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Prof. JOSE AROCHA LUNA
2011
SISTEMAS DE ECUACIONES
DE DOS INCOGNITAS
METODOS
Menú
Clasificación de sistemas lineales
 Resolución gráfica
 Resolución analítica:






Igualación
Sustitución
Reducción
Determinante
Grafico
Clasificación
DETERMINADO
COMPATIBLE
INDETERMINADO
SISTEMAS DE
ECUACIONES
LINEALES
INCOMPATIBLE
ECUACIONES
LINEALES
DE LA FORMA
ax+by=c
ax+by=c

La ecuación tiene dos incógnitas o valores
desconocidos x, y

Y en cada caso particular las literales a, b, y
c son valores constantes conocidos.
ax+by=c

EJEMPLO:
2x–3y=4

Los valores constantes son a = 2, b = -3 y
c=4

Las incógnitas son x, y
MÉTODO
DE
IGUALACIÓN
Método de Igualación
3x  4 y  6
Dado el sistema: 
2 x  4 y  16
Debemos despejar la misma incógnita de cada una de las ecuaciones:
2 x  4 y  16
En este caso se
despejó la “y” de
ambas ecuaciones
4 y  16  2 x
16  2 x
4
1
y  4 x
2
y
yy
3 x  4 y  6
- 4 y  6  3 x
 6  3x
4
3 3
y  x
2 4
y
Luego, debemos igualar las ecuaciones y se resuelve:
1
3 3
x  x
2
2 4
1
3
3
 x x  4
2
4
2
 2 x  3x 3  8

4
2
 5 x.2  5.4
4
 10 x  20
Para finalizar con este método analítico debemos encontrar el
 20
x
valor de la otra incógnita reemplazando, la hallada, en alguna de
 10
1
las ecuaciones: y  4  x
x2
2
S  2;3
1
y  4  .2
2
Sólo resta graficar el sistema
y3
 
Resuelve por el método de igualación:
–14 – 4y
x = –––––––
5x + 4y = –14 5x = –14 – 4y
5
14 + 8y
–3x – 8y = 14 –3x = 14 + 8y
x = ––––––
–3
–14 – 4y 14 + 8y
––––––– = ––––––
–3
5
–3(–14 – 4y) = 5(14 + 8y)
+ 42 + 12y = 70 + 40y
12y – 40y = 70 – 42
14 + 8( –1 )
x = –––––––––
–3
14 – 8
x = –––––
–3
6
x = ––
–3
x = –2
– 28y = 28
28
y = –––
–28
y = –1
Hay que despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones, por ejemplo la x.
Se igualan las dos fórmulas obtenidas.
Para quitar los denominadores se multiplica en cruz (dos fracciones son equivalentes si al multiplicar
en cruz se obtiene el mismo resultado).
El valor de la otra incógnita se obtiene con cualquiera de las dos fórmulas que tenemos.
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MÉTODO
DE
SUSTITUCION
Método de Sustitución
3x  4 y  6
Dado el sistema: 
2 x  4 y  16
Debemos despejar una incógnita de una de las ecuaciones:
2 x  4 y  16
En este caso se
despejó la “y” de
ambas ecuaciones
4 y  16  2 x
16  2 x
4
1
y  4 x
2
y
3x  4 y  6
Luego, debemos
reemplazar el valor
en la otra ecuación
y se resuelve:
1
x)  6
2
3x  16  2 x  6
3x  4(4 
5 x  6  16
5 x  10
10
5
x2
x
Para finalizar con este método analítico debemos encontrar el
valor de la otra incógnita reemplazando, la hallada, en la
otra ecuación:
1
y  4 x
2
S  2;3
1
y  4  .2
2
y3
Sólo resta graficar el sistema
 
Resuelve por el método de sustitución:
4 – 3x
3x + 2y = 4
2y = 4 – 3x
y = –––––
2
5x – 3y = –25
4 – 3x
5x – –
3 –––––
2
1
4 +6
y = –––––
2
10
y = ––
2
= – 25
12 – 9x
5x
–
= – 25
–– ––––––
––
2
1
1
4 – 3( –2 )
y = ––––––––
2
m.c.m. = 2
y=5
2·5x – 1(12 – 9x) – 2·25
–––––––––––––– = ––––––
2
2
10x – 12 + 9x = – 50
10x + 9x = – 50 + 12
19x
= – 38
–38
x = –––
19
x = –2
Hay que despejar una incógnita de una de las ecuaciones que no tenga coeficiente negativo, por ejemplo
la y de la primera ecuación.
Ahora se sustituye la fórmula obtenida en la otra ecuación.
Hay que quitar el paréntesis multiplicando el 3 (sin el signo) por la fracción.
El signo menos se copia y se multiplican las dos fracciones.
Se escribe todo en forma de fracción y se saca m.c.m. de los denominadores.
Falta calcular el valor de y. Se cambia el valor de x en la fórmula de y.
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MÉTODO
DE
REDUCCION
Método de reducción
11x + 6y = 10
–6x + 9y = 15
+6
11
66x + 36y = 60
–66x + 99y = 165
+ 135y = 225
225 :5
45:9
5
y = –––––– = –––– = –
3
135 :5
27:9
5 = 10
11x + 6 · ––
3
30 = 10
11x + ––
3
11x + 10 = 10
11x = 10 – 10
11x = 0
0 = 0
x = ––
10
11x + 6y = 10
–6x + 9y = 15
–9
+6
–99x – 54y = –90
–36x + 54y = 90
–135x
= 0
0
x = –––– = 0
–135
Hay que eliminar una de las incógnitas sumando las ecuaciones pero antes hay que prepararlas. Vamos
a eliminar la letra x . Hay que observar los coeficientes de esta letra.
Se cambian de orden y uno de ellos de signo.
Ahora se multiplica la primera ecuación por +6 y la segunda por 11.
Sumamos las ecuaciones para eliminar las x.
Se calcula el valor de x sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones de partida.
También se puede calcular x eliminando las y.
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MÉTODO
POR
DETERMINANTES
MÉTODO POR DETERMINANTES
También se como conoce como “Regla de Cramer”.
Veremos a continuación este otro método para darle
solución a un sistema de ecuaciones de 2x2.
Para este, primero veremos las formas generales que
lo representa, para después solamente tomarlos y
sustituir.
Relativamente, este es menos “tedioso” que los otros.
Veámoslo:
FORMAS GENERALES
Partamos de la forma general para un
sistema de ecuaciones de 2x2:
Donde:
“x” y “y”, son las incógnitas y “a”, “b”, “c”, “d”, “r” y “s”, son
número reales.
Así, pues, tenemos lo siguiente:
No vamos a detenernos en cómo se llegan
a las formas generales, solamente las
mencionaremos.
Necesitamos tener el DETERMINANTE
GENERAL, éste es el siguiente:
Para resolverlo, solamente se
multiplica cruzado, dándonos como
resultado lo siguiente:
Lo único que le falta es que, esta
operación se resta, así pues, queda
como se muestra:
Ahora, necesitamos sacar el determinante de la
variable “x”, ésta se saca de la siguiente
forma:
Y el determinante de la variable “y”,
ésta se saca de la siguiente forma:
Podemos simplificarlo de la siguiente
forma:
Ahora, nos resta regresar a nuestro problema,
tomar ambas ecuaciones y sustituir para
encontrar sus valores:
Los valores correspondientes a cada letra
son:
a = 10
b=4
c=3
d=5
r = 62
s = 30
Así, pues, tenemos lo siguiente:
PROCEDIMIENTO
PASO 1: Calculamos el determinante general,
quedándonos de la siguiente manera:
PASO 2: Ahora, calculemos el determinante “x”:
PASO 3: Ahora, calculemos el
determinante “y”:
PASO 4: Una vez teniendo ya los resultados,
los SUSTITUYO en las formas generales
para “x” y para “y”:
PASO 5: Solo nos resta COMPROBRAR
nuestros resultados, tomamos cualquiera de las
dos ecuaciones originales y sustituimos el
valor de “x” y el valor de “y” (si se igualan eso
quiere decir que está correcta). Tomemos la
ecuación 1:
MÉTODO
DE
GRAFICO
Resolución Gráfica
3x  4 y  6
Dado el sistema: 
2 x  4 y  16
Debemos llevar cada una de las ecuaciones del sistema a la forma explícita: y  a.x  b
para luego, poder graficarlas en un mismo sistema de ejes cartesianos.
A modo de ejemplo sólo se despejará una de las ecuaciones. La otra queda como
ejercitación.
2 x  4 y  16
4 y  16  2 x
16  2 x
y
4
1
y  4 x
2
Luego armamos las tablas de valores
correspondientes (de cada
recta) para encontrar los puntos de
cada recta:
Finalmente, armamos el
gráfico:
Resolución Gráfica
2x + y = 6 y = 6 – 2x
x – 2y = 8 – 2y = 8 – x
x
y
8–x
y = ––––
–2
x
–2
6–2·(–2)= 6 + 4 = 10
3
6–2·3 = 6 – 6 = 0
7
6–2·7 = 6 – 14 = –8
–3
–4
0
6
y
8 – (–3)
–2
8 – (–4)
–2
8–0
–2
8–6
–2
8 +3
=
=
=
=
8
–2
2
–2
–2
8+4
–2
=
=
11 salen
–2 decimales
12
–2
= –6
x=4
y = –2
= –4
= –1
Hay que representar cada ecuación. Despejamos la letra y en la primera ecuación.
Hay que hacer una tabla de valores para obtener tres puntos de la recta.
Se eligen tres números (mejor que no sean consecutivos).
Se sustituyen estos tres números en la fórmula de y.
Se representan los puntos obtenidos.
Con la regla se traza la recta que ha de pasar perfectamente por los tres puntos.
Se hace lo mismo con la otra ecuación.
Se eligen los tres valores de x que no provoquen decimales al calcular y.
La solución del sistema se obtiene de las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas.
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SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Este sistema de ecuaciones admite una
ÚNICA solución
Un ejemplo de SCD es el siguiente sistema
2x  y  2
2x  y  6
Resolviendo el sistema gráficamente obtenemos
dos rectas que se intersecan en un solo punto:
Resolviendo el sistema analíticamente (por cualquier método) obtenemos como solución:
S  2;2
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
Este sistema de ecuaciones admite INFINITAS
soluciones
Un ejemplo de SCI es el siguiente sistema
2x  2 y  6
y  x 3  0
Resolviendo el sistema gráficamente obtenemos
dos rectas coincidentes en todos sus puntos:
Resolviendo el sistema analíticamente (por cual-
quier método) obtenemos una igualdad:
66
Esto nos indica que tenemos infinitas soluciones que
verifican este sistema.
SISTEMA INCOMPATIBLE
Este sistema de ecuaciones NO admite solución
Un ejemplo de SCI es el siguiente sistema
y  3 x
y  x 1  0
Resolviendo el sistema gráficamente obtenemos
dos rectas paralelas:
Resolviendo el sistema analíticamente (por cualquier método) obtenemos un absurdo:
3  1
Esto nos indica que NO tenemos solución que
verifique este sistema.
Si
la mitad del número verde
es igual
al triple del amarillo
menos 3, el amarillo es más rápido que el
–––––––––––––––––––––––
–––––––
–––––––––––––––––
––––––––
verde,––––––––––––––––
los dos suman 29, y el verde es más espabilado que el amarillo, ¿sabrías decir cuáles son
estos dos números?
x
–
=
2
x = número verde
y = número amarillo
3y
x = ––
3y – –
3
–
2
1
1
–3
x + y = 29
x = 6y – 6
x + y = 29
x 2·3y – 2·3
– = –––––––––
2
2
x = 6y – 6
x = 6·5 – 6
6y – 6
+ y = 29
6y – 6 + y = 29
x = 30 – 6
x = 24
6y + y = 29 + 6
7y = 35
35
y = ––
7
y=5
x e y son los números que se piden.
Se van leyendo las condiciones y se van traduciendo al lenguaje algebraico.
Se resuelve el sistema por cualquier método. En este caso interesa por sustitución ya que tenemos
despejada la letra x.
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En el bolsillo derecho de mi chaqueta gris tengo diez monedas, que todas juntas suman 3´20€.
¿Sabrías decirme cuántas son de medio euro y cuántas de veinte céntimos de euro?
x = número de monedas de 0’50€
y = número de monedas de 0´20€
x + y = 10
x = 10 – y
0´50x + 0´20y = 3´20
0´50x = 3´20 – 0´20y
3´20 – 0´20y
x = ––––––––––
0´50
3´20 – 0´20y
10 – y = –––––––––––
0´50
0´50(10 – y) = 3´20 – 0´20y
5 – 0´50y = 3´20 – 0´20y
– 0´50y + 0´20y = 3´20 – 5
x = 10 – 6
x = 4 monedas de 0´50€
– 0´3y = 1´8
1´8
y = –––
0´3
y = 6 monedas de 0´20€
Llamamos x e y a lo que se pide calcular.
Con el dato de las diez monedas se escribe una ecuación.
Con el valor de las monedas se escribe otra ecuación.
x monedas de 0´50€ valen 0´50·x
y monedas de 0´20€ valen 0´20·y
Se resuelve el sistema por cualquier método. Por ejemplo por igualación.
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Si en un examen tipo test de 40 preguntas has sacado un 7, ¿cuántas preguntas has acertado y
cuántas has fallado si cada respuesta correcta vale 0´25 puntos y por cada respuesta errónea se
resta 0´05 puntos?
x = número de preguntas que has acertado
y = número de preguntas que has fallado
x + y = 40
0´25x – 0´05y = 7
0´25
–1
0´25x + 0´25y = 10
x + 10 = 40
–0´25x + 0´05y = –7
x = 40 – 10
0´30y = 3
x = 30 acertadas
3
y = ––––
0´30
y = 10 falladas
Llamamos x e y a lo que se pide calcular.
Con el dato de las 40 preguntas se escribe una ecuación.
Con las puntuaciones se escribe otra ecuación.
Todas las respuestas correctas valen 0´25·x
y todas las incorrectas restan 0´05·y
Se resuelve el sistema por cualquier método. Por ejemplo por reducción.
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¡EUREKA!
¡ESTAMOS
BIEN!
¡Y POR FIN
TERMINAMOS!
Gracias…