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MATRICES
MATRICES
ÍNDICE.
1. Matrices
1. Definición de matriz
2. Tipos de matrices
2. Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
3. Operaciones con matrices
1. Adición de matrices
2. Multiplicación de una matriz por un número
3. Multiplicación de matrices
4. Matriz inversa
1. Cálculo de matriz inversa por el método de Gauss-Jordan
5. Solución matricial de un sistema de ecuaciones lineales
6. Rango de una matriz
1. Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss
MATRICES
Las matrices son tablas de números que se utilizan para el cálculo
numérico, resolución de ecuaciones, problemas algebraicos, en
problemas geométricos, en estadística, y en general en casi todas las
ramas de las Matemáticas y de las Ciencias en general (economía,
informática, Física, etc.)
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas
por el Matemático Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al
matemático Hamilton, y la notación matricial a Cayley.
Ver Matrices (Sociedad Thales)
CONJUNTO DE MATRICES
Una matriz A de dimensiones (o de orden) m x n con coeficientes en el
cuerpo de los números reales es un número mxn dimensional (tablero de
m filas y n columnas), de m x n elementos de R, a
j = 1, 2 , . . . , n.
ij
; i = 1, 2, . . . , m;
æa
ö
...
a
çç 11
1n ÷
÷
÷
ç
A = çç ... ... ... ÷
= (aij )
÷
÷
i = 1,2,...,m ; j = 1,2,...,n
çç
÷
÷
÷
çèam 1 ... amn ø
Donde, el elemento aij representa el elemento de la fila i y de la columna j.
Dos matrices A y B de orden m x n son iguales si aij = bij ; i = 1, 2,..., m;
j
=1,2,...,n.
Si m = n, decimos que A es una matriz cuadrada.
CONJUNTO DE MATRICES
Ejemplo.- Determinar los valores de a y b para que las matrices A y B
sean iguales.
æ2 1 3 ö
÷
ç
÷
A = çç
;
÷
÷
çè–1 0 2ø
÷
æ2 ×a 1 a –b÷
ö
ç
÷
B = çç
÷
çè –1 0 2 ÷
÷
ø
Es evidente, que proponiendo las ecuaciones:
2 = 2.a;
3=a–b
Se obtienen los valores de a = 1 y b = - 2
Designamos por:
Mmn(R) = { A : A es matriz de orden m x n con coeficientes en R }.
Mn(R) = {A : A es matriz cuadrada de orden n de coeficientes en R}
TIPOS DE MATRICES
Denominamos matriz fila a la matriz A de dimensiones 1xn (también denominado vector fila)
Ejemplo:
A = 3 1 0 —1
(
)
Denominamos matriz columna a la matriz A de dimensiones mx1 (también denominado
vector columna)
Ejemplo:
æ2 ÷
ö
çç ÷
çç 5 ÷
÷
÷
ç
A = çç ÷
÷
÷
çç—1÷
÷
çç ÷
÷
çè 0 ÷
ø
÷
Denominamos matriz escalonada a la matriz A de dimensiones mxn tal que cada fila en
número de ceros que precede al primer elemento no nulo es mayor que la precedente
Ejemplo:
æ1
çç
çç0
ç
A = çç
çç0
çç
ççè0
4 —1
0
5
0
0
0
0
9ö
÷
÷
÷
1 1÷
÷
÷
÷
—2 2÷
÷
÷
÷
÷
0 1÷
÷
ø
÷
7
TIPOS DE MATRICES
Denominamos matriz cuadrada a la matriz A de dimensiones nxn.
A los elementos aii i =1, ,2, 3, …, n, se les denomina diagonal principal
Ejemplo:
æ1 4 1ö
÷
çç
÷
÷
çç
÷
A = ç5 0 1÷
÷
çç
÷
÷
çç1 0 1÷
÷
è
ø
÷
Diagonal principal
Denominamos matriz triangular superior (respectivamente inferior) a la matriz cuadrada A
de dimensiones nxn tal que todos los elementos por debajo (respectivamente por encima) de
la diagonal son nulos .
Ejemplos:
æ1 4 —1ö
æ—2 0 0ö÷
÷
çç
çç
÷
÷
÷
÷
çç
ç
÷
ç
÷
÷
A = ç0 2 1 ÷ B = ç—2 1 0÷
÷
çç
ç
÷
÷
ç
÷
÷
çç0 0 2 ÷
çç 1 1 1÷
÷
è
ø
è
ø÷
÷
÷
TIPOS DE MATRICES
Denominamos matriz diagonal a la matriz cuadrada A de dimensiones nxn, tal que todos los
elementos distintos de la diagonal son nulos.
Ejemplo:
æ1 0 0ö
÷
çç
÷
÷
çç
÷
A = ç0 4 0÷
÷
çç
÷
÷
çç0 0 1÷
÷
è
ø
÷
Denominamos matriz identidad a la diagonal A de dimensiones nxn, tal los elementos de la
diagonal principal son todos 1 .
Ejemplos:
æ1 0 0ö
÷
çç
÷
÷
çç
÷
A = ç0 1 0÷
= I3
÷
çç
÷
÷
çç0 0 1÷
÷
è
ø
÷
Si todos los elementos de la diagonal son iguales pero distintos de 1, se denomina matriz escalar
.
TIPOS DE MATRICES
Denominamos matriz opuesta de la matriz A de dimensiones mxn, a la matriz -A de
dimensiones mxn tal que todos sus elementos son de la forma – a i j, para cada i=1,2,..,m;
j=1,2,..,n
Ejemplo:
æ1 2 3 4ö
÷
çç
÷
÷
çç
÷
A = ç0 3 2 1÷
÷
çç
÷
÷
çç2 2 1 0÷
÷
è
ø
÷
æ—1 —2 —3 —4ö
÷
çç
÷
÷
çç
÷
— A = ç 0 —3 —2 —1 ÷
÷
çç
÷
÷
çç —2 —2 —1 0 ÷
÷
è
ø
÷
Denominamos matriz transpuesta de la matriz A de dimensiones mxn, a la matriz At de
orden nxm, tal que atij
Ejemplo:
= aji , para cada i=1,2,..,m; j=1,2,..,n
æ1
çç
çç0
ç
A = çç
çç0
çç
çèç0
4
0
0
0
æ1
çç
—1 7 9ö
÷
çç 4
÷
÷
çç
5
1 1÷
÷
çç—1
t
÷
÷
A
=
çç
0 —2 2÷
÷
÷
çç 7
÷
÷
çç
0
0 1ø÷
÷
çç 9
÷
çè
0
0
5
1
1
0÷
ö
÷
÷
0 0÷
÷
÷
÷
0 0÷
÷
÷
÷
÷
—2 0÷
÷
÷
÷
÷
2 1÷
÷
ø
÷
0
TIPOS DE MATRICES
Denominamos matriz simétrica a la matriz cuadrada A de dimensiones nxn, tal que A =At ,
es decir atij
= aji , para cada i,j=1,2,...,n
Ejemplo:
æ2 3 0 ö
æ2 3 0 ö
÷
÷
çç
çç
÷
÷
÷
÷
çç
çç
÷
t
÷
A = ç3 5 6 ÷
A = ç3 5 6 ÷
÷
÷
çç
ç
÷
÷
ç
÷
÷
÷
çç0 6 —3÷
ç
0
6
—
3
÷
÷
è
ø
èç
ø
÷
÷
Denominamos matriz antisimétrica a la matriz cuadrada A de dimensiones nxn, tal que A
=-At es decir atij
= -aji , para cada i,j=1,2,...,n
Ejemplo:
æ0
æ0 —3 0ö
3 0ö
÷
÷
çç
çç
÷
÷
÷
÷
çç
ç
÷
t
ç
÷
÷
A = ç—3 0 6÷ A = ç3 0 6÷
÷
çç
ç
÷
÷
ç
÷
÷
÷
çç 0 —6 0÷
çç0 6 0÷
÷
è
ø
è
ø
÷
÷
NOTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Dado un sistema de m ecuaciones de n incógnitas
a11x 1 + a12x 1 + a13x 3 + L + a1n x n = b1
a 21x 1 + a 22x 1 + a 23x 3 + L + a 2n x n = b2
L
am 1x 1 + am 2x 1 + am 3x 3 + L + amn x n = bm
Se puede asociar las matrices
æa11 a11
çç
çça 21 a 22
A = çç L
L
çç
çça
çèç m 1 a m 2
L
L
L
L
a1n ö
÷
÷
a 2n ÷
÷
÷
÷;
L ÷
÷
÷
÷
÷
a mn ø
÷
æa11 a12
çç
çça
a 22
21
*
ç
A = çç
L
çç L
çç
çèam 1 am 2
Denominadas matriz de coeficientes y ampliada respectivamente
L
a1n
L
a 2n
L
L
L
a mn
b1 ö
÷
÷
÷
b2 ÷
÷
÷
÷
L÷
÷
÷
÷
÷
÷
bm ø
÷
NOTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
A pesar de que dicho sistema se puede resolver efectuando operaciones con matrices (como
se puede ver en este tema), se puede aplicar el método de Gauss directamente sobre la matriz
ampliada, manipulando las filas como si se tratara de ecuaciones
Ejemplo.- Para resolver el siguiente sistema por el método de Gauss
x+y+z= 0
2x + y –z = 7
x –y + 2z = –7
Utilizando la matriz ampliada y efectuado las operaciones con las filas convenientemente
æ1 1
æ1 1
ö
1
0ö
1
0
÷
÷
çç
ç
÷
÷
ç
2ª
Ecu.
–
1ª
Ecu.
*
2
(
)
(
)
÷
÷
çç
çç
÷
÷
*
÷
A = ç2 1 –1 7 ÷
Þ
Þ
0
–
1
–
3
7
ç
÷
÷
çç
ç
÷
÷
(3ª Ecu.)–(1ª Ecu.)
ç
÷
÷
÷
çç1 –1 2 –7÷
ç
0
–
2
1
–
7
÷
÷
çè
è
ø
ø
÷
÷
æ1 1
1
0 ö
÷
çç
÷
÷
çç
÷
Þ (3ª Ecu.)–(2ª Ecu.) * 2 Þ ç0 –1 –3
7 ÷
÷
çç
÷
÷
÷
çç0 0
7
–
21
÷
è
ø
÷
Que resolviendo se obtiene z = -3, y = 2, x = 1
OPERACIONES CON MATRICES
El conjunto de matrices de orden mxn, se pueden sumar y multiplicar por un número, y las
matrices de dimensión mxn se pueden multiplicar por las de dimensión nxp.
Dado que habitualmente las matrices se utilizan para representar problemas matemáticos
(algebraicos, geométricos, estadísticos, físicos, económicos, etc.), al utilizar estas operaciones
podemos resolver muchos de estos tipos de problemas de forma más cómoda (en ocasiones
utilizando computadoras) .
Conviene recordar la siguiente notación para el conjunto de matrices:
Mmxn(R) = Mmxn = matrices de orden o dimensión mxn con coeficientes reales
Mn(R) = Mn = matrices cuadradas de orden o dimensión n con coeficientes reales
ADICIÓN DE MATRICES
Sean A = (aij) y B = (bij) dos matrices de igual dimensión, definimos matriz suma S = (sij) (se
representa S = A + B), donde s i j = a i j , para cada i = 1,2,…,m; j = 1,2,..,n
Ejemplo.-
æ1 2ö
æ4 3ö
æ5 5÷
ö
÷
÷
çç
ç
ç
÷+ ç
÷
÷
= çç
÷
÷
çç3 4÷
ç
÷
÷
5
5
÷
2
1
ç
÷
÷
ç
ø
è
ø è
ø è
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE MATRICES de dimensión mxn
Conmutativa.- A + B = B + A, para cualquier matriz A y B de dimensiones mxn
Asociativa.- A + ( B + C ) = ( A + B ) + C, para cualquier matriz A, B y C de dimensiones mxn
Elemento neutro.- Existe la matriz nula O (todo ceros) de dimensión mxn tal que O+A = A+O,
para cualquier matriz A de dimensiones mxn
Elemento Simétrico.- Para cada matriz A de orden mxn existe la matriz -A (matriz opuesta) de
dimensión mxn tal que (-A)+A = A+(-A) = O.
Restar
dos en
matrices
A ylas
B de
la misma dimensión
es equivalente
a sumar
A y la
opuesta
de B, de
Teniendo
cuenta
propiedades
de la suma
de matrices,
se tiene
que
el conjunto
matrices
es
decir Ade
– Borden
= A +mxn
(-B) sobre el cuerpo de los números reales R (Mmxn(R)) es un grupo
conmutativo o abeliano
MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO
Sean A = (aij) una matriz de dimensión mxn, y k un número real, la matriz que se obtiene al
multiplicar k por A, es k.A = k . ( a i j ) = ( k . a i j ),
Ejemplo.-
æ1 2ö
æ3 6 ö
÷
÷
ç
çç
÷
÷
3 ×çç
=
÷
÷
ç
÷
÷
çè3 4ø
÷ èç9 12ø
÷
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ
Distributiva respecto de suma de matrices.- k . ( A + B ) = k. A + k.A, para cualquier matriz
A y B de dimensiones mxn y cualquier k real.
Distributiva respecto de la suma de números.- ( k + h ) . A = ( k.A + h.A ), para cualquier
matriz A de dimensiones mxn y cualquier k, h números reales.
Asociativa entre números y matrices.- ( k * h ) . A = k . ( h.A ), para cualquier matriz A de
dimensiones mxn y cualquier k, h números reales.
Elemento unidad.- Para cualquier matriz A de dimensiones mxn, se cumple 1.A = A
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Sean A = (aij) una matriz de orden mxn y B = (bjk) una matriz de orden nxp, denominamos
producto C = (cij) (se representa P = A . B), donde
c ij = a i 1 . b 1j + a i 2 . b 2 j + … + a i n . b n j , para i = 1,2,…,m; j = 1,2,..,n
Ejemplo.-
æ1 0 2 0ö÷
çç
÷
çç0 3 0 4÷÷÷+
è
ø
æ 1 2 ÷ö
çç
÷
çç–1 0 ÷÷
÷÷
çç
çç 0 –1÷÷÷ =
÷÷
çç
çç 2 1 ÷÷
ø÷÷
çè
æ
ö 1 0ö
çç1.1 + 0. (–1) + 2.0 + 0.2 1.2 + 0.0 + 2. (–1) + 0.1÷÷ æ
÷÷
çç
=
÷
çç0.1 + 3. (–1) + 0.0 + 4.2 0.2 + 3.0 + 0. (–1) + 4.1÷ ç5 4÷÷
çè
ø÷
ø÷ èç
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Asociativa.- A . ( B . C ) = ( A . B ) . C, para cualquier matriz A, B y C que tengan las
dimensiones adecuadas.
Distributiva respecto de la suma.- A . ( B + C ) = A . B + A. C, para cualquier matriz A, B y C
que tengan las dimensiones adecuadas.
Asociativa.- k . ( A . B ) = ( k . A ) . B, para cualquier matriz A, B que tengan las dimensiones
adecuadas y cualquier número real k.
Existencia de elemento neutro.- En el producto de matrices cuadradas de orden n, existe la
matriz identidad (In) tal que A.In = In.A, para cualquier matriz cuadrad de orden n
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
A diferencia de lo que ocurre con la multiplicación habitual de números reales, en la
multiplicación de matrices hay propiedades que no se cumplen, por ejemplo:
* La multiplicación de matrices no es conmutativa, por ejemplo:
æ1 0öæ
0 1ö
æ0 1ö
æ0 1öæ
1 0ö
æ0 0ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷
÷
÷
çç
ç
ç
A B = çç
= çç
¹ çç
=
= BA
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷ èç0 0øè
çè0 0øè
÷ç0 0ø
÷ èç0 0ø
÷ çè0 0ø
÷ç0 0ø
÷
* Si A.B = 0 (matriz nula), no tiene por que ser necesariamente A = 0 o B = 0, por ejemplo:
æ1
3÷
öæ 3
6ö
÷
ç
ç
÷
÷
ç
A B = çç
=
÷
÷
ç
÷
÷
–
3
–
9
–
1
–
2
÷
÷
çè
øèç
ø
æ0 0÷
ö
çç
÷
çç0 0÷
÷
÷
è
ø
* Si A.C = A. B, no es necesariamente C = B, por ejemplo:
æ 2 –3öæ
–2 5ö
æ5
–8ö
æ 2 –3öæ
1 2ö
÷
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
A C = çç
=
=
= AB
÷
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷
÷
–
4
6
–
3
6
–
10
16
–
4
6
–
1
4
֍
÷ èç
÷ èç
֍
÷
çè
øè
ø
ø
øè
ø
MATRIZ INVERSA
Si consideramos la matriz cuadrada de orden n y no nula A = (aij) , denominamos matriz
inversa (cuando existe) a la matriz A–1 (si existe es única), tal que se cumple
A. A–1 = A–1 .A = In
Cuando una matriz A tiene matriz inversa A–1, decimos que A es invertible o regular
Ejemplo.-
æ2 1÷
ö
æ0 1 ÷
ö
æ1 0÷
ö
ç
ç
ç
–1
–1
÷
÷
÷
ç
ç
A = çç
Þ
A
=
;
ya
que
A
×
A
=
÷
÷
çç1 –2÷
çç0 1÷
÷
çè1 0÷
÷
÷
÷
ø
è
ø
è
ø
MATRIZ INVERSA. MÉTODO GAUSS-JORDAN
Si consideramos la matriz cuadrada de orden n y no nula A = (aij), un método para hallar la
matriz inversa (cuando existe) A–1 es utilizando el método de Gauss-Jorrdan para resolver n
sistemas de ecuaciones, Además, existirá A–1 si estos sistemas son compatibles determinados
Ejemplo.-
æ1 2 1÷
ö
çç
÷
÷
çç
÷
A = ç2 4 3÷
Þ
÷
çç
÷
÷
çç3 5 2÷
÷
è
ø
÷
æ1 0
çç
ç
A ×A–1 = çç0 1
çç
çç0 0
è
æa ö÷
çç 11 ÷
÷
A ×ççça 21 ÷
÷=
çç ÷
÷
÷
çèa 31 ø÷
æ1ö÷
çç ÷
çç ÷
÷;
çç0÷
÷
çç ÷
÷
0
÷
çè ø÷
÷
¿ Si exist e A–1
æa
ö
çç 11 a12 a13 ÷
÷
÷
ç
= çça 21 a 22 a 23 ÷
? Se t iene que cumplir
÷
÷
çç
÷
÷
÷
çèa 31 a 32 a 33 ø
ö
0÷
÷
÷
÷
0÷
; que equivale a resolver t res sit emas de ecuaciones
÷
÷
÷
÷
1ø
÷
÷
ö
ö
æa ö÷ æ
æa ö÷ æ
0
÷
ç
çç 12 ÷ çç0÷
ç
÷
÷
13 ÷
ç
ç
÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
ç
÷
÷
÷
ç
ç
÷
÷
çça 23 ÷ = ç0÷
A ×çça 22 ÷
=
1
;
A
×
;
ç
÷
÷
÷
÷
ç
çç ÷
÷
çç ÷
ç
çç ÷
÷
çça ÷
÷
÷ èçç0ø÷
÷
çèa 32 ø÷
÷
÷
è 33 ø çè1ø÷
÷
÷
MATRIZ INVERSA. MÉTODO GAUSS-JORDAN
Utilizando Gauss-Jordan, podemos utilizar las matrices ampliadas
æ1 2 1 1 0 0ö
÷
çç
÷
÷
çç
÷
çç2 4 3 0 1 0÷
÷
÷
çç
÷
÷
÷
çè3 5 2 0 0 1ø
÷
Restando a la segunda fila la primera multiplicada por 2 y a la tercera la primera
multiplicada por tres, obtenemos
æ1 2
ö
1
1 0 0÷
çç
÷
÷
çç
÷
1 –2 1 0÷
çç0 0
÷
÷
çç
÷
÷
0
–
1
–
1
–
3
0
1
÷
çè
ø
÷
Cambiando el orden de la segunda y tercera fila, obtenemos
æ1 2
ö
1
1 0 0÷
çç
÷
÷
çç
÷
çç0 –1 –1 –3 0 1÷
÷
÷
çç
÷
1 –2 1 0÷
÷
çè0 0
ø
÷
MATRIZ INVERSA. MÉTODO GAUSS-JORDAN
Multiplicando por -1 la segunda fila, obtenemos
æ1 2 1 1 0 0 ö
÷
çç
÷
÷
çç
÷
çç0 1 1 3 0 –1÷
÷
÷
çç
÷
÷
0
0
1
–
2
1
0
÷
çè
ø
÷
Restando a la primera fila la segunda multiplicada por 2, obtenemos
æ1 0 –1 –5 0 2 ÷
ö
çç
÷
÷
çç
÷
3 0 –1÷
çç0 1 1
÷
÷
çç
÷
÷
çè0 0 1 –2 1 0 ÷
ø
÷
Finalmente, sumamos la tercera fila a la primera y restamos la tercera fila a la segunda,
obtenemos
æ1 0 0 –7 1
ö
2÷
çç
÷
÷
çç
÷
çç0 1 0 5 –1 –1÷
÷
÷
çç
÷
0÷
÷
çè0 0 1 –2 1
ø
÷
MATRIZ INVERSA. MÉTODO GAUSS-JORDAN
Lo que equivale a resolver los tres sistemas (que además son compatibles determinados). Y
como cada una de las tres últimas columnas de la matriz ampliada, corresponde a la
solución de cada uno de los sistemas, serán las soluciones
æa ö
çç 11 ÷
÷
çça ÷
÷=
çç 21 ÷
÷
çça ÷
÷
÷
è 31 ø
æ ö
çç–7÷
÷
çç ÷
÷;
çç 5 ÷
÷
çç ÷
÷
÷
–
2
÷
çè ø
÷
æa ö
çç 12 ÷
÷
çça ÷
÷=
çç 22 ÷
÷
çça ÷
÷
÷
è 32 ø
æ1 ö
çç ÷
÷
çç ÷
÷;
çç–1÷
÷
çç ÷
÷
÷
1
÷
çè ø
÷
Luego la matriz A – 1 será
A–1
æ–7 1
2ö
÷
çç
÷
÷
çç
÷
= ç 5 –1 –1÷
÷
çç
÷
÷
çç–2 1
0÷
÷
è
ø
÷
æa ö
çç 13 ÷
÷
çça ÷
÷=
çç 23 ÷
÷
çça ÷
÷
÷
è 33 ø
æ2 ÷
ö
çç ÷
çç ÷
÷
çç–1÷
÷
çç ÷
÷
0
÷
çè ÷
ø
÷
SOLUCIÓN MATRICIAL DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Dado un sistema de m ecuaciones de n incógnitas
a11x 1 + a12x 1 + a13x 3 + L + a1n x n = b1
a 21x 1 + a 22x 1 + a 23x 3 + L + a 2n x n = b2
L
am 1x 1 + am 2x 1 + am 3x 3 + L + amn x n = bm
Se puede escribir matricialmente A.X = B, donde A es la matriz de coeficiente, X la matriz
de incógnitas y B la matriz de términos independientes
æa11 a11
çç
çça 21 a 22
A = çç L
L
çç
çça
ççè m 1 a m 2
L
L
L
L
a1n ö
÷
÷
a 2n ÷
÷
÷
÷;
L ÷
÷
÷
÷
a mn ø÷
÷
æx 1 ö÷
çç ÷
ççx 2 ÷
÷
÷
X = çç... ÷
;
çç ÷
÷
÷
ççx ÷
÷
çèç n ø÷
æb1 ÷
ö
çç ÷
ççb ÷
÷
÷
2
ç
ç
B = ç ÷
÷
...
÷
çç ÷
÷
çç ÷
÷
çèbn ÷
÷
ø
Si la matriz de coeficientes A es regular (admite inversa A– 1), multiplicando ambos
miembros de la ecuación A.X = B, por A– 1 obtenemos
X = A-1.B
Que es la solución del sistema
SOLUCIÓN MATRICIAL DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Ejemplo.- Para resolver matricialmente el siguiente sistema de ecuaciones
æ1 1
æx ÷
ö
1ö
÷
çç
ç
÷
çç ÷
÷
çç
÷
÷
÷
ç
2x + y –z = 7 Þ ç2 1 –1÷
×
y
=
÷
÷
ç
÷
çç
÷
çç ÷
÷
÷
ç
z÷
÷
ç
x –y + 2z = –7
÷
çè1 –1 2 ø
è
÷ ø
x+y+ z= 0
æ 0 ö÷
çç ÷
çç ÷
÷
çç 7 ÷
÷
çç ÷
÷
–
7
÷
çè ø÷
÷
Hallando la matriz A-1, podemos aplicar
A–1
æ1 3
2 ö÷
çç–
÷
çç 7 7
7÷
÷
÷
çç 5
÷
1
3
÷
= çç
– –÷
Þ
÷
÷
çç 7
7
7÷
÷
çç
÷
3
2
1
÷
çç
÷
÷
çèç 7 –7 7 ø÷
÷
æ1 3
çç–
æx ÷
ö ç 7 7
çç ÷ çç
çç 5
1
ççy ÷
÷
=
–
çç
çç ÷
÷
7
çç 7
ççz ÷
÷
÷ ç3
è ø
2
çç
çèç 7 –7
Obteniendo la solución z = -3, y = 2, x = 1
2 ö÷
÷æ ö
7÷
÷
çç 0 ÷
÷
÷
÷
ç
3÷
÷
ç
÷
÷
– ÷×ç 7 ÷
=
÷
÷
çç ÷
7÷
÷
÷
çç–7÷
÷
÷
1÷
è
ø
÷
÷
÷
7 ø÷
÷
æ1 ö
çç ÷
÷
çç ÷
÷
çç 2 ÷
÷
çç ÷
÷
÷
çè–3÷
ø
÷
RANGO DE MATRICES
Dada la matriz A = ( a i j ) de orden m x n decimos que sus filas o columnas son linealmente
independientes, cuando no se puede poner ninguna como combinación lineal de resto.
Por ejemplo sea la matriz A
æ1
çç
ç
A = çç2
çç
çç3
è
los t res
(1
(2
(3
0 1ö
÷
÷
÷
÷
1 1÷
; sus filas son linealment e independient es, pues si resolvemos
÷
÷
÷
÷
0 1ø
÷
÷
sit emas:
) (
1) = x ×(1
1) = x ×(1
) (
1) + y ×(3
1) + y ×(2
)
1);
1);
0 1 = x ×2 1 1 + y ×3 0 1 ;
1
0
0
0
0
1
son INCOMP AT IBLES
El número de filas linealmente independiente de una matriz A, coincide con el número de
columnas linealmente independientes.
Cuando varias filas o columnas no son linealmente independientes, decimos que son
dependientes
RANGO DE MATRICES
Denominamos rango de una matriz A, y denotamos por Rango(A) al número de filas o
columnas linealmente independientes de la matriz A.
Una matriz cuadrada A de orden n tendrá inversa A-1 si Rango(A) = n
CÁLCULO DE RANGO DE MATRICES
Para calcular el rango de una matriz A, el Rango(A) = número de filas no nulas de la matriz
escalonada de A.
Por ejemplo sea la matriz A
æ1
ö
2
3÷
çç
÷
÷
çç
÷
A = ç 1 –2 5 ÷
; Escalonando la mat riz por Gauss
÷
çç
÷
÷
çç–1 10 –9÷
÷
è
ø
÷
æ1 2
ö
æ1 2 3ö
3÷
÷
çç
çç
÷
÷
÷
÷
çç
çç
÷
÷
÷
Þ A = ç0 –4 2 ÷
;
Þ
A
=
0
–
4
2
ç
÷
÷
çç
ç
÷
÷
÷
ç
÷
÷
çç0 12 –6÷
ç
0
0
0
÷
÷
çè
ø
è
ø
÷
÷
Como el número de filas no nulas es 2, Rango (A ) = 2.
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/m
atematicas.htm)
En la siguiente diapósitiva