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1
MAPA DE NAVEGACIÓN
Ejemplos
Objetivo 1
Objetivo 2
Objetivo 3
Objetivo 4
Objetivos
específicos
LOGARITMOS
Índice
Objetivo 5
Objetivo 6
Objetivo 7
Objetivo 8
Objetivos y Teoría
Ejercicios
resueltos
Objetivo 1
Objetivo 2
Objetivo 3
Objetivo 4
Objetivo 5
Objetivo 6
Objetivo 7
Objetivo 8

Objetivo general.

Objetivos Específicos

Ejemplos

Ejercicios Resueltos
Inicio
3
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1.-Reconocerás las necesidades que motivaron el descubrimiento de
los logaritmos y valorarás su importancia y utilidad en el desarrollo
de las matemáticas aplicadas (Este objetivo no se desarrolla en la
Presentación. Puedes verlo en los Apuntes correspondientes a esta
Unidad).
2.- Reconocerás la definición de logaritmo.
3.- Recordarás la diferencia entre los logaritmos naturales
y los logaritmos base diez.
4.- Recordarás las propiedades generales de los logaritmos.
4
5.-Recordarás las leyes de las operaciones con
logaritmos.
6.-Recordarás
el
procedimiento
para
cambiar
logaritmos de una base a otra.
7.-Resolverás
ecuaciones
que
involucren
logaritmos.
8.-Aplicarás
logaritmos
en
la
resolución
de
problemas de casos reales.
Índice
5
Objetivo 2
Objetivo 3
Objetivo 4
Objetivo 5
Objetivo 6
Objetivo 7
Índice
6
Objetivo 2
Objetivo 3
Objetivo 4
Objetivo 5
Objetivo 6
Objetivo 7
Objetivo 8
Índice
7
Al terminar esta Unidad comprenderás la
importancia histórica de los logaritmos y
resolverás ejercicios y problemas en los que
apliques los logaritmos y sus leyes.
Índice
8
OBJETIVO 2
La definición de logaritmo es la siguiente:
Para todos los números positivos a, donde a  1 ,
y  log a x
significa
ay  x
En palabras, el logaritmo del número x en la
base a es el exponente al que debe elevarse la
base a para obtener el número x.
9
En la expresión la palabra log es una
abreviatura de la palabra logaritmo, la letra a
representa la base y la letra x representa el
número cuyo logaritmo se desea obtener.
Por ejemplo, escribir significa . Aquí, el
logaritmo es 2, la base es 10 y el número cuyo
logaritmo se desea es 100. En otras palabras, el
logaritmo 2 es el exponente al que hay que elevar
la base, 10, para obtener el número 100.
10
la siguiente figura se ilustra la relación entre
la notación de logaritmos y la notación
exponencial:
Logaritmo
Número
Exponente
y  log a x
Base
x  ay
Número
Base
Objetivos
específicos
11
OBJETIVO 2 .- EJEMPLOS
Las siguientes expresiones exponenciales y logarítmicas son equivalentes:
1.)
100  1
log10 1  0
2.)
42  16
log 4 16  2
3.)
1 1
  
 2  32
4.)
log5
5.)
log3 81  4
5
1
 2
25
log 1
1
5
2 32
52 
1
25
34  81
12
IDENTIDADES

Como consecuencias de la definición de logaritmo,
se pueden deducir estas identidades:


Si a > 0 y a ≠ 1, entonces

1.)
2.)
log a a x  x
a loga x  x
( x  0)
13
EJEMPLOS IDENTIDADES
1.)
log 6 65  5
2.)
log6 6x  x
3.)
3 log3 7  7
4.)
5 log5 x  x
 x  0
Ejemplos
14
OBJETIVO 2.- EJERCICIOS RESUELTOS
a.)
Escribe la forma logarítmica de las expresiones dadas en forma exponencial.
1.) 26  64
La base es 2 y el exponente es 6, por lo que log 2 64  6
3
1
1
2.)   
 5  125
La base es 1
3.) 24 
5
y el exponente es 3, de modo que log 1
1
3
5 125
1
16
La base es 2 y el exponente es – 4, así que log 2
1
 4
16
15
b.)
Escribe la forma exponencial de las expresiones dadas en forma logarítmica.
4.)
log6 36  2
La base es 6 y el logaritmo es 2, por lo que 62  36
5.)
log3 243  5
La base es 3 y el logaritmo es 5, así que 35  243
6.)
log 1
1
4
3 81
4
1 1
La base es 1 y el logaritmo es 4, de modo que   
3
 3  81
16
c.)
Escribe en forma exponencial y determina el valor de la incógnita.
7.)
y  log 5 25
En forma exponencial: 5 y  25
Como 52  25 , entonces y  2
8.)
2  log a 16
En forma exponencial: a 2  16
Como 4 2  16 , queda a  4
9.)
3  log 1 x
2
3
1
En forma exponencial:    x
2
Entonces, x 
1
8
Ejercicios
resueltos
17
OBJETIVO 3
Los logaritmos de base 10 se conocen como
logaritmos comunes o logaritmos de Briggs,
Éste es el sistema de logaritmos que se utiliza,
principalmente, para realizar operaciones
aritméticas.
18
En este tipo de logaritmos los números como 10,
100, 1000, 0.1, 0.01, 0.001, etcétera, es decir las
potencias de diez, tienen como logaritmos a
números enteros, y cualquier otro número tiene
como logaritmo a un número entero más una
fracción. El logaritmo común de x se denota como
.
log x
Objetivos
específicos
19
OBJETIVO 3.- EJEMPLOS
1.)
log100  2
2.)
log 0.0001  4
3.)
log5  0  0.698970...
4.)
log 0.5  1  0.698970...
20
A la parte entera de un logaritmo común se le
conoce como característica y a la parte
fraccionaria como mantisa.
21
Otro sistema de logaritmos, muy importante por
su uso, es el de los logaritmos naturales, o
logaritmos neperianos, que tiene como base el
número irracional e = 2.71828.... ; el logaritmo
natural de x se representa por ln x.
22
EJEMPLOS
Como es de esperarse, en este tipo de logaritmos los
números que tienen logaritmos enteros son las potencias
de e.
1.)
ln e  1
2.)
ln e5  5
3.)
ln 6  1.791759...
4.)
ln 0.6  0.510823...
23
Los logaritmos naturales se generaron para el
estudio de cuestiones teóricas en el cálculo
diferencial e integral, y para la descripción de
fenómenos naturales,
24
por ejemplo, para determinar la longitud de la
trayectoria de un proyectil; la cantidad de trabajo
hecho por un gas que se expande; el tiempo que
requiere un objeto caliente para enfriarse a una
temperatura dada; el tiempo necesario para que
una colonia de bacterias crezca a un tamaño
dado, entre otras muchas.
Ejemplos
25
OBJETIVO 3.- EJERCICIOS RESUELTOS
Con ayuda de unas tablas o una calculadora, encuentra los logaritmos comunes y los
logaritmos naturales de los números que se proponen:
1.)
3
log3  0.477121...
ln3  1.098612...
2.)
300
log300  2.477121...
ln3  5.703782...
26
3.)
1
30
log 1
ln 1
4.)
30
30
 1.477121...
 3.401197...
30, 000
log 30,000  4.477121...
ln 30,000  10.308953...
Ejercicios
resueltos
27
OBJETIVO 4
Las propiedades generales de cualquier sistema
de logaritmos son:
1.
La base tiene que ser un número positivo
diferente de 1.
2.
El cero y los números negativos no tienen
logaritmo.
3.
El logaritmo de la base es 1.
28
4.
El logaritmo de 1 es cero.
5.
Los números mayores que 1 tienen logaritmo
positivo.
6.
Los números comprendidos entre cero y 1 tienen
logaritmo negativo.
29
En el cálculo avanzado, con la introducción de los
números complejos y las funciones que tienen
dominios complejos, algunas de estas
restricciones desaparecen, pero se anotan aquí
para fines prácticos de nivel básico.
Objetivos
específicos
30
OBJETIVO 4.- EJEMPLOS
1.) log 4 x y log 11 a no existen, porque las bases son negativas.
2.) ln  34 y log2  0.75 no existen puesto que son números negativos.
3.) log 7 7  1, log15 15  1,
log 0.443 0.443  1
4.) log1  ln1  log3 1  log 5 1  0
7
5.) log 67  1.826075..., log 321  2.506505, ln 92.1  4.522875...
6.) ln 0.79  0.235722..., log 2  0.176091..., ln 0.443  0.814186...
3
Ejemplos
31
OBJETIVO 4. EJERCICIOS RESUELTOS
Escribe una X si el logaritmo no existe, un 1 o un
0 si ése es su valor, y una P si es positivo
(diferente de 1) o una N si es negativo.
1.)
ln 0
2.)
log5 73
3.)
log 2  3

 
 X
 
 P
4

 
 X
32
Escribe una X si el logaritmo no existe, un 1 o un 0
si ése es su valor, y una P si es positivo (diferente
de 1) o una N si es negativo.
4.)
5.)
log12 12
log9 1
 
1
 
 X
6.)
log1 18
7.)
log3  0.11
 
 X
 
 N
Ejercicios
resueltos
33
OBJETIVO 5. RECORDARÁS LAS LEYES DE LAS
OPERACIONES CON LOGARITMOS.
Ley del producto:
En cualquier sistema de logaritmos, para los
números positivos x, y se cumple que
log a x  log a y  log a xy
Ley del cociente:
En cualquier sistema de logaritmos, para los
números positivos x, y se cumple que
log a x  log a y  log a
x
y
34
Ley de la potencia:
 En cualquier sistema de logaritmos, para el
número positivo x y para cualquier número n, se
cumple que
n  log a x   log a x n
Las demostraciones de estas leyes son sencillas si
se recurre a la notación exponencial. Por ejemplo,
para demostrar la regla del cociente basta
considerar que si
log a x  p,
y
log a y  q
35
Entonces
como:
ap  x
aq  y
y
x
ap

 a p q
q
y
a
resulta que:
p  q  log
x
y
log x  log y  log
x
y
Las otras dos leyes se demuestran en forma similar
y su aplicación es directa.
Objetivos
específicos
36
OBJETIVO 5.- EJEMPLOS
1.)
2.)
3.)
4.)
log 4 3  log 4 5  log 4  3 5  log 4 15
log 6
7
 log 6 7  log 6 8
8
 x 
ln x  ln 4  ln 

 4 
 12 x 
log 5 
  log 5 12 x   log 5  3 y 
 3y 
  log5 12  log5 x    log5 3  log5 y 
 log5 12  log5 x  log5 3  log5 y
37
5.)
6.)
3log 2 5  log 2  53   log 2 125
4 y3
log 2  log  4 y 3   log  x 2 
x
  log 4  log y 3   log  x 2 
  log 4  3log y   2log x
 log 4  3log y  2 log x
Ejemplos
38
OBJETIVO 5 EJERCICIOS RESUELTOS
a.) Demuestra la ley del producto para los
logaritmos.
log a x  p

x  ap
log a y  q

y  aq
xy  a p a q  a p  q

log xy  p  q  log x  log y
39
b.) Aplica las leyes de los logaritmos para
desarrollar las siguientes expresiones:
1.)
log 3
x
x2
 log3 x  log3  x  2
2.)
log 9 4 x  2
  x  2  log9 4
3.)
log5
 log 5

12
12 
1
2
1
log 5 12
2
40
4.)
log  2
3  7
4
 4 log  2 3  7 
 4  log 2  log3  log 7 
5.)
log 2
3
 x 


 2y 
2
 x 
 log 2 

 2y 



2
3
 x 
2
log 2 

3
 2y 
2
 log 2 x  log 2 2 y 
3
2
 log 2 x  log 2 2  log 2 y 
3
41
c.)Aplica las leyes de los logaritmos para reducir
las expresiones:
6.)
2 log x  2 log y
 log x 2  log y 2
 log x 2 y 2
7.)
ln a  ln b  ln c
 ln a   ln b  ln c 
 ln a  ln bc
 a 
 ln 

 bc 
42
8.)
2
3
log 3 a 
log 3 b
5
5
2
 log3 a 5  log3 b
2
 log3 a 5 b
3
3
5
5
 log3  a 2b3 
1
5
 log 3 5 a 2b3
9.)
log7
x 
 log 7
10.)
y   log7 3
x y
3
log x  2 log y  log z
 log x  log y 2  log z
 log
xz
y2
43
d.) Sabiendo que log 2 = 0.301030...; log 3 =
0.477121...; log 5 = 0.698970... y log 7 =
0.845098...; calcula, utilizando sólo estos valores,
los siguientes logaritmos:
11.)
log 4
 2 log 2
 2  0.301030...
 0.602060...
44
12.)
log 42  log  2 3 7 
log 42
 log 2  log 3  log 7
  0.301030...   0.477121...   0.845098...
 1.623249...
13.)
log 2.5  log
log 2.5
5
2
 log 5  log 2
 0.698970...  0.301030...
 0.397940...
log
14.)
log
3
7
3 1
3
 log
7 2
7

1
 log 3  log 7 
2

1
 0.477121...  0.845098...
2

1
 0.367977...
2
 0.183989...
Ejercicios
resueltos
45
OBJETIVO 6 RECORDARÁS EL PROCEDIMIENTO
PARA CAMBIAR LOGARITMOS DE UNA BASE A OTRA.
El concepto de cambio de base se deriva de la
definición de logaritmo.
Para entender mejor el procedimiento se presenta
un ejemplo: Se trata de encontrar el logaritmo de
39 en base 2, a partir de su logaritmo en base 10.
Para ello, se plantea la incógnita a encontrar, x:
x  log 2 39
46
o, por la definición de logaritmo
2 x  39
al aplicar el logaritmo (base 10) en la expresión
anterior y tomando en cuenta la ley de la
potencia, se obtiene
log 2x  x  log 2   log 39
y resulta que:
x
log 39
log 2
47
de donde se puede encontrar x con ayuda de tablas o de una calculadora,
x
log39 1.591065...

 5.285402...
log 2 0.301030...
de modo que
log 2 39  5.285402...
El procedimiento anterior se puede generalizar fácilmente para mostrar que:
log b x 
log a x
log a b
que es la expresión que permite encontrar el logaritmo de un número x en la base b si se
conocen el logaritmo de ese mismo número y el de b, en cualquier otra base.
48
Objetivos
específicos
OBJETIVO 6.- EJEMPLOS
1.) Para obtener , sabiendo que , se aplica la
fórmula indicada:
log 7 81 
log 3 81
4

 2.258300...
log 3 7 1.771244...
2.) Para obtener log 0.35, sabiendo que ln 0.35 = –
0.049822... y ln 10 = 2.302585..., de acuerdo con
la fórmula dada se calcula:
log 0.35 
ln 0.35
1.049822...

 0.455932...
ln10
2.302585...
49
3.) Para obtener ln 5.76, sabiendo que log 5.76 =
0.760422... y log e = 0.434294..., se procede igual
que en los casos anteriores:
ln 5.76 
log 5.76
0.760422...

 1.750938...
log e
0.434294...
Ejemplos
50
OBJETIVO 6.- EJERCICIOS
Obtén los valores de los logaritmos que se solicitan, a partir de los que se dan.
1.)
log2 5 si log5  0.698970... y log 2  0.301030...
log 2 5 

log5
log 2
0.698970...
0.301030...
 2.321929...
51
2.)
ln 72
si log 72  1.857333... y log e  0.434294...
ln 72 

log 72
log e
1.857333...
0.434294...
 4.276666...
3.)
log 5 14 si log3 7  1.771244..., log 3 2  0.630930...
y log 3 5  1.464974...
log 5 14 
log 3 14
log 3 5

log 3 7  log 3 2
log 3 5

1.771244...  0.630930...
1.464974...

2.402174...
1.464974...
 1.464974...
Ejercicios
resueltos
52
OBJETIVO 7. - RESOLVERÁS ECUACIONES
INVOLUCREN LOGARITMOS.
Para
resolver
este
tipo
de
QUE
ecuaciones,
generalmente se deben aplicar las leyes de los
logaritmos para que la incógnita aparezca en un
único logaritmo y, luego, recurrir a la definición
de logaritmo para eliminar a éste.
53
El resto del procedimiento consiste en resolver la
ecuación resultante en forma usual. Sin embargo,
es necesario cuidar que la solución obtenida
respete
las
propiedades
de
los
logaritmos,
particularmente la de que no existen logaritmos
de números negativos ni el logaritmo de cero.
Objetivos
específicos
54
OBJETIVO 7.- EJEMPLOS
1.) Para obtener el valor de x en la ecuación
log 4 x  3log 2  4 log 3
se aplican las leyes de logaritmos para dejar:
log 4 x  log 23  log 34
 log  23 34   log  8 81
log 4 x
 log 648
55
entonces, al tomar la definición de logaritmo queda
104 x  10648
y, de aquí:
4x  648
x 
648
 162
4
56
2.)
Para obtener el valor de x en la ecuación
log 2 x  3log 2 x  2
se aplican las leyes de logaritmos y:
log 2 x  log 2 x3  2
log 2
x
2
x3
log 2
1
2
x2
de acuerdo con la definición de logaritmo:
1
 22  4
2
x
1  4x 2
x2 
1
4
57
A partir de esta última expresión se podrían obtener dos valores para x:
x 1
2
o x1
2
pero el valor negativo no se puede aceptar, puesto que en la ecuación original se
tiene log 2 x y, como se indicó anteriormente, los números negativos no tienen
logaritmos. Por lo tanto, la solución es:
x 1
2
58
3.)
Para obtener el valor de x en la ecuación
ln  2 x 2  4 
ln  x  4 
2
se reescribe
ln  2 x 2  4   2 ln  x  4  
se aplica la ley de la potencia
ln  2x2  4  ln  x  4
2
y la definición de logaritmo para obtener que:
 2 x  4
2
e
e
 x  4 2
59
entonces
2
2
x
  4   x  4
2
2 x 2  4  x 2  8 x  16
x 2  8 x  20  0
De esta última se ecuación se obtiene que x  2 o x  10 , pero ninguno de
los dos valores puede aceptarse porque en la ecuación original el divisor
ln  x  4 , quedaría como ln  2 o ln  14 . Por tanto, la ecuación no tiene
solución (en los números reales).
60
 2x  4   x  4
2
2
2 x 2  4  x 2  8 x  16
x 2  8x  20  0
De esta última se ecuación se obtiene que x  2 o x  10 , pero ninguno de
los dos valores puede aceptarse porque en la ecuación original el divisor
ln  x  4 , quedaría como ln  2 o ln  14 . Por tanto, la ecuación no tiene
solución (en los números reales).
Ejemplos
61
OBJETIVO 7.- EJERCICIOS RESUELTOS
1.)
log  2x  4  2
2 x  4  102  100
2x  100  4  104
x  52
62
2.)
log  y  1  log y  log  y  9
log  y  1 y  log  y  9
log  y  1 y  log  y  9  0
log
 y  1 y  0
 y  9
 y  1 y  100  1
 y  9
 y  1 y   y  9
y2  y  y  9
y2  9  0
y  3 o y  3
pero la solución negativa no puede aceptarse, de modo que y  3
63
3.)
log x  1  log  x  1  log x  4
1
1
log  x  1  log  x  1  log  x  4 
2
2
log  x 1  2log  x  1  log  x  4
log  x  1  log  x  1  log  x  4 
2
 x  1
log  x  1  log
 x  4
2
 x  1
x 1 
2
x4
 x  1 x  4    x  1
2
x 2  3x  4  x 2  2 x  1
x5
Ejercicios
resueltos
64
OBJETIVO 8. APLICARÁS LOGARITMOS EN LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CASOS
Ejercicios Resueltos
1.) Para determinar la edad de una roca, la ciencia
ha desarrollado una técnica basada en la
concentración de cierto material radiactivo en su
interior. Cuanto más joven es la roca, mayor
concentración de material radiactivo se
encuentra en ella. La ecuación que relaciona la
concentración del material con la edad de la roca
es:
C  x   3t k
65
donde representa la concentración del material
radiactivo encontrada en la roca, t la edad de la
roca (medida en cientos de años) y k la
concentración del elemento en el momento de
formarse la roca.
Suponiendo que k = 4500:
a.) ¿Qué edad tendrá una roca que tiene una
concentración de 1500 del material radiactivo?
b.) ¿Qué edad tendría que tener una roca para que
ya no tuviera el material radiactivo?
66
Si se aplican logaritmos a la ecuación dada se obtiene:
ln C  x   ln  3t k   ln3t  ln k
ln C  x   t  ln3  ln k
que sería la ecuación escrita en forma logarítmica.
De esta manera, en el inciso a.), al sustituir los valores de C  x  y de k queda:
ln1500  t ln3  ln 4500
t ln3  ln4500  ln1500
67
 ln
4500
 ln 3
1500

t 1
De modo que la edad de la roca es de 100 años (puesto que t = 1 y el tiempo se
mide en cientos de años).
Para el inciso b.), el material radiactivo se acabaría cuando su concentración
llegara a cero, lo que significaría que:
ln 0  t  ln3  ln k
Pero el logaritmo de cero no existe, de modo que la ecuación no tiene solución,
por lo que, teóricamente, siempre quedaría un resto (mínimo) de material
radiactivo.
68
2.)
Si se invierte un capital a una tasa fija y los intereses se capitalizan
periódicamente, es decir que se suman al capital y la suma obtenida se
reinvierte con la misma tasa por otro período igual, el capital original se
incrementa con la fórmula del interés compuesto, según la cual, después de n
períodos se tiene:
C f  ci 1  r 
n
donde C f es el capital acumulado, ci es el capital inicial y r es la tasa de
interés.
69
En cuántos años se logrará que un capital de $ 10,000.00 invertido a una tasa
del 3.5% anual se incremente hasta $ 11,475.00?
Solución:
Al convertir la fórmula del interés compuesto a su forma logarítmica se tiene:
log C f  log ci 1  r 
 log ci  log 1  r 
n
n
log C f  log ci  n log 1  r 
70
Entonces, si C f  11,475, ci  10,000 y r  0.035 , al sustituir valores queda:
log11,475  log10,000  n log 1  0.035
y, resolviendo para n:
n log 1.035  log11,475  log10,000
 11,475 
 log 
 log1.1475

 10,000 
log1.1475
n
4
log1.035
Por lo que tendrán que transcurrir 4 años para obtener la cantidad deseada.
71
3.)
Si un objeto que está a una temperatura dada se saca a la intemperie, el objeto
se calienta si la temperatura ambiente es mayor y se enfría en el caso contrario.
La ley del enfriamiento de Newton, que explica el cambio de temperatura del
cuerpo es:
T  Q  Cek t
donde T es la temperatura del objeto después de un tiempo, t, medido en
minutos, Q es la temperatura a la intemperie y C y k son constantes que
dependen de las características del objeto y de su temperatura inicial. Si para
una taza de café C = 80 y k = – 0.069315, ¿cuánto tiempo hay que esperar para
que el café esté a 60º C si la temperatura ambiente es de 20º C?
72
Solución:
Si se convierte la ecuación a la forma logarítmica se obtiene:
T  Q  Cek t
T Q  k t

e
 C 
T Q 
kt
ln 
  ln e
 C 
 k t ln e
T Q 
ln 
kt
C


en donde se ha escogido utilizar logaritmos naturales para aprovechar que
ln e  1 .
73
Entonces, si T  60 y Q  20, al sustituir valores queda:
 60  20 
ln 
  0.069315 t
80


y, resolviendo para t:
 40 
ln    ln 0.5  0.069315 t
 80 
t

ln 0.5
0.069315
0.69315
 10
0.069315
De modo que hay que esperar 10 minutos para que el café esté a 60º C
Índice
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