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LEYES DE LOS SENOS
Y DE LOS
COSENOS
ING. HENRY GONZÁLEZ
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NOTACIÓN
Utilizaremos letras
mayúsculas como A, B y C,
para representar a los
ángulos de un triángulo, y
letras minúsculas a,b y c,
para representar los lados
opuestos correspondientes.
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A
b
c
C
a
B
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Ley de los senos
Si ABC es un triángulo con lados a, b y c,
entonces, a/Sen A = b/Sen B = c/ Sen C
B
a
C
C
b
a
c
b
A
c
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B
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A
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Una idea de la demostración:
Sea h la altura de cualquiera de los triángulos,
entonces tenemos que,
Sen A = h/b , o bien h = b Sen A.
Así mismo, h = a Sen B.
Por lo tanto,
a Sen A = b Sen B,
o equivalentemente a/Sen A = b/Sen B.
C
b
a
¿Cómo continuar?
C
a
h
A
c
h
c
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B
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B
b
A
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Aplicaciones:
Ejemplo 1(Resolución de triángulos).
En el triángulo de la figura, C=102.3 grados,
B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los
ángulos y lados restantes.
C
b
a
A
c
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B
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SOLUCIÓN:
El tercer ángulo del triángulo es
A = 180 - B - C = 49 grados.
Por la ley de los senos tenemos que:
a/Sen 49 = b/Sen 28.7 = c/Sen 102.3
Usando que b = 27.4 se obtiene,
a = (27.4/Sen 28.7) Sen 49 = 43.06 mts.
Y c = (27.4/Sen 28.7)Sen 102.3 = 55.75 mts.
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Ejemplo 2 (Área de un triángulo oblicuo).
La idea de la demostración de la ley de los senos
sugiere una fórmula para el área de triángulos
C
oblicuos.
C
b
h
a
a
b
h
A
A
c
c
B
B
Área = 1/2(base)(altura) = (1/2) c(b Sen A) = (1/2)bc SenA.
De manera similar se obtienen las fórmulas:
Área = (1/2) ab sen C = (1/2) ac sen B.
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Ejemplo 3. Una carrera de veleros se inicia en el punto A se debe
llegar al punto B localizado a 52 grados al suroeste. Después se
debe ir hasta el punto C que está a 40 grados al sureste y
finalmente regresar al punto de partida, como se muestra en la
figura. El punto C se encuentra exactamente a 8 kms al sur del
punto A. Calcule la distancia total del recorrido.
N
A
Solución: Como las líneas BD y AC son
O E
paralelas, entonces <DBC=<BCA. Entonces
S
52
el otro ángulo del triángulo es
B = 180-52-40 = 88 grados.
B
8 kms.
Por la ley de los senos tenemos que:
40
a/Sen 52 = b/Sen 88.
D
C
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Pero b=8, entonces
a = (8/Sen 88)Sen 52 = 6.308 kms.
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LEY DE LOS COSENOS
En un triángulo de ángulos A, B, C y lados a, b, c, se cumplen
las siguientes relaciones:
Forma estándar
a2 = b2 + c2 –2bc cos A
b2 = a2 + c2 –2ac cos B
c2 = a2 + b2 –2ab cos C
Forma alternativa
Cos A = (1/2bc) (b2 + c2 – a2)
Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2)
Cos C = (1/2ab) (a2 + b2 – c2)
Observe que si A=90, entonces a es la hipotenusa de un triángulo
rectángulo y de la primera relación se obtiene
que
a2 = b2 + c2
Entonces el Teorema de Pitágoras es un caso particular de la ley
de los cosenos.
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Ejemplo 4. Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos
lados son a= 80 mts., b = 19 mts., c=14 mts.
B
Solución.
c=14 mts.
a=8 mts.
C
b=19 mts.
A
Por la ley de los cosenos tenemos que
Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2) = (1/2)(8)(14) (82 + 142 – 192) = -0.4508.
Como Cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. De hecho,
B = 116.80 grados.
Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos para obtener los otros
ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues
a/Sen A = b/Sen B, o bien Sen A = a(Sen B/b) = 0.37582.
Como B es obtuso, A debe ser agudo entonces, A=22.08 grados.
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Fórmula de Herón:
Si un triángulo tiene lados a, b, c, su área es:
Área = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2, donde s = (1/2)(a+b+c).
¿Por qué?
Por el ejemplo 3, sabemos que, Área = (1/2) bc sen A =
((1/4)b2c2 sen2A)1/2 = ((1/4)b2c2 (1-cos2A))1/2 =
= ([(1/2)bc(1+cos A)] [(1/2)bc(1-cos A)])1/2.
Usando la ley de los cosenos se puede ver que
(1/2)bc(1+cos A) = [(a+b+c)/2][(-a+b+c)/2] = s(s-a), y
(1/2)bc(1-cos A) = [(a-b+c)/2][(a+b-c)/2] = (s-b)(s-c).
Entonces podemos concluir que
Área = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2
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Ejemplo 4. Encontrar el área de un triángulo
cuyos lados miden a=43 mts., b=53 mts., y c=72 mts.
Solución:
Usando la fórmula de Herón tenemos que
s=(1/2)(a+b+c) = (1/2) 168 = 84.
Entonces,
Area = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2 = (84(41)(31)(12))1/2 =
= 1131.89 mts.
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Clase 2014
b
b
c

=
–
sen 
a
2
a
2bc cos 
a
2
2
b +c
sen 
=


b
a
Revisión del estudio individual
Dos nadadores se encuentran a 250 m
uno de otro. Ambos están nadando hacia
el mismo punto, que se halla a 423m del
primero y a 360m del otro.¿Qué ángulo
forman las direcciones de ambos?
Rta/  = 36,8o
Un barco está a 15 km directamente al sur de
un puerto. Si el barco navega al nordeste 4,8
km,¿a qué distancia se encuentra del puerto?
PBC = 450
P
C
PB = 15 km
PC = ?
BC = 4,8km
B
Ejercicio 1
Las distancias que hay entre tres ciudades (A, B y C)
colocadas en los vértices de un triángulo son
AB = 165 km , AC = 72 km y BC = 185 km . La
segunda está al Este de la primera y la tercera está al
Norte de la recta que une a las dos primeras. ¿En qué
dirección estará la tercera vista desde la primera?
C
N
NE
NO
O

A
165 km
B
E
SO
S
SE
Ejercicio 2
Una ciudad está a 15 km al Este de otra. Una tercera ciudad a 10 km
de la primera en dirección nordeste aproximadamente y a 14 km de
la segunda en dirección noroeste aproximadamente. Halla la
dirección exacta a que se encuentra la tercera ciudad respecto a cada
una de las dos primeras.
N
C
NE
NO
O
E

A
15 km
B
SO
SE
S