algebraicamente, de tal forma que pueda eliminarse el limite
0 en el denominador. En este ejemplo es posible hacerlo. Veamos:
La expresión del numerador, (x2 – 4), se puede factorizar como (x – 2)(x + 2).
Así, el factor (x – 2) puede ser simplificado con el denominador (x – 2). Por lo
tanto,
lim ((x2-4)/(x-2)) = lim ((x – 2)(x + 2) / (x – 2)) = lim (x + 2)
x →2
x →2
x →2
= lim x + lim 2 = 2 + 2 = 4
x →2
x →2
_________________________________
Observe en el desarrollo de los numerales 1. y 2. del Ejemplo 2 que la
aplicación sucesiva y ordenada de las reglas de limites conducen básicamente
a la evaluación de la función f(x) en el valor a. Este hecho es la aplicación de
una regla adicional que prácticamente globaliza las anteriores reglas:
Regla 12.
Si f(x) es un polinomio o una función racional, y a esta en el
dominio de f(x), entonces
lim f(x) = f(a)
x→a
En resumen, para calcular el limite de una función f(x) cuando x tiende al valor
a, se sigue la siguiente rutina:
1.
Aplique en primera instancia las reglas del álgebra de limites.
2.
Si eventualmente la aplicación del álgebra de limites conduce a una
forma indeterminada, generalmente del tipo a/0, o 0/0, intente buscar alguna
transformación algebraica, generalmente aplicando técnicas de factorización o
de racionalización, que permita una simplificación y, posiblemente, la
eliminación de la expresión del denominador que conduce al valor 0 en él.
Logrado esto, vuelva a aplicar el álgebra de limites a la expresión resultante.
3.
Si no es posible encontrar una transformación algebraica que permita
eliminar el valor 0 en el denominador al aplicar el limite en el valor a dado (el
hecho de no encontrar tal transformación algebraica no significa que no exista),
aplique la estrategia ilustrada en el Ejemplo 1, dando valores a la izquierda y a
la derecha del valor a dado, y observando el comportamiento de la función en
las proximidades de a para obtener una conclusión al respecto.
EJEMPLO 3. Obtenga el limite de las siguientes funciones:
1.
lim ((5 + t)2 - 25) / t
t→0
2.
lim (√(x2 + 16) – 4) / x2
x→0
3.
lim (sen x) / x
x→0
4.
lim (cos x – 1) / x
x→0
SOLUCION
1.
lim ((5 + t)2 - 25) / t
t→0
Al evaluar el denominador en t = 0, se obtiene 0 en el denominador, lo que
conduce a una indeterminación del tipo a / 0. Entonces intentamos una
simplificación, desarrollando el cuadrado del numerador:
((5 + t)2 - 25) / t = (25 + 50 t + t2 – 25) / t = (50 t + t2) / t = t ( 50 + t) / t = 50 + t
Por lo tanto, lim ((5 + t)2 - 25) / t = lim (50 + t) = 50
t→0
t→0
Observe que en el ultimo paso del desarrollo anterior se aplico la Regla 12.
2.
lim (√(x2 + 16) – 4) / x2
x→0
Igual aquí, al evaluar el denominador en x = 0, se obtiene 0 en el denominador,
lo que conduce a una indeterminación del tipo a / 0 (si se evalúa toda la
expresión en x = 0, se obtiene la indeterminación 0 / 0). Entonces intentamos
una simplificación, aplicando en este caso un proceso de racionalización en el
numerador:
((√(x2 + 16) – 4) / x2) = ((√(x2 + 16) – 4) / x2 ) * ((√(x2 + 16) + 4) / (√(x2 + 16) + 4))
=
((√(x2 + 16) – 4) * (√(x2 + 16) + 4)) / ( x2 (√(x2 + 16) + 4)) =
( x2 + 16 - 16 ) / ( x2 (√(x2 + 16) + 4)) = x2 / (x2 (√(x2 + 16) + 4)) =
1 / (√(x2 + 16) + 4). Asi,
lim (√(x2 + 16) – 4) / x2) = lim (1 / (√(x2 + 16) + 4)) = 1 / (4 + 4) = 1 / 8
x→0
3.
x→0
lim (sen x) / x
x→0
Observe que al aplicar las reglas de limites y al evaluar la función en x = 0, se
obtiene una indeterminación del tipo 0 / 0. Tampoco al intentar una
transformación algebraica de la función se obtiene una forma de eliminar el
valor 0 resultante en el denominador. Por tanto, aplicamos la evaluación de la
función en las proximidades de 0, por ambos lados:
Tabla No. 3
Tabla No. 4
Tomando valores menores que 0:
Tomando valores mayores que 0:
x
f(x) =(sen x) / x
x
f(x) = (sen x) / x
-1.0
-0.5
-0.1
-0.05
-0.01
-0.005
-0.001
-0.0005
-0.0001
.
.
.
0.84147098
0.95885107
0.99833416
0.99958338
0.99998333
0.99999583
0.99999983
0.99999995
0.99999999
.
.
.
1.0
0.5
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
0.0005
0.0001
.
.
.
0.84147098
0.95885107
0.99833416
0.99958338
0.99998333
0.99999583
0.99999983
0.99999995
0.99999999
.
.
.
0.0
1.0
0.0
1.0
La tendencia de los valores de f(x) obtenidos señala que
lim (sen x) / x = 1.0
x→0
4)
lim (cos x – 1) / x
x→0
Observe que, al igual que en el ejemplo anterior, al aplicar las reglas de limites
y al evaluar la función en x = 0, se obtiene una indeterminación del tipo 0 / 0.
Sin embargo aquí se puede intentar una transformación algebraica por
racionalización. Veamos:
(cos x – 1) / x = ((cos x – 1) / x) * ((cos x + 1) / (cos x + 1)) =
((cos2 x – 1) / ( x (cos x + 1)) = ( - sen2x) / ( x (cos x + 1)) =
( - (senx) / x ) * (sen x) / (cos x + 1). Al aplicar el limite tenemos
lim ((cos x – 1) / x ) = lim ( - (senx) / x ) * (sen x) / (cos x + 1).) =
x→0
x→0
- lim ( (senx) / x ) *
x→0
lim ((sen x) / (cos x + 1).) =
x→0
- 1 * (0 / (1 + 1)) = 0
LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO
Al explorar el comportamiento de algunas funciones racionales, o que
contienen denominadores, se encuentra la circunstancia de que la función no
existe en los valores de x donde el denominador se hace 0, y en las
proximidades donde esto ocurre, la función podría tomar valores que tienden a
infinito ∞ (valores infinitamente grandes), o a menos infinito - ∞ (valores
infinitamente grandes, pero negativos). Funciones como f(x) = 1 / x , o
g(x) =1 / x2 exhiben estos comportamientos. Veamos:
Para la función f(x) = 1 / x,
la grafica muestra que cuando x toma valores que se aproximan a 0 por la
izquierda, f(x) toma valores que tienden a - ∞, y cuando x toma valores que se
aproximan a 0 por la derecha, f(x) toma valores que tienden a
∞. Este
comportamiento de f(x) puede presentarse como
Lim f(x) = - ∞
y
Lim f(x) = ∞
x→0-
x→0+
Para la función g(x) = 1 / x2, la grafica muestra que cuando x toma valores que
se aproximan a 0 por la izquierda o por la derecha, g(x) toma valores que
tienden a ∞. Este comportamiento de g(x) puede presentarse como
Lim g(x) = ∞
x→0-
y
x→0+
Lim g(x) = ∞
El símbolo ∞ llamado infinito denota un numero infinitamente grande, pero de
hecho no es una cantidad, por lo que los limites indicados para estas funciones
no existen.
El concepto ilustrado en este ejemplo se conoce como limite infinito ya que
señala que la función f(x) tiende a tomar un valor infinito ∞ ( o menos infinito ∞) cuando x se aproxima suficientemente a un valor a determinado. Una
definición formal de este concepto es la siguiente:
Sea f(x) una función definida a ambos lados de a, excepto talvez en el
mismo valor a. Entonces,
Lim f(x) = ∞
x→a
significa que los valores de f(x) se pueden hacer infinitamente grandes,
tanto como queramos, eligiendo valores de x suficientemente próximos
pero no iguales al valor a.
La definición anterior denota que x puede tomar valores muy próximos pero no
iguales al valor a, debido a que f(x) no esta definida en x = a, esto es, f(a) no
existe. Este comportamiento de f(x) tendiendo a ∞ o a -∞ cuando x tiende a a
muestra que la recta vertical x = a es una asíntota vertical de f(x):
La recta x = a se llama asíntota vertical de la curva y = f(x) si se cumple
al menos una de las siguientes proposiciones:
Lim f(x) = ∞
Lim f(x) = ∞
Lim f(x) = ∞
x→a
x→a-
x→a+
Lim f(x) = - ∞
Lim f(x) = - ∞
Lim f(x) = - ∞
x→a
x→a-
x→a+
EJEMPLO 4. Para ilustrar los conceptos anteriores, veamos la grafica, la(s)
asíntota(s) vertical(es) y el limite de las siguientes funciones cuando x tiende a
las asíntotas.
1.
f(x) = 4 / (3-x)
Según la definición de la función, para el valor x = 3, la función no existe, por lo
que la recta vertical x = 3 es una asíntota vertical de la función. Como lo
muestra la grafica, los limites de la función cuando x tiende a 3 son:
2.
Lim f(x) = ∞
Lim f(x) = - ∞
x→3-
x→3+
g(x) = ln x
Según la definición de la función, su dominio son los reales positivos, por lo que
para valores de x menores o iguales a 0 g(x) no esta definida, y la recta vertical
x = 0 es una asíntota vertical de la función como lo muestra la grafica. El limite
de la función cuando x tiende a 0 por la derecha es:
Lim g(x) = - ∞
x→0+
3.
h(x) = x / (x2 – 1)
La definición de la función muestra que esta no esta definida en x = -1 y x = 1,
por lo que en estos valores hay asintotas verticales. Los limites laterales en
estos valores son:
Lim h(x) = - ∞
Lim h(x) = ∞
x→ -1-
x -1+
Lim h(x) = - ∞
Lim h(x) = ∞
x→1-
x→1+
________________________________________
A diferencia de lo anterior, si nuestro interés es analizar el comportamiento de
una función f(x) cuando x tiende hacia un valor infinitamente grande, positivo (∞ ) o negativo (- ∞ ), estamos haciendo referencia en este caso a limites al
infinito o a limites en el infinito.
Retomemos las funciones f(x) = 1 / x ,
comportamiento en el caso descrito:
y g(x) =1 / x2 y revisemos su
Para la función f(x) = 1 / x,
la grafica muestra que cuando x toma valores que se aproximan a - ∞ por la
izquierda, f(x) toma valores que tienden a 0, y cuando x toma valores que se
aproximan a ∞
por la derecha, f(x) toma valores que tienden también a 0.
Este comportamiento de f(x) puede presentarse como
Lim f(x) = 0
y
x→- ∞
Lim f(x) = 0
x→ ∞
Para la función g(x) = 1 / x2, la grafica muestra que cuando x toma valores que
se aproximan a - ∞ por la izquierda o a ∞ por la derecha, g(x) toma valores
que tienden a 0. Este comportamiento de g(x) puede presentarse como
Lim g(x) = 0
x→ - ∞
y
Lim g(x) = 0
x→ ∞
Una definición formal de este concepto de limites al infinito o limites en el
infinito es la siguiente:
Sea f(x) una función definida en el intervalo (a,∞) (o en el intervalo (-∞,a)).
Entonces,
lim f(x) = L ( o lim f(x) = L )
x→∞
x→ -∞
significa que los valores de f(x) se pueden aproximar a L tanto como
queramos, eligiendo valores de x suficientemente grandes por valores
positivos (∞) (o por valores negativos (-∞)).
La definición anterior denota que cuando x toma valores muy grandes por
valores positivos (∞) (o por valores negativos (-∞)), la función toma valores que
son muy próximos al valor L, pero no pueden ser iguales a L. Este
comportamiento de f(x) tendiendo a L cuando x tiende a ∞ (o a -∞) muestra
que la recta horizontal y = L es una asíntota horizontal de f(x):
La recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva
cumple al menos una de las siguientes proposiciones:
lim f(x) = L
o
x→∞
y = f(x) si se
lim f(x) = L
x→ -∞
Los dos ejemplos ilustrativos iniciales de este concepto, las funciones f(x) =
1 / x , y g(x) =1 / x2, son una generalización de la siguiente regla:
Regla 13:
Si n es un entero positivo, entonces
Lim 1/xn = 0
x→∞
o
lim 1/xn = 0
x→ -∞
Para ilustrar los conceptos anteriores, revise los siguientes ejemplos en los que
se puede observar la grafica de la función, , la(s) asíntota(s) horizontales, y el
limite de las funciones cuando x tiende a la(s) asíntota(s), y se ilustra un
método de transformación algebraica que evita las operaciones con valores ∞
(al aplicar el álgebra de limites a expresiones en las que x→ ∞, como en la
expresión del EJEMPLO 5. 1. siguiente, y en general todas las expresiones de
este ejemplo, al reemplazar x por ∞ se tendría la operación (3 ∞2 – ∞ – 2)/( 5
∞2 + 4 ∞ + 1) que daría como resultado ∞ / ∞, lo cual es claramente una
indeterminación).
EJEMPLO 5
1.
Evalúe lim (3x2 – x – 2) / ( 5x2 + 4x + 1)
x→∞
2.
Calcule lim (√(x2 + 1) – x)
x→∞
3.
lim 4 / (3-x)
x→∞
4.
lim 1 / x2
x→∞
5.
lim x / (x2 – 1)
x→∞
SOLUCION
1.
Evalúe lim (3x2 – x – 2) / ( 5x2 + 4x + 1)
x→∞
La grafica de la función muestra a la recta y = 3/5 = 0.6 como una asíntota
horizontal.
Para verificar que, en efecto, la recta y = 3/5 = 0.6 es una asíntota horizontal
debemos evaluar el limite pedido. Al aplicar el álgebra de limites, ocurre lo
comentado en la nota anterior: al reemplazar x por ∞ se tendría la operación
(3 ∞2 – ∞ – 2) / ( 5 ∞2 + 4 ∞ + 1)
que daría como resultado ∞ / ∞, lo cual es claramente una
indeterminación. Para evitar esta situación, se usa la siguiente estrategia, la
cual es utilizable en expresiones de tipo racional P(x) / Q(x): divida el
numerador y el denominador entre la mayor potencia de x que haya en el
denominador, transforme y simplifique algebraicamente. Para este caso,
dividimos el numerador y el denominador entre x2, la mayor potencia de x en el
denominador, transformamos, simplificamos y aplicamos de nuevo el álgebra
de limites.
lim (3x2 – x – 2) / ( 5x2 + 4x + 1) = lim ((3x2 – x – 2)/ x2 ) / (( 5x2 + 4x + 1)/ x2)
x→∞
x→∞
= lim (3x2 / x2 – x / x2 – 2/ x2) / ( 5x2 / x2+ 4x / x2 + 1 / x2)
x→∞
= lim (3 – 1 / x – 2 / x2) / ( 5 + 4 / x + 1 / x2)
x→∞
= (lim 3 – lim 1 / x – 2 lim 1/ x2) / (lim 5 + 4 lim1 / x + lim 1 / x2)
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
= (3 – 0 – 2*0) / (5 + 4*0 + 0) = 3 / 5 = 0.6
Como puede verse, acá se hizo uso de la Regla 13:
Si n es un entero positivo, entonces
Lim 1/xn = 0
x→∞
2.
o
lim 1/xn = 0
x→ -∞
Calcule lim (√(x2 + 1) – x)
x→∞
La grafica de la función nos permite ver que la recta y = 0 es una asíntota
horizontal, lo que sugiere que
lim (√(x2 + 1) – x) = 0
x→∞
Al aplicar el álgebra de limites, y al reemplazar x por ∞, se tiene, como en el
caso anterior, operaciones con ∞, lo cual es indeterminado. Como la expresión
algebraica de la función no es racional (cociente de dos expresiones), no puede
aplicarse al estrategia del ejercicio anterior. Sin embargo la expresión puede
convertirse en racional aplicando un proceso de racionalización. Veamos:
lim (√(x2 + 1) – x) = lim (√(x2 + 1) – x) * (√(x2 + 1) + x) / (√(x2 + 1) + x)
x→∞
x→∞
= lim (x2 + 1 – x2) / (√(x2 + 1) + x) = lim 1 / (√(x2 + 1) + x)
x→∞
x→∞
= lim (1 / x2 ) / (√(x2 + 1) + x) / x2 )
x→∞
= lim (1 / x2) / (√(x2 / x2 + 1 / x2) + x / x2) = lim (1 / x2) / (√( 1 + 1 / x2) + 1 / x)
x→∞
x→∞
= lim (1 / x2) / (√(lim 1 + lim 1 / x2) + lim 1 / x) = 0 / (√( 1 + 0) + 0) = 0
x→∞
3.
x→∞
x→∞
x→∞
Determine lim 4 / (3-x)
x→∞
La grafica nos sugiere una asíntota horizontal en y = 0 cuando x→∞ o x→ ∞, por lo que el limite a calcular determina tal asíntota. Veamos:
Como se trata de una expresión racional, aplicamos la estrategia ilustrada en
los ejemplos anteriores, dividiendo numerador y denominador por x:
lim 4 / (3-x) = lim ( 4 / x ) / ((3-x) / x ) = lim ( 4 / x ) / ((3 / x –x / x ))
x→∞
x→∞
x→∞
= lim ( 4 / x ) / (3 / x – 1 ) = lim 4 / x / ( lim 3 / x – lim 1 )
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
= 4 lim 1 / x / ( 3 lim 1 / x – lim 1 ) = 4*0 / ( 3*0 – 1 ) = 0 / (-1) = 0
x→∞
x→∞
x→∞
Un procedimiento similar nos permite demostrar que
confirmando
lim 4 / (3-x) = 0,
x→ - ∞
lo que la grafica sugiere.
4.
lim 1 / x2
x→∞
Para la función 1 / x2, su grafica muestra a la recta y = 0 como asíntota
horizontal, lo cual es demostrable aplicando directamente la Regla 13:
Si n es un entero positivo, entonces
lim 1/xn = 0
o
x→∞
lim 1/xn = 0
x→ -∞
Por lo tanto, lim 1 / x2 = 0. Igualmente, lim 1 / x2 = 0
x→∞
5.
Hallar lim x / (x2 – 1)
x→ - ∞
x→∞
La grafica de esta función muestra a la recta y = 0 como asíntota horizontal.
El calculo del limite pedido se hace aplicando la estrategia ilustrada:
lim x / (x2 – 1) = lim ( x / x2 ) / ((x2 / x2 ) – 1 / x2 ) = lim ( 1/ x ) / ( 1 – 1 / x2 )
x→∞
x→∞
x→∞
= lim ( 1 / x ) / ( lim 1 – lim 1 / x2 ) = 0 / ( 1 – 0 ) = 0
x→∞
3.
x→∞
x→∞
EJERCICIOS
A. Evaluar los siguientes Límites
:
1.
x− 3
lim
5 x − 45
x→ 9
 3 x − x − 10 
;
2
+ 5 x − 14 
2.
lim  x
3.
lim  1 −
x→ 2

x→ 1
;
1 
;
x − 1
4.
lim
3
h→ 0
x+ h −
h
3
x
5.
Enuncie la diferencia entre: Límites infinitos, Límites al infinito y
Límites Laterales.
6.
2
Dada la siguiente función: f(x)= x − 2 x − 8 , determine el valor de
los limites laterales a
a)
7.
b)
x→ 2+
Dado que
a)
8,
lim f ( x) ;
g ( x) =
lim g ( x) ;
x → 1−
Calcular
b)
lim f ( x) ;
c)
x → 2−
lim f ( x) ;
d)
x → 0−
lim f ( x) .
x → 0+
x3 − 1
obtenga:
x2 − 1
lim g ( x) ;
x → 1+
c)
lim g ( x)
x→ 1
;
d)
lim g ( x)
x→ − 1