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Tema 3: Del Cálculo Diferencial a las
Ecuaciones diferenciales
3.1 Antecedentes del Cálculo: Grecia
1. Primeros pasos.
2. Números racionales.
3. Procesos infinitos
Tema 3: Del Cálculo Diferencial a las
Ecuaciones diferenciales
3.2 Antecedentes del Cálculo: Desde la
Edad Media hasta el siglo XVII
1. Desde la Edad Media hasta el siglo
XVI
2. Siglo XVI: J. Kepler, G. Galileo y B.
Cavalieri
3. Siglo XVII: R. Descartes, P. Fermat y
I. Barrow
Tema 3: Del Cálculo Diferencial a las
Ecuaciones diferenciales
3.3 Inventores del Cálculo.
1. I. Newton
2. G. Leibniz
3. Primeros desarrollos: L. Euler, J. L.
Lagrange y J.R. D´Alembert
Tema 3: Del Cálculo Diferencial a las
Ecuaciones diferenciales
3.4 Desarrollo del Cálculo.
1. El siglo XIX: El rigor sustituye a la
intuición.
2. A. Cauchy, B. Bolzano y K.
Weierstrass
Tema 3: Del Cálculo Diferencial a las
Ecuaciones diferenciales
3.5 Ecuaciones clásicas de la Física.
1. Ecuaciones de ondas
2. Ecuaciones del Calor
3. Ecuaciones del Potencial
4. Tratamiento moderno de las e.d.p.
Tema 3: Del Cálculo Diferencial a las
Ecuaciones diferenciales
3.5 Ecuaciones clásicas de la Física.
1. Ecuaciones de ondas
2. Ecuaciones del Calor
3. Ecuaciones del Potencial
4. Tratamiento moderno de las e.d.p.
Tema 4: Análisis de Fourier y
Análisis
1
Series de Fourier
1. Teoría de Operadores y su relación
con los métodos de Fourier
2. Teoría de funciones
3. Orígenes del Análisis Funcional y
desarrollo.
3.1 Antecedentes del Cálculo: Grecia.
1. Primeros pasos
 Contar por necesidad. Corneja
 Medir magnitudes.
 Números racionales
 Herencia oriental
 Circunstancias histórico-geográficas de Grecia
Tales de Mileto (585 a. C.)
1. Uno de los siete sabios: Exigencia de
la razón.
2. Termina la etapa precientífica.
3. Explicación de los fenómenos
naturales.
Pitágoras de Samos (585 a. c. ?)
1. Culto al número. Enteros positivos.
La justificación de esta creencia en los números como el principio constitutivo de la physis
reside en la confusión del punto geométrico con la unidad aritmética.
En efecto, considerando que la yuxtaposición de puntos engendra líneas, la yuxtaposición
de líneas engendra superficies, la yuxtaposición de superficies engendra cuerpos, se
tiene que los puntos son las unidades reales que componen los cuerpos de naturaleza
1. Número: agregado de unidades.
2. Número es un atributo.
3. Abstracción.
Al agrupar los números en series, obtuvieron resultados
importantes acerca de los números triangulares, cuadrados, rectángulos,
pentagonales, hexagonales, piramidales, etc.
Pitagóricos
Los pitagóricos habían supuesto que el espacio y el
tiempo pueden ser imaginados como
constituidos por puntos e instantes.
El pentagrama envenenado
Pentagrama venerado como figura mística. Pero,…
La relación entre la diagonal del pentágono y su
lado encerraba un número no racional: la razón
áurea.
El imperio de la geometría
Hipaso de Metaponto ( siglo V a.C), que
inicialmente fue pitagórico, fue quien al estudiar
las propiedades geométricas del pentagrama
descubrió la existencia de segmentos
inconmensurables.
Nace el imperio de la geometría: todo razonamiento
matemático riguroso se expresó en lenguaje
geométrico.
Diofanto (214 – 298 d. C.)
En “Aritmética”: resuelve diversos tipos de
ecuaciones algebraicas admitiendo como
soluciones números enteros o números
fraccionarios positivos.
Consideró los fraccionarios positivos como
auténticos números y no solamente como
proporciones.
Anaxágoras de Clazomene
1. Deseo de conocer.
2. Problema de las Cuadraturas: construir
un cuadrado con área igual a la de la figura dada.
3. Esfuerzos por lograr lo imposible.
Eudoxo de Cnido (400-347 a. C.)
1. Propiedad arquimediana .
2. Principio de convergencia.
3. Área de un segmento parabólico.
Eudoxo
1. Propiedad arquimediana:
“Dadas magnitudes cualesquiera a > 0 y b > 0,
siempre es posible, por pequeña que sea a y
grande que sea b, conseguir que un múltiplo
conveniente de a exceda a b, es decir
na > b
para algún número natural n.”
Eudoxo
1. Principio de convergencia:
Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no
menor que su mitad, y si del resto sustraemos
de nuevo una cantidad no menor que su mitad,
y si continuamos repitiendo este procesos de
sustracción, terminaremos por obtener como
resto una magnitud menor que cualquier
magnitud del mismo tipo dada de antemano.
Teorema: El área ( PVQ)= 4/3 área (triángulo PVQ).
 Bibliografía:
 1. Carl B. Boyer. Historia de la matemática. Ed. Alianza
Universidad Textos. Madrid, 1986 .
 2. M. Kline. Mathematical thought from ancient to modern
times.Oxford University Press, New York, 1972. Versión
española en Alianza Editorial Madrid, 1992.