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Leyes de los senos y de los
cosenos
Luis Villacres
Notación
• Utilizaremos letras
mayúsculas como A, B y C,
para representar a los
ángulos de un triángulo, y
letras minúsculas a,b y c,
para representar los lados
opuestos correspondientes.
•
A
b
c
C
a
B
Ley de los senos
Si ABC es un triángulo con lados a, b y c,
entonces
a
Sen A
b
= Sen B
=
c
Sen C
B
a
C
C
b
a
c
b
A
c
B
A
Una idea de la demostración:
Sea h la altura de cualquiera de los triángulos.
Entonces tenemos que,
h o bien, h = b Sen A,
Sen A = b
h
así mismo, Sen B =
o bien, h = a Sen B.
a
a
= b
. ¿Cómo continuar?
Sen B
Sen A
a
Entonces,
C
C
b
c
a
h
h
A
c
B
b
A
B
La ley de los senos también se puede
escribir en su forma
Recíproca:
Sen A
a
=
Sen B
b
Sen C
=
c
.
Aplicaciones
Ejemplo 1(resolución de triángulos). Para el
triángulo de la figura, C=102.3 grados,
B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar
los ángulos y lados restantes.
C
b
a
A
c
B
Solución:
El tercer ángulo del triángulo es
A = 180 - B - C = 49 grados.
Por la ley de los senos tenemos que:
a
Sen 49
=
b
c
.
=
Sen 28.7
Sen 102.3
27.4
Usando b = 27.4 se obtiene, a = Sen 28.7 Sen 49 = 43.06 mts.
Y c = 27.4
Sen 102.3 = 55.75 mts.
Sen 28.7
Ejemplo 2 (área de un triángulo oblicuo). La idea
de la demostración de la ley de los senos sugiere
una fórmula para el área de triángulos oblicuos.
C
b
C
a
h
A
c
h
a
b
B
A
c
Area = 1/2(base)(altura) = (1/2) c (b sen A) = (1/2) bc sen A.
De manera similar se obtienen las fórmulas:
Area = (1/2) ab sen C = (1/2) ac sen B.
B
Ejemplo 3. Una carrera de veleros se inicia en el punto A se debe
llegar al punto B localizado a 52 grados al suroeste. Después se
debe ir hasta el punto C que está a 40 grados al sureste y
finalmente regresar al punto de partida, como se muestra en la
figura. El punto C se encuentra exactamente a 8 kms al sur del
punto A. Calcule la distancia total del recorrido.
N
A
Solución: Como las lineas BD y AC son
O E
paralelas, entonces <DBC=<BCA. Entonces
S
52
el otro ángulo del triángulo es
B = 180-52-40 = 88 grados.
B
8 kms Por la ley de los senos tenemos que:
40
b
c
a
= Sen 88 = Sen 40
Sen 52
Pero b=8, entonces a = 8
(sen 52) = 6.308 kms.
Sen 88
C
D
¿Cómo continuar?
Ley de los cosenos
En un triágulo de ángulos A, B, C y lados a, b, c, se cumplen
las siguientes relaciones:
Forma estándar
a2 = b2 + c2 –2bc cos A
b2 = a2 + c2 –2ac cos B
c2 = a2 + b2 –2ab cos C
Forma alternativa
Cos A = (1/2bc) (b2 + c2 – a2)
Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2)
Cos C = (1/2ab) (a2 + b2 – c2)
Observe que si A=90, entonces a es la hipotenusa de un
triángulo rectángulo y de la primera relación se obtiene
que
a2 = b2 + c2.
Entonces el Teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley
de los cosenos.
Ejemplo 4. Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos
lados son a= 80 mts., b = 19 mts., c=14 mts.
B
Solución.
c=14 mts.
a=8 mts.
C
B=19 mts.
A
Por la ley de los cosenos tenemos que
Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2) = (1/2)(8)(14) (82 + 142 – 192) = -0.4508.
Como cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. De hecho,
B = 116.80 grados.
Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos para obtener los otros
Ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues
b
a
Sen B = 0.37582.
,
Sen
A
=
a
Sen B = Sen A
b
Como B es obtuso, A debe ser agudo entonces A=22.08 grados.
La Fórmula de Herón
Si un triángulo tiene lados a, b, c, su área es:
Area = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2, donde s = (1/2)(a+b+c).
¿Por qué?
Por el ejemplo 3, sabemos que
Area = (1/2) bc sen A = ((1/4)b2c2 sen2A)1/2 = ((1/4)b2c2 (1-cos2A))1/2
= ([(1/2)bc(1+cos A)] [(1/2)bc(1-cos A)])1/2.
Usando la ley de los cosenos se puede ver que
a+b+c -a+b+c
(1/2)bc(1+cos A) =
2
2 = s(s-a)
a-b+c a+b-c = (s-b)(s-c).
(1/2)bc(1-cos A) =
2
2
Entonces podemos concluir que
Area = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2
Ejemplo 4. Encontrar el área de un triángulo cuyos lados
miden a=43 mts., b=53 mts., y c=72 mts.
Solución:
Usando la fórmula de Herón tenemos que
S=(1/2)(a+b+c) = (1/2) 168 = 84.
Entonces,
Area = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2 = (84(41)(31)(12))1/2 = 1131.89 mts.