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Herramientas matemáticas para la Física de 2º de Bachillerato
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HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS PARA LA FÍSICA DE 2º DE BACHILLERATO
1. ALFABETO GRIEGO.
α Α alfa
β Β beta
γ Γ gamma
η Η eta
θ Θ theta
ι Ι iota
δ Δ delta
ε Ε epsilón
ζ Ζ zeta
κ Κ kappa
λ Λ lambda
μ Μ mu
ν Ν nu
ξ Ξ xi
ο Ο omicron
π Π pi
ρ Ρ ro
σ Σ sigma
τ Τ tau
υ Υ upsilón
φ Φ fi
χ Χ ji
ψ Ψ psi
ω Ω omega
2. FIGURAS GEOMÉTRICAS.
FIGURAS PLANAS
Círculo de radio r
Cuadrado de lado a
Triángulo
FIGURAS ESPACIALES
L = 2πr ; A = πr2
A = a2
A = base  altura
2
Cubo de lado a
A = 6a2 ; V = a3
Esfera de radio r
A = 4πr2 ; V =
Cilindro hueco de radio r y longitud l
3. TRIGONOMETRÍA.
Los ángulos se miden en grados sexagesimales (º) o en
radianes (rad).
Un radian se define como el ángulo cuyo arco de
circunferencia es igual al radio de la misma. Ello nos lleva a
que una vuelta completa de circunferencia (360º) equivale a
2π rad.
4r 3
3
A = 2πrl ; Abase = πr2 ; V = πr2l
Las funciones trigonométricas son periódicas: en
el caso del seno y del coseno se repiten cada 2π
radianes, y en el caso de la tangente cada π
radianes.
Razones o funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Razones trigonométricas de
ángulos característicos
α
0º ( 0 )
30º (  6 )
sen α
0
12
cos α
1
3 2
45º (  4 )
2 2
60º (  3 )
90º (  2 )
3 2
1
Signo de las razones
trigonométricas
Cuadrante
Primero
Segundo
sen
+
+
cos
+
-
2 2
Tercero
-
-
12
Cuarto
-
+
0
Soluciones a algunas ecuaciones trigonométricas.
sen  =0   = nπ rad
cos  =0   =π/2+nπ rad=(2n+1)π/2 rad
sen  =1   =π/2+2πn rad
cos  =1   = 2πn rad
sen  =-1   = 3π/2 + 2πn rad
cos  =-1   = π + 2πn rad
Razones trigonométricas de ángulos pequeños (aproximación paraxial).
Para ángulos menores de 25º (0,44 rad), puedes comprobar que los valores del seno y la tangente de dichos ángulos pequeños coinciden
con el valor del ángulo expresado en radianes: sen   tg    (rad) (Situación de aproximación paraxial).
Relaciones entre las razones trigonométricas de diferentes ángulos.
α ; β=(π/2 - α)
α ; β=(π - α)
α ; β=(π + α)
α ; β=(2π - α)= - α
sen (π/2 - α) = cos α
cos (π/2 - α) = sen α
tg (π/2 - α) = cotg α
sen (π - α) = sen α
cos (π - α) = - cos α
tg (π - α) = - tg α
sen (π + α) = - sen α
cos (π + α) = - cos α
tg (π + α) = tg α
sen ( - α) = - sen α
cos ( - α) = cos α
tg ( - α) = - tg α
© María Dolores Marín Hortelano / Manuel Ruiz Rojas
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Determinación de razones trigonométricas de ángulos superiores a 360º, equivalentes a ángulos característicos.
Un ángulo superior a 360º equivale al resto que resulta al dividir dicho ángulo entre 360. Así, 1650º equivale a 210º,
ya que: 1650 = 360·4 + 210. Y como 210 = 180 + 30, resulta que:
sen 1650º = sen 210º = sen (180º+ 30º) = - sen 30º = = - sen π/6 = - 1 2
cos 1650º = cos 210º = cos (180º+ 30º) = - cos 30º = - cos π/6 = - 3 2
Relaciones trigonométricas de interés.
sen α + sen β = 2·sen    ·cos   
2
2






sen α - sen β = 2·cos
·sen
2
2
cos α + cos β = 2·cos    ·cos   
2
2




cos α - cos β = - 2·sen
·sen  
2
2
sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β
sen 2α = 2 sen α cos β
sen (α - β) = sen α cos β - cos α sen β
cos 2α = cos2 α - sen2 α
cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β
sen α/2 = 1  cos 
cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β
2
cos α/2 = 1  cos 
2
4. CÁLCULO VECTORIAL.
Para que las magnitudes vectoriales, como la velocidad, la aceleración, la fuerza, …, estén perfectamente definidas, es preciso conocer,
además de su módulo o intensidad (un número y su unidad), su dirección (recta en la que se manifiesta) y su sentido (en cada dirección
hay definidos dos sentidos que, entre sí, se denominan contrarios u opuestos).
Las magnitudes vectoriales se indican con una flecha colocada encima del símbolo utilizado:
las barras de valor absoluto:
  
v , a , F , …; y su módulo se expresa con
  
v , a , F , … si bien, en aquellas ocasiones sin posibilidad de confusión, para simplificar la notación, se
simboliza por la letra de la magnitud sin la flecha: v, a, F, …
Gráficamente, las magnitudes vectoriales se representan mediante vectores, segmentos orientados
cuyo origen coincide con el punto de aplicación de la magnitud; su longitud representa, según la escala
elegida, el módulo de la magnitud; la recta sobre la que se sitúa define la dirección que tiene la
magnitud; y la punta de flecha indica el sentido de la magnitud.
Vectores unitarios de los ejes de coordenadas. Componentes de un vector.
Todo vector

  

v puede expresarse como producto de su módulo por su vector unitario: v = v · u v = v· u v , de

 v
donde: u v = . El vector unitario de un vector dado es otro vector cuyo módulo es la
v
unidad, y su dirección y sentido son los del vector del que es unitario.
 
Los vectores unitarios de los ejes coordenados X, Y y Z se simbolizan como i , j y

k , respectivamente.

Todo vector v puede expresarse en función de sus componentes cartesianas, que son sus proyecciones
 



sobre los ejes: v = vx i + vy j + vz k , de donde se deduce que: v = v = v 2x  v 2y  v 2z .
Cuando trabajamos con vectores contenidos todos en el mismo plano se suele trabajar con los ejes cartesianos X e Y. En estos casos,
podemos expresar el vector en función de sus componentes cartesianas o indicando el módulo del vector y su orientación respecto al

  
v = 3 i - 4 j , su módulo es v = v = 3 2  (4) 2 = 5 unidades, y su orientación: αOX =

v
-4
arctg y = arctg
= - 53,13º ≈ 306,87º. Al revés, si nos dicen que un vector F tiene de módulo 5 unidades y su orientación αOX es
semieje positivo OX. Así, dado el vector:
vx
3
36,87º, calculamos las componentes cartesianas: Fx = F·cos αOX = 5·cos 36,87º = 4 unidades, Fy = F·sen αOX = 5·sen 36,87º = 3 unidades;
y deducimos que se trata del vector:
 

F =4 i +3 j.
Suma o resta de vectores.
La suma o resta analítica de varios vectores es igual a la suma o resta de las componentes de los
  
 

v1 = 3 i - 4 j , v 2 = 5 i + 4 j , resulta el

 
 
 
vector suma v1 + v 2 = 8 i , y el vector diferencia v1 - v 2 = -2 i - 8 j .
vectores en cada eje cartesiano. Así, dados los vectores:
Para obtener gráficamente la suma o resta de varios vectores, dibujamos los vectores uno a


continuación del otro (tener en cuenta que - v es el opuesto de v ). El vector resultante es el que se
obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del último.
El módulo del vector resultante de la suma de dos vectores, conocido el módulo de éstos y el ángulo que forman entre
ellos, se puede determinar haciendo uso del teorema del coseno: v = v12  v 22  2 v1 v 2 cos
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Producto escalar de dos vectores.
 
 
v1 y v 2 es el número que se obtiene de multiplicar el módulo de v1 , v1 = v1 ,
 
 
por el módulo de v 2 , v 2 = v 2 , y por el coseno del ángulo que forman: v1 · v 2 = v1 · v 2 ·cos α .
 
v1 ·v 2
La propia definición nos sirve para determinar el ángulo que forman dos vectores conocidos, pues: cos α =
, luego: α =
v1 ·v 2
 
v1 ·v 2
arccos
. Además, como cos α representa la relación entre el módulo de la proyección de un vector,
v1 ·v 2


por ejemplo, v1 , en la dirección del otro, v 2 (hemos llamado v1 a dicha proyección), y el módulo del

 
vector v1 ( v1 ), se puede afirmar que: v1 · v 2 = v1 · v 2 , lo que nos permite calcular la componente de
El resultado de multiplicar escalarmente dos vectores
un vector en una dirección determinada.

De la definición se desprende que si v1 y

v 2 son perpendiculares, su producto escalar es cero. Por ello, el producto escalar, expresado
 
en función de sus componentes cartesianas, resulta ser: v1 · v 2 = v1x · v 2x + v1y · v 2y + v1z · v 2z
Producto vectorial de dos vectores.


El resultado de multiplicar vectorialmente dos vectores v1 y v 2 es un nuevo vector cuyo
módulo es igual al producto de los módulos por el seno del ángulo que forman los vectores:
 
| v1 x v 2 | = v1 · v 2 ·sen α , cuya dirección es perpendicular al plano que forman los vectores y
cuyo sentido viene dado por la regla de la mano derecha (regla de Maxwell) y coincide con el


avance de un tornillo o sacacorchos al girar v1 hacia v 2 por el camino más corto.


Si los vectores v1 y v 2 vienen expresados en función de sus componentes cartesianas, la
forma más útil y recomendable de resolver el producto vectorial es planteándolo en forma de
determinante 3 x 3:

i

j
v2 x
v1 y
v2 y
 
v1 x v 2 = v1x

k



v1z = (v1y ·v2z - v1z ·v2y) i + (v1z ·v2x - v1x ·v2z) j + (v1x ·v2y - v1y ·v2x) k .
vz
La definición de producto vectorial nos permite representar cualquier superficie mediante un vector

perpendicular a ella, cuyo módulo es igual al área de la misma: S = | S | = v1 · v 2 ·sen α = v1 ·h.
El producto vectorial tiene importantes aplicaciones en física: en el cálculo de momentos (al estudiar

  
la rotación de los cuerpos, hablaremos del momento angular o cinético, L = r  p = r  m v , y del

  


momento de una fuerza, M = r  F ), en la definición de la fuerza magnética o fuerza de Lorentz ( F = q·( v  B ), …
5. CÁLCULO DIFERENCIAL.
Algunas de las magnitudes más importantes en física se relacionan a través del cálculo diferencial, haciendo uso del concepto de derivada
de una función.
Decimos que y es función de t cuando la primera variable adquiere valores que dependen de los valores de la segunda. De ese modo, y
es una variable dependiente de t, que es la variable independiente. En física encontramos que, e n los movimientos, por ejemplo, la posición,
la velocidad o la aceleración son funciones del tiempo, pues toman valores que dependen de este factor: s(t), v(t), a(t).
Si deseamos saber cómo varía una función y(t) en determinado intervalo de t, haremos: y . Pero si Δt es extremadamente pequeño,
t
y . Ese
estaremos analizando dicha variación en el límite en que el Δt se hace casi cero. En ese caso escribiremos lo siguiente:
lim
t 0 t
valor límite es lo que se conoce como derivada de y con respecto a t. En física, al tratar con funciones continuas, lo escribiremos del
siguiente modo: y .
t
Algunas derivadas de uso frecuente en física.
- De una constante: a  0
t
- De la función y(t)=a·tn :  ( a·t n ) = a·n·tn-1
t
- De la función y(t)=sen a·t :  ( sena·t ) = a·cos a·t
t
- De la función y(t)=cos a·t :  (cos a·t ) = - a·sen a·t
t
t

- De la función y(t)=a·e : ( a·e t ) = a·et
t
- De la función y(t)=ln a·t :  (ln a·t ) = a
t
t
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Propiedades de las derivadas.
- De una función compuesta (regla de la cadena):  ( f (g))= f (g ) · g
t
t
t

 rx  ry  rz 

r



- De una función vectorial:
= (r i  ry j  rz k ) =
i
j
k)
t t x
t
t
t
- De una función suma:  ( f  g ) = f + g
t
t t

- De una función producto: ( f · g ) = f ·g+f· g
t
t
t
f
g
·g  f ·
t
- De una función cociente:  ( f ) = t
t g
g2
Derivación parcial. Vector gradiente de un escalar.
Derivar parcialmente una función escalar que depende de varias variables, V (x,y,z) con respecto a una sola de las variables (x, y o z)
consiste en derivar la función suponiendo que las otras variables son constantes. Para simbolizar la derivada parcial se utiliza  en vez de
.
El vector gradiente de un escalar se maneja en física e implica el uso de la derivada parcial. Este vector gradiente, también conocido
como operador nabla,  , es un vector que tiene de componentes las derivadas parciales de la función V (x,y,z) respecto a cada una de

las coordenadas: grad V (x,y,z) =  V (x,y,z) = V i  V j  V k
t
t
t
6. CÁLCULO INTEGRAL.
La integración es la operación inversa a la derivación. Así, la integral de una función f(t) es otra función F(t), llamada primitiva, tal que
F = f(t) . Es decir:
 f (t )·t = F(t) + C, donde C es una constante. Vemos como una función no tiene una única primitiva y que la
t
diferencia entre dos cualesquiera de ellas es una constante. Al conjunto formado por todas las primitivas de una función se llama integral
indefinida.
Algunas integrales indefinidas de uso frecuente en física.
n 1
-  t n ·t = t
+C
n 1
-  sent·t = - cos t + C
-  0·t = C
-  a·t = a·t + C
-  cos t·t = sen t + C
-  e t ·t = et + C
- 1·t = ln t + C
t
Propiedades de las integrales indefinidas.
-  a· f (t )·t = a·  f (t )·t
  f (t )  g (t )·t =  f (t )· t   g (t )· t



-  v (t )·t = v ·t ·i  v ·t · j  v ·t ·k



-
x
y
z
La integral definida como área.
Las funciones en física suelen ser continuas, y sus integrales deben resolverse entre dos límites definidos (to y t, por ejemplo). En este
caso la integral recibe el nombre de integral definida entre dos límites. A diferencia de las indefinidas, con infinitas soluciones que se
diferencian en el valor de la constante C, las definidas tienen una solución única.
Supongamos que deseamos calcular, del modo más exacto posible, el área
encerrada bajo la curva de la función que se encuentra entre los límites to y t.
Para ello, podríamos recurrir al procedimiento de dividir esa área en rectángulos. La suma de las áreas de los rectángulos nos daría una primera
aproximación. Sin embargo, si hacemos que las bases de esos rectángulos, Δt,
sean lo más pequeñas posible (Δt→ 0), tendremos una mayor cantidad de
rectángulos más ajustados a la curva. Si Δt→ 0, la suma de todas las áreas de
los rectángulos será el área exacta encerrada bajo la curva. Así pues:
área =
t
lim  f (t )·t =  f (t )·t =F(t)-F(to).
t 0
i
i
i
to
La integral definida es igual a la diferencia entre la solución de la integral en t (límite superior) y en to (límite inferior) (regla de Barrow).
© María Dolores Marín Hortelano / Manuel Ruiz Rojas