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Trabajo de Mecánica
DEPARTAMENTO DE FÍSICA.
Indice
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Las Leyes de Kepler.
Las Tres Leyes del movimiento de Newton.
El Fenomeno de las Mareas.
La Fuerza de Gravedad.
Orbita de Transferencia.
Medida de la Velocidad de la Luz.
Movimiento de los Cuerpos Celestes.
Fuerza Central y Conservativa.
Introducción.
• En el presente trabajo se llevó a cabo un
exaustuosa investigación para poder entender cada
uno de los principios que aquí se mencionan:
• Las Leyes de Kepler: las leyes de kepler son un conjunto de
estudios que realizó Johannes Kepler para poder descubir de
que los planetas giran entorno al sol, no explican que produce
tal movimiento.
1.-Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos.
2.-El vector posición de cualquier planeta con respecto del Sol, barre áreas iguales
de la elipse en tiempos iguales.
3.-Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de
los semiejes de la elipse.
– Las leyes de Newton, no solamente explican las leyes de Kepler sino que predicen
otras trayectorias para los cuerpos celestes: las parábolas y las hipérbolas. En
general, un cuerpo bajo la acción de la fuerza de atracción gravitatoria describirá
una trayectoria plana que es una cónica
Introducción.
 Las Tres Leyes del Movimiento de Newton: este conjunto de leyes
escritas por Isaac Newton , son la base de la base de la Dinámica.
 El Fenomeno de las Mareas: son el ascenso y descenso de las
aguas de las costas, ríos,lagos,etc, lo cual ocurre debido a la acción
gravitatoria de la luna(lunares) op la acción gravitatoria del
sol(solares)
 La Fuerza de Gravedad:La gravedad es una fuerza invisible, que
no podemos tocar, atrapar, acumular, retener, ni por el presente
dominar o manipular, pero si podemos sentir como existe esa
fuerza que nos atrae a la superficie haciéndonos pesar en una
proporción a la intensidad del cuerpo que desarrolla la gravedad.
La fuerza que domina en el Universo a gran escala es la
gravitacional. No solamente nos mantiene unidos a la Tierra, sino
que imprime cohesión a las galaxias y demás estructuras cósmicas.
Introducción.
• Orbita de Transferencia: esta dividida en tres partes las cuales
son:
» Orbita circular interior: es la órbita del punto A, es el punto en
donde se encuentran, por ejemplo, las naves espaciales y los
satelites antes de traspasar a las orbitas del punto B, el punto al cual
deben ir. Para calcular esta órbita debemos utilizar la mecánica del
Movimiento Circular Uniforme (fuerza = masa por aceleración
normal.)
.
» Órbita Semielíptica de Transferencia: es la parte intermedia entre el
punto A y el punto B, en la cual los cohetes o satélites pueden
comenzar a transferirse a la orbita de donde van a estar. En esta
orbita se aplican las propiedades de la fuerza de atracción , ya que
se ejerce una fuerza central y conservativa.
» Órbita circular exterior: cuando se llega a esta orbita hay que
cambiar la velocidad utilizando la misma dinámica de Movimiento
Circular Uniforme.
Introducción.
• Medida de la Velocidad de la Luz: es la forma en que los
antiguos cientificos creían que era la Luz hasta que algunos
empezron a comprobar que era todo lo contrario de lo que ellos
pensaban, por lo tanto siempre iban en contra de la corriente.
– Pierre Fermat dedujo la ley de la refracción, a partir del principio del tiempo
mínimo. La luz se propaga de un punto a otro a lo largo del camino que tarda un
tiempo mínimo, aunque este no sea el camino de menor longitud.
– Hooke fue el primero en estudiar las interferencias generadas por películas
delgadas. Propuso la idea de que la luz era un movimiento vibratorio rápido del
medio propagándose a gran velocidad.
– Sin embargo, Huygens, se inclinó por la teoría ondulatoria, dedujo las leyes de la
reflexión y de la refracción e incluso explicó la doble refracción de la calcita,
usando a partir del modelo ondulatorio.
– En aquella época, la luz era un chorro de partículas o una rápida ondulación de
materia etérea. En cualquier caso, se estaba de acuerdo en que la velocidad de
propagación era excesivamente grande. Roemer en 1676 midió la velocidad de la
luz siguiendo el procedimiento que lleva su nombre, el cual se explicaría más
adelante.
Introducción.
• Movimiento de los Cuerpos Celestes: Como se ha comentado, las propiedades
central y conservativa de la fuerza de atracción entre un cuerpo celeste y el Sol,
determinan un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, que
cuando se expresan en coordenadas polares, conducen a la ecuación de la
trayectoria, una cónica.
– El programa interactivo procede de otro modo, calcula las componentes de la aceleración a lo largo del
eje X, y a lo largo del eje Y, dando lugar a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.
– El cuerpo celeste de masa m está sometido a una fuerza atractiva F cuya dirección es radial y apuntando
hacia el centro del Sol, cuya masa es M. El módulo de la fuerza viene dado por la ley de la Gravitación
Universal
– 1.-Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos.
– 2.-El vector posición de cualquier planeta con respecto del Sol, barre áreas iguales de la elipse en
tiempos iguales.
– 3.-Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes de la
elipse.
Introducción.
• Fuerza Central y Conservativa: es la fuerza de atracción de los
cuerpos.
• La interacción entre dos cuerpos de masa M y m se
describe en término de una fuerza atractiva, cuya dirección
es la recta que pasa por el centro de los dos cuerpos y cuyo
módulo viene dado por la expresión
• G es la constante de la gravitación universal G=6.67·10-11
Nm2/kg2, y r es la distancia entre los centros de los
cuerpos.
Introducción.
Aceleración de la
gravedad
• Se llama aceleración
de la gravedad g, en
un punto P distante
de r, del centro del
planeta de masa M,
a la fuerza sobre la
unidad de masa
situada en el punto
P.
home
Las Leyes De Kepler.
• Leyes de Kepler
Indice.
• Primera Ley
Segunda
Tercera
Ley
Ley
Leyes De Kepler.
Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas
en torno del Sol, sin indagar en las causas que producen tal
movimiento.
Las Tres Leyes De Kepler.
Las leyes de Kepler describen la
cinemática del movimiento de los
planetas en torno al Sol.
Primera Ley
• Los planetas describen órbitas elípticas
estando el Sol en uno de sus focos
Primera Ley
• Una elipse es una figura geométrica que tiene las
siguientes características:
 Semieje mayor a
 Semieje menor b
 Semidistancia focal c
 La relación entre los semiejes es a2=b2+c2
 La excentricidad se define como el cociente e=c/a
 r1 es la distancia más cercana al foco (cuando q=0) y r2 es
la distancia más alejada del foco (cuando q=p). Vemos en
la figura que r2+r1=2a, y que r2-r1=2c
Segunda Ley
• El vector posición de cualquier planeta respecto
del Sol, barre áreas iguales de la elipse en tiempos
iguales.
• La ley de las áreas es equivalente a la constancia
del momento angular, es decir, cuando el planeta
está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es
menor que cuando está más cercano al Sol
(perihelio). En el afelio y en el perihelio, el
momento angular es el producto de la masa del
planeta, por su velocidad y por su distancia al
centro del Sol.
Tercera Ley
• Los cuadrados de los periodos de revolución son
proporcionales a los cubos de los semiejes
mayores de la elipse.
• Como podemos apreciar, el periodo de los
planetas depende solamente del eje mayor de la
elipse. Los tres planetas de la animación tienen el
mismo eje mayor 2 a=6 unidades, por tanto,
tienen el mismo periodo.
home
Las Tres Leyes Del Movimiento De
Newton.
Con La Formulación De Las Tres Leyes Del
Movimiento, Isaac Newton Estableció Las Bases
De La Dinámica.
Indice.
• Primera Ley
• Segunda Ley
• Rozamiento
• Tercera Ley
Primera Ley
• La primera ley de Newton afirma que la
aceleración de un objeto es proporcional a
la fuerza neta a que está sometido. Si la
fuerza neta es nula, la ley de Newton
indica que no puede haber aceleración.
Un libro situado sobre una mesa
experimenta una fuerza hacia abajo
debida a la gravedad, y una fuerza hacia
arriba ejercida por la mesa (denominada
fuerza normal). Ambas fuerzas se
compensan exactamente, por lo que el
libro permanece en reposo.
Segunda Ley
•
•
•
La segunda ley de Newton relaciona la fuerza total y la aceleración. Una fuerza neta
ejercida sobre un objeto lo acelerará, es decir, cambiará su velocidad. La aceleración
será proporcional a la magnitud de la fuerza total y tendrá la misma dirección y sentido
que ésta. La constante de proporcionalidad es la masa m del objeto
F
=
En el Sistema Internacional de unidades (conocido también como SI), la aceleración a se
mide en metros por segundo cuadrado, la masa m se mide en kilogramos, y la fuerza F
en newtons. Un newton se define como la fuerza necesaria para suministrar a una masa
de 1 kg una aceleración de 1 metro por segundo cada segundo; esta fuerza es
aproximadamente igual al peso de un objeto de 100 gramos.
Un objeto con más masa requerirá una fuerza mayor para una aceleración dada que uno
con menos masa. Lo asombroso es que la masa, que mide la inercia de un objeto (su
resistencia a cambiar la velocidad), también mide la atracción gravitacional que ejerce
sobre otros objetos. Resulta sorprendente, y tiene consecuencias profundas, que la
propiedad inercial y la propiedad gravitacional estén determinadas por una misma cosa.
Este fenómeno supone que es imposible distinguir si un punto determinado está en un
campo gravitatorio o en un sistema de referencia acelerado. Einstein hizo de esto una de
las piedras angulares de su teoría general de la relatividad, que es la teoría de la
gravitación actualmente aceptada.
ma
Rozamiento.
• El rozamiento se debe a las
irregularidades microscópicas de
las superficies. Cuando dos
superficies están en contacto, sus
irregularidades tienden a
encajarse, lo que impide que
ambas superficies se deslicen
suavemente una sobre otra. Un
lubricante eficaz forma una capa
entre las superficies que impide
que las irregularidades entren en
contacto.
Rozamiento.
• El rozamiento, generalmente, actúa como una fuerza aplicada en
sentido opuesto a la velocidad de un objeto. En el caso de
deslizamiento en seco, cuando no existe lubricación, la fuerza de
rozamiento es casi independiente de la velocidad. La fuerza de
rozamiento tampoco depende del área aparente de contacto entre un
objeto y la superficie sobre la cual se desliza. El área real de contacto
—esto es, la superficie en la que las rugosidades microscópicas del
objeto y de la superficie de deslizamiento se tocan realmente— es
relativamente pequeña. Cuando un objeto se mueve por encima de la
superficie de deslizamiento, las minúsculas rugosidades del objeto y la
superficie chocan entre sí, y se necesita fuerza para hacer que se sigan
moviendo. El área real de contacto depende de la fuerza perpendicular
entre el objeto y la superficie de deslizamiento. Frecuentemente, esta
fuerza no es sino el peso del objeto que se desliza. Si se empuja el
objeto formando un ángulo con la horizontal, la componente vertical
de la fuerza dirigida hacia abajo se sumará al peso del objeto. La
fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza perpendicular total.
Rozamiento.
• Cuando hay rozamiento, la segunda ley de Newton puede ampliarse a
• Sin embargo, cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, el
valor del rozamiento depende de la velocidad. En la mayoría de los
objetos de tamaño humano que se mueven en agua o aire (a
velocidades menores que la del sonido), la fricción es proporcional al
cuadrado de la velocidad. En ese caso, la segunda ley de Newton se
convierte en
• La constante de proporcionalidad k es característica de los dos
materiales en cuestión y depende del área de contacto entre ambas
superficies, y de la forma más o menos aerodinámica del objeto en
movimiento.
Tercera ley
• La tercera ley de Newton afirma que cuando un objeto
ejerce una fuerza sobre otro, este otro objeto ejerce
también una fuerza sobre el primero. La fuerza que ejerce
el primer objeto sobre el segundo debe tener la misma
magnitud que la fuerza que el segundo objeto ejerce sobre
el primero, pero con sentido opuesto. Por ejemplo, en una
pista de patinaje sobre hielo, si un adulto empuja
suavemente a un niño, no sólo existe la fuerza que el
adulto ejerce sobre el niño, sino que el niño ejerce una
fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el adulto. Sin
embargo, como la masa del adulto es mayor, su aceleración
será menor.
Tercera ley
• La tercera ley de Newton también implica la conservación
del momento lineal, el producto de la masa por la
velocidad. En un sistema aislado, sobre el que no actúan
fuerzas externas, el momento debe ser constante. En el
ejemplo del adulto y el niño en la pista de patinaje, sus
velocidades iniciales son cero, por lo que el momento
inicial del sistema es cero. Durante la interacción operan
fuerzas internas entre el adulto y el niño, pero la suma de
las fuerzas externas es cero. Por tanto, el momento del
sistema tiene que seguir siendo nulo. Después de que el
adulto empuje al niño, el producto de la masa grande y la
velocidad pequeña del adulto debe ser igual al de la masa
pequeña y la velocidad grande del niño. Los momentos
respectivos son iguales en magnitud pero de sentido
opuesto, por lo que su suma es cero.
Tercera ley
• Otra magnitud que se conserva es el momento angular o
cinético. El momento angular de un objeto en rotación
depende de su velocidad angular, su masa y su distancia al
eje. Cuando un patinador da vueltas cada vez más rápido
sobre el hielo, prácticamente sin rozamiento, el momento
angular se conserva a pesar de que la velocidad aumenta.
Al principio del giro, el patinador tiene los brazos
extendidos. Parte de la masa del patinador tiene por tanto
un radio de giro grande. Cuando el patinador baja los
brazos, reduciendo su distancia del eje de rotación, la
velocidad angular debe aumentar para mantener constante
el momento angular.
home
El Fenomeno De Las Mareas.
Marea, ascenso y descenso periódicos de
todas las aguas oceánicas, incluyendo las del
mar abierto, los golfos y las bahías, resultado
de la atracción gravitatoria de la Luna y del
Sol sobre el agua y la propia Tierra.
Indice.
• Las Mareas se dividen
en 2 tipos:
– Mareas Lunares.
– Mareas Solares.
• Charca Residual
producida por las
mareas.
• Corrientes y Olas de
Mareas.
• Energía Mareomotriz.
Las Mareas se dividen en 2 tipos:
• Mareas Lunares:
•
Se producen al estar la luna mucho más cerca de la Tierra
que el Sol, es la causa principal de las mareas. Cuando la
Luna está justo encima de un punto dado de la superficie
terrestre, ejerce una fuerza de atracción sobre el agua, que,
por lo tanto, se eleva sobre su nivel normal. El agua que
cubre la porción de Tierra más lejana de la Luna también
está sometida a atracción; se forma así otra elevación que
proporciona el fundamento de una segunda onda. La cresta
de onda situada bajo la Luna se llama marea directa, y la
del lado diametralmente opuesto de la Tierra se llama
marea opuesta. En ambas crestas, prevalece la condición
conocida como de marea alta, mientras que a lo largo de la
circunferencia formada por las zonas perpendiculares al eje
de mareas directa y opuesta se producen fases de marea
baja.
Las mareas alta y baja se alternan en un ciclo continuo. Las
variaciones producidas de forma natural entre los niveles
de marea alta y baja se denominan amplitud de la marea.
En la mayoría de las costas del mundo se producen dos
mareas altas y dos bajas cada día lunar, siendo la duración
media de un día lunar 24 h, 50 min y 28 s. Una de las
mareas altas está provocada por la cresta de marea directa y
la otra por la cresta de marea opuesta. En general, dos
mareas altas o bajas sucesivas tienen casi la misma altura.
Sin embargo, en algunos lugares fuera del océano Atlántico
estas alturas varían de forma considerable; este fenómeno,
conocido como desigualdad diurna, todavía no se
comprende bien en la actualidad.
• Mareas Solares:
Asimismo, el Sol provoca el ascenso de dos crestas de onda
opuestas, pero como el Sol está más alejado de la Tierra, su
fuerza para crear mareas es un 46% menor que la de la Luna. El
resultado de la suma de las fuerzas ejercidas por la Luna y el Sol
es una onda compuesta por dos crestas, cuya posición depende de
las posiciones relativas del Sol y de la Luna en un instante dado.
Durante los periodos de Luna nueva y llena, cuando el Sol, la
Luna y la Tierra están alineadas, las ondas solar y lunar
coinciden. Resulta un estado conocido como mareas de
primavera; en ellas las mareas altas ascienden más y las mareas
bajas descienden más de lo habitual. Cuando la Luna está en el
primer o tercer cuadrante, forma un ángulo recto con respecto a
la línea Tierra-Sol y las ondas quedan sometidas a fuerzas
opuestas del Sol y de la Luna. Este estado es el de marea muerta:
la marea alta es más baja y la baja más alta de lo normal. Las
mareas de primavera y muerta se producen 60 h después de las
fases correspondientes de la Luna; este periodo se llama edad de
la marea o de la fase de desigualdad. El intervalo entre el instante
en que la Luna cruza un meridiano en un punto y cuando la
siguiente marea alta llega a ese punto se llama intervalo Lunamarea, o de marea alta. El intervalo de marea baja es el periodo
entre el instante en que la Luna cruza un meridiano y cuando
llega la siguiente marea baja. Los valores medios entre los
intervalos Luna-marea durante los periodos de Luna nueva y
llena se conocen como establecimiento de puerto. Los valores de
los intervalos durante otros periodos del mes se denominan, a
veces, establecimientos corregidos.
Charca Residual Producida por la
Marea.
Corrientes y Olas de Marea.
•
•
•
Junto al ascenso y descenso vertical de agua, hay varios movimientos horizontales o
laterales llamados comúnmente corrientes de marea, muy diferentes de las corrientes
oceánicas normales (véase Océanos y oceanografía). En zonas cerradas, una corriente
de marea fluye durante unas 6 h y 12 min aguas arriba, o hacia la costa, en
correspondencia con la marea alta; después se invierte y fluye, durante casi el mismo
tiempo, en dirección contraria, y se corresponde con la marea baja. Durante el periodo
de inversión, el agua se caracteriza por un estado de inmovilidad, o calma, llamado
repunte de la marea. Una corriente que fluye hacia la costa se califica como de
avenida; y la que se aleja de la misma, reflujo.
A veces, en mar abierto, olas marinas gigantes, llamadas tsunamis u olas de marea
(véase Tsunami), se precipitan sobre las costas circundantes con una fuerza tremenda,
causando considerables daños humanos y materiales. Estas olas no se producen por
fenómenos naturales de marea, sino por terremotos, erupciones volcánicas oceánicas o
perturbaciones atmosféricas intensas. Véase Terremoto; Volcán.
Otro fenómeno relacionado es el seiche, que suele producirse en mares rodeados de
tierra o en lagos, como la bahía de San Francisco en California y el lago Léman en
Ginebra (Suiza). Se observa que la superficie del agua oscila desde unos pocos
centímetros hasta varios metros; esto es debido a las variaciones locales de presión
atmosférica junto a vientos fuertes, pero a veces se debe a sacudidas sísmicas lejanas.
El movimiento del agua se produce en olas largas y puede durar desde unos pocos
minutos hasta varias horas.
Energía Mareomotriz.
home
• La energía de las mareas puede emplearse para producir
electricidad. En el verano de 1966 se puso en marcha una
planta de energía mareomotriz de 240.000 kW en el río
Rance, un estuario del canal de la Mancha, en el noroeste
de Francia. La marea ascendente del río fluye a través de
un dique, mueve unas turbinas y luego queda retenida tras
él. Cuando la marea desciende, el agua atrapada se libera,
atraviesa el dique y mueve de nuevo las turbinas. Estas
plantas de energía mareomotriz desarrollan su máxima
eficiencia cuando la diferencia entre las mareas alta y baja
es grande, como en el estuario de Rance, donde es de 8,5
metros. Las mareas altas mayores del mundo se producen
en la bahía de Fundy en Canadá, donde hay una
diferencia de unos 18 metros.
La Fuerza De Gravedad
La fuerza que domina en el
Universo a gran escala es la
gravitacional. No
solamente nos mantiene
unidos a la Tierra, sino que
imprime cohesión a las
galaxias y demás
estructuras cósmicas.
Indice.
• ¿Cúales son las
propiedades de la
gravedad?
• ¿Cómo está compuesta
la gravedad?
• ¿Qué produce la
Fuerza de Gravedad?
• Ejemplos de como la
Gravedad afecta a todo
el Universo.
• ¿De qué tamaño es?
¿Cúales son las propiedades de la
gravedad?
• La fuerza que atrae a todos los cuerpos hacia el centro de la Tierra es la de
gravedad. Los científicos han descubierto que es una fuerza central; esto
significa que atrae igual en todas direcciones, de ahí que muchos astros tengan
forma esférica: la Tierra, la Luna, el Sol, las estrellas, los cúmulos globulares,
etcétera.
• Depende de la masa del cuerpo que atrae. Por ejemplo, si el lector pesa 40 kg
en la Tierra, pesaría ocho veces menos en la Luna (5 kg), puesto que nuestro
satélite es menos masivo. En Júpiter pesaría más de 100 kg y en un asteroide
casi nada.
• La fuerza de gravedad se siente a distancia. El Sol atrae todos los cuerpos del
Sistema Solar y por eso se mantiene unido. Y la Galaxia mantiene unidas a las
estrellas que la forman.
• La fuerza de gravedad es tal que disminuye rápidamente con la distancia. Así,
aunque haya hoyos negros que atraen poderosamente toda la materia situada en
su vecindad, nosotros no logramos detectar su atracción gravitacional porque
no hay ninguno cerca de la Tierra.
Ejemplos De Como La Gravedad Afecta a
Todo El Universo.







Si las galaxias giran con sus brazos entorno a su núcleo, es
debido a la fuerza de gravedad.
Si las estrellas evolucionan y existen en el Universo, es debido a
la fuerza de gravedad.
Si los planetas desarrollan sus movimientos de rotación, es
debido a la fuerza de gravedad.
Si sobre la superficie de los distintos cuerpos se produce la fuerza
de atracción de la masa (peso), es debido a la fuerza de gravedad.
Si todos los cuerpos desarrollan el movimiento de traslación
alrededor del Sol, es debido a la fuerza de gravedad.
Si en las estrellas se desarrolla la Termofusión-nuclear, es debido
precisamente a la fuerza de gravedad.
Si en el Universo no impera el caos y el desorden, es debido a la
fuerza de gravedad.
¿Cómo Está Compuesta La
Gravedad?
• Hoy tenemos la creencia de que la gravedad es
solo una fuerza y eso no es verdad, en realidad son
dos fuerzas en una, es decir, la gravedad es el
resultado de la acción que producen dos ondas
electromagnéticas a la vez (las ondas de atracción
y las ondas de repulsión) El conjunto de estas
dos ondas forma una fuerza distinta, que
conocemos como gravedad. Esta fuerza, a su vez
produce todas y cada una de las fuerzas que se
derivan de la gravedad.
¿Qué Produce La Fuerza De
Gravedad?
• No sabemos que produce la fuerza de
atracción gravitatoria entre los cuerpos. A
pesar de esto, podemos describirla y
predecir cómo actuará. Gracias a ello es
posible calcular la trayectoria de un
proyectil o la probabilidad de que un
cometa choque contra la Tierra.
¿De Qué Tamaño Es La Fuerza
De Gravedad?
• La fuerza de gravedad es muy pequeña si se
compara con otras como, por ejemplo, la
electromagnética. Pensemos en un imán de
refrigerador. La fuerza de atracción magnética del
imán es más fuerte que la atracción gravitatoria de
toda la Tierra junta sobre el imán; por eso se
mantiene pegado y no se cae. A pesar de lo
anterior, el Universo es tan grande y hay tantos
cuerpos masivos que la fuerza de gravedad es
importantísima para entender la evolución
cósmica.
home
Indice.
Orbita de Transferencia.
– Orbita Semielíptica de
transferencia
• Descripción
– Orbita Circular
Interior.
– Orbita Circular
Exterior.
• Combustible Gastado
por la nave espacial.
Orbita de Transferencia
•Supongamos que queremos enviar
una nave espacial desde la órbita de un
planeta a la de otro, por ejemplo desde
la Tierra a Marte, o bien, elevar un
satélite de comunicaciones desde una
órbita circular ecuatorial de baja altura
a otra órbita coplanar y circular de
mayor altura.
•Para economizar el combustible, es
necesario seguir una órbita de
trasferencia semielíptica y
proporcionar dos impulsos uno en el
punto A cuando la nave espacial pasa
de la órbita circular interior a la órbita
de trasferencia, y otro impulso en la
posición B, cuando la nave espacial
pasa de la órbita de transferencia a la
órbita circular exterior. Podremos,
además, calcular la cantidad de
combustible que deberá quemar la
nave en dichos impulsos.
Descripción
Para resolver el problema propuesto solamente es
necesario hacer uso de las propiedades de la fuerza
de atracción gravitatoria que hemos estudiado en
otras secciones, y de la dinámica del movimiento
circular uniforme. volver
Órbita Circular Interior.
•
Cuando la nave espacial describe una
órbita circular de radio rA, el módulo de
la velocidad vA se puede calcular
aplicando la dinámica del movimiento
circular uniforme: fuerza igual a masa
por aceleración normal.
•
Donde M es la masa de la Tierra, G es
la constante de la gravitación universal,
y m es la masa de la nave que se
simplifica en las ecuaciones del
movimiento. volver
Órbita Semielíptica de
Transferencia.
•
•
Para calcular la velocidad que debe llevar la nave espacial en el
punto A para que alcance la órbita exterior en B, basta aplicar
las propiedades de la fuerza de atracción, se trata de una fuerza
central y conservativa.
Por la propiedad de la fuerza central, el momento angular es
constante y por tanto, tiene el mismo valor en A que en B.
•
Por la propiedad de fuerza conservativa, la energía es constante
en todos los puntos de la trayectoria, y en particular es la misma
en A que en B.
•
Conocidos rA y rB podemos calcular en este par de ecuaciones
las incógnitas v’A y vB.
•
La energía que hemos de suministrar al satélite en la posición A
para que pase de la órbita circular a la trayectoria de
transferencia es:
,
,
,
volver
Órbita Circular Exterior.
• Una vez que la nave espacial
llega al punto B, ha de cambiar
su velocidad para seguir la
trayectoria circular de radio rB.
De nuevo aplicando la dinámica
del movimiento circular
uniforme tenemos.
• La energía que hemos de
suministrar al satélite para que
pase de la órbita de
transferencia elíptica a la órbita
circular de radio rB es
• El semiperiodo o tiempo
que tarda la nave espacial
en pasar del punto A al
punto B principio y fin de
la trayectoria de
transferencia, viene dado
por.
• Siendo a, el semieje
mayor de la elipse.
volver
Combustible Gastado por la
Nave Espacial.
• Supondremos que la nave espacial cambia de velocidad en los puntos
A y B mediante sendos impulsos, de duración muy corta, por lo que no
tendremos en cuenta la acción del peso.
• Al estudiar la dinámica de un cohete, calculamos la cantidad de
combustible m0-m que ha de gastar una nave espacial para incrementar
su velocidad en v-v0
• donde u es la velocidad de escape de los gases al quemarse el
combustible, m0 es la masa inicial y m es la masa final.
• La variación total de velocidad que experimenta la nave espacial en los
puntos A y B es la suma
• A partir de la expresión anterior podemos hallar la masa final m
conocida la masa inicial m0, y la cantidad de combustible gastado.
volver
Medida de La Velocidad de la
Luz.
El Procedimiento de Roemer
Retraso en la llegada de la luz debido
al Movimiento Orbital de Júpiter
Retraso en la llegada de la luz debido
al incremento en la distancia entre la Tierra y Júpiter
El Procedimiento de Roemer
• La órbita del satélite más
cercano de Júpiter, Io, está
situada prácticamente en el
plano de la órbita de Júpiter
alrededor del Sol. El satélite Io
queda oculto por la sombra que
proyecta el planeta Júpiter, y se
puede detectar fácilmente el
momento en el que el satélite
aparece de nuevo tras
desaparecer brevemente de la
vista del observador terrestre.
•
•
Roemer encontró que el intervalo P
entre eclipses sucesivos del satélite
cuando éste pasa por la sombra de
Júpiter aumentaba cuando la
distancia Tierra-Júpiter estaba
aumentando. Dedujo que si la
separación entre los planetas
aumentaba una distancia d, durante
una revolución de la luna Joviana,
P excederá el periodo real P0 en
una cantidad d/c donde c es la
velocidad de la luz. Roemer
encontró un valor aproximado de
c=214.000 km/h.
Veamos ahora algunos datos
relativos a los planetas del Sistema
que vamos a estudiar: el Sol, la
Tierra, Júpiter y su satélite Io.
El Procedimiento de Roemer
• Masa del Sol 1.98 1030 kg
• Constante G=6.67 10-11 Nm2/kg2
Planeta
Tierra
Júpiter
Semieje
mayor
1.496 1011
m
7.78 1011 m
Excentric Period
idad
o
0.017
365,26
días
0.048
11.86
años
Masa
kg
5.98
1024
1.901
1027
El Procedimiento de Roemer
• Y al satélite Io de Júpiter
Satélite
Io
Radio
órbita m
4.216 108
Periodo
1.769 días
Si la Tierra y Júpiter estuviesen a la misma distancia en reposo, el
tiempo que mediríamos entre dos apariciones consecutivas de Io tras su
ocultación en la sombra del planeta Júpiter sería de 1.769 días, y este
tiempo permanecería invariable.
Retraso en la llegada de la luz debido
al movimiento orbital de Júpiter
• Ahora bien la Tierra, Júpiter y su satélite Io se mueven. La
Tierra y Júpiter describen órbitas elípticas en uno de cuyos
focos está el Sol. El satélite Io describe una órbita circular
situada en el plano de la órbita de Júpiter alrededor del Sol.
• Consideremos que la Tierra y Júpiter están en la situación
inicial de máxima aproximación, y que el satélite Io está
alineado con la Tierra y Júpiter oculto en la sombra de éste
último. La anchura de la sombra es igual al diámetro de
Júpiter, cuyo radio es de 71 398 km.
Retraso en la llegada de la luz debido
al movimiento orbital de Júpiter
• El desplazamiento angular
a de Io en la sombra del
planeta Júpiter se calcula
tal como se indica en la
figura
Retraso en la llegada de la luz debido
al movimiento orbital de Júpiter
• Sabiendo que la velocidad angular de Io es el cociente entre 2p (una
vuelta) y el periodo de revolución PIo, el tiempo que Io permanece en
la sombra del planeta Júpiter es
• A medida que se mueve el planeta Júpiter su sombra va cambiando de
orientación un ángulo q igual al que forma el radio vector que une el
Sol con el planeta y la horizontal, tal como puede verse en la figura.
Por tanto, su satélite Io aparecerá cada vez más tarde, el retraso Dt
debido al movimiento orbital de Júpiter cuando éste se encuentra en la
posición angular q será.
Retraso en la llegada de la luz
debido al incremento de la
distancia entre la Tierra y Jupiter
• La segunda causa por la que el satélite Io aparece cada vez
más tarde se debe al incremento entre la distancia entre la
Tierra y el planeta Júpiter. Despreciaremos aquí el radio de
la órbita de Io frente a la distancia Tierra-Júpiter mil veces
mayor.
• El tiempo que tarda la luz en llegar desde Io a la Tierra es
aproximadamente d/c siendo d la distancia entre la Tierra y
Júpiter y c la velocidad de la luz.
Retraso en la llegada de la luz
debido al incremento de la distancia
entre la Tierra y Jupiter.
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Movimiento de Los Cuerpos
Celestes.
•Descripción
Descripción
• Siendo r la distancia entre el
centro del cuerpo celeste y el
centro del Sol, y x e y su
posición respecto del sistema de
referencia cuyo origen está
situado en el Sol.
• Las componentes de la fuerza
son
Descripción
• Aplicando la segunda ley de Newton, y expresando la aceleración
como derivada segunda de la posición, tenemos un sistema de dos
ecuaciones diferenciales de segundo orden.
• Dadas las condiciones iniciales (posición y velocidad inicial), el
sistema de dos ecuaciones diferenciales se puede integrar aplicando un
procedimiento numérico, en nuestro se ha considerado más adecuado
el procedimiento de Runge-Kutta.
home.
Fuerza Central Y Conservativa
•Fuerza Central
•Fuerza Conservativa
•Ecuación de la Trayectoria
Fuerza Central.
• La fuerza de atracción entre un planeta y el Sol es
central y conservativa. La fuerza de repulsión
entre una partícula alfa y un núcleo es también
central y conservativa.
• En este apartado estudiaremos la primera, dejando
para más adelante la segunda, en el estudio del
fenómeno de la dispersión, que tanta importancia
tuvo en el descubrimiento de la estructura atómica.
Fuerza Central
• Una fuerza es central, cuando el vector posición r
es paralelo al vector fuerza F. El momento de la
fuerza M=r F=0 y de la relación entre le
momento de las fuerzas que actúa sobre una
partícula y el momento angular, (Teorema del
momento angular) se concluye que
• El momento angular permanece constante en
módulo, dirección y sentido.
Fuerza Central.
• El momento angular L de una
partícula es el vector producto
vectorial L=r´mv, perpendicular al
plano determinado por el vector
posición r y el vector velocidad v.
Como el vector L permanece
constante en dirección, r y v estarán
en un plano perpendicular a la
dirección fija de L.
• De aquí, se concluye que la
trayectoria del móvil estará
contenida en un plano
perpendicular al vector momento
angular L
Fuerza Conservativa
Supongamos que una partícula de masa m se
mueve desde la posición A hasta la posición B en
las proximidades de un cuerpo fijo de masa M.
Fuerza Conservativa
Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza
de atracción F.
F=-G Mm r
r2
El trabajo infinitesimal es el producto escalar del
vector fuerza F por el vector desplazamiento dl,
tangente a la trayectoria.
dW=F·dl=F·dl·cos(180-θ)=-F·dl·cosθ=-F·dr.
donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la
partícula en la dirección radial.
Fuerza Conservativa
Para calcular el trabajo total, integramos entre la
posición inicial A, distante rA del centro de fuerzas
y la posición final B, distante rB del centro fijo de
fuerzas.
Fuerza Conservativa
El trabajo W no depende del camino seguido
por la partícula para ir desde la posición A a la
posición B. La fuerza de atracción F, que ejerce
el cuerpo fijo de masa M sobre la partícula de
masa m es conservativa. La fórmula de la
energía potencial es:
Mm
Ep = -G
r
Fuerza Conservativa.
• El nivel cero de energía potencial se ha
establecido en el infinito, para r=∞, Ep=0
• El hecho de que la fuerza de atracción sea
conservativa, implica que la energía total
(cinética más potencial) de la partícula es
constante, en cualquier punto de la
trayectoria.
Ecuación de la Trayectoria.
• Para obtener ecuación
de la trayectoria
r=r(q) se expresa el
momento angular y la
energía en
coordenadas polares y
se integra la ecuación
diferencial resultante,
tal como veremos en
la siguiente página
Ecuación de la Trayectoria.
• El resultado es una cónica cuyo parámetro e
denominado excentricidad define el tipo de
trayectoria.t
Ecuación de la Trayectoria.
Clase de cónica
Descripción geométrica Descripción física
Elipse
e<1
E<0
Parábola
e=1
E=0
Hipérbola
e>1
E>0
•Así, una elipse se define en geometría como
el tipo de cónica cuya excentricidad es menor
que la unidad.
Ecuación De La Trayectoria.
• Para que una partícula
sometida a una fuerza
central, atractiva,
inversamente proporcional
al cuadrado de las
distancias al centro de
fuerzas, describa dicha
trayectoria tiene que tener
una energía total negativa
(E<0).
Ecuación De La Trayectoria.
Volviendo a la geometría de la elipse en la primera
ley de Kepler, la posición más cercana al foco r1 se
obtiene cuando q=0 y la posición más alejada r2 se
obtiene cuando q=p. Es decir,
Los semiejes a y b de la elipse valen :
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Conclusión
• Se pude Concluir que las personas que
promovieron estas leyes eran personas que
tenían una firme convicción de lo que
hacían, ya que para la época en que
descubrieron estas teorías, la gente estaba
en contra de todo lo que hacían porque
significaba que ya la tierra no era el centro
del Universo, que la luz no era plana, etc.
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