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SUCESIONES NUMÉRICAS.
PROGRESIONES
ARITMÉTICAS Y
GEOMÉTRICAS.
SUCESIONES NUMÉRICAS
Una SUCESIÓN NUMÉRICA es un conjunto ordenado de números:
{ 1, 3, 5, 7, 9, … }
Si dicho conjunto es FINITO, decimos que la sucesión es FINITA, y si es
INTINITO, decimos que la sucesión es INFINITA.
Ejemplos:
Sucesión finita: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56
Sucesión infinita: 1, 4, 9, 16, 25, ….
Además, podemos representar todos los TÉRMINOS (“números de la sucesión”)
con una letra y un subíndice, que indica el número de orden.
Ejemplo:
En la sucesión finita: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56
El término a 4 = 7 y el término a 6 = 16
Construcción de sucesiones.
Una SUCESIÓN la podemos construir si conocemos:
1) El término general a n , para cualquier número natural n.
2) Si conocemos la relación
(“ley de recurrencia”) entre varios términos
consecutivos.
Ejemplos:
1)
Si para cada número natural n, el término general a n , viene dado por:
an=(3n +2);
la sucesión será: 5, 8, 11, 14, 17, 20, …
2)
Si la sucesión viene expresada por la siguiente relación de recurrencia:
a 1 = 1 ; a n = ( a n-1 + n ) ² para todo número natural > 2.
la sucesión será: 1, 9, 144, 21904, …
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Una SUCESIÓN numérica es una PROGRESIÓN ARITMÉTICA, cuando al
restar dos términos cualesquiera consecutivos (“ a
n+1
– a
n
“) resulta un
número positivo d (“DIFERENCIA DE LA PROGRESIÓN”).
Es decir una PROGRESIÓN ARITMÉTICA cumple la siguiente relación:
a n + 1 = a n + d para todo número natural > 0.
Ejemplos:
1)
La sucesión numérica 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …
Es una PROGRESIÓN ARITMÉTICA de DIFERENCIA 2, y que
cumple la siguiente relación de recurrencia:
a 1 = 3;
a n + 1 = a n + 2 = a n - 1 + 2 + 2 = a n - 1 + 2.2 = … = a 1 + n. 2
para todo número natural > 0
SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓ ARITMÉTICA.
Dado que la suma S, de los n primeros términos de una PROGRESIÓN
ARITMÉTICA, los podemos representar mediante las siguientes expresiones:
S = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n = a 1 + ( a 1 + d ) + ( a 1 + 2d) + … + ( a 1 + (n-1)d).
S = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n = a n + ( a 1 - d ) + ( a n - 2d) + … + ( a n - (n-1)d)
Sumando ambas expresiones: ---------------------------------------------------------
2. S = ( a 1 + a n ) + ( a 1 + a n ) + … + ( a 1 + a n )
Luego:
n.  a1  an 
S
2
= n . (a 1 + a n ) .
Ejemplo: La suma de los 8 primeros términos de la PROGRESIÓN
ARITMÉTICA 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, … Es:
S
8.  3  17 
2
 80
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Una SUCESIÓN numérica es una PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, cuando al
dividir dos términos cualesquiera consecutivos (“ a
n+1
: a
n
“) resulta un
distinto de 1 y positivo r (“RAZÓN DE LA PROGRESIÓN”).
Es decir una PROGRESIÓN GEOMÉTRICA cumple la siguiente relación:
a n + 1 = a n . r para todo número natural > 0.
Ejemplos:
1)
La sucesión numérica 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …
Es una PROGRESIÓN GEOMÉTRICA de RAZÓN 2, y que cumple la
siguiente relación de recurrencia:
a 1 = 2;
a n+1 = a n. 2 = a n-1 . 2 . 2 = a n-1 . 2 2 = … = a 1 . 2 n
para todo número natural > 0
SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.
Si denomínanos S a la suma de los n primeros términos de una PROGRESIÓN
ARITMÉTICA, se cumplirá:
r . S = a 1.r + a 2 .r + a 3 .r + … + a n .r =
S=a1+ a2 +a3+a4+… +an
Restando ambas expresiones:
(r–1).S
r. S - S =
Luego:
S
a 2 + a 3 + a 4+ … + a n+ a n . r
= a1+ a2 +a3+a4+… +an
--------------------------------------------------
= - a 1 + 0 + 0 + 0 + …. + 0 + r. a n.
r.an  a1
r 1
Ejemplo: La suma de los 7 primeros términos de la PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … Es:
2.128  2
S
 254
2 1
APLICACIÓN DE LA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA AL INTERÉS COMPUESTO.
Si tenemos un capital C, y lo depositamos a un interés compuesto r, dado que el rédito
sería R = r : 100. ¿Qué cantidad tendré al cabo de un año?
SOLUCIÓN:
C 1 = C + C. R = C . (1+R)
¿Qué cantidad tendré al cabo de dos años?
SOLUCIÓN:
C 2 = C 1 + C 1 R = C 1 (1+R) = C . (1+R) . (1+R) = C . (1+R) ²
……………………………………………………………………………………..
¿Qué cantidad tendré al cabo de n años?
SOLUCIÓN:
C n = C n-1 + C n-1 R = C n-1 (1+R) = …. = C . (1+R) n
Ejemplo: Si el capital inicial depositado en un banco es 1.000 €, y el interés
compuesto es del 5 %. Al cabo de 10 años, tendré un capital de:
C 10 = 1.000 € . ( 1 + 0,05 ) 10  1.000 € . 1,62889 = 1.628,89 €