Download Movimiento Circular Uniforme

Instituto Jesús María
Física
5º Año “A” y “B”
La Circunferencia y el círculo
La Circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual distancia de otro punto
interior fijo que se llama centro de la circunferencia.
El círculo es la superficie del plano limitado por una circunferencia
Como se puede observar, la circunferencia es una línea y por ello sólo tiene longitud, mientras que el círculo es
una superficie y por tanto tiene área.
Líneas Notables
AB : cuerda
CD : diametro
EF : secante
GH : tangente
OI : radio
Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia
Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos. (partes)
Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto único se llama punto de tangencia o
punto de contacto.
Radio: Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. Es la
mitad del diámetro.
Observación: El radio, la cuerda y el diámetro son segmentos de recta, mientras que la secante y la tangente son
rectas.
Arco: Es una parte de la circunferencia. Un Arco se representa con el símbolo
el que se lee "arco" ac.
Semicircunferencia: Es un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia
El uso de tres letras, en el segundo caso, es indispensable para distinguir los dos arcos. ACB es una
semicircunferencia.
Semicírculo: Es la región del plano comprendida entre un diámetro y la semicircunferencia correspondiente.
Ángulo Central
1
Instituto Jesús María
Angulo central: Es aquel que está formado por dos radios OB y OA, el ángulo
la cuerda AB, también se dice que el arco
5º Año “A” y “B”
Física
intercepta o subtiende al o a
está comprendido entre los dos lados del ángulo.
lados.
Perímetro o Longitud de la circunferencia
La longitud de la circunferencia es el perímetro del círculo, que se calcula como
o
; siendo:
P = perímetro del círculo o longitud de la circunferencia
π = pi , aprox = 3,14
r = radio de la circunferencia
d = diámetro de la circunferencia, es el doble del radio. d = 2.r
Ejemplos:
1. ¿Cuál es el perímetro de una circunferencia que tiene 8 m. de diámetro?
2. ¿Cuál es el perímetro de una circunferencia que tiene 10 cm. de radio?
3. El perímetro de una circunferencia es 12,56 km. ¿Cuánto mide su diámetro?
4. El perímetro de una circunferencia es 31,4 m. ¿Cuánto mide su radio?
5. La rueda de una bicicleta tiene 30 cm. de radio. Si recorre una distancia de 12.560 m. ¿Cuántas vueltas ha
dado cada rueda?
ÁNGULOS
Los ángulos se pueden medir en grados o radianes.
Un radián "marca" una longitud de circunferencia igual al radio.
Hay 2π radianes en un círculo completo
Es decir, si cortas trozos de cuerda de longitud exactamente igual a la
distancia del centro del círculo hasta el borde (radio), te hacen falta
para dar una vuelta alrededor, 2π, o más o menos 6,28 trozos de
cuerda.
O sea que un ángulo de 360º (toda la vuelta) es igual 2π radianes.
2π
= 360º
π = 180º
π/2 = 90º
Ejemplos:
Expresa la medida de estos ángulos en radianes. (Recuerda que 360° = 2 rad o que 180º =  rad)
a. 60°
b. 90°
c. 120°
d.
180°
2
Instituto Jesús María
5º Año “A” y “B”
Física
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
El movimiento circular es aquel, en el una partícula se mueve describiendo una trayectoria circular, si al a vez el
valor de la velocidad permanece constante, esteremos en presencia de un Movimiento Circular Uniforme (MCU).
Entonces en este movimiento el vector velocidad tiene la misma magnitud constante, pero su dirección varía en
forma continua.
Ejemplos de este movimiento son: Un reloj de punteros, un auto que gira, una calesita, las paletas de un ventilador, etc.
Otro ejemplo sería la trayectoria descripta por una piedra que se hace girar atada a un extremo de una
cuerda:
Al tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa la denominaremos período del movimiento y la
representaremos con T (período) y la unidad más usada será, el segundo.
El periodo (T) es el tiempo en que tarda en dar una vuelta
Ejemplo:
En una pista circular de 10 m de radio, un auto da 3 vueltas en 9 minutos. ¿Cuál es su período?
Para calcular el período (T) me debo preguntar: ¿en qué tiempo dará una vuelta?
Vamos a trabajar en segundos, esto es:
dá 3 vueltas ----------------------- en 540 seg. (9 min)
1 vuelta ------------------------en T = 540 s / 3 v = 180 segundos
T = 180 segundos
Es decir, que tarda 180 segundos en dar una vuelta
Velocidad Lineal o Tangencial
La distancia o espacio recorrido en ese tiempo, es obviamente la longitud de la circunferencia, que como vimos
se calcula 2.π.R (siendo R el radio de la circunferencia).
Por lo tanto, como el movimiento es uniforme la velocidad es
En nuestro caso:
donde:
A esta velocidad se la conoce como Velocidad lineal o tangencial, (vlineal), ya que el vector velocidad será siempre
tangente a la circunferencia.
Para el ejemplo anterior, podemos calcular el módulo de la velocidad de la siguiente manera:
Datos
R = 10 m (radio)
T = 180 segundos (período)
Fórmula
Sustitución
Resultado
3
Instituto Jesús María
Física
5º Año “A” y “B”
Ejercicio:
Calcular el periodo (T) y la velocidad lineal Vl, en el ejemplo de la piedra girando, sabiendo que el largo de la
cuerda es de 2m y gira 30 vueltas en 10 segundos.
Frecuencia
Volviendo al ejemplo de la piedra, consideremos que da 30 vueltas completas en un tiempo de 10 segundos, la
frecuencia (f), será por definición, el cociente entre el número de vueltas y el tiempo necesario para efectuarlas:
Recordemos que el Período T es el tiempo en que tarda en dar una vuelta, y la frecuencia son las vueltas que da
en un cierto tiempo, esto quiere decir que son magnitudes recíprocas; en fórmulas:
Si el período se mide en segundos, la frecuencia será 1/seg o seg-1, que quiere decir las vueltas que dará en un
segundo a esto se lo denomina Hertz = 1/s.
Otra unidad muy usada de frecuencia son las revoluciones por minuto (rpm), indican las vueltas o revoluciones
que dará en un minuto.
Velocidad angular
Un móvil se desplaza en MCU como lo indica la figura, desde el punto “A” hsta el “B”.
La trayectoria como vemos será el arco
, pero también el desplazamiento de los
radios describen o barren el ángulo α, por lo que se puede definir una velocidad
llamada angular (ω), que será el cociente entre el ángulo barrido sobre el tiempo;
pero como medir un ángulo es complicado, podemos tomar el ángulo que se forma
cuando dá una vuelta completa, es decir 360º o 2π radianes y como el período T es el tiempo en que tarda en
dar una vuelta, nos queda:
Por lo general usaremos los radianes, entonces la unidad de la velocidad angular será rad/seg o 1/seg.
Tanto la velocidad tangencial vt, como la velocidad angular ω, se pueden definir en función de la frecuencia,
recordando que f = 1/T, resultaría:
y
Relación entre la velocidad lineal y angular
y como
nos queda
4
Instituto Jesús María
5º Año “A” y “B”
Física
Aceleración Centrípeta o Normal.
En un movimiento circular uniforme la velocidad con la que el móvil recorre la circunferencia es
constante en módulo, pero no en dirección (recuerda que la velocidad es un vector, con módulo,
dirección y sentido).
Observa el dibujo. El vector velocidad (V) cambia de dirección a medida que
el móvil recorre la circunferencia de tal forma que siempre es tangente a la
trayectoria.
Si este vector cambia de dirección es debido a que existe una
aceleración (recuerda que la aceleración es la variación de la velocidad
respecto al tiempo), pero no es la aceleración que hemos estudiado en el
movimiento rectilíneo, ya que aquella era debida a la variación en módulo de
la velocidad.
Esta aceleración se denomina aceleración normal (o centrípeta) y está representada en el dibujo por an.
Como todas las aceleraciones está causada por una fuerza denominada Fuerza Centrípeta o Normal (Fn). Esta
fuerza centrípeta es precisamente la que provoca que el móvil trace una trayectoria circular. La fuerza centrípeta
está representada en el dibujo por Fn. Es muy importante darse cuenta que la fuerza centrípeta es la que provoca
el movimiento circular. Cuando esta fuerza desaparece, el móvil continuará con una trayectoria rectilínea y
velocidad uniforme.
La aceleración centrípeta se calcula:
y como
Donde:
an = Aceleración centrípeta [m/s2]
Vl = Velocidad lineal [m/s]
r = radio [m]
ω = velocidad angular [rad/s]
, también
Ejemplo:
Una hélice de 10 cm de radio gira a 1500 rpm (revoluciones por minuto) Calcular;
a) El periodo T o tiempo que emplea en dar una vuelta.
b) Frecuencia de la hélice.
c) Velocidad tangencial o lineal en su extremo.
d) Velocidad angular en rad/s y º/s.
e) Aceleración centrípeta.
Solución:
a) Calculamos el Período T
1500 rpm, significa que da
1500 vueltas ---------------------- 60 segundos (1 minuto)
1 vuelta ---------------------- 60/1500 = 0,04 s = T
b) La frecuencia será la recíproca del período T
f = 1/T f= 1/0,04 s = 25 vueltas/s o s-1 o 25 Hertz
c) La Velocidad lineal
5
Instituto Jesús María
Datos
5º Año “A” y “B”
Física
Formula
Reemplazo
Resultado
Formula
Reemplazo
Resultado
e) Aceleración centrípeta
Datos
Formula
Reemplazo
Resultado
T = 0,04 s
R = 10 cm = 0,10 m
d) Velocidad Angular
Datos
T = 0,04 s
Vl = 15,7 s
R = 10 cm = 0,10 m
Ejercicios y problemas
1)
Un móvil da 180 vueltas por minuto. Calcular:
a) Su período T.
b) Su frecuencia f.
2)
a)
b)
c)
d)
Una esfera atada a un hilo de 2 m de largo da 120 vueltas por minuto. Calcular:
Período T.
Velocidad Angular w.
Velocidad Tangencial o Lineal v.
Su aceleración centrípeta.
3)
Un móvil se mueve en círculo realizando 40vueltas en 10 seg. Hallar la velocidad angular w de este en
grados/seg. y en radianes/seg.
4)
Un vehículo marcha a 54 km/h. El radio de la rueda es de 40 cm. Calcular la:
a) Velocidad angular
b) La frecuencia en revoluciones por minuto R.P.M.
5)
¿Cuál es la velocidad tangencial o lineal de un hombre parado en un punto del ecuador de la tierra,
sabiendo que el radio ecuatorial es de 6.300 km aproximadamente?
6)
El eje de motor gira a 400 R.P.M. Calcular:
a) Su período T.
b) Frecuencia f.
c) Velocidad angular w.
7)
a)
b)
c)
d)
Un móvil recorre una circunferencia de 4 m de diámetro, dando 90 vueltas en 3 minutos. Calcular:
Su velocidad angular
Velocidad lineal
Frecuencia.
Su aceleración centrípeta.
8)
¿Cuál será la velocidad angular de la rueda de un bicicleta de diámetro igual a 71 cm, para que el
ciclista recorra 63 Km. en 2 horas.
9)
Una persona da vueltas en una pista circular de 50 metros de radio a un ritmo de 5 vueltas cada 2
min 37 segundos. ¿Cuál es su velocidad lineal y cual su velocidad angular?
6
Instituto Jesús María
10)
Física
5º Año “A” y “B”
La luna gira alrededor de la tierra en una órbita aproximadamente circular, la distancia al centro de
la tierra es de r = 3,844 . 105 Km t el período T = 27,32 días. ¿Cuál se velocidad angular, su velocidad lineal y
aceleración centrípeta?
7