Download Slide 1 - licimep.org
Document related concepts
Transcript
1. Electrostática 2. Electrostática con medios materiales 3. Magnetostática 4. Magnetostática con medios materiales 5. Los campos variables en el tiempo y las ecuaciones de Maxwel Capítulo 1: Electrostática Introducción La carga eléctrica y su conservación La ley de Coulomb Los sistemas de unidades El campo electrostático. El concepto de campo El campo electrostático de una carga puntual El principio de superposición El campo eléctrico de un dipolo El campo de una distribución general de cargas puntuales El campo eléctrico de una distribución continua de carga La fuerza eléctrica La obtención del campo eléctrico por integración directa E (r )dV r r 2 r r r r N E i 1 qi r ri 2 r ri + r ri ( r )dV r r r r r r ( r )dS r r r r r r ( r )dl r r r r r r + 2 2 2 F QE q E (r ) 2 rˆ r más la expresión para la fuerza eléctrica FQ QE nos da Qq FQ 2 rˆ r E (r )dV r r 2 r r r r r,0,0 2 E (r ) rˆ r 2 E (r ) rˆ r z E (r ) 2 z kˆ (r ) 0 R si r R si r R E Q r rˆ 3 R E (r ) Q rˆ 2 r 0rR Rr 4 R 3 Q 3 R r q E (r ) 2 rˆ r (r ) 0 R si r R si r R 0 2 ˆ E ( z ) 4 R r 1 r2 rR rR ( r , , z ) a E( z) 2 az a Q 2 z 3 2 2 kˆ z a 2 z 3 2 2 kˆ Q 2 a Ez 2 2 z z (0,0, z ) a z ˆ z E z 2 k 2 2 z a z El campo eléctrico en todo el espacio 4 0 4 El campo eléctrico en todo el espacio 0 4 0 Capítulo 1: ELECTROSTÁTICA El potencial electrostático El gradiente del potencial electrostático La ley de Gauss La divergencia del campo eléctrico. Forma diferencial de la ley de Gauss El rotacional del campo electrostático Las ecuaciones de Maxwell para la electrostática La ecuación de Poisson y la ecuación de Laplace La energía y el trabajo en el campo electrostático Los aislantes y los conductores El campo eléctrico en los conductores Los métodos de solución de problemas electrostáticos r r0 q Pr r r0 E (r ) q r r0 2 r r0 r r0 q E (r ) 2 rˆ r Q P2 P1 Q P2 W C P1 P2 F dl P1 W F dl C P1 P2 Qq W rˆ dl 2 r C P1 P2 q rˆ P2 P1 rˆ dl q dl 2 2 r r C P1 P2 C P1 P2 P1 P2 C P1 P2 E dl En general, la integral depende de la trayectoria C P1 P2 Si la integral depende de la trayectoria de P1 a P2, podemos obtener trabajo del campo, llevando la carga al punto P2 por una trayectoria y regresándola a P1 por otra. De ida agarramos una trayectoria en la que se haga menos trabajo y de regreso una donde se haga más. Esto no es imposible, no viola ninguna ley. De hecho hay casos en que sucede. Parte del sistema pierde energía y así la ley de conservación de la energía se cumple. Sin embargo, en electrostática todas las cargas están “fijas” y no hay forma de que el sistema pierda energía Por eso debemos esperar que en el caso electrostático la integral no dependa de la trayectoria. O lo que es lo mismo que la integral sobre una trayectoria cerrada sea cero The Feynam Lectures on Physics. Sección 4.3 P2 P1 q P1 P2 E dl E dl 0 C P1 P2 E dl 0 q E (r ) 2 rˆ r Z dl P2 E dl dr P1 q X P2 Y P1 rˆ dr rˆ dl E dl q 2 q 2 r r P1 P1 P1 P2 P2 P2 1 1 dr 1 q 2 q q r r r1 r2 r1 P1 P2 1 1 q r1 r2 r2 P1 0 0 0 P2 1 1 P1 P2 E dl q r1 r2 C P1 P2 En el caso de una carga puntual la integral no depende de la trayectoria o lo que es lo mismo La integral sobre cualquier trayectoria cerrada es cero Si fijamos P1 , entonces tenemos una función del punto, es decir, una función de R R. 3 En particular, si P1 está en el infinito tenemos la definición del potencial electrostático de una carga puntual q r r :R R 3 P2 P2 P1 P1 W F dl Q E dl P2 W E dl Q P1 N E r i 1 P1 P2 qi 2 r ri N C P1 P2 Ei r r ri N Ei r r ri i 1 E dl i 1 C P1 P2 qi r ri iN r i 1 2 r ri r ri qi r ri Ei dl (r )dV r r E r 2 r r r r P1 P2 E dl (r ) C P1 P2 r N i 1 C P1 P2 r r dV Ei dl P1 P2 E dl 0 E dl no depende de la trayectoria C P1 P2 para cualquiera trayecto cerrado C C Un campo con estas características se llama CONSERVATIVO P1 P2 E dl 0 C E 0 E dl no depende de la trayectoria C P1 P2 para cualquiera trayecto cerrado C El que el campo electrostático sea conservativo se debe al carácter radial de la fuerza electrostática. Se debe a la simetría y dirección de la fuerza electrostática Y x x x X Z x, y, z W x x, y, z x, y , z x, y , z x x, y , z x x, y, z x x x, y, z W x x Y x x x X Z x x W x E dl Ex x Haciendo lo mismo en la dirección Y y Z, llegamos a la conclusión que E , , x y z Es decir, que E Que E es más o menos obvio de la definición de P2 E dl P1 como integral de E r (r ) r r dV es una integral más fácil de hacer que E r r r (r ) r r 2 r r y ya fácilmente E se encuentra derivando E dV q E (r ) 2 rˆ r 1 sin A A 1 Ar 1 rA ˆ 1 rA Ar ˆ A rˆ r sin r sin r r r r 1 1/ r 2 E (r ) q r sin ˆ q 1/ r ˆ 2 r E (r ) 0 Pr incipio de superposición E r (r ) r r r r 2 r r dV nos lleva a que en general E (r ) 0 E (r ) 0 OJO: Esto es válido para el campo electrostático, que es un campo conservativo P1 P2 C P1 P2 (r ) r dV r r E E 0 E dl A : R3 R3 A dS S A dS A S Flujo A dS S E S (V ) E dS 4 Q S (V ) 4 r ´ dV ´ V El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie por 4 • El que el flujo a través de una superficie cerrada sea cero no implica que no haya carga dentro de la superficie. Solo que el total de la carga encerrada es cero. • El que el flujo a través de una superficie cerrada sea cero no implica que el campo sea cero. • Angulo sólido • Integral de superficie • El flujo de un campo vectorial l r l (radianes)= r El ángulo sólido subtendido por una superficie S se define como el área de la superficie en una esfera unitaria (de radio 1) cubierta por la proyección de la superficie en la esfera nˆ dS 2 r S sin d d S Los ángulos solidos se miden en steradianes sin d d S 2 0 0 0 sin d d 2 sin d 4 A : R3 R3 A dS S A dS A S Flujo A dS S q E (r ) 2 rˆ r Eb b Ea a q caras laterales 0 cara a E dS 0 q a Ea a 2 q a cara b 2 2 q b Eb b 2 q b 2 2 Total 0 En q E caras laterales 0 cara a E dS 0 a2 a2 q Ea nˆ cos 2 q cos cos a cara b b2 b2 q Eb nˆ cos 2 q cos cos b Total 0 q Total 0 Flujo del campo electrico de una carga puntual q en el origen sobre una esfera centrada en la carga q E (r ) 2 rˆ r La superficie es una esfera de radio a, por tanto dS a 2 sin d d rˆ 2 0 0 2 q 2 a sin d d rˆ rˆ q sin d d 4 q 2 a 0 0 4 q q 4 q Flujo del campo electrico de una carga puntual q en el origen sobre un plano z a con lado L q E ( r ) 2 rˆ q r ( x, y , z ) x 2 y2 z2 3 2 La superficie es el plano z a, por tanto dS dx dy kˆ L L cara q 0 0 cara adxdy x 2 q 3 2 y2 a2 3 2 2 q 3 dS L q E total 6 cara 2 6 q 4 q 3 total 4 q S q ˆ q E dS E ndS S ˆ rˆ ndS S S rˆ nˆ dS 2 r es la proyección del área dS en un plano perpendicular a r . Por tanto ˆ rˆ ndS d r2 Considerando una esfera que pase por el centro del elemento infinitesimal de área ˆ rˆ ndS d r 2 e ˆ ˆ rˆ ndS rˆ ndS S r 2 S r 2 4 S q S 4 q qj q1 q1 q2 qi q2 N1 E r i 1 qi r ri qj r r r r r ri j 1 r r 2 r rj j N2 2 4 Q S E S (V ) E dS 4 Q S (V ) 4 r ´ dV ´ V El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie por 4 • El que el flujo a través de una superficie cerrada sea cero no implica que no haya carga dentro de la superficie. Solo que el total de la carga encerrada es cero. • El que el flujo a través de una superficie cerrada sea cero no implica que el campo sea cero. Ejemplos del uso de la ley de Gauss para calcular campos electrostáticos A z 2 EA 4 A(2 z ) A z E ( z ) 4 zkˆ A z d A z 2 EA 4 Ad d z ˆ E 2 d k z La ley de Coulomb F q1q2 r2 r1 2 r2 r1 r2 r1 r ri El principio de superposición E r 2 r ri i 1 r ri nos da S (V ) N E dS 4 r ´ dV ´ V qi E S (V ) E dS 4 Q S (V ) 4 r ´ dV ´ V El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie por 4 E dS 4 r ´ dV ´ S (V ) V E dS E 4 r S (V ) 4 r ´ dV ´ 4 q V q 2 q E 2 r q E r 2 rˆ r Qq F QE 2 rˆ r No hay forma de derivarlo •Con la ley de Gauss se resuelven problemas con mucha simetría •La simetría nos permite “adivinar” parte de la solución. Por ejemplo las caracteristicas vectoriales •La simetría nos permite saber sobre que superficies el campo electrostático debe permanecer constante ¡ NO depende ni de ni de ! 1. Fuera de la esfera E E dS 4 Q S (V ) 4 r ´ dV ´ S (V ) V a (r ) r Q E (r ) 2 rˆ r ¡ NO depende ni de ni de ! 2. Dentro de la esfera E E dS 4 Q S (V ) 4 r ´ dV ´ S (V ) V E 4 r 2 4 (r´)dV ´ Esfera radio r r a 1 E (r ) rˆ 2 (r´)dV ´ r Esfera radio r (r ) r 4 E (r ) 2 rˆ (r´)r´2 dr´ r 0 ¡ NO depende ni de ni de ! 2. Dentro de la esfera 4 E ( r ) 2 rˆ r r 0 (r´)r´ dr´ 2 ¡ NO depende ni de ni de ! 2. Dentro de la esfera 4 E ( r ) 2 rˆ r r (r´)r´ dr´ 2 0 40 (r ) 0 E (r ) rrˆ 3 ¡ NO depende ni de ni de ! 2. Dentro de la esfera 4 E ( r ) 2 rˆ r r (r´)r´ dr´ 2 0 40 n 1 ( r ) 0 r E ( r ) r rˆ n 3 n ¡ NO depende ni de ni de ! 2. Dentro de la esfera 4 E ( r ) 2 rˆ r r (r´)r´ dr´ 2 0 r r e 1 e ˆ (r ) 0 2 E (r ) 4 r 2 r r ¡ NO depende ni de ni de ! 2. Dentro de la esfera 4 E ( r ) 2 rˆ r r (r´)r´ dr´ 2 0 r (r ) 0 ln(r ) E (r ) 4 3ln(r ) 1 rˆ 9 a r E E dS 4 Q S (V ) 4 r ´ dV ´ S (V ) h V E E 2 rh 4 r 2 h E 2 r 2 h rh 2 r E (r ) 2 rrˆ a r h E E dS 4 Q S (V ) 4 r ´ dV ´ S (V ) V E E 2 rh 4 a 2 h E 2 a 2 r 2 a 2 r 1ˆ E (r ) 2 a r r 2 2 " r ra 2 rrˆ E (r ) 2 1 2 a r rˆ r a vacío ra 2 E dS E 4 r S 4 Q S 4 r 3 4 1 3 4 r 3 E 4 r 4 1 3 2 4 E 1r 3 4 E r 1rrˆ 3 ar b 2 r 4 E dS E S 4 Q S 4 a 3 4 1 3 4 a 3 E 4 r 4 1 3 2 1 4 a 3 1 2 E r 3 3 rˆ rˆ a 4 1 2 Q1 2 E r r r 3 br c 2 r 4 E dS E S1 4 Q S 4 a 3 4 1 3 4 r 3 4 b3 4 2 3 3 4 a 3 1 4 r 3 4 b3 2 E 2 3 r2 3 r 3 4 a 3 4 b3 rˆ 4 2 rrˆ 2 2 1 E r 3 r 3 3 r c E dS E 4 r 2 S1 4 Q S 4 a 3 4 1 3 4 c 3 4 b3 4 2 3 3 E Q1 Q2 2 2 r r Q1 Q2 E r rˆ 2 r 41 r 0 r a 3 Q1 ar b 2 r E (r ) rˆ 3 3 4 a 4 b 1 4 2 1 2 r 2 3 3 r 3 Q1 Q2 cr 2 r brc