Download MODELOS DE V.ALEATORIA DISCRETAS

PROBABILIDAD Y
ESTADISTICA
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE
PROBABILIDAD
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1
INTRODUCCIÓN.
Hasta ahora hemos estado refiriéndonos a los modelos
de probabilidad en general, sin hacer referencia a
ninguno en particular. Sin embargo, algunas
distribuciones específicas juegan un papel importante
tanto en Probabilidad como en la Estadística. Veremos
algunos modelos de probabilidad de tipo discreto o de
variable aleatoria discreta.
Por modelo probabilístico se entiende el tipo de distribución
esperada para una variable determinada.
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2
RECORDEMOS:
I) Se sabe que un dado cae del lado con número par dos veces más a
menudo que del lado con número impar. Este dado se arroja 3 veces.
Sea X el número de veces que el dado cae con número par:
1. Dar la distribución de probabilidades de X. Verificar que es
función de probabilidad.
2. Dar la función de distribución acumulativa de X.
3. Construir el gráfico correspondiente a cada una.
4. Calcular la esperanza matemática de X.
5. Calcular la varianza de X.
Para hallar la probabilidad de que caiga un número par (PP), se tiene el
siguiente sistema de ecuaciones:
a) Se sabe que X es el número de veces que en el dado cae un número
par. Entonces, las probabilidades correspondientes son:
1 1 1
1
   P(0) 
 P (0)  0,037037
3 3 3
27
2
1 1 2 2 1 2 1 2 2
P(1)

 P(1)
X  1  P(1)          
9
3 3 3 3 3 3 3 3 3
X  0  P(0) 
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 0,2222
3
2 2 1 2 1 2 1 2 2
4
         P(2)  
3 3 3 3 3 3 3 3 3
9
8
2 2 2
X  3  P(3)     P(3)  27  P (3)  0,2962
3 3 3
X  2  P(2) 
P(2)  0,4444
Como P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 1, y todos positivos, entonces es
función de probabilidad .
2)
si x  0
0
3)
1 / 27 si 0  x  1

F ( X )  7 / 27 si 1  x  2
19 / 27 si 2  x  3

1
si 3  x
¿Cuál
es el
error?
4)
 i41 xi . p( xi )  0 1/ 17  1 2 / 9  2  4 / 9  3  8 / 27  E ( x )  2
5)
V ( X )  E X  E  x   E ( x 2 )  E ( x)
2
2
E ( x 2 )  0 2  1 / 27  12  2 / 9  2 2  4 / 9  32  8 / 27  14 / 3
E ( x)2  4
V (x)  14 / 3  4  V ( x)  2 / 3
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4
II) ¿Cuál es el secreto fundamental guardado con siete llaves,
que diferencia la solución del inc.a con inc.b. del siguiente
problema?:
Halle la probabilidad que al seleccionar dos cartas de una
baraja , ambas sean de oros. Si la extracción se realiza :
a) Con reposición
b) Sin reposición
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5
Iniciemos recordando un problema similar,
algo mas generalizado, al resuelto en la
unidad anterior
Una evaluación de respuestas múltiples,
está formada por “n” ítems con cuatro
respuestas cada uno, de las cuales una
sola es verdadera. Suponiendo que el
alumno contesta totalmente al azar, para
ello usa un tetraedro numerado de 1 a 4 en
sus caras, lo arroja y elije como respuesta
de cada ítem el número de la cara que
queda como base.
¿Cuál es la probabilidad que tiene el alumno
de aprobar?, si se exigen “u” ítems bien.
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6
Observamos que este experimento aleatorio – para el alumno- se
puede pensar como formado por 20 ensayos (pruebas) idénticas.
Analicemos una prueba. Si bien la prueba consta de un espacio
de 4 elementos, nos interesa el suceso “éxito” , el espacio queda
particionado en dos subconjuntos que denominaremos “éxito” y
“fracaso”, por tanto la variable aleatoria asociada al espacio de
resultados se puede modelar como :
1 si Exito
X 
0
si Fracaso
Con función de distribución de probabilidad:
P( Exito)  P( X  1) 1 / 4
P( Fracaso ) P( X  0) 1  1 / 4  3 / 4
Presentando en tabla:
X P( X )
1
1/ 4
0
3/ 4
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Formalicemos:
DEFINICION: Una prueba de Bernoulli es un experimento
aleatorio cuyos posibles resultados son agrupados en dos
conjuntos excluyentes que llamaremos éxito ( E) y fracaso ( F),
con P(E)=p y P( F)= 1-p= q
DEFINICION: La distribución de Bernoulli es la distribución de la
variable aleatoria X=1 si se produce éxito, X=0 si se produce
fracaso; con función de probabilidad :
X P( X )
P( X  1)  p
1
P( X  0)  1  p
0
p
1 p
Cálculo de la Esperanza matemática y de la varianza de una variable
de Bernoulli.
X  B( p)
E ( X ) 1  P( X  1)  0  P( X  0)  p  0  p
V ( X )  E ( X 2 )  E ( X ) 2  12  p  0  q  p 2  p(1  p)  p  q
A partir de las pruebas de Bernoulli , se generan distintos
modelos de probabilidad, algunos de ellos muy utilizados.
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8
Siguiendo con nuestro problema, podemos ahora decir que el
mismo está formado por n pruebas de Bernoulli independientes
y que además en cada prueba la probabilidad de Éxito,
permanece constante e igual a 1/3.
Además aprobar, significa obtener “u” éxitos. Nuestra nueva
variable entonces es el número de éxitos que la simbolizamos
con X y de la cual u es un valor particular.
El número de éxitos “X” depende de los éxitos que se obtengan
en cada prueba de Bernoulli y por tanto podemos modelar
como:
n
X  X 1  X 2  .....  X n   X i ;
i 1
cada X i : var .Bernoulli .
X puede por lo tanto tomar n+1 valores desde o hasta n.
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9
Para que ocurran “u” éxitos en las n pruebas, deben ocurrir “n-u”
fracasos con probabilidad “1-p” también constante.
La probabilidad de obtener en un orden dado “u” éxitos y “n-u”
fracasos, por el teorema de la multiplicación de pruebas
independientes es:
p.p.p…p.(1-p).(1-p)…(1-p)= pu qn-u
u veces
n-u veces
Un mismo resultado puede ser obtenido, de todas las formas en que se
pueden ordenar estos n objetos: Cn,u = Cn,(n-u)
Es decir que, para obtener “u” éxitos, en las “n” pruebas independientes,
con P( E)=p, constante en todas las pruebas, responde a la fórmula:
 n  u n u
P(u, n, p)    p q
u 
Función de
probabilidad
binomial
n
P( X  u )    (1 / 3) u (3 / 4) nu
u 
Esta es por lo tanto la
probabilidad de obtener u éxitos
y aprobar.
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10
El modelo de probabilidad más importante generado a partir de
pruebas de Bernoulli es el modelo Binomial:
DEFINICION: Realizamos n pruebas de Bernoulli independientes,
con P( E)=p en cada prueba. La distribución binomial B(n,p) es la
distribución de la variable aleatoria X= “número de éxitos
obtenidos en n pruebas”. Su función de probabilidad es :
 n  x n x
P( X  x)    p q ; para x  0,1, 2..., n
 x
Si una variable aleatoria X tiene distribución binomial, la
simbolizaremos: X~ B( n, p)
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¿NOS PREGUNTAMOS SI LA FÓRMULA HALLADA ES
REALMENTE UNA FUNCION DE PROBABILIDAD?
•Cada término P(X=x) es positivo . Sus tres factores son positivos.
•La suma de todos los valores de P(X=x) para cada valor de x es:
n
 n  0 n  n  n 1
 n n 0
  p q    pq  ...    p q   p x q n  x 
x 0
0
1 
 n
 ( p  q) n  1
Con frecuencia nos encontramos con problemas donde necesitamos
utilizar la función de distribución acumulada, para hallar P(X<x) o
P(a<x<b) que corresponden a:
n
P ( X  r )     p x q n  x
x 0  x 
b
 n  x n x a  n  x n x
P ( a  X  b)     p q     p q
x 0  x 
x 0  x 
r
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Calcular probabilidades correspondientes a la distribución
binomial no es nada complicado mediante calculadora. Puede
utilizarse también la tabla correspondiente a esta distribución.
Para usar tablas sólo hay que hacer notar que, si p>0.5,
tendremos que usar la siguiente propiedad:
Si X~ B(n,p) e Y ~ B(n, 1-p), tenemos que P(X=x)= P(Y=n-x). Esto
es cierto ya que:
 n  x n x
P ( X  x)    p q
 x
n
 n x x
 q p
P (Y  n  x)  
n  x
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Distribucion Binomial en Excel.
Para calcular en Excel: en Funciones estadísticas, buscar:
•DISTRI.BINOM (k; n; p; FALSO)= probabilidad binomial para k éxitos.
•DISTRI.BINOM (k; n; p; VERDADERO)=
acumulada hasta k éxitos.
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probabilidad binomial
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Para obtener la esperanza y la varianza de la variable con
distribución binomial, podemos hacer dos cosas: intentar aplicar
las definiciones, o utilizar las propiedades que conocemos.
Vamos a hacer lo segundo, ya que nos permite ahorrar esfuerzos.
Para esto definimos:
1 si obtenemos éxito en la prueba i  ésima.
Xi  
0 si obtenemos fracaso en la prueba i  ésima
i 1,2,.... , n
De esta forma, tenemos que X1. . . . . Xn son variables aleatorias
independientes con distribución de Bernoulli y, además , X=
X1+X2+. . .+Xn. Por lo tanto:
E ( X )  E ( X 1  ...  X n )  E ( X 1 )  E ( X 2 )  ...  E ( X n ) 
 p  p  .....  p  np
V ( X )  V ( X 1  ....  X n )  V ( X 1 )  ....  V ( X n ) 
 pq  pq  ...  pq  npq
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MODELO DE PROBABILIDAD : HIPERGEOMETRICO.
Generalizamos algunos aspectos de un problema resuelto en la
unidad anterior:
Un mercado contiene N máquinas impresoras, k de las cuales están
defectuosas. Si seleccionamos n máquinas para llevar a una sucursal
de la empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que “u” de ellas sean
defectuosas?
Nuevamente nos interesa el suceso Éxito en cada prueba y el número
de éxitos en las n pruebas, que en este caso es obtener defectuosa.
La probabilidad de obtener en un orden dado “u” éxitos y “n-u”
fracasos, debido a que los ensayos no son independientes, la
probabilidad no permanece constante de un ensayo a otro:
P( E1) P( E 2 / E1) P( E3 / E1E 2)........P( Eu / E1...Eu  1) P( F1)P( F 2 / F1 )....P( Fn  u / F1..Fn  u  1 )
u exitos
n-u fracasos
Para obtener en todos los ordenes posibles, debemos multiplicar la
expresión anterior por Cn,u.
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Veamos otra forma de resolver: utilizando la definición de Laplace
Los casos posibles: son los grupos de n elementos de los N
dados.
Los casos favorables : por cada grupo de u de los k éxitos,
tenemos otro de n-u de los N-k fracasos. Quedando:
 k  N  k 
 

u  n  u 

P(u ; N , n, k ) 
N
 
u 
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DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA : DEFINICION:
La Distribución de Probabilidad de la variable aleatoria
Hípergeométrica X, el número de éxitos en una muestra aleatoria
de tamaño n que se selecciona de N artículos de los que k se
denominan éxito y N-k fracasos, es:
 k  N  k 
 

x  n  x 

P( x ; N , n, k ) 
N
 
n 
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LA ESPERANZA MATEMÁTICA Y LA VARIANZA DE LA DISTRIBUCION
HIPERGEOMETRICA X~ h (x; N, n, k) son:
nk
N
N n k 
k
V (X ) 
n 1  
N 1 N  N 
E( X ) 
Relación entre las distribuciones Hipergeometrica y binomial.
Si n es pequeño comparado con N, entonces k/N varía muy poco de
una prueba a otra y por tanto juega un papel similar a p en la binomial.
Como consecuencia , la distribución Binomial puede pensarse como
una versión de población grande de la Hipergeometrica y sus
parámetros :
k
 np
N
k
k
V ( X )  n (1  )  npq
N
N
E( X )  n
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Otros modelos basados en la prueba de Bernoulli.
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
DEFINICION: Realizamos pruebas de Bernoulli independientes ,
con P( E )=p en cada prueba, hasta la aparición del primer éxito.
La distribución Geométrica es la distribución de la variable
aleatoria X: “número de fracasos hasta la aparición del primer
éxito”. Su función de probabilidad es:
P( X  x)  q x p
para x  0,1,...
También se puede definir a X “número de pruebas hasta obtener
el primer éxito”:
P( X  x)  q x 1 p
x  1, 2, ...
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20
Cálculo de la Esperanza matemática de una variable geométrica

E( X )   x q x p 
x 1
q

 2

2
q  q
 
q q2
qn
 p 3
 p( 
 ... 
 ...) 
3
3
p p
p
q  q  q 
 . . . .. . 


q
 q  q 2  ...  q n  .... 
p
 sumando por columnas
E( X )  q / p
V (X )  q / p2
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DISTRIBUCION POISSON
Sea un intervalo continuo (soporte) de amplitud H, en el que se
producen en promedio l éxitos de un acontecimiento A, con P(A)
constante en todo el intervalo
Por ejemplo: numero de casos en un año
l  4 /año
Si el soporte se subdivide en un número (n) muy grande (
n 
)
de subintervalos, la probabilidad de obtener 1 éxito en cualquiera de
ellos es
pi  l
n
y tiende a CERO manteniéndo
l : constante,
finita y
distinta de 0
Probabilidad de encontrar 1 caso en un dia =
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4 /365 = 0.01
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Cada intervalo constituye 1 ensayo de Bernouilli ( solo puede
producirse o 1 éxito o 1 fracaso) con
pi
constante
En los n intervalos, x (numero de éxitos) tendrá Distribución Binomial
n x nx
p ( x)  C x p q
Y la distribución esperada con l constante será:
n l 
p( x, l )  lim C x  
n
n

l cte .
x
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1  l 
 n


nx
lx .e l

x!
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MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON
Si l = cte = np y n tiende a , entonces p tiende a 0
por lo tanto q tiende a 1
La media es np = l
La varianza será s 2 = npq = l q = l
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Mostremos la obtención de la fórmula de Poisson , como el
límite de la Binomial B(n;p), si
n  ; p  0; np  l
n
n(n  1)..( n  x  1) x n  x
lim   p x q n  x  lim
p q 
x!
 x
n(n  1)...( n  x  1)
x n x
 lim
(
np
)
q 
x
x!n
n
1  n n 1 n  x  1
x q
 lim 
....
(np ) x 
x!  n n
n
q

e l l x

x!
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25
APROXIMACION DE LA BINOMIAL POR LA POISSON
Por la forma que fue generada la distribución Poisson, se deduce que
puede suministrar una buena aproximación de la binomial
n  p  0
BINOMIAL
np  l
POISSON
es constante
EN LA PRACTICA: LA APROXIMACION ES MUY BUENA SI
np  5
siendo
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n  50
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EJEMPLO
Una enfermedad tiene una incidencia (prop.nuevos casos/tiempo) de
0.01 por dia . En muestras de 100 sujetos cada una:
1. ¿Cuál es el numero de enfermos esperado al finalizar el primer dia?
np = 100 x 0.01 = 1
2. ¿Cuál es la varianza del numero de enfermos?
npq = 100 x 0.01x0.99 = 0.99
3. ¿Cuál es la probabilidad de que al finalizar el primer dia no haya
ningún enfermo? p( x = 0)
Por la Binomial
C
100
0
 0.01  0.99
0
100
 0.36603
¿Puede usarse la aproximación Poisson? Condiciones np  5 y n
se cumplen
0
1
Por la Poisson
1 e
0!
 50
 0.36788
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DISTRIBUCION MULTINOMIAL
Cuando hay más de dos acontecimientos posibles (A1, A2, A3...)
con probabilidades p1 , p2 , p3... constantes y
tales que
 pi  1
x1 x2 x3
n!
p( x1 , x2 , x3 ...) 
p1 . p2 . p3 ....
x1! x2 ! x3!..
E ( xi )  npi
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28
EJERCICIOS
1. Un método de diagnóstico tiene 3 resultados posibles:
positivo (P), negativo (N) y dudoso (D)
Se sabe que, en la población, el 10% de los sujetos son
positivos, el 70% negativos y el resto dudosos. ¿Qué
probabilidad hay de, en una muestra de 5 individuos, obtener
exactamente 1 positivo , 1 negativo y 3 dudosos ?

p( x )  p(1,3,1) 
5!
0.11  0.71  0.23  0.0112
1!.3!.1!
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29
EJERCICIOS
2. Un acontecimiento ocurre, en la población, en el 10% de los
casos. ¿Qué tamaño de muestra debo tomar para tener una
probabilidad del 95% de obtener- al menos- un éxito ?
0.95 
n

x 1
0.95  0.1.
pq
n
x
q
1
x 1
pq
 p.
q

1
x1
x 1
x
0.9 1
0.9 1

 0.95  (0.9 x 1)  0.95  0.9 x 1
ln 0.05
 0.05  0.9  ln 0.05  x ln 0.9  x 
 28.4  29
ln 0.9
x
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30
EJERCICIOS
4. En un muestreo con reposición de una población de tamaño
100 con p = 0.1 y tomando una muestra de tamaño 10 ¿qué
probabilidad hay de obtener más de 1 éxito ?
p( x  1)  1 ( p(0)  p(1)) 
10
0 10
 1  (C0 0.1 0.9
10
1 9
 C1 0.1 0.9 ) 
1 (0.3487  0.3874 )  0.2639
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31
EJERCICIOS
5. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 1 éxito si el
muestreo se hace sin reposición ?
10 90
C0 C10
p( x  1)  1  ( 100
C10

10 90
C1 C9
)

100
C10
1 (0.3305  0.408 )  0.2615
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32
EJERCICIOS
6. A un puesto de vacunación llegan, en promedio, 10 personas
por hora. Calcule la probabilidad de que en una hora lleguen
menos de 3 personas
p( x  3)  p(0)  p(1)  p(2) 
0 10
10 e

0!
1 10
10 e

1!
2 10
10 e

2!
 0.00277
GRACIAS UNED Y FAC VETERINARIA .
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33