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REPUBLICA BOLIVARIANA DE
VENEZUELA
FísicaMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
POLITECNICADE LA FUERZAS ARMADAS
para Arquitectura
2. Movimiento Armónico
Simple
Teoría
Ejemplos
PROFESOR:
Ing. JULIO CESAR ULACIO
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos.
http://fisicaparalavida.blogspot.com
San Fernando de Apure, Mayo de 2010
Conocimientos previos
• Rapidez lineal:
v
distancia
tiempo
tiempo
• Segunda ley de Newton:

F RE

F RE
a
m

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
a
ING. JULIO CESAR ULACIO
2
Movimiento circular
•
•
•
El movimiento del cuerpo rígido, en
general puede interpretarse como la
composición de dos movimientos:
traslación y rotación.
Cuando un sólido rota, el segmento
trazado desde el eje de giro a cualquiera
de sus puntos barre un ángulo respecto
a dicho eje de giro.
Existe una relación entre este ángulo
(expresado en radianes) y el segmento
de arco formado:
s  r .
s  1, 20 
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
4
r = 1,20 m
m  0, 942 m
ING. JULIO CESAR ULACIO


4
3
Ejercicio
•
•
Un barco carguero de 200 m de
longitud forma un ángulo de /10
radianes con la visual de un observador.
¿A qué distancia del observador se
encuentra el barco?
Solución
s  r .
200 m  r 
r  637 m
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
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ING. JULIO CESAR ULACIO
4
Rapidez angular
•
•
•
La rapidez con que rota un cuerpo
rígido depende del tiempo que demora
en barrer un ángulo determinado.
A dicha rapidez se le denomina rapidez
angular, , y se obtiene dividiendo el
ángulo barrido entre el tiempo
transcurrido.
Rapidez angular media
med 
•
 ; t
 (t )
t
Rapidez angular instantánea
 (t )
  lim
t  0
t
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  
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rad
s
5
Relación entre rapidez tangencial y angular
•
A partir de la relación que existe entre
el radio y el ángulo, se puede hallar una
relación entre la rapidez angular y la
rapidez tangencial o lineal.
•
•
s  r .
•
s

 r.
t
t
450 rpm  47, 3
v  r .
•
Ejercicio
La rapidez angular de un DVD-ROM
de computadora varía entre 200 rpm y
450 rpm . Si el radio del disco es de 10,0
cm, ¿cuál es la rapidez tangencial
máxima del borde del disco?
Solución
v  10,0 cm  47, 3
rad
s
rad
cm
 473
s
s
La unidad de medida también es la
revolución por minuto o rpm.
1 rpm  0,105
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rad
s
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6
Periodo y frecuencia en el MCU
•
•
•
Otras magnitudes usadas para describir
el movimiento circular son el periodo (T)
y la frecuencia (f ).
El periodo es el tiempo que demora un
cuerpo en dar una vuelta completa. Se
mide en unidades tiempo.
Por ejemplo,
1200 rpm
•
•
Si el motor rota a 1200 rpm, en 60
segundos dará 1200 vueltas.
Lo que significa que su periodo será de
60
s  0,0500 s
1200
•
La frecuencia es el número de veces que
rota el cuerpo por segundo. Se mide en
hertz.
F=20 Hz
Motor asíncrono para ascensor
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Dirección de la velocidad angular
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Causa del movimiento circular uniforme
T paralelo
 fuerza centrípeta
La fuerza resultante está dirigida
hacia el centro de giro. Esta fuerza
recibe el nombre de centrípeta y es la
responsable de la producción del
movimiento circular.
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9
Fuerza centrípeta y aceleración centrípeta en el MCU
•
La aceleración centrípeta o radial también
se expresa a través de la velocidad
angular.
v2
ac 
r
•
La fuerza centrípeta, al igual que la
expresión general de la segunda ley de
Newton, es igual al producto de la
masa por la aceleración centrípeta.
Fc  mac
ac  r  2
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Ejercicio
• Un lanzador de disco gira el disco
un círculo de radio 80,0 cm. En
cierto instante, el lanzador gira con
una rapidez angular de 5,0 rad/s.
Calcule la aceleración centrípeta del
disco.
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ac  r  2
ING. JULIO CESAR ULACIO
= 20 m/s2
11
MCUV: aceleración angular constante
•
La aceleración angular es la rapidez de
cambio de la velocidad angular.

•
d
dt
En el caso de que la aceleración angular
es constante se puede hallar la
expresión de la velocidad angular.
 (t )  0   t
•
La expresión de la posición angular.
1 2
 (t )   0  0t   t
2
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Movimiento circular uniformemente variado
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RELACION ENTRE MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORME Y MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
P
B
P’ A
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RELACION ENTRE MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORME Y MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
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UNIFORME Y MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
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UNIFORME Y MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
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P
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P’ A
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DIAGRAMA PARA LA RELACION ENTRE MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Y MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
X
P
M.C.U
R=A
-x
B
P’
x
O
P’
A
X
M. A. S
P
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M.C.U
63
Movimiento periódico
•
Un cuerpo con movimiento periódico
se caracteriza por una posición de
equilibrio estable, alrededor del cual se
desplaza el móvil. La característica de
este movimiento es que se repite
regularmente; es decir, se repite cada
cierto tiempo, T, denominado periodo.
•
Ejemplo:
– El movimiento de
alrededor del Sol.
la
Tierra
El movimiento de los planetas alrededor del Sol
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64
Ejercicios
•
Ejercicio. Un transductor ultrasónico
empleado para el diagnostico de
fracturas en estructuras oscila con una
frecuencia de 6,7 MHz . ¿Cuánto tarda
cada oscilación y qué frecuencia
angular tiene?
•
Respuesta
T = 0,15 µs
 = 4,2 x 107 rad/s
•
•
Ejercicio Si un objeto en una
superficie horizontal sin fricción se une
a un resorte, se desplaza y después se
suelta, oscilará. Si se desplaza 0,120 m
de su posición de equilibrio y se suelta
con una rapidez inicial cero, después de
0, 800 s su desplazamiento es de 0,120
m en el lado opuesto, habiendo pasado
la posición de equilibrio una vez.
Calcule: a) la amplitud; b) el periodo, c)
la frecuencia.
Respuesta
f 
•
•
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1
Hz  0,625 Hz
1,60
A = 0,120 m
T = 1,60 s
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65
Movimiento Armónico Simple
•
El movimiento armónico simple es un
movimiento oscilatorio, tal que la
fuerza resultante que actúa sobre el
cuerpo es proporcional a su
desplazamiento.
F  kx
•
•
Un ejemplo de dicho movimiento es el
caso de un bloque que oscila
libremente por acción de la fuerza
recuperadora de un resorte. El bloque
se mueve sobre una superficie sin
fricción.
Donde k es la constante de elasticidad
del resorte.
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•
•
Pregunta
¿Qué resorte se estirará más por la
acción de una misma fuerza, uno de k
= 200 N/m o uno de 400 N/m?
ING. JULIO CESAR ULACIO
66
Elementos del MAS
v=0
v máxima
v=0
x
A
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A
A - amplitud
T - periodo
x - elongación
f - frecuencia
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Energía del MAS
•
La energía que almacena un resorte está dada por la expresión:
U
•
•
•
1 2
kx
2
y recibe el nombre de Energía potencial elástica.
La unidad de la energía almacenada por el resorte es el joule (J).
La energía potencial elástica cambia de valor cuando cambia la elongación del resorte.
Es máxima cuando la elongación es igual a la amplitud y mínima cuando la elongación es
cero; es decir, se encuentra en la posición de equilibrio.
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ING. JULIO CESAR ULACIO
68
Energía en el MAS
•
Por el contrario, la energía cinética del cuerpo en MAS es máxima cuando se encuentra
en la posición de equilibrio y cero en las posiciones de máxima elongación (amplitud).
•
Si el bloque oscila sobre una superficie sin fricción, la energía total se conserva, por lo
que al escribir la ley de conservación de la energía entre cualquier punto de la
trayectoria del cuerpo y el extremo se tendrá:
U máx 
1 2 1 2
mv  kx
2
2
1
1
1
kA 2  mv 2  kx 2
2
2
2
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v 
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k
A2  x 2 

m
69
DEDUCCION DE LA FÓRMULA DE ELONGACIÓN
Por trigonometría:
CosØ = x/A
Y
Despejando : x = ACosØ
P(t)
Como Ø = wt ,
Entonces: x = Acos(wt)
R=A
o
Ø
x
P’ B
X
Además: w = 2/ T,  en grados
Se tiene que: x = Acos(2t / T)
También: 2 = 360 grados
Remplazando: x = Acos(360t / T)
Como T = 1/f,
Finalmente x = Acos(360tf)
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ING. JULIO CESAR ULACIO
70
DEDUCCION DE LA FÓRMULA DE VELOCIDAD
Por construcción <  <, podemos escribir entonces:
,
y despejando:
VL
Y
Como V esta dirigida hacia la izquierda, entonces

V
L
V = -VLSen
Pero como VL = wR , R=A y  = wt , entonces
Vy
P(t)
V
x
V=wASen(wt)
R=A
o
V = VLSen Sen  V
Ø
V
x
P’ B
X
V = -wASen(2t/T)
finalmente
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Siendo w = 2/ T , luego:
Además f = 1/T
ING. JULIO CESAR ULACIO
V = -wASen (2t f)
71
DEDUCCION DE LA FÓRMULA DE VELOCIDAD
Otra ecuación para calcular la velocidad en función
de la amplitud y de la elongación es:
CONTINUACION…
V
Y

V
L
Vy
R=A
o
Ø
V
x
P’ B
A2  x 2
V  2f A  x
2
O también
Si en estas ecuaciones x = 0,
entonces se obtiene
la velocidad maxima, es decir:
P(t)
V
x
2
T
X
2
V 
A
T
O también
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ING. JULIO CESAR ULACIO
V  2fA
72
DEDUCCION DE LA FÓRMULA DE ACELERACIÓN
Teniendo en cuenta que <f = <, se tiene que:
Cos 
Y
ax
ac
o
a  acCos
2
Pero como a  VL
c
P(t)
y
ay
A
VL  wA entonces ac  w 2 A
Remplazando y simplificando se tiene que
R=A
Ø

a y despejando:
ac
a
P’ B
X
Además
a  w2 ASen( wt )
Luego
  wt
Y el vector esta dirigido a la
como
x  aCos(wt )
Izquierda, entonces
finalmente:
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ING. JULIO CESAR ULACIO
a   w2 x
73
Ejercicios
•
•
Ejercicio 14 13.1 Pág. 461
Un objeto con una masa de 0,500 kg se
sujeta a un resorte cuya constante es de
10,0 N/m. Si se tira del objeto para
bajarlo 0,050 m respecto a su posición
de equilibrio y se suelta, ¿qué rapidez
máxima alcanzará?
•
•
Ejercicio 17 13.1 Pág. 461
A) ¿En qué posición es máxima la
rapidez de una masa de un sistema
masa-resorte? 1) x = 0, 2) x = A o 3) x
= -A?
B) Con m = 0,250 kg, k = 100 N/m y
A = 0,10 m, ¿cuál es la rapidez
máxima?
•
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• Ahora se puede resolver los
ejercicios 13, 15- 23 de la página
461 del texto Wilson Buffa 6° Ed.
ING. JULIO CESAR ULACIO
74
Ecuación del MAS
•
•
El MAS puede interpretarse como el
estudio del movimiento de la
proyección de un cuerpo que realiza un
movimiento circular uniforme.
Recordemos que en el MCU
•
Por lo que si se escribe la ecuación
matemática de la trayectoria de la
proyección, se tendrá:
proyección
  t
x  A sen
•
O,
x  A sent
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ING. JULIO CESAR ULACIO
75
Ecuación del MAS
• La ecuación del MAS es:
x( t )  A sen( t  )
• A , ω y δ son constantes
• A es la amplitud, el desplazamiento máximo respecto a la posición de
equilibrio
• El argumento de la función sen (ωt +δ ) se denomina fase y la constante δ es
el ángulo de fase.
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ING. JULIO CESAR ULACIO
76
Ejercicio
•
•
Ejercicio 27 13.2 Pág. 461
Para la ecuación del MAS
•
y  A sent
La posición y del objeto en ¾ del
• Ahora se puede resolver los
ejercicios 27, 29, 35, 37, 39, 41,
43, 45 de la páginas 461 y 462 del
texto Wilson Buffa 6° Ed.
periodo es a) +A, b) –A, c) A/2, d) 0.
•
•
Ejercicio 41 13.2 Pág. 462
El desplazamiento de un objeto está
dado por
y  5,0 sen( 20 t )
•
Calcule a) la amplitud, b) la frecuencia
y c) el periodo de oscilación del objeto.
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