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El Límite
lim
x 0
s enx
x
Definición de la Función Seno
Aproximaciones de la Función Seno
lim
x 0
s enx
x
1
Ejemplos
Límites Trigonométricos.
El Límite
El límite
s enx
se n x
lim
x 0
x
es importante para aplicaciones más avanzadas.
x
Sustituyendo x = 0 nos lleva a una indeterminación del tipo 0/0.
lim
x 0
x
sen(x)/x
0.1
0.99833
0.001
0.99999
0.00001 1.00000
Calculando valores
de sen(x)/x con
ordenador
obtenemos la tabla
de la izquierda. A la
derecha tenemos la
representación de
sen(x)/x.
Los valores calculados y la
representación nos llevan a:
Conjetura
s en x
 1.
x 0
x
lim
Esto es correcto, pero el resultado necesita una justificación
matemática. Empezamos por hablar d la función Seno.
Límites Trigonométricos.
Funciones Trigonométricas
Considerar los ángulos positivos α como se indica en la figura
1
Definición
Para ángulos α, 0 ≤ α < π/2, sen(α) es la
longitud del segmento rojo (cateto), opuesto al
ángulo α en el triángulo de la derecha, con
hipotenusa de longitud 1. El segmento azul tiene
una longitud cos(α).
Para un ángulo positivo general α, cuyo
comienzo es el eje x positivo, se definen
cos(α) y sen(α) como las coordenadas x e y
de intersección del lado final del ángulo y la
circunferencia de radio 1.
Extendemos esta definición a ángulos
negativos mediante:
cos(−α) = cos(α) y sen(–α) = –sen(α).
Límites Trigonométricos.
cos(α)
sen(α)
α
cos(α)
sen(α)
α
1
Funciones Trigonométricas (2)
sen2(α) + cos2(α) = 1
Esta identidad básica sale del hecho de que el
punto (cos(x), sen(x)) es, por su definición, un
punto del círculo unidad.
Definición
tan   
s e n  
cos  
, cot   
1
cos  
s e n  
α
cos(α)
Gráficas de:
1.
sen(x), la curva
roja, y
2.
cos(x), la curva
azul.
Límites Trigonométricos.
sen(α)
Funciones Trigonométricas (3)
Longitud del
arco verde =
α (medido
en radianes)
El tamaño del ángulo está medido
como la longitud α del arco, indicado en
la figura, en una circunferencia de radio
1 con centro en el vértice.
sen(α)
Sen(α) es la longitud del segmento rojo de
la figura.
α
1
Conclusión Para ángulos positivos α, 0 < sen(α) < α.
La desigualdad de arriba es obvia por la figura. Para ángulos
negativos α la desigualdad es al revés.
Área de un sector circular
El área de un sector de ángulo α de
un círculo de radio r viene dado por:
2
Ángulo
del
Sector


r
2
Área =
 Área del Círculo 
r 
.
2
2
2

Límites Trigonométricos.



Funciones Trigonométricas (4)
El sector de “ángulo α” de un círculo de radio 1
está contenido en el triángulo de la derecha y el
segmento azul es tan(α) = sen(α)/cos(α).
Por tanto, el área del sector del círculo es
menor que el área del triángulo. Es decir,.

2

tan  
2

s e n  
2 cos  
.
tan(α)
α
Esto implica:
1
Conclusión
Para ángulos α, 0 < α < π/2,
sen(α) > α cos(α).
Límites Trigonométricos.
Encuentra el límite
se n x
lim
x 0
x
Como para α > 0, se tiene que 0 < sen(α) < α, usando la Regla
del Sandwich
lims e n    0.
x 0
La fórmula trigonométrica sen2(α) + cos2(α) = 1 junto con las Reglas
de Límites implica:
limcos    1.
 0
El área estimada, sen(α) > α cos(α) combinada con sen(α) < α, da
α > sen(α) > α cos(α) para 0 < α < π/2 . Dividiendo por α
obtenemos:
s e n  
1
 cos   para 0 < α < π/2.

Por tanto lim
s e n  
 0 
Conclusión

 1. Como
s en x
 1.
x 0
x
lim
s e n  x 
x
s e n  x  tenemos:

x
Aquí usamos la Regla de Sandwich y
el hecho de que:
limcos  x   1.
Límites Trigonométricos.
x 0
Ejemplos
Problema 1
Solución
Calcular lim
s e n 2 x 
x
x 0
Reescribimos
s e n 2 x 
x
Por la conclusión anterior: lim
x 0
Por tanto
s e n 2 x 
x
Respuesta
lim
x 0
 s e n 2 x  
 2
 .

2x


s e n 2 x 
2x
 1.
 s e n 2 x  
 2
 2.
 
x 0

2x


s e n 2 x 
x
.
 2.
Límites Trigonométricos.
Ejemplos
Problema 2
Solución
Calcular lim

s en s enx
x
x 0
s e n s e n  x 
Reescribimos
x
Sustituyendo α = sen(α) por lim
s e n  

s e n s e n  x 
 0
lim
x 0
Por tanto
Respuesta
s enx
s e n s e n  x 
x
lim
x 0
s e n 2 x 
x
.

s e n  x   s e n 2 x  

 .
x
 s enx 
 1, obtenemos:
 1.
s e n  x   s e n s e n  x  

 

 1.
x 0


x
s enx


 1.
Límites Trigonométricos.
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa