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Matemáticas Jornadas sobre el siglo XIX En capítulos anteriores ... Concepto de demostración ( paso a paso a través de la LÓGICA) Necesidad de AXIOMAS (no se puede demostrar TODO) … 2000 años después GEOMETRÍA EUCLÍDEA (300 a.C) Pienso, luego existo DESCARTES (1637) "Vemos las cosas, no como son, sino como somos nosotros." KANT (1724 - 1805) SIGLO XIX I. Crisis de la Geometría de Euclides II. Crisis de los Fundamentos de las Matemáticas Gauss, “el Príncipe de las Matemáticas” (1777 - 1855) CAPÍTULO I DESMONTANDO A EUCLIDES “En la teoría de las paralelas no estamos hoy más avanzados que Euclides. Esta es una parte vergonzosa de las matemáticas... “ Carl Friedrich GAUSS (1813) Los Axiomas de Euclides DEFINICIONES (abstracciones de la realidad física) Un punto es lo que no tiene partes Una línea es una longitud sin anchura Los extremos de una línea son puntos Una superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura. Las extremidades de una superficie son líneas Etc ... NOCIONES COMUNES (a todas las ciencias) 1. Cosas iguales a la misma cosa son también iguales entre sí 2. Si a iguales se añaden iguales, las sumas son iguales 3. Si de iguales quitamos iguales, los residuos son iguales 4. Dos objetos que coinciden el uno con el otro son iguales 5. El “todo” es mayor que la “parte” Los Axiomas de Euclides POSTULADOS (axiomas para la Geometría plana) I. Es posible trazar una recta desde cualquier punto a otro punto cualquiera II. Una línea recta finita puede prolongarse continuamente en línea recta III. Se puede trazar una circunferencia, con un punto cualquiera como centro y cualquier distancia como radio IV. Todos los ángulos rectos son iguales ... El quinto postulado de Euclides “Si una recta corta a otras dos, formando ángulos internos, por el mismo lado, que suman menos de dos ángulos rectos, esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortarán por ese lado en que los ángulos suman menos de dos rectos” ¡Mi sistema es COMPLETO, CONSISTENTE y NO REDUNDANTE! Círculos viciosos (lo definido no debe entrar en la definición) Dados una línea y un punto que no esté en ella, es posible dibujar exactamente una línea a través del punto y que sea paralela a la línea. La suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos (180º) El quinto postulado es una proposición INDECIDIBLE 1)Una sola paralela 2)Ninguna paralela 3)Al menos dos paralelas ( infinitas) Geometrías no euclídeas PSEUDOESFÉRICA o AGUDA Saccheri, Lobachevsky, Bolyai y Gauss (círculos máximos) ESFÉRICA u OBTUSA Riemann 1854 (ramas hiperbólicas) Geometrías no euclídeas ( y II) Geometrías no euclídeas ( y III) CAPÍTULO II LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS “Dios creó los naturales ...” “… lo demás es obra del Hombre” “Las propiedades de los conjuntos finitos se han extendido alegremente a los conjuntos infinitos” Kronecker Brouwer CAPÍTULO II LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS "No existirá otra alegre y confiada mañana" "Nadie podrá expulsarnos del maravilloso paraíso que Cantor ha creado para nosotros" Russell Hilbert Construir las MATEMÁTICAS TODAS LAS MANZANAS SON ROJAS (enunciado) EL CONJUNTO DE LAS MANZANAS ESTÁ INCLUIDO EN EL CONJUNTO DE LAS COSAS ROJAS (TEORÍA DE CONJUNTOS) “SER MANZANA” → “SER ROJO” (LÓGICA) La paradoja del mentiroso “TODOS LOS MATEMÁTICOS MENTIMOS SIEMPRE” La paradoja del mentiroso (y II) La paradoja de Russell LOS CONJUNTOS QUE NO SE CONTIENEN A SÍ MISMOS El conjunto de las manzanas NO es una manzana El conjunto de las cosas que no son manzanas SÍ es una cosa que no es una manzana BERTRAND RUSSELL (1872 - 1970) ¿QUÉ PASA CON EL CONJUNTO DE LOS CONJUNTOS QUE NO SE CONTIENEN A SÍ MISMOS? ¿SE CONTENDRÁ A SÍ MISMO? ¿EH? El Hotel del Infinito Los conjuntos infinitos “Un conjunto infinito es aquél que posee un subconjunto con la misma cantidad de elementos” “Hay conjuntos infinitos que tienen MÁS elementos que otros” Demuestra que el conjunto de los GEORGE CANTOR números reales es MAYOR que el de los números naturales. (1845 - 1918) Demuestra que el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado es MAYOR que dicho conjunto. La escalera de álefs Números racionales 0 Números enteros Números naturales Números pares Números irracionales Números reales Puntos de un segmento Puntos de una recta Puntos de un cuadrado 1 Intervalo (0,1) Puntos de todo el Universo conocido Los monstruos de la mente Las curvas patológicas David HILBERT (1891) Helge von KOCH (1904) ¿Cómo reconstruir las bases? NUEVO CONCEPTO DE CONJUNTO (no queremos conjuntos paradójicos) CON EL INFINITO NO SE JUEGA (escapa a nuestra intuición) El conjunto de RUSSELL es un conjunto infinito Uno de los Axiomas de EUCLIDES es incompatible con los conjuntos infinitos (El “todo” es mayor que la “parte”), y otro los emplea (Una línea recta finita puede prolongarse continuamente en línea recta) LA CONTROVERSIA SOBRE LOS FUNDAMENTOS LOS INTUICIONISTAS LA EXISTENCIA DE UN OBJETO ES EQUIVALENTE A LA POSIBILIDAD DE SU CONSTRUCCIÓN Kronecker NO aceptan LOS CONJUNTOS INFINITOS ni las demostraciones por REDUCCIÓN AL ABSURDO Brouwer LOS LÓGICOS AXIOMA DEL CÍRCULO VICIOSO LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO NO SE PUEDEN DEFINIR A PARTIR DE LOS RESTANTES ELEMENTOS DEL CONJUNTO ¿Qué es eso del conjunto de todos los subconjuntos de sí mismo? ¿EH? Russell LOS FORMALISTAS LA VERDAD MATEMÁTICA ES LA AUSENCIA DE CONTRADICCIÓN Si no te gustan mis AXIOMAS ... ¡tengo otros! La LÓGICA es la herramienta, el lenguaje Es INDEPENDIENTE del significado que pueda tener en el MUNDO FÍSICO Hilbert TEORÍAS MATEMÁTICAS SÍ SE MEJORAN SÍ ¿ÚTILES? NO ¿Se pueden sustituir? NO SE RECHAZAN MATEMÁTICAS Y REALIDAD