Download Diapositiva 1

RECTAS Y
ÁNGULOS
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La MEDIATRIZ de un segmento AB, es la recta perpendicular a dicho
segmento que corta al segmento en el punto medio.
M
A
B
P
Cada punto P de la mediatriz M, equidista (está a la misma distancia) de
los extremos del segmento
VER CONSTRUCCIÓN DE MEDIATRIZ
DE UN SEGMENTO
ÁNGULOS
Un ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que
tienen el mismo origen.
Observa en la siguiente figura que dos semirrectas con un origen común determinan
siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B. Al ángulo A se le llama
ángulo convexo, mientras que el ángulo B es cóncavo.
Algunos ángulos especiales:
Ángulo recto, que es el ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares.
Ángulo llano, cuando las dos semirrectas que lo definen tienen la misma dirección,
aunque sentidos opuestos. Barre un semiplano, esto es, la mitad del plano.
Ángulo completo, que es el ángulo que abarca todo el plano.
Los ángulos convexos siempre son menores que el ángulo llano. Los ángulos cóncavos
por el contrario, son siempre mayores que el ángulo llano.
Se llaman ángulos agudos a los que son menores que un ángulo recto.
Se llaman ángulos obtusos a aquellos ángulos convexos (menores que un ángulo llano)
que son mayores que un ángulo recto.
Dos ángulos se llaman complementarios si suman 90º, un ángulo recto.
Dos ángulos se llaman suplementarios si suman 180º, un ángulo llano.
IGUALDAD DE ÁNGULOS
Igualdad de ángulos: Dos ángulos son iguales cuando al efectuar
un
movimiento, que hace coincidir los vértices, los lados coinciden.
Una definición métrica: La igualdad de segmentos permite saber si dos ángulos
son iguales sin necesidad de medirlo (transportador), ni de efectuar un
movimiento.
Con igual radio, trazamos dos arcos con centros en los vértices O y O’. Trazamos
las cuerdas AB y A’B’.
Si los ángulos a y b son iguales también los son las cuerdas AB y A’B’.
Recíprocamente, si las cuerdas AB y A’B’ son iguales también lo son a y b.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La BISECTRIZ de un ángulo Â, es la semirrecta que divide al ángulo
en dos partes iguales.
P
B
Â
Cada punto P de la bisectriz B, equidista (está a la misma distancia) de
los lados del ángulo.
VER CONSTRUCCIÓN DE BISECTRIZ
DE UN ÁNGULO
RELACIONES ANGULARES
Dos ángulos son COMPLEMENTARIOS cuando su suma es un
ángulo recto (90º)
 Ver ÁNGULO COMPLEMENTARIO
Dos ángulos son SUPLEMENTARIOS cuando su suma es un
ángulo llano (180º)
 Ver ÁNGULO SUPLEMETARIO
Dos ángulos son CONSECUTIVOS cuando tienen el mismo vértice
y un lado común
 Ver ÁNGULO CONSECUTIVO
Dos ángulos son ADYACENTES cuando son consecutivos y
suplementarios
 Ver ÁNGULO ADYACENTE
RELACIONES ANGULARES
Dos ángulos son OPUESTOS por el vértice cuando los lados de uno son
semirrectas opuestas a los del otro.
Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales
Dos ángulos cuyos lados son paralelos, o son iguales, o son
suplementarios.
ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS, ALTERNOS EXTERNOS Y
OPUESTOS POR UN VÉRTICE
Los ángulos COB’ y BO’A’
(amarillo)
ALTERNOS
se
llaman
INTERNOS:
SON IGUALES
Los ángulos COB’ y BOA
(amarillo y rojo) se llaman
OPUESTOS
POR
EL
VÉRTICE: SON IGUALES
Los ángulos COB’ y BO’C’
(amarillo y verde) se llaman
ALTERNOS
EXTERNOS:
SON SUPLEMENTARIOS
MEDIDA DE ÁNGULOS: GRADO
Medida de ángulos: el sistema sexagesimal.
Se llama grado sexagesimal, o simplemente grado (1º) a la medida del ángulo que
resulta de dividir el ángulo recto en noventa partes iguales. Por tanto, el ángulo recto
mide 90º.
El transportador de ángulos.
El transportador de ángulos es una herramienta de
dibujo que nos permite medir y también construir
ángulos.
Consiste en un semicírculo graduado con el que
podemos medir ángulos convexos (hasta 180º)
Divisores del grado.
Existen dos métodos para conseguir mayor precisión en la medida de un ángulo: el
sistema decimal, que consiste simplemente en obtener decimales del grado, que es el
método que utiliza el transportador de ángulos, o el sistema sexagesimal, que consiste en
dividir el grado en 60 partes, en 60 minutos (60'); y cada minuto, en 60 segundos (60'').
FORMA COMPLEJA E INCOMPLEJA DE UN ÁNGULO
Un ángulo puede venir indicado en forma compleja (sistema sexagesimal) por
ejemplo  = 30º 30’ 30 s. (30grado, 30 minutos y 30 segundos) o en forma
incompleja (sistema decimal) por ejemplo  = 30’55º
Ejemplo: Para pasar un ángulo  = 25º 32’ 12’’ a forma incompleja.
Como 1º = 60’, y 1’ =60’’. Será: 1º = 60’ = 60 x 60 ‘’ = 3600’’. Podemos pasar todo a
segundos y dividir entre 3600 segundos que tiene cada grado.
25  3600    32  60   12 91932

Â

 26'536º
3600
3600
Ejemplo: Para pasar un ángulo  = 16’23 º a forma compleja.
Como
0,23º = 0,23 x 60 = 13,8 ’
0,8‘ = 0.8 x 60 = 48’’.
 = 16º + 0,23º = 16º 13,8’ = 16º ( 13’ + 0,8’) = 16º 13’ 48’’
OPERACIONES CON ÁNGULOS: LA SUMA
Suma de ángulos en el sistema sexagesimal.
La medida de los ángulos, igual que la del tiempo, se realiza en el sistema sexagesimal.
2h 48' 35"
+ 2h 45' 30"
4h 93' 65"
Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto (60 segundos) y 5 segundos, luego la suma se
puede escribir así:
4h 94' 5"
De la misma forma, 94' equivalen a 1 hora y 34 minutos. Luego la suma es:
5h 34' 5"
Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.
OPERACIONES CON ÁNGULOS: LA RESTA
Resta de ángulos en el sistema sexagesimal.
Debemos hacer la siguiente operación:
3h 0' 0"
- 2h 48' 35"
Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas los minutos y los
segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para
conseguirlo transformamos una hora en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es
decir, las 3 horas se convierten en 2h 59' 60".
2h 59' 60"
- 2h 48' 35"
0h
11' 25"
OPERACIONES CON ÁNGULOS:
EL PRODUCTO POR UN NÚMERO NATURAL
Multiplicación de un ángulo por un número natural.
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese
número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno
de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en
una unidad de orden inmediatamente superior.
18º 26' 35"
x 3
54º 78' 105"
Pero 105" = 1' 45", luego
54º 79' 45"
Pero 79' = 1º 19', luego 55º 19' 45"
OPERACIONES CON ÁNGULOS:
LA DIVISIÓN POR UN NÚMERO NATURAL
División de un ángulo por un número natural.
Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número.
Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo
sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la
división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que
teníamos. Dividimos los segundos.
SUMA DE ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
La suma de los ángulos de un triángulo es 180º
Aˆ  Bˆ  Cˆ  180º
Ver fichero de suma de ángulos de un triángulo
SUMA DE ÁNGULOS DE UN CUADRILÁTERO
La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 180º.
Si trazamos una diagonal
Obtenemos dos triángulos cuya suma de ángulos es 180º, y teniendo en cuenta que la suma de
los ángulos del cuadrilátero coincide con la suma de los triángulos su suma será 360º
Ver fichero de suma de ángulos de un triángulo
SUMA DE ÁNGULOS DE POLÍGONO DE n LADOS
La suma de los ángulos de un polígono de n lados es .
180º   n   
Dado que de cada polígono regular de n lados podemos dibujar n-2 triángulos
distintos, y comó la suma de los ángulos de cada tiángulo es 18º, la suma de los
ángulos del polígono de n lados será 180º x (n-2). Así por ejemplo:
La suma de los lados de un pentágonos es:
180º x 3 = 540º
La suma de los lados de un hexágono es:
180º x 4 = 720º
La suma de los lados de un heptágono es:
180º x 5 = 900º
En el caso de los polígonos regulares de n lados, como todos los ángulos son iguales, si
conocemos la suma se sus ángulos, podemos conocer lo que mide cada uno de u no de
sus ángulos dividiendo por n. Es decir que cada ángulo de un polígono regular de n
lados medirá:
180º   n   
n
Por ejemplo: Cada ángulo de un hexágono regular medirá ( 720º : 6 ) = 120º
ÁNGULOS CENTRALES
Llamaremos ángulo central a cualquier ángulo cuyo vértice esté en el
centro de una circunferencia.
Existe una relación muy estrecha
entre un ángulo central y el arco de
circunferencia que abarca. De hecho,
en lo sucesivo, nos referiremos a la
amplitud de un arco en lugar de a su
longitud y definiremos la amplitud
del arco como la medida del ángulo
central que lo comprende. Es decir:
BA  BOA
ÁNGULOS INSCRITOS
Llamaremos ángulo inscrito en una circunferencia a cualquier ángulo
cuyo vértice esté en la misma circunferencia y sus lados sean cuerdas de
esa circunferencia.
El valor de un ángulo inscrito en una
circunferencia es la mitad del valor del
ángulo central que abarca el mismo arco
de circunferencia.
BA
BOA 
2
Teniendo en cuenta esta relación, obtenemos que todo ángulo inscrito que abarque
media circunferencia medirá 90º
SIMETRÍAS DE LAS FIGURAS PLANAS
Una figura plana es SIMÉTRICA respecto de una recta si a cada lado de las recta
existen dos figuras iguales pero invertidas.
Por ejemplo el siguiente dibujo de un corazón es simétrico
P’
P
Ya que respecto de la línea trazada de rojo se obtiene dos figuras invertidas iguales
A la línea o recta de simetría, se le denomina eje de simetría. Además a cada punto P,
de la figura le corresponde un punto simétrico P’
Ver fichero de simetría axial
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
En la siguiente diapósitiva