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MOVIMIENTO
CIRCULAR
UNIFORME Y NO
UNIFORME.
En los movimientos que realizan los pilotos
acróbatas cuando efectúan un movimiento circular
en el aire, su trayectoria es una circunferencia, y
sucede que puede tener una rapidez constante,
pero su velocidad cambia a cada instante debido a
que la velocidad es un vector.
• En un momento dado el piloto puede seguir la
trayectoria de la velocidad y se ira en línea recta,
debido a que su movimiento es tangente, o sea
perpendicular al radio del circulo.
• Desplazamiento angular.- Es una distancia
recorrida por una partícula en una trayectoria
circular y se expresa frecuentemente en radianes
(rad), grados () y revoluciones (rev); es
conveniente expresar toda rotación en radianes.
El radian (rad) es una unidad de medida angular,
así como el metro es la unidad de medida lineal.
• Se define al radián como el ángulo
subtendido por el arco del círculo cuya
longitud es igual al radio del mismo
circulo.
• Puesto que la circunferencia entera de un
círculo es justo 2  veces el radio r, hay 2
 radian en un circulo completo.
• 1rev = 2  radian = 360
• Puesto que  = 3.14
• 1 rad = 360 = 57.3
•
2
• De las relaciones anteriores se deduce que
el ángulo  en radianes, en cualquier
punto sobre la circunferencia de un
circulo, esta dado por d, la longitud del
arco entre los dos puntos, dividida por el
radio r. En otras palabras,
• Angulo en radianes = longitud del arco
•
Radio
• = d
•
r
radián
r
Un radián equivale a 57.3°
•
B
A
r
θ
r
Θ= desplazamiento angular, r = vector de posición, A = posición inicial
Del objeto, B = posición del objeto, después de un periodo de tiempo.
movimiento circular
uniforme presenta en su trayectoria el paso en
un punto fijo, equivalente a un ciclo por cada
vuelta o giro completo de 360.
• En física son también llamados revoluciones para
un determinado tiempo.
• El periodo de un movimiento circular es el tiempo
que tarda una partícula en realizar una vuelta
completa, revolución o ciclo completo. La unidad
utilizada para el periodo es el segundo o, para
casos mayores unidades mayores.
• T = 1/F
T = seg/ciclo
•
• PERIODO
Y
FRECUENCIA.-El
• Se
denomina
frecuencia
de
un
movimiento
circular
al
numero
de
revoluciones, vueltas o ciclos completos
en la unidad de tiempo. La unidad
utilizada para medir la frecuencia de un
movimiento es el hertz (Hz), que indica el
número de revoluciones o ciclos por cada
segundo• F = 1/T
F = ciclos/ seg. o hertz.
• Estos conceptos de periodo y frecuencia
son muy útiles para comprender los
fenómenos que se producen en los
movimientos
periódicos,
que
se
observaran con mayor detenimiento en los
temas de acústica y óptica, para
comprender los fenómenos ondulatorios
electromagnéticos del fenómeno luminoso.
VELOCIDAD ANGULAR.
• A la razón del cambio del desplazamiento angular al tiempo
transcurrido se le denomina velocidad angular, y esta dada
por,
• =
•
t
•
 = velocidad angular en rad/seg.
•
 = desplazamiento angular en rad.
•
t = tiempo en segundos en que se efectuó el
desplazamiento angular.
•
El símbolo  (omega) se usa para denotar la velocidad
angular. Aunque se puede expresar en revoluciones por
minuto (rev/ min, rpm.) o revoluciones por segundo (rev/s)
en la mayor parte de los problemas físicos se hace
necesario usar radianes por segundo (rad/s) para adaptarse
a fórmulas más convenientes.
•
• La velocidad angular también se
puede determinar si sabemos el
tiempo que tarda en dar una vuelta
completa:
•=2π
•
T
• Como: T = 1/F
•  = 2π F en rad/seg.
ACELERACIÓN ANGULAR.
• Como el movimiento lineal o rectilíneo, el movimiento
circular puede ser uniforme o acelerado. La rapidez de
rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de
un momento de torsión resultante.
•
La aceleración angular se define como la variación de
la velocidad angular con respecto al tiempo y esta dada
por:
•  = f - i
•
t
• donde:
•  = velocidad angular final en rad/ s2
• f = velocidad angular final en rad/s
• i = velocidad angular inicial en rad/s
• t = tiempo transcurrido en seg
• Una forma más útil de la ecuación anterior es:
• f = i +  t
•
Ahora que hemos introducido el concepto de
velocidad angular inicial y final, podemos
expresar, la velocidad angular media en términos
de sus valores inicial y final.
•  =f - i
•
2
•  = f - i
(t)
•
2
• Esta ecuación es también similar a una ecuación derivada
para el movimiento lineal. De hecho las ecuaciones para la
aceleración angular tienen las mismas formas básicas que
las que se derivan de la aceleración lineal, estableciendo las
analogías siguientes:
• d (m) ------------------  (rad)
• v (m/seg)---------------- (rad/seg)
• a (m/ s2)-------------- (rad/seg2)
• RELACION
ENTRE
MAGNITUDES
LINEALES
Y
ANGULARES
• d=r
• v= r
• a=r
Comparación de formulas entre
aceleración lineal
Y aceleración angular
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Aceleración lineal constante
Vf = Vo + a t
D = ½ (Vo+ Vf)(t)
Vf2 =Vo2 + 2 ad
d = Vot + ½ a t 2
Aceleración angular constante
f = i + t
 = ½ (f + i) (t)
f 2= o2 +  
 =o t +1/2  t 2
•
•
•
•
•
•
•
•
Donde:
d = longitud del arco en cm,o metros.
 = desplazamiento angular en radianes
r = radio en cm, o metros.
v = velocidad lineal en cm /s, m/s,
 = velocidad angular en rad /s.
a = aceleración lineal en cm/ s2 , m/ s2
 = aceleración angular en rad / s2.
Problemas de Movimiento
circular uniforme.
• 1.- Un móvil con trayectoria circular
recorrió 820° ¿Cuántos radianes
fueron?
• Solución: 1 rad = 57.3°
• 820° x 1 rad = 14.31 radianes.
•
57.3°
• 2.- Un cuerpo A recorrió 515 radianes y
un cuerpo B recorrió 472 radianes. ¿A
cuántos grados equivalen los radianes en
cada caso?
• Solución: Cuerpo A: 515 rad x 57.3°
•
1 rad
• = 29509.5°.
• Cuerpo B : 472 rad x 57.3° = 27045.6°.
•
1 rad
• 3.- ¿Cuál es el valor de la velocidad
angular
de
una
rueda
que
gira
desplazándose 15 radianes en 0.2
segundos?
• Datos
Fórmula Sustitución
• ω=¿
=θ
 = 15 rad
• θ = 15 rad
t
0.2 seg
• t = 0.2 seg
 = 75 rad/seg.
•
•
• 4.- Determinar el valor de la velocidad angular y
la frecuencia de una piedra atada a un hilo, si
gira con un periodo de 0.5 segundos.
• Datos
Fórmula
• ω=?
=2π
• f=?
T
• T = 0.5 seg
•
•  = 2 x 3.14 = 12.56 rad/seg.
0.5seg
• f = 1/T f = 1/ 0.5 seg =2 ciclos/seg o 2 Hz.
• 5.- Hallar la velocidad angular y el periodo de
una rueda que gira con una frecuencia de 430
revoluciones por minuto.
• Datos
Fórmulas
• ω=¿
=2πF
• T=¿
T = 1/F
• F = 430 rpm
•
Sustitución y resultado:
• 430 rpm x 1 min = 7.17 rev/seg
•
60 seg
•  = 2 x 3.14 x 7.17 rev/seg = 45 rad/seg.
• T = 1/7.17 rev/seg = 0.139 seg/rev.
• 6.- Encontrar la velocidad angular de un disco de 45 rpm, así
como su desplazamiento angular, si su movimiento duró 3
minutos.
• Datos
Fórmulas
• ω=?
=2πF
•
θ=?
θ=ωt
F = 45 rpm
t = 3 min = 180 seg
45 rpm x 1 min = 0.75 rev/seg
60 seg
 = 2 x 3.14 x 0.75 rev/seg
 = 4.71 rad/seg.
• θ = 4.71 rad/seg x 180 seg=847.8 rad.
•
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORMEMENTE
ACELERADO
• Las ecuaciones empleadas para el movimiento
circular uniformemente acelerado son las mismas
que se utilizan para el rectilíneo uniformemente
acelerado con las siguientes variantes:
• 1.- en lugar de desplazamiento en metros
hablaremos de desplazamiento angular en
radianes (θ en lugar de d).
• 2.- la velocidad en m / s se dará como velocidad
angular en radianes / s (ω en lugar de v).
• 3.- la aceleración en m / s2 se cambiara a
aceleración angular en radianes / s2 (α en lugar
de a)
• En conclusión las ecuaciones serán:
• a).- Para calcular el valor de los desplazamientos angulares
cuando el cuerpo no parte del reposo:
•
1.- θ = ω0 t + α t 2
•
2
•
2.- θ = ωf 2 – ω0 2
•
2α
•
•
•
•
3.- θ = ωf – ω0 t
2
• Si el cuerpo parte del reposo su
velocidad angular inicial (ω0) es cero, y las
tres ecuaciones anteriores se reducen a:
•
1.- θ = α t 2
•
2
•
2.- θ = ωf 2
•
2α
•
3.- θ = ωf t
•
2
• b).- Para calcular el valor de velocidades
angulares finales cuando el cuerpo no
parte del reposo.
•
1.- ωf = ω0 + αt
•
2.- ωf2 = ω02 + 2 αt
• Si el cuerpo parte del reposo su
velocidad inicial (ω0) es cero, y las dos
ecuaciones anteriores se reducen a:
•
1.- ωf = αt
•
2.- ωf2 = 2 αt
RESOLUCION DE PROBLEMAS DEL
MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORMEMENTE ACELERADO
• 1.- Un engrane adquirió una velocidad de 2512
rad / s en 1.5 s. ¿Cuál fue la aceleración angular?
• Datos
formula
ω = 2512 rad / s
α= ω/t
t = 1.5 seg
• α= ?
• Sustitución y resultado:
•
•
α = 2512 rad/ s =1674.66 rad/s2.
1.5 seg
• 2.- Un mezclador eléctrico incremento su velocidad angular de 20
rad / s a 120 rad / s en 0.5 s. calcular: a) ¿Cuál fue el valor de su
aceleración media? B) cual fue el valor de su desplazamiento
angular en ese tiempo?
•
• Datos
formula
• ω0 = 20 rad/ s
αm = ωf – ω0
• ωf = 120 rad/ s
t
• t = 0.5 s
• a) αm = ?
θ = ω0 t + α t 2
• b) θ = ?
• Sustitución y resultado:
• αm = 120 rad/ s – 20 rad/ s = 200 rad / s2.
•
0.5 s
• θ = 20 rad/ s x 0.5 + 200 rad/ s2 (0.5 seg)2.
• = 10 rad/ s + 25 rad θ = 35 radianes.
• 3.- Determinar la velocidad angular final de una rueda a los
0.1 minutos si se tenia una velocidad angular inicial de 6
rad/ s y sufre una aceleración angular de 5 rad/ s2.
Datos
formula
• ωf =?
ωf = ω0 + αt
• t = 0.1 min = 6 s
• ω0 = 6 rad / s
• α = 5 rad/ s2.
• Sustitución y resultado.
• ωf = 6 rad/ s + (5 rad/ s2 x 6 s) = 36 rad/ s.
• 4.- Una rueda que gira a 4 rev/ s aumenta su frecuencia a 20 rev/
s en 2 segundos. Determinar el valor de su aceleración angular.
• Datos
formulas
• F0 = 4 rev/ s
ω 0 = 2 π F0
Ff = 20 rev/ s
ωf = 2 π Ff
• α =?
• t=2s
• Sustitución y resultado:
• ω0 = 2 x 3.14 x 4 rev/s= 25.12 rad/s
ωf = 2 x 3.14 x 20 rev/s = 125.6 rad/ s
•
• α = ωf - ω0
•
t
•
α = 125.6 rad/ s – 25.12 rad/ s
2s
α = 50.24 rad / s2.
• 5.- Una rueda gira con una velocidad angular inicial cuyo
valor es de 18.8 rad/seg experimentando una aceleración
angular de 4 rad/seg2 que dura 7 segundos. Calcular: a)
¿Qué valor de desplazamiento angular tiene a los 7
segundos? b) ¿Qué valor de velocidad angular lleva a los 7
segundos?
• Datos
Fórmula
•
•
•
•
•
•
ωo = 18.8 rad/seg
t = 7 seg
α = 4 rad /seg2.
θ=¿
ωf = ¿
a) θ = ωot + αt2
2
b) ωf = ωo + αt
• Sustitución y resultado:
a) θ = 18.8 rad/seg x 7 seg + (4 rad/seg2)
(7 seg)2
•
2
• θ = 131.6 rad + 98 rad = 229.6 rad.
• ωf = 18.8 rad/seg + 4 rad/seg2 x 7 seg
• ωf = 18.8 rad/seg + 28 rad/seg = 46.8
rad/seg.