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U NIVERSIDAD A UTÓNOMA DEL E STADO DE M ÉXICO
FACULTAD
P ROGRAMA E DUCATIVO
Q UÍMICA
Q UÍMICO EN A LIMENTOS
DE
DE
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
UNIDAD TEMÁTICA
T EORÍA
DE LA
PROBABILIDAD
M . EN P . E . A NA M ARGARITA A RRIZABALAGA R EYNOSO
T OLUCA DE L ERDO; E STADO DE M ÉXICO. S EPTIEMBRE DE 2 0 1 5
PROBABILIDAD
PROBABILIDAD
I NTRODUCCIÓN
Las situaciones que se presentan en el mundo son
estudiadas cada día con mayor frecuencia en
términos probabilísticos (inciertos), más que
deterministas (predecibles). A algunas situaciones
se les considera de ocurrencia segura y a otras
imposible de acontecer.
La Probabilidad es la rama de las Matemáticas que
estudia las expectativas de que un suceso o
fenómeno determinado ocurra.
PROBABILIDAD
El concepto de Probabilidad es manejado por
mucha gente.
Frecuentemente se escuchan
preguntas como :
• ¿Cuál es la posibilidad de que me saque la
lotería?
• ¿Qué viabilidad hay de que este año disminuyan
los casos de influenza?
• ¿Qué factibilidad hay de que hoy llueva?
• ¿Cuáles son las oportunidades de que nuestro
equipo gane el campeonato?
• ¿Cuántos artículos son defectuosos?
PROBABILIDAD
Estas preguntas, en el
lenguaje
coloquial,
esperan como respuesta
una medida de confianza
de que ocurra un evento
futuro, o bien, de una
forma
sencilla,
interpretar
la
Probabilidad de que ése
fenómeno suceda.
Medida de la incertidumbre (duda)
de que un fenómeno ocurra.
Fuente: Imágenes de Google, 2015
PROBABILIDAD
El conocimiento de la
Probabilidad es de suma
importancia en todo estudio
estadístico.
Medida de la incertidumbre (duda)
de que un fenómeno ocurra.
Fuente: Imágenes de Google, 2015
El cálculo de probabilidades
proporciona las reglas para
el
estudio
de
los
experimentos aleatorios o
de azar, que constituyen la
base para la Estadística
Inferencial.
PROBABILIDAD
Un
fenómeno
aleatorio
es
un
acontecimiento
del
que no se sabe el
resultado que se
obtendrá;
están
relacionados con el
azar.
La
Probabilidad estudia
los
fenómenos
aleatorios.
Auditoría para identificar cero defectos.
Fuente: Imágenes de Google, 2015
PROBABILIDAD
Por otro lado, un fenómeno determinista es el
acontecimiento en el cual, de antemano, se sabe
cual será el resultado.
Calcular la velocidad de la motocicleta aplicando la fórmula
para el movimiento rectilíneo.
Fuente: Imágenes de Google, 2015
PROBABILIDAD
Girolamo Cardano
Fuente: Imágenes de Google, 2015
El primer libro sobre
Teoría
de
la
Probabilidad es "De Ludo
Aleae"
de
Girolamo
Cardano (1501 - 1576,
Italia)
que
esta
básicamente dedicada al
juego de los dados.
Cardano anteriormente se
había ocupado de los
problemas de apuestas.
PROBABILIDAD
La Teoría de la
Probabilidad
se
inició prácticamente
con el análisis de los
juegos de azar. Los
tres
matemáticos
pioneros de estas
teorías fueron: Blaise
Pascal (1623-1662).
Pierre de Fermant
(1601-1665) y Pierre
Simón de Laplace
(1749-1827)
Pascal, Fermant y Laplace
“Jugadores de cartas”, 1595
M. A Merisi de Caravaggio (1573-1616)
Fuente: Imágenes de Google, 2015
PROBABILIDAD
“Niños jugando a los dados”, 1665
B. E. Murillo (1617-1682)
Fuente: Imágenes de Google, 2015
Los juegos de azar son sin
duda
una
de
las
actividades de recreación
más antiguas del hombre,
fueron una motivación
principal para el desarrollo
de la teoría de la
probabilidad,
y
fue
precisamente acerca de
uno de éstos juegos que
Pascal
y
Fermant
iniciaron en 1654 un
estudio sistemático.
PROBABILIDAD
El
suceso
que
trataron Pascal y
Fermant surgió de un
juego de dados y
tenían que averiguar
el número de veces
que se debían arrojar
dos dados para que
la probabilidad de
obtener dos “seis”
fuera el cincuenta
porciento.
Juego de dados
Fuente: Imágenes de Google, 2015
PROBABILIDAD
Publicación de la “Teoría Analítica de las
Probabilidades” de Laplace, 1812
Fuente: Imágenes de Google, 2015
Sin embargo, hasta
1812
Laplace definió
con precisión lo que
significaba
la
probabilidad
de
un
evento, en su Theorie
Analytique
des
Probabilites,
explicando la posibilidad
de que un evento dado
ocurra.
PROBABILIDAD
Los pioneros de la
Teoría
de
la
Probabilidad
tuvieron
contribuciones de otros
científicos
como
Chebyshev (1821-1894)
con el Teorema de
Chebyshev y Markov
(1856-1922)
con
el
Teoría
de
los
Números.
Pafnuti Chevyshev Y Andréi Márkov
Fuente: Imágenes de Google, 2015
PROBABILIDAD
Andéi Kolmogórov
Fuente: Imágenes de Google, 2015
Finalmente
Andréi
Kolmogórov
(19031987)
estructuró
el
Sistema Axiomático de
la
Teoría
de
la
Probabilidad a partir de
la
Teoría
de
Conjuntos, donde los
elementos son eventos
de
un
experimento
probabilístico.
PROBABILIDAD
C ONTENIDO
DE LA
U NIDAD T EMÁTICA
Probabilidad
Teoría de Conjuntos
Teoría de la Probabilidad
Conceptos básicos
Conceptos básicos
Operaciones con conjuntos
Axiomas de la Probabilidad
Fuente: Elaboración propia, 2015
TEORÍA DE CONJUNTOS
Para lograr un desarrollo
ordenado de la Teoría
de la Probabilidad se
requiere
recordar
la
Teoría de Conjuntos.
Conceptos Básicos:
Un conjunto es una
colección bien definida;
es decir, una colección
de objetos o sujetos con
una característica en
común.
5
Representación de un conjunto de números
Fuente: Elaboración propia, 2015
TEORÍA DE CONJUNTOS
Los objetos o sujetos que constituyen un conjunto
se denominan elementos.
Hay tres formas de describir un conjunto:
1. Por enunciación: Cuando se escribe o se
enlistan los elementos que conforman un conjunto.
U = {Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,
sábado y domingo}
TEORÍA DE CONJUNTOS
2. Por comprensión: Cuando se proporciona una
regla con la cual se identifican los elementos
de un conjunto.
U = {Los días de la semana}
3. Por Diagrama de Venn: Cuando se
representan gráficamente los elementos de un
conjunto y sus relaciones.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Diagrama de Venn
U
Lunes
Jueves
Martes
Miércoles
Sábado
Domingo
Viernes
Representación del conjunto de los días de la semana
Fuente: Elaboración propia, 2015
TEORÍA DE CONJUNTOS
El conjunto universo
es la colección de
objetos o sujetos que
contiene
todos
los
elementos que interesan
en
una
situación
determinada.
Se
acostumbra
identificar
con la letra U.
U
A
B
Diagrama de Venn
Representación del conjunto universo
Fuente: Elaboración propia, 2015
TEORÍA DE CONJUNTOS
Sea U el conjunto universo que incluye los
siguientes elementos:
U = {Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,
sábado y domingo}, o bien
U = {Los días de la semana}
Entonces,
Lunes  U, domingo  U, noviembre  U
Es decir, los elementos lunes y domingo son
pertenecen a U y noviembre no pertenece a U.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Diagrama de Venn
U
A
B
Representación de dos conjuntos en el conjunto universo
Fuente: Elaboración propia, 2015
TEORÍA DE CONJUNTOS
U
B
A
Representación de un subconjunto
Fuente: Elaboración propia, 2015
Un Subconjunto es
una
parte
de
la
colección de objetos o
sujetos que componen
un
conjunto
determinado.
En notación matemática
se representa como :
A  B o A  B.
TEORÍA DE CONJUNTOS
El conjunto vacío es el que carece de
elementos. En notación matemática se
representa como A = 
La cardinalidad de un conjunto A es el
número de elementos que contiene y se
denota como n(U) = 7 (haciendo referencia al
conjunto de los días de la semana).
TEORÍA DE CONJUNTOS
U
A
B
Operaciones
con
conjuntos
Unión
de
conjuntos: La unión
de los conjuntos A y B
es el conjunto de todos
los
elementos
que
están en A, en B o en
ambos. Se denota por
Representación de la unión de conjuntos
Fuente: Elaboración propia, 2015
A  B.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Intersección
conjuntos:
de
La
intersección de los
conjuntos A y B es el
conjunto
de
los
elementos que están
en A y también están
en B. La notación
matemática es A  B.
U
A
B
Representación de la intersección de conjuntos
Fuente: Elaboración propia, 2015
TEORÍA DE CONJUNTOS
Complemento
un
conjunto:
U
A
A
Representación del complemento de un conjunto
Fuente: Elaboración propia, 2015
de
El
complemento de un
conjunto A es el
conjunto de todos los
elementos del Universo
que no están en A.
Entonces A = U - A.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Diferencia de dos
conjuntos: La diferencia
entre los conjuntos A y B
es el conjunto de todos los
elementos que están en A
pero no en B; es decir,
son los elementos que
exclusivamente
pertenecen a A. Se
denota como A - B.
U
A
B
Representación de la diferencia de conjuntos
Fuente: Elaboración propia, 2015
TEORÍA DE CONJUNTOS
Ejemplo
U
A
C
Representación de los conjuntos
Fuente: Elaboración propia, 2015
Se realiza una encuesta
entre 100 personas para
conocer cuál es su destino
turístico
preferido:
Acapulco o Cancún. De
ellas, 45 respondieron que
prefieren
Cancún;
35
Acapulco
y
25
respondieron
que
Acapulco les gusta tanto
como Cancún.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Ejemplo
U
A
C
Representación de los conjuntos
Fuente: Elaboración propia, 2015
Determina:
• ¿Cuántas
personas
prefieren
sólo
Cancún?
• ¿Cuántas
personas
prefieren
otros
destinos que no sean
Acapulco o Cancún?
TEORÍA DE CONJUNTOS
Procedimiento
U
A
C
AC
[AC]c
Representación de los conjuntos
Fuente: Elaboración propia, 2015
• Determinar el número
de
personas
que
prefieren Acapulco
• Determinar el número
de
personas
que
prefieren Cancún
• Elaborar el Diagrama
de
Venn
que
represente
estos
conjuntos
TEORÍA DE CONJUNTOS
Procedimiento
U
A
AC
25
10 25
10
CC
20
[AC]c = 45
Representación de los conjuntos
Fuente: Elaboración propia, 2015
• Determinar la cardinalidad
de A: n[A] = 10
• Determinar la cardinalidad
de C: n[C] = 20
• Determinar la cardinalidad
de A  C: n[AC] = 25
• Determinar la cardinalidad
del complemento de AC:
n[AC] = 45
TEORÍA DE CONJUNTOS
Resultado
U
A
10
AC
25
C
C
20
[AC]
[AC]cc== 45
45
Representación de los conjuntos
Fuente: Elaboración propia, 2015
• El número de personas
que
prefieren
Cancún
como destino turístico es:
n[C – A] = n[C] – n[AC] =
45-25 = 20
• El número de personas
que
prefieren
otros
destinos turísticos que no
sean Cancún o Acapulco
es: n[AC] = n[U] – n[AC]
= 100-55 = 45
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Una vez revisada la Teoría de Conjuntos se
pueden explicar los Conceptos Básicos de la
Teoría de la Probabilidad.
La Teoría de la Probabilidad se usa
extensamente en áreas como la Estadística,
la Física, las Matemáticas, las Ciencias Naturales,
las Ciencias Exactas y las Sociales, para obtener
conclusiones sobre la posibilidad de que
acontezcan sucesos o fenómenos, por lo tanto es
la rama de las Matemáticas que estudia a los
experimentos aleatorios y sus resultados.
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Conceptos Básicos
La Probabilidad es un método por el cual se
obtiene la frecuencia de ocurrencia de un
acontecimiento
determinado
mediante
la
realización de un experimento del cual no se
conocen
los
resultados
posibles,
bajo
condiciones suficientemente constantes.
La Probabilidad es el conjunto de posibilidades
que tiene un evento de que ocurra o no en un
momento y tiempo determinado.
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Dichos eventos pueden ser medibles a través de
una escala de 0 a 1, donde el evento que no pude
ocurrir tiene una probabilidad de 0 y se conoce
como evento imposible; por otra parte, un evento
que tiene una probabilidad de 1 es un evento que
ocurre con una certeza muy alta y se conoce como
evento posible o seguro.
0
Evento imposible
0.5
Evento probable
1
Evento posible
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Un
experimento
en
Probabilidad
es
un
procedimiento, acción u
operación que consiste
en
realizar
una
medición u observación
de
los
resultados
posibles y cuantificarlos;
es
decir,
cualquier
proceso que genera un
resultado definido.
Experimento: Elección de personas
Fuente: Imágenes de Google, 2015
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Los experimentos en Probabilidad pueden
clasificarse de acuerdo al tipo de resultados que
se obtienen:
• Experimento Aleatorio
Experimento Aleatorio Recuento de microorganismos
Fuente: Norma ISO 22000, 2015
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
• Experimento Determinista
Experimento Determinista: Ensayos en el Laboratorio
Fuente: Imágenes Google, 2015
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Un experimento es aleatorio si se verifican las
siguientes condiciones:
1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en
las mismas condiciones.
2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el
resultado que se va a obtener.
3. El resultado que se obtenga, s, pertenece a un
conjunto conocido previamente de resultados
posibles.
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
¿Qué
porcentaje
de
pacientes se mejorarán con
el nuevo tratamiento?
Fuente: Imágenes de Google, 2015
Experimento aleatorio es
aquel que bajo la misma
serie
de
condiciones
iniciales, puede presentar
resultados diferentes; es
decir, no se puede predecir
o reproducir el resultado
exacto de cada experiencia
particular.
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Ejemplos de experimentos aleatorios son:
1. Resultado de un partido de futbol.
2. Llegada de un autobús a la parada.
3. Aprobar el examen final de Estadística.
4. Clima sin lluvia y tormentas eléctricas.
5. Preferencias por un estilo de música.
6. Nivel de inflación en el año.
7. Casos de influenza en la temporada invernal.
8. Ganador del Maratón de la Ciudad de México.
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Experimento
determinista es aquel
estudio,
ensayo
o
situación en la cual se
conocen
todos
los
factores
de
un
experiencia
y
que
permite
predecir
exactamente el resultado
que se va a obtener.
Louis Pasteur (1822-1895) y el
origen de la pasteurización.
Fuente: Imágenes de Google, 2015
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Espacio Muestral es el
conjunto de todos los
posibles
eventos
o
resultados
que
pueden
ocurrir como efecto de un
experimento determinado y
se le denota normalmente
mediante la letra S. El
espacio muestral puede
representarse gráficamente
con un Diagrama de Venn.
S
B
A
C
Representación del Espacio Muestral.
Fuente: Elaboración propia, 2015
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
El Espacio Muestral puede representarse también
con la notación de conjuntos, ya sea por
enunciación o por comprensión.
Ejemplo
Experimento: ¿Cuál es el color favorito de los
estudiantes?
Espacio muestral: Frecuencia de ocurrencia para
el color blanco, negro, café, azul, rojo, rosa,
naranja, entre otros.
S = {10 blanco, 15 negro, 5 café, 12 azul, 3 rojo, 2
rosa, 7 naranja}
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Al número de puntos muestrales de S se le
representa por n[S] lo cual se llama cardinalidad
del espacio muestral.
Un Evento es una colección de resultados u
observaciones
obtenidos
del
experimento
probabilístico y forma parte del espacio muestral.
Los eventos son subconjuntos del espacio
muestral S, y se denotan como A, B, C,…  S
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
S
Evento
Evento
Evento
Representación de los Eventos que se
encuentran en un Espacio Muestral.
Fuente: Elaboración propia, 2015
El
evento
es
una
colección de resultados u
observaciones obtenidas
del experimento y forma
parte
del
espacio
muestral.
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Los Eventos Aleatorios son las agrupaciones de
resultados u observaciones que se obtienen de un
experimento aleatorio y son parte de un espacio
muestral.
Los eventos aleatorios son subconjuntos que
pueden contener un solo elemento, una infinidad
de elementos y también no contener algún
elemento.
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Eventos aleatorios que aparecen con
frecuencia en el cálculo de probabilidades:
gran
• Evento seguro: Siempre se verifica después del
experimento aleatorio, forma parte del espacio
muestral.
E = S y n[E] = n[S]
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
• Evento imposible: Es aquel que nunca se verifica
como resultado del experimento aleatorio. No
tiene elementos de interés para su fenómeno. Es
un subconjunto de S y la única posibilidad es que
el evento imposible sea el conjunto vacío .
  S, y n[] = 0
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Evento Elemental o Simple es el evento E que
contiene exactamente un punto muestral de S; esto
es, n[E] = 1.
Cada elemento del espacio muestral, es un evento
elemental. También se le denomina como punto
muestral.
Si s1, s2  S
elementales.
entonces s1, s2 son eventos
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Eventos
Mutuamente
Excluyentes o Disjuntos
son dos eventos E1 y E2
que tiene la característica
de que cuando sucede
uno (E1) no sucede el
otro (E2); por lo tanto, no
tienen elementos en
común.
S
A
B
Representación de los Eventos Mutuamente
Excluyentes en un Espacio Muestral.
Fuente: Elaboración propia, 2015
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Ejercicio
Un técnico de laboratorio
clínico registra el tipo de
sangre y el factor Rh de
los pacientes que van
llegando al laboratorio.
Liste los eventos simples
del experimento:
S = {A+, A-, B+, B-,
AB+,AB-, O+, O-}
S
A
B
AB
O
Representación de los Eventos Simples del
Espacio Muestral Tipo de Sangre.
Fuente: Elaboración propia, 2015
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
A
B
S
AB
O
+
A+
-
A-
+
B+
-
B-
+
AB+
-
AB-
+
-
Diagrama de Árbol de Tipos de Sangre..
Fuente: Elaboración propia, 2015
O+
O-
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
S
Ejercicio
Factor Rh
A
Tipo de Sangre
Positivo
A+
B+
AB+
O+
Negativo
A-
B-
AB-
O-
B
AB
Tipo de Sangre
Positivo
A
B
AB
O
Proporción
0.41
0.10
0.04
0.45
O
Representación de los Eventos Simples del
Espacio Muestral Tipo de Sangre.
Fuente: Elaboración propia, 2015
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
La probabilidad de un evento A es igual a la
suma de las probabilidades de los eventos simples
contenidos en A.
Los requerimientos para las probabilidades de los
eventos simples son:
• Cada probabilidad debe estar entre 0 y 1.
• La suma de las probabilidades de todos los
eventos simples en el espacio muestral S es
igual a 1.
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Ejemplo
Las proporciones de fenotipos sanguíneos A, B, AB
y O en la población son: 0.41, 0.10, 0.04 y 0.45,
respectivamente. Si se eligiera al azar una persona
¿Cuál es la probabilidad de que el tipo sanguíneo
que presenta sea A o AB?
Factor Rh
Negativo
Positivo
Total
Tipo de Sangre
A
A-
B
B-
AB
AB-
O
O-
A+
0.41
B+
0.1
AB+
0.04
O+
0.45
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Ejemplo
Los cuatro eventos simples A, B, AB y O no son
equiprobables; es decir, no presentan la misma
probabilidad. Sus probabilidades se encuentran a
partir del concepto de frecuencia relativa:
P(A) = 0.41
P(B) = 0.1
P(AB) = 0.04 P(O) = 0.45
El evento de interés consiste en dos eventos
simples, por lo tanto:
P(la persona tenga tipo A o tipo AB) = P(A) + P(AB)
= 0.41+ 0.04 = 0.45
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Cálculo de la Probabilidad de un Evento
• Liste los eventos simples del espacio muestral
• Incluya todos los eventos simples en el espacio
muestral
• Asigne la probabilidad real correspondiente a
cada evento simple
• Determine que eventos simples dan como
resultado el evento de interés
• Sume las probabilidades de los eventos simples
que dan como resultado la probabilidad del
evento de interés
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Ejemplo
En un estudio se clasifica un número grande de
adultos a partir de si necesitan anteojos para
corregir su visión de lectura o si usan anteojos para
leer. Las proporciones correspondientes a las
cuatro categorías son:
Necesitaban anteojos
Utilizaban anteojos para leer
Si
No
Totales
Si
0.44
0.14
0.58
No
0.02
0.40
0.42
0.46
0.54
1.00
Totales
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Ejemplo
Si se elige un solo adulto de este grupo, encuentre
la probabilidad de cada uno de los siguientes
eventos:
• El adulto necesita anteojos
• El adulto necesita anteojos para leer pero no los
usa
• El adulto usa anteojos para leer ya sea que los
necesite o no
Considere las recomendaciones hechas anteriormente para
el cálculo de probabilidades.
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Ejemplo
Necesitaban anteojos
Utilizaban anteojos para leer
Si
No
Totales
Si
A = 0.44
C = 0.14
0.58
No
B = 0.02
D = 0.40
0.42
0.46
0.54
1.00
Totales
• Evento “El adulto necesita anteojos”
[P(A)+P(C)] = 0.44+0.14 = 0.58
• Evento “El adulto necesita anteojos para leer pero no los usa”
[P(C)] = 0.14
• Evento “El adulto usa anteojos para leer ya sea que los
necesite o no”
[P(A)+P(B)] = 0.44+0.02 = 0.46
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Ejercicios
Resuelva los siguientes ejercicios:
1.Durante su curso de Química, los alumnos tienen
que aprobar dos exámenes, uno teórico y otro de
laboratorio. 31 alumnos ya aprobaron el examen
teórico; 15 el de laboratorio; 8 alumnos han
aprobado ambos exámenes y el resto no han
aprobado ninguno. En el curso de Química están
inscritos 64 estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de
que, al elegir un alumno al azar pertenezca a
alguno de los siguientes eventos?
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Ejercicios
• Haya aprobado el examen teórico
• Haya aprobado el examen del laboratorio
• Haya aprobado ambos exámenes
• No haya aprobado ningún examen
Elabore un Diagrama de Venn para representar el
espacio muestral y considere las recomendaciones
hechas anteriormente para el cálculo de
probabilidades.
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Ejercicios
2.Una bolsa contiene diez esferas marcadas con
los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10.
• Sea E1 el evento de extraer una esfera marcada
con 3 o menos.
• Sea E2 el evento de extraer una esfera marcada
con 6 o más.
• ¿Cuál es la probabilidad de sacar estas esferas
de la bolsa?
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Ejercicios
3.La probabilidad de que asista a una universidad
pública (A) es de 0.4 y la probabilidad de que asista
a una privada (B) es 0.25 ¿Cuál es la probabilidad
de que asista a una universidad estatal o a una
universidad privada? y ¿Cuál es la probabilidad de
que no asista a la universidad (C)?
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Operaciones
con
Probabilidades
Unión de eventos
Dados dos eventos A y B
se llama unión de A y B
(AB), se representa por
el evento que se realiza
cuando ocurre A o B, o
ambos.
S
A
B
Representación de la Unión de Eventos.
Fuente: Elaboración propia, 2015
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
S
A
B
Representación de la Intersección de
Eventos.
Fuente: Elaboración propia, 2015
Operaciones
con
Probabilidades
Intersección de eventos
Dados dos eventos A y
B, se llama intersección
A y B (AB), se
representa por el evento
que se obtiene si y sólo
si
se
realizan
simultáneamente A y B.
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Operaciones
con
Probabilidades
Complemento de un
Evento
Dado un evento A, el
complemento de este
evento (A) es el evento
de que A no ocurra.
S
A
A
Representación del Complemento de un
Evento.
Fuente: Elaboración propia, 2015
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
S
A
B
Representación de la Diferencia de dos
Eventos.
Fuente: Elaboración propia, 2015
Operaciones
con
Probabilidades
Diferencia de Eventos
Dados dos eventos A y
B, se llama evento
diferencia de A y B, y se
representa por (A-B), al
suceso AB; o sea,
está formado por todos
los eventos elementales
de A que no están en B.
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Resumen de Operaciones con Probabilidades
Operación
Unión
Intersección
Diferencia
Complemento
Notación
Descripción
AB
Unión de eventos originales A y B
es el evento que sucede si y solo si
A sucede o B sucede o ambos
suceden.
AB
Intersección
de
los
eventos
originales A y B, es el evento que
sucede si y sólo si A y B suceden
simultáneamente.
A-B
La diferencia de los eventos
originales A y B, es el evento que
sucede solo en A pero no B.
A
El complemento de un evento A se
define como todos los elementos de
S que no están en A. Se representa
como Ac , A
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Definición Axiomática de la Probabilidad de
Kolmogorov
Sea S el espacio muestral de un experimento
aleatorio. Una probabilidad en S es cualquier función
P que asigna a cada evento A un número real P(A)
que cumple las siguientes propiedades:
A1. 0 ≤ P(A) ≤ 1
A.2. P(S) = 1
A.3. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes
(A  B = 0), entonces P(A  B) = P(A) + P(B)
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Propiedades de la Probabilidad
1.P( ) = 0
2.P(A) = 1- P(A) o [P(Ac)]
3.Si A y B son eventos tales que AB
entonces P(A) ≤ P(B)
4.P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) para
eventos que no son mutuamente
excluyentes
5.P(A/B ) = P(A) - P(AB)
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Eventos Independientes
Dos eventos A y B son independientes cuando
la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad
de la ocurrencia del otro. De manera similar,
muchos otros eventos son independientes si la
ocurrencia de cualquiera no afecta las
probabilidades de la ocurrencia de los demás;
es decir:
P(AB) = P(A)P(B)
De
otra
manera,
dependientes.
los
eventos
son
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Eventos Independientes
Se dice que dos eventos A y B son
independientes si el hecho de que ocurra uno
de ellos no influye en la probabilidad de que
ocurra el otro; es decir:
P(AB) = P(A)P(B)
De
otra
manera,
independientes.
los
eventos
son
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Ejemplo
En la población hay 51% de varones y 49% de
mujeres, y las proporciones de varones y mujeres
daltónicos se muestran en la siguiente tabla :
Daltonismo
Género
Varones (B)
Mujeres
(B c )
Total
Si (A)
0.04
0.002
0.042
No (A c )
0.47
0.488
0.958
0.51
0.49
1.00
Total
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Referencias bibliográficas
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