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En la escuela de Pitágoras (siglo VI a.C.) fue demostrado el actualmente llamado Teorema de Pitágoras. Eso en su época generó interés en el estudio de aquellos números que podían ser representados como suma de dos cuadrados, en particular, de los llamados números cuadrados (o cuadrados perfectos), representables geométricamente como disposición de puntos en configuraciones de cuadrados como se ve en la siguiente imagen: A su vez, los Pitagóricos consideraban configuraciones geométricas de puntos como las correspondientes a los llamados números triangulares: Cuadrados perfectos Se conocen como cuadrados perfectos aquellos números cuya raíz cuadrada es un número entero. Es decir, k es un cuadrado perfecto si: Como puede verse en la imagen, la sucesión de números cuadrados perfectos es: Donde representa el cuadrado perfecto n-ésimo. O lo que es lo mismo: Lo que nos da la fórmula del cuadrado perfecto: Números triangulares Por números triangulares se entenderá a los números generados por la disposición de puntos en forma de triángulos equiláteros. Tal como se muestra en la imagen: Donde representa el número triangular n-ésimo. Así: , y dando a k los valores k = 1, 2, 3,…, n, se Tomando como valor inicial obtiene: …………….. Sumando los términos anteriores: Esta última suma, se puede emplear también como: Que sumadas, nos da: De donde: Tanto los cuadrados perfectos como los números triangulares son denominados números figurados, ya que son series de números generados al contar los puntos necesarios para crear polígonos. La suma de dos números triangulares consecutivos es un cuadrado perfecto. Demostración Cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 265… Números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136… ………………… ¿Es triangular el número 666? El número 666 será un número triangular si: Por tanto: Resolviendo la ecuación de segundo grado: Al tener solución la ecuación, y sabiendo que cual demuestra que el número 666 es triangular: , la solución válida es . Lo Sucesión de números pentagonales Los números pentagonales también son números figurados, cuya representación es: Y su sucesión: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477… A partir de la representación geométrica, y en relación con los números cuadrados y perfectos, un número pentagonal n-ésimo es la suma del n-ésimo cuadrado perfecto y el (n-1)ésimo número triangular. O también, puede definirse un número pentagonal como la suma de un número triangular y su inmediatamente inferior. Así: Javier Velo Pérez