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1.- DEFINICIÓNES.
Si a>0 y a1, se define el logaritmo en base a de un número N de la siguiente
manera:
loga N  x  a x  N
O sea, como el exponente al que hay que elevar "a" para obtener "N".
Ejemplos:
log2 8  3
porque 23  8 ; log10 100  2
porque 102  100 ; etc.....
Los logaritmos más utilizados son los logaritmos decimales (de base 10) y los
logaritmos neperianos(de base el número e 2'71828182....). Ambos tienen una
notación especial:
log10 N  log N ; loge N  ln N.
Observación: Los logaritmos neperianos deben su nombre al matemático
escocés John Neper (1550-1617) y fueron los primeros en ser utilizados. Al principio,
Neper llamó "números artificiales" a los exponentes, para más tarde decidirse por la
palabra "logaritmo", compuesta por las palabras griegas logos (razón) y aritmos
(números).
2.- PROPIEDADES.
2.1.- El logaritmo de la unidad es 0. O sea, loga1=0
2.2.- El logaritmo de la base es 1. O sea, logaa=1
2.3.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores. O sea, loga (N·M)=loga N + loga M
Demostración:
loga N  x  a x  N 

x
y
x y
  N  M  a ·a  a
y
loga M  y  a  M 

Si a x  y  NM  loga ( N  M )  x  y  loga N  loga M
2.4.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el
logaritmo del divisor. O sea, loga (N:M)=loga N - loga M
Demostración:
loga N  x  a x  N 

x
y
x y
 N M  a a  a
y
loga M  y  a  M 

Si a x  y  N : M  loga ( N : M )  x  y  loga N  loga M
Logaritmos. Pág 1 de 4.
2.5.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el
logaritmo de la base de la potencia. O sea, loga (NM)= M·loga N
Demostración:
loga N  x  a x  N  N M  (a x ) M  a xM
Si a xM  N M  loga N M  x  M  M  loga N
2.6.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el
índice de la raíz.
loga N
O sea,
log M N 
a
M
Demostración: Basta con hacer notar que, por ejemplo,
3
N N
1
3
con lo que log3 N  log N
1
3
1
log N
  log N 
3
3
Ejemplo: Sabiendo que log 2 = 0'3010, log 3=0'4771 y que log 35=1'5441,
desarrolla y calcula el siguiente logaritmo:
 34  5 35 

log
 23 


3.- LOGARITMOS DECIMALES.
Observación: Lo que viene a continuación es pura nostalgia!!
Los logaritmos decimales se pueden escribir como suma de dos números: la
característica y la mantisa.
La característica de un logaritmo decimal es el número entero inmediatamente
inferior o igual a dicho logaritmo.
Ejemplo 1: Tomemos cualquier número con 3 cifras enteras, p.e. 362.
100 362<1000  log 100  log 362 < log 1000  2  log 362 <3  la
característica del log 362 es 2.
Ejemplo 2: Tomemos ahora un número comprendido entre 0 y 1, p.e. 0'00027.
0'0001 0'00027< 0'001  log 0'0001  log 0'00027 < log 0'001  -4  log
0'00027 < -3  la característica del log 0'00027 es -4.
Resumiendo:

La característica del logaritmo decimal de un número mayor que 1 con n
cifras enteras es (n-1).
Logaritmos. Pág 2 de 4.

La característica del logaritmo decimal de un número comprendido entre 0 y
1 es (-n), siendo n el número de ceros que presenta la escritura decimal del
número (incluyendo al que precede a la coma decimal).
La mantisa de un logaritmo decimal es la diferencia entre el logaritmo y su
característica.
Como la característica es siempre menor que el logaritmo  la mantisa es
siempre un número positivo menor que 1 (Ver Tablas).
Ejemplo 3: log 362 = 2'5587 (según tablas)
Característica=2  Mantisa= 2'5587-2=0'5587.
Ejemplo 4: log 0'00027 = -3'5686
Característica=-4  Mantisa= -3'5686-(-4) = 0'4314.
En los logaritmos de números menores que 1 se suele hacer lo siguiente:
En lugar de escribir log 0'00027=-3'5686, se escribe log 0'00027=4'4314.
4 indica que el signo menos solo afecta a la característica; en cambio , la mantisa
0'4314 es positiva.
La razón de adoptar esta escritura es que las tablas de logaritmos solo
proporcionan la mantisa (siempre positiva) y no el logaritmo completo.
Propiedad de las mantisas (importante): La mantisa de log N es igual que la
mantisa de log (N · 10m) siendo m un número entero cualquiera.
Según esta propiedad, conociendo log 362, también conocemos:
* log 36200 =4'5587 (36200= 362 · 102)
* log 3'62 =0'5587 (3'62= 362 · 10-2)
* log 0'00362 =3'5587 (0'00362= 362 · 10-5)
Ejercicio 1: Utiliza logaritmos decimales (con tablas) para calcular el producto
P=4729 · 1421.
Solución: Tomando logaritmos, tenemos log P = log 4729 + log 1421 = 3'6747
+ 3'1526 = 6'8273.
P= [Número cuyo log vale 6'8273]=Antilog (6'8273)= 6.719.000 (7 cifras
enteras).
Ejercicio 2: Ídem, para calcular el cociente C= 6813 : 415.
Solución: log C = log 6813 – log 415 = 3'8332 – 2'6180 = 1'2152.
C= [Número cuyo log vale 1'2152]=Antilog (1'2152)= 16'4 (2 cifras enteras).
Ejercicio 3: Ídem, para calcular el valor de la expresión E  0'000137 5 673'2
Solución: log E = log 0'000137 + ( log 673'2 ): 5 = 4'1367 + 2'8281 : 5 = -3'8633
+0'5656 = -3'2977 = 4'7023.
E= [Número cuyo log vale 4'7023 ]=Antilog (4'7023)= 0'0005038 (nº menor que
1 con 4 ceros delante de la primera cifra significativa, incluido el de la coma).
Logaritmos. Pág 3 de 4.
4.- RELACIÓN ENTRE LOGARITMOS DE DISTINTAS BASES.
¿Qué relación hay entre el logaritmo de un número en una base "a" y su
logaritmo decimal ?
De otra manera, ¿qué relación hay entre loga N y log N ? Fácil.
Llamamos x= loga N  ax=N
y=log N  10y=N
 ax = 10y. Tomando ahora logaritmos decimales,
log ax = log 10y  x · log a = y 
x
y
log N
 loga N 
log a
log a
Luego, sabiendo calcular logaritmos decimales, sabemos calcular logaritmos en
cualquier base.
Ejemplos:
1) log2 100 
3) log5 125 
log100
2

 6'64
log 2
0'3010
2) log3 827 
log827 2'9175

 6'12
log 3
0'4771
log125 2'0969

3
log5
0'6990
5.- ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.
Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como
exponente. En las logarítmicas, la incógnita aparece afectada por algún logaritmo.
No hay regla general para resolverlas; normalmente, conviene tener en cuenta:
1) Propiedades de potencias y logaritmos.
2) Inyectividad de potencias y logaritmos; esto quiere decir que:
Si loga X=loga Y, entonces X=Y.
3) Se puede despejar una incógnita que esté como exponente tomando
logaritmos.
Practicaremos con numerosos ejercicios (propuestos en la relación).
Logaritmos. Pág 4 de 4.