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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TACHIRA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA
ASIGNATURA FISICA II
ELECTROSTATICA
Prof. Juan Retamal G.
e-mail [email protected]
San Cristóbal, Táchira
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
Tres cargas puntuales de q=3 [µC] se localizan en los puntos (-2 ; 5),
(1 ; 5), (9 ; -5). Determinar cuál es la fuerza neta ejercida sobre una
cuarta carga de -5 [µC] ubicada en (1 ; 1)
q2
q1
-q4
q3
1. Se tiene un cuadrado de lado L en cuyos vértices se sitúan
cargas puntuales tal como se muestra en la figura. Determinar el
valor de la carga +Q para que la fuerza neta sobre la carga +Q4
sea cero.
-q1
+Q2
+Q4
-q3

F41

F43

F42 x

F42
F42 x  K
F42 y  K
F
F

F42 y
Q.Q2
(L 2 )2
Q.Q2
(L 2 )2
Q.q
F41  K 2
L
Q.q
F43  K 2
L
cos 45 0  K
Q.Q2 2
2 L2 2
sen45 0  K
Q.Q2 2
2 L2 2
x
0
x
 F43  F42 x
K
Q.Q2 2
Q.q

K
0
2
2
L
2L 2
F  0
F  F
y
y
Q2 
4q
2
41
 F42 y
 2 2q
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
Cinco carga iguales Q están igualmente espaciadas en un semicírculo
de radio R. Calcular la fuerza eléctrica que experimenta una carga q
situada en el centro del semicírculo.
y
5
2
Q
Fr  ( F4 cos 45 o  F5 cos 45 o  F3 )
Q
45o
3
Q
x
4
Q
Q
1
Qq 2
Qq 2
Qq

k

k
R2 2
R2 2
R2

Qq
Fr  k 2 ( 2  1)iˆ
R
Fr  k
q
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
¿Cuál es la magnitud y la dirección de E en el
centro del cuadrado en la figura?. Supóngase
que q=1.0 10-8 [C] y que a = 0,05 [m].
+q1
Er  K
 2
a

 2 


2
cos 45 0  K
2
cos 45 0  K
2q
 2
a

 2 


N
E r  1,018 .10 5   ĵ
C
2q
 2
a

 2 


2q 2
a2
2
P

E1
a
a
 
E1  E2
2q

E3

E4

E2


E3  E4
Er  K
-2q3
-q2
cos 45 0  K
q
 2
a

 2 


2
cos 45 0  K
+2q4
q
 2
a

 2 


2
cos 45 0
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
Una carga de 3 C está distribuida uniformemente a lo largo de un hilo
de 0,6 m de longitud. Calcular el campo eléctrico en un punto situado
sobre su eje a 0,3 m de uno de sus extremos.

dE
0
dq
r2
dq  dl
0.6
x
0.9
r
dE  k
dl  dx
x  r  0.9
dx
 dE  k
(0.9  x) 2
0.6
 1 
 E  k 

 0.9  x 0
dx
 E k
(0.9  x) 2
0
0.6
0.6
 E  k 
0
dx
(0.9  x) 2
1 
 1
 E  9 109  5 106 


 0.3 0.9 
N
E  1 105   ˆi
C
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
Una barra delgada no conductora de longitud finita L, contiene una
carga positiva Q distribuida uniformemente. Determinar el campo
eléctrico:
a) En un punto ubicado a una distancia a sobre la mediatriz
perpendicular a la barra
b) Producido por una barra delgada e infinitamente larga.
Y

dE
dq
r2
dq  dl
dE  k
dE y  dE cos   dE y  k
dl  dx
r  x2  a2
θ
r
a
dE y  k
dx
x2  a2
L
a
x2  a2
L
X
E y  2k
a
x2  a2
 dE y  ka
dx
3
(x 2  a 2 ) 2
L
2
dx
E y  2ka  2
2 32
(x

a
)
0
x
dx
x2  a2
L
a L  4a
2
2


x
 E y  2ka 

2
2
2
a
x

a

0
E  2k
L
a L  4a
2
2
ˆj
2
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
Una barra delgada no conductora semi infinita, tiene una carga positiva
distribuida uniformemente en su longitud λ. Demuestre que el campo
eléctrico en el punto P de la figura forma un ángulo de 45° con la barra
independiente de la distancia a.
Y
X
dE  k
x
dq
r2
dq  dl
dE x  dE cos 
a
r
θ
dE x  dE sin   dE x  k


dE
xdx
E x  k  2
2 32
(x

a
)
0
dx
2
2 32
(x

a
)
0
E y  ka 
r  x2  a2
dE y  dE sin 
dx
x
(x 2  a 2 ) x 2  a 2
 dE x  k



1
 E x  k  

2
2
x  a 0

dE y  dE cos   dE y  k

dl  dx
dx
a
(x 2  a 2 ) x 2  a 2
 Ex 
xdx
3
(x 2  a 2 ) 2
k
a
 dE y  ka



x
 E y  ka 

2
2
2
 a x  a 0
 Ey 
dx
3
(x 2  a 2 ) 2
k
a
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
Una cinta de ancho 2a y largo infinito, tiene una carga positiva
distribuida uniformemente en su superficie. Determine el campo
eléctrico en el punto P, ubicado a una altura z de la superficie
dE  dE x  dE y  dE z
dq
dE R  k 2
R
dE z
dE  dE x ˆi  dE y ˆj  dE z kˆ
dE R
dq   dx dy
R  x  y  z
R  x r
2
2
r  y a
2
2
dE y  dE r sin 
dE x
dE x  dEsin 
dE y
2
Φ
2
sin  
z
θ r
y
x
+a
X
sin  
-a
R
y
y2  z2
x
x2  r2
dE z  dE r cos 
dEr  dE cos 
cos  
cos  
z
y2  z2
r
x2  r2
Y
Sigue
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
dE R  dE x ˆi  dE y ˆj  dE z kˆ  dE R  dE z kˆ  dE R  dE cos  cos  kˆ
y2  z 2
dx dy
dE R  k 2
(x  y 2  z 2 ) x 2  y 2  z 2
z
y2  z 2
 a 
 a 
dy
E R  kz   2
dx  2kz 
2
2 32
(x

y

z
)
 a 
a

0
kˆ  dE R 
kz dx dy
3
(x 2  y 2  z 2 ) 2
dy
3 dx
(x 2  y 2  z 2 ) 2

a


y
1
E R  2kz  
  4kz  2 2 dx
2
2
2
2
2
(x  z )
a 
0
 (x  z ) x  y  z  o
a
a
a
1
1
 x 
a
E R  4kz  2 2 dx  4kz  tg 1     4ktg 1  
(x  z )
 z 0
z
z
0
a
E R  4ktg 1   kˆ
z
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
1.2 Un anillo de radio R tiene una densidad de carga lineal
positiva y uniforme. Calcule el campo eléctrico en un punto P
situado sobre el eje X.
dq
dE 2
R
x
θ
dE 2
P
θ
θ
θ
dq
dE 2
dE1
dE1
dE1
Sigue
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
dE  dE cos 
dE  k
dE  k
dq
r2
dq
cos 
2
r
dE  k
r  R x
2
cos  
x
r
2
E  k
E 
R


dq
R x
2

dq
R x
2
kx
2
2
x

2 3/ 2
x
2

2

x
2
Q
0
R2  x2
dq
R2  x2
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
1.3 Un disco de radio R tiene una densidad de carga
superficial positiva y uniforme. Calcule el campo
eléctrico en un punto P situado sobre el eje X.
dq  dA
dA  2RdR
r  R2  x2
dE  dE cos 
R
dE 
θ
x
dE
dE  k
dq
r2
P
θ
θ
dE 
dE
dE
dE
Sigue
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
dq  dA
dA  2RdR
dq  2RdR
dE  dE cos 
dE  k
dq
dE  k 2
r
dq
cos 
2
r
dE  k
2RdR
(R 2  x 2 )
r  R2  x2
cos  
x
R 2  x2
2RdR
E  k 2
(R  x 2 )
x
R2  x2

E  kx 
2RdR
(R 2  x 2 )3/ 2
x
R2  x2
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
Una varilla de vidrio se dobla en forma de un semicírculo de radio R. En la
mitad superior se distribuye uniformemente una carga +Q, y en el inferior se
distribuye uniformemente una carga –Q, tal como se muestra en la figura.
Determinar el campo eléctrico en el punto P situado en el centro del
semicírculo.
Y
dE y  dE cos 
dq
kdq
r2
dq  dl
dE 
+Q

dE x
dE 
-Q
dq
P
dE y dE y
dE x
dE 
dl  Rd
X
 dE y  2
kRd
cos 
2
R
2k  / 2
 Ey 
cos  d

0
R
2k
/ 2
 Ey 
sen 0
R
 E
2k ˆ
j
R
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
Un hemisferio hueco, no conductor de radio interno a, tiene una carga q,
distribuida uniformemente en su superficie interna. Determinar el campo
eléctrico de su centro de curvatura.
Y
dE y  dE sen
kdq
dE  2
r
dq  dA
dA  2xds
ds  rd
dE
x  r cos 
k2r cos  rd
dE y 
sen
2
r
X
E y  k2 
/ 2
0
dq=dA
Z
z  r sen 
sen cos  d
E y  k sen 
2
/ 2
0
 ˆ
Ey 
j
4 0
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
Se ubica una carga puntual positiva +q en el centro de un cascarón no conductor con carga
-2q de radio interno a y externo b. Determinar la expresión del campo eléctrico en las tres
zonas indicadas.
Nota: Asuma la zona 2 a un radio equivalente de (a+b)/2
3
Para la superficie Gaussiana 1

1
  qn
E  dA 
0
qn  q
E
A  4r1
2
2
q
 0 4r1
2
Para la superficie Gaussiana 3

  qn
E  dA 
0
q n  q  2q
E
q
 0 4r3
2
A  4r2
2
a
b
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
3
Para la superficie Gaussiana 2
qn
 E  dA  0
1
2
(a  b) / 2
qn  q 

a
b
.dV con dV  4r 2 dr
a
(a  b) / 2
q n  q  4

a
(a  b) / 2
r 
r 2dr q n  q  4  
 3 a
 (a  b)3 / 8 a 3 
q n  q  4 
 
3
3

ab 2
A  4(
)
2
3
 (a  b)3 / 8 a 3 
q  4 
 
3
3

E
ab 2
0 4(
)
2
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO ELECTRICO
Campo de un cilindro largo cargado: Consideremos un cilindro infinito de
radio a, cargado con densidad uniforme .
a
Usando la ley de Gauss podemos encontrar el
campo en la superficie gaussiana indicada
Superficie
Gaussiana
qn
2
E

dA

q


r
L A  2rL
n

0
a 2 L
E
0 2rL

a 2
E
0 2r
r

E

A