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Física
La concepción pitagórica del universo y el modelo aristotélico
2º BACHILLERATO
 La escuela pitagórica explicó la estructura del
universo en términos matemáticos
 El gran fuego central, origen de todo, se
relacionaba con el Uno, origen de los números
 A su alrededor girarían la Tierra, la Luna, el Sol y
los planetas
 El periodo de revolución de la Tierra en torno al
fuego central era de 24 horas, a quien le ofrecía
siempre su cara oculta
 Los periodos de la Luna y el Sol eran un mes y un
año respectivamente
 El universo concluiría en una esfera celeste de
estrellas fijas, y más allá se encontraba el Olimpo
 El número de cuerpos que formaban el universo
era de 10 (obsesión por los números)
 Como solo observaban nueve, suponían que el
décimo estaba situado entre la Tierra y el gran
fuego, al que llamaron Antitierra
Pitágoras nació en Samos hacia el año
569 a.C.
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El modelo de Aristóteles
Física
2º BACHILLERATO
 El universo estaba constituido por dos regiones esféricas, separadas y concéntricas
 La Tierra que ocupaba el centro del universo, era
la región de los elementos, fuego, aire, agua y
tierra
 Más allá de la esfera lunar se encontraba la
región etérea de los cielos, cuyo único
elemento era la incorruptible quinta esencia
 Los movimientos de todos los astros situados
en esferas concéntricas con la Tierra eran
perfectos
 El universo concluía con la esfera de las
estrellas fijas
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Física
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El geocentrismo de Ptolomeo
 Vivió en Alejandría en el siglo II y fue el
más célebre astrónomo de la antigüedad
Estrella
lejana
 Las causas más importantes de los
modelos geocéntricos frente a los
heliocéntricos fueron:
- La falta de cálculos y predicciones
cuantitativas sobre las trayectorias de
los planetas
- Si la Tierra no fuese el centro del
universo, a lo largo de su recorrido
habría estrellas que tendrían que
verse bajo distintos ángulos. Este
fenómeno se denomina paralaje de
las estrellas fijas
 Ptolomeo justificó su modelo calculando
los movimientos planetarios y prediciendo eclipses de Sol y de Luna

’
Sol
Tierra
Paralaje anual de las estrellas fijas
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2º BACHILLERATO
El modelo de Ptolomeo. Excentricidad de las trayectorias
 Las estrellas se describen como puntos en la esfera celeste que giran en torno a la
Tierra y mantienen las distancias fijas entre ellos, lo que justifica que pertenezca a una
única esfera hueca
 El Sol y la Luna presentan un movimiento
diferente
 Ptolomeo introdujo la excentricidad de las
trayectorias, es decir, un desplazamiento
del centro de la órbita (Ex) respecto al
centro de la Tierra
 La velocidad angular de las trayectorias
debía se constante respecto de un punto
fuera del centro de la trayectoria, artificio
que denominó ecuante (Ec)
 Estos ajustes explican las diferencias de
brillo y tamaño que se observan en el Sol
y la Luna, y los cambios de velocidad del
Sol a lo largo de su trayectoria
Luna
t
Ec E x
Tierra
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El modelo de Ptolomeo. Eclíptica y epiciclos
 Ptolomeo observó que los planetas
realizaban movimientos retrógrados,
volviendo
sobre
su
trayectoria
formando lazos en la esfera celeste
 Para justificarlo utilizó un movimiento
compuesto por dos rotaciones
 El planeta giraba alrededor de un
punto que era el que en realidad
rotaba con respecto a la Tierra
 La órbita alrededor de la Tierra se
denomina eclíptica y la del planeta
epiciclo
 Un modelo sencillo de epiciclos no
daba respuesta a las caprichosas
órbitas de algunos planetas, por lo
que hubo que introducir varios
epiciclos, e incluso epiciclos dentro de
otros epiciclos
Física
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Física
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Copérnico. Movimiento retrógrado de los planetas
 Desde la Tierra se apreciaba que planetas como Mercurio y Venus, que están más
cercanos al Sol, tenían un brillo variable a lo largo del año, lo que parecía indicar que
las distancias con respecto a la Tierra variaban y por tanto no podían girar alrededor de
esta; se llegó a la conclusión que todos los planetas tenían que girar alrededor del Sol
I
I
H
H
G
I
G
F
F
E
E
D
C
H
E
B
D
D
G
C
C
A
F
B
B
A
A
 Este planteamiento le permitió justificar el movimiento retrógrado de los planetas para el
que Ptolomeo había introducido los epiciclos
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Galileo
Física
2º BACHILLERATO
 Galileo consiguió observar las fases de
Venus con la ayuda de un telescopio,
convirtiéndose así en el primer
defensor a ultranza del sistema
copernicano
 Encontró infinidad de estrellas nunca
vistas hasta entonces y llegó a
descubrir la deformidad de la Luna y
su superficie rugosa
 En 1610 Galileo descubrió los satélites
de Júpiter, confirmando así que la
Tierra no era el centro del universo
 En 1632 publicó en Florencia su obra
Diálogo sobre los dos grandes
sistemas del mundo
 Un año después fue procesado por la
Inquisición
Galileo nació en Pisa en 1564
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Física
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Las leyes de Kepler. Primera ley
 Tras cuatro años de observaciones
sobre Marte, llegó a la conclusión de
que los datos colocaban las órbitas
ocho minutos de arco fuera del
esquema circular de Copérnico
Perihelio
 Comprobó que este hecho se repetía
para todos los planetas
 Descubrió que la elipse era la curva que
podía definir el movimiento planetario
 La posición del extremo del semieje
mayor más alejada del Sol se llama
afelio
Afelio
Foco
  Eje menor

Sol
b
a
Eje mayor
 La posición más cercana, es el perihelio
Primera ley: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor
del Sol, estando situado este, en uno de sus focos
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Segunda ley de Kepler
 Kepler observó que la velocidad de
los planetas dependía de su posición
en la órbita
1 de enero
30 de
julio

r 1 enero
A
Segunda ley: El radiovector dirigido
desde el Sol a los planetas, barre
áreas iguales en tiempos iguales
A
Sol

r 1 julio
30 de
enero
1 de
julio
 El módulo del producto vectorial de 2 vectores es el área del paralelogramo que forman.
1  
Para un triángulo: dA 
r  v dt
2

 Como en elsistema podemos considerar que no hay fuerzas externas, entonces M  0 y
por tanto L  cte . A partir de aquí se deduce que la velocidad areolar también es
constante ya que es:

dA 1  
1 L


 cte
r  v
dt
2
2 m
siendo dA/dt la velocidad areolar
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100 Tercera ley de Kepler
 Sirvió como base de la ley de Newton de la gravitación universal, y permitió calcular la
masa de los planetas
 Cada planeta, parecía tener su órbita propia y su velocidad independiente del resto.
Buscó la regla y encontró la solución en las medidas de Tycho Brahe
 Esta ley muestra la relación entre los tamaños de las órbitas y el tiempo empleado por
los planetas en recorrerlas
Tercera ley: El cuadrado de los periodos de revolución de los planetas
alrededor del Sol (T) es proporcional a los cubos de los semiejes
mayores, o radios medios, de sus órbitas (a), T 2 = Ka 3 siendo K una
constante igual para todos los planetas

 Como el sistema solares un sistema aislado de fuerzas,  M = 0, por tanto se conserva
el momento angular L = cte
 La conservación de la dirección y el sentido obliga a que los planetas siempre giren en el
mismo sentido y en órbitas planas
 La conservación del módulo justifica la ley de las áreas
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111 Newton y la gravitación universal
 La atracción de la esfera actúa como si toda
su masa estuviese concentrada en el centro
 Si M es la masa de la Tierra y R su radio, la
fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m
situado a una altura h sobre su superficie
responde a la ley de Newton:
FG
Mm
r2
G
Mm
(R  h)2
 A partir de esta ley, Newton pudo explicar
fenómenos tales como:
- las protuberancias de la Tierra y de
Júpiter a causa de su rotación
- el origen de las mareas
- las trayectorias de los planetas
- la variación de la gravedad con la altura
- el cambio en el eje de rotación de la Tierra, etc
m
h
r
R
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122 Aplicaciones de la ley de la gravitación
 H. Cavendish verificó experimentalmente el valor de la constante G, y a partir de su
valor, se puede deducir la tercera ley de Kepler de la gravitación universal de Newton
 En el sistema formado por un planeta en su giro en torno al Sol, la única fuerza que
mantiene a los planetas en su órbita es la fuerza centrípeta
Mm
v2
FN  Fc  G 2  m
r
r
 Despejando v resulta:
v
G
M
r
(1)
que es la velocidad de un planeta o satélite girando en una órbita de radio r alrededor
de un cuerpo de masa M
s 2 r
 Como v es aproximadamente constante: v  
(2)
t
T
 Igualando (1) y (2):
2
M 4 2 r 2
2 r
M
2  4
r 3 (3ª ley de Kepler )
T

 G 
G

GM
r
T
r
T2
 Este resultado permite calcular la masa de cualquier planeta conocido el período y el
radio de uno se sus satélites
 Si M es la masa del Sol, el valor de la constante coincidirá con el valor que calculó Kepler
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133 Aplicación al cálculo de la fuerza ejercida sobre cada masa
Cuatro masas de 2 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de 1 m
de lado. Calcular la fuerza que se ejerce sobre cada masa como resultado de las
interacciones de las otras
Datos: G = 6,67.10-11 Nm2/kg2
 Por la geometría de la figura, se cumple que:
F1 = F2 cuya suma es F’ = F1
m
2
 La primera fuerza es: F1  G m m  4 G
L2
y por tanto: F’ = 4 G 2
 La tercera fuerza es: F3  G
luego: F3 = 2 G
mm
2
1m
m

F'
2G
m
(L 2 )

F3 F1

F2
 La fuerza total será: FT = F’ + F3  FT = 4 G
2 + 2G = 7,66 G
FT = 7,66 G (N)

m
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144 Deducción de la ley de Newton a partir de las leyes de Kepler
 Se supone que las órbitas descritas por los planetas en torno al Sol son circulares, sin
que ello suponga cometer un gran error puesto que en realidad son prácticamente así
2
T
 Su aceleración centrípeta: a = 2 R
 Velocidad angular del planeta:  
 Por la 3ª ley de Kepler (T2 = kR3): a 
 a
4 2
T
4 2
3
kR
R
2
Tierra
R
R
F
cte
R2
Sol
 La fuerza F ejercida sobre un planeta de masa m es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
m
F  m a  cte 2
R
 Dicha constante incluye la masa del Sol es decir: cte = GM  F  G

Mm
R2
Ley de la
gravitación
universal
La ley de gravitación universal indica que la fuerza de interacción entre
dos partículas materiales es directamente proporcional al producto de
las masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia