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ÁNGULOS
PLANOS
Ángulos Planos
CONTENIDO DE LA PRESENTACIÓN.
• Definiciones.
• Ángulos alternos- internos, exteriores y de lados perpendiculares
• Medidas de ángulos
• Operaciones con ángulos
• Ángulos en la circunferencia
– Ángulos centrales
– Ángulos inscritos
– Ángulos semi-inscritos
– Ángulos interiores
– Ángulos exteriores
DEFINICIONES
Un ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el
mismo origen.
Observa en la siguiente figura que dos semirrectas con un origen común determinan
siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B. Al ángulo A se le
llama ángulo convexo, mientras que el ángulo B es cóncavo.
Algunos ángulos especiales:
Ángulo
recto,
que
es
el
ángulo
convexo
definido
por
dos
semirrectas
perpendiculares.
Ángulo llano, cuando las dos semirrectas que lo definen tienen la misma dirección,
aunque sentidos opuestos. Barre un semiplano, esto es, la mitad del plano.
Ángulo completo, que es el ángulo que abarca todo el plano.
Los ángulos convexos siempre son menores que el ángulo llano. Los ángulos
cóncavos por el contrario, son siempre mayores que el ángulo llano.
Se llaman ángulos agudos a los que son menores que un ángulo recto.
Se llaman ángulos obtusos a aquellos ángulos convexos (menores que un ángulo
llano) que son mayores que un ángulo recto.
Dos ángulos se llaman complementarios si suman 90º, un ángulo recto.
Dos ángulos se llaman suplementarios si suman 180º, un ángulo llano.
Igualdad de ángulos
Igualdad de ángulos: Dos ángulos son iguales cuando al efectuar un movimiento, que
hace coincidir los vértices, los lados coinciden.
Una definición métrica: La igualdad de segmentos permite saber si dos ángulos son
iguales sin necesidad de medirlo (transportador), ni de efectuar un movimiento.
Con igual radio, trazamos dos arcos con centros en los vértices O y O’. Trazamos las
cuerdas AB y A’B’.
Si los ángulos a y b son iguales también los serán las cuerdas AB y A’B’.
Recíprocamente, si las cuerdas AB y A’B’ son iguales también lo serán los ángulos a y b.
Ángulos de lados paralelos
Ángulos de lados paralelos: Los ángulos de lados paralelos son:
IGUALES: si ambos son agudos o ambos obtusos
SUPLEMENTARIOS: si uno es agudo y el otro obtuso
Particularmente importante es la igualdad de ángulos alternos internos y opuestos por un vértice.
APLICACIÓN: La suma de ángulos de un triángulos es 180º
Ángulos de lados perpendiculares
Ángulos de lados perpendiculares: Los ángulos de lados perpendiculares son:
IGUALES: si ambos son agudos o ambos obtusos
SUPLEMENTARIOS:
si uno es agudo y el otro obtuso
MEDIDA DE ÁNGULOS: Grado
Medida de ángulos: el sistema sexagesimal.
Se llama grado sexagesimal, o simplemente grado (1º) a la medida del ángulo que
resulta de dividir el ángulo recto en noventa partes iguales. Por tanto, el ángulo recto
mide 90º.
El transportador de ángulos.
El transportador de ángulos es una herramienta de dibujo
que nos permite medir y también construir ángulos.
Consiste en un semicírculo graduado con el que podemos
medir ángulos convexos (hasta 180º)
Divisores del grado.
Existen dos métodos para conseguir mayor precisión en la medida de un ángulo: el
sistema decimal, que consiste simplemente en obtener decimales del grado, que es
el método que utiliza el transportador de ángulos, o el sistema sexagesimal, que
consiste en dividir el grado en 60 partes, en 60 minutos (60'); y cada minuto, en 60
segundos (60'').
MEDIDA DE ÁNGULOS: Radián
Medida de ángulos: el radián.
Se llama radián, a la medida del ángulo que comprende un arco de circunferencia de
longitud igual al radio de la circunferencia. Por tanto el ángulo completo mide 2p
radianes.
OPERACIONES CON ÁNGULOS: LA SUMA
Suma de ángulos en el sistema sexagesimal.
La medida de los ángulos, igual que la del tiempo, se realiza en el sistema
sexagesimal.
2º 48' 35"
+ 2º 45' 30"
4º 93' 65"
Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto y 5 segundos, luego la suma se
puede escribir así:
4º 94' 5"
De la misma forma, 94' equivalen a 1º y 34 minutos. Luego la suma es:
5º 34' 5"
OPERACIONES CON ÁNGULOS: LA RESTA
Resta de ángulos en el sistema sexagesimal.
Debemos hacer la siguiente operación:
3º 0' 0"
- 2º 48' 35"
Igual que en la suma, deberíamos restar por separado los grados, los
minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos)
ni 0-48 (minutos). Para conseguirlo transformamos un grado en 60 minutos
y un minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 grados se convierten en
2h 59' 60".
2º 59' 60"
- 2º 48' 35"
0º 11‘ 25"
OPERACIONES CON ÁNGULOS:
EL PRODUCTO POR UN NÚMERO NATURAL
Multiplicación de un ángulo por un número natural.
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por
ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y
segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior
a 60, lo transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.
18º 26' 35"
x 3
54º 78' 105"
Pero 105" = 1' 45", luego
54º 79' 45"
Pero 79' = 1º 19', luego
55º 19' 45"
OPERACIONES CON ÁNGULOS:
LA DIVISIÓN POR UN NÚMERO NATURAL
División de un ángulo por un número natural.
Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese
número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo
por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos.
Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y
lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los segundos.
Ángulos en la
Circunferencia
ÁNGULOS CENTRALES
Llamaremos ángulo central a cualquier ángulo cuyo vértice esté en el centro de una
circunferencia.
Existe una relación muy estrecha entre un
ángulo central y el arco de circunferencia que
abarca.
De
hecho,
en
lo
sucesivo,
nos
referiremos a la amplitud de un arco en lugar
de a su longitud y definiremos la amplitud del
arco como la medida del ángulo central que lo
comprende.
ÁNGULOS INSCRITOS
Llamaremos ángulo inscrito en una circunferencia a cualquier ángulo cuyo vértice
esté en la misma circunferencia y sus lados sean cuerdas de esa circunferencia.
El
valor
de
un
ángulo
inscrito
en
una
circunferencia es la mitad del valor del ángulo
central
que
circunferencia.
abarca
el
mismo
arco
de
ÁNGULOS SEMI-INSCRITOS
Llamaremos ángulo semi-inscrito en una circunferencia a cualquier ángulo cuyo
vértice esté en la misma circunferencia y uno de sus lados sea la tangente a la
circunferencia en el vértice y otro una cuerda con origen en el vértice.
El valor de un ángulo semi-inscrito en una circunferencia es la mitad del
valor del ángulo central que abarca el mismo arco de circunferencia.
ÁNGULOS INTERIORES
Llamaremos ángulo interior a una circunferencia a cualquier ángulo cuyo vértice esté
en el interior de la circunferencia. Los ángulos centrales son un caso particular de
ángulos interiores.
El valor de un ángulo interior a una circunferencia es la mitad de la
suma de los valores de los ángulos centrales que abarcan los
mismos arcos de circunferencia que el ángulo interior y el obtenido
prolongando sus lados.
ÁNGULOS EXTERIORES
Llamaremos ángulo exterior a una circunferencia a cualquier ángulo cuyo vértice
esté en el exterior de la circunferencia y sus lados sean rectas secantes o tangentes a
la misma.
El valor de un ángulo exterior a una circunferencia es la mitad de la
resta de los valores de los ángulos centrales que abarcan los mismos
arcos de circunferencia que el ángulo exterior.
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Matemática de GAUSS del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)
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Mas ayuda del tema de la página
Manuel Sada
(figuras de GeoGebra)
(http://docentes.educacion.navarra.es/
msadaall/geogebra/)
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