Download 1. Todos los planetas se deslizan alrededor del Sol siguiendo

Leyes de Kepler
Luis Enrique Gallardo
Primera Ley
•
1. Todos los planetas se
deslizan alrededor del Sol
siguiendo una trayectoria
elíptica, en uno de cuyos focos
se encuentra emplazado el Sol.
• Kepler obtuvo esta ley de forma
empírica, mediante observación
de los movimientos aparentes de
los planetas. Es válida, pues para
objetos de gran tamaño orbitando
alrededor del Sol siguiendo
órbitas cerradas: planetas,
asteroides, etc.., pero si se tiene
en cuenta el movimiento general
de los cuerpos celestes habría
que enunciar esta primera ley
kepleriana de la siguiente manera:
“Bajo la fuerza de atracción
gravitacional de un objeto
astronómico el movimiento de otro
objeto a su alrededor sigue una
trayectoria cónica (círculo, elipse,
parábola, hipérbola) ”
2da Ley de Kepler
• 2. El radio vector de origen
en el Sol y extremo en el
punto de posición de cada
planeta recorre áreas iguales
en tiempos iguales.
• Esto indicará que los planetas
más cercanos al sol se
desplazan más rápidamente, o
sea, tardan menos tiempo en
dar una vuelta completa a la
elipse.
Tercera Ley de Kepler
• 3. Los cuadrados de los
periodos siderales de
revolución de los planetas
alrededor del Sol son
proporcionales a los cubos
de los semiejes mayores de
sus órbitas elípticas.
• Esta es ya la tercera ley de
Kepler de forma general, y si
hacemos la aproximación de
que la masa del objeto que
orbita es despreciable en
comparación con la del Sol, se
obtiene exactamente la
expresión deducida por
Kepler:
Ahora vamos a demostrar la primera ley de
Kepler
• Como sabemos los planetas mantienen un movimiento
elíptico, gracias a que existe una fuerza que en este
caso, ejerce el sol sobre el planeta en estudio, por la
segunda ley de Newton .
F = ma
La demostración de esta ley no la haremos en este curso
ya que en necesario la utilización de los conceptos de
momento angular, velocidad y aceleración angular, ya
que son conceptos muy largos
Demostración de la segunda ley de
kepler
• Ahora con ayuda de los conceptos que hasta
ahora tenemos, podemos demostrar esta ley
pero antes, haremos un breve resumen de los
conceptos necesarios para su demostración
Sistema de referencia Polar.
Radio de curvatura
Velocidad y aceleración (expresadas vectorialmente)
Áreas diferenciales.
Área bajo la curva
Norma de 1 vector.
Sabemos que el área barrida por el radio vector, en cierto
intervalo de tiempo será igual el cualquier porción de la
trayectoria evaluado en el mismo intervalo de tiempo
Pero el problema es como evaluar esa área si no se
parece a las áreas que estamos acostumbrados a
manejar
• Para eso partimos de que
el área recorrida por un
planeta con respecto a un
punto es muy similar a el
área de un sector circular,
para mayor simplicidad y
demostrar el concepto
Como el área a la que mas se acerca
punzaremos que la
área de un triangulo podemos utilizar
trayectoria que sigue el Es alEsta
formula para expresar el área
móvil es circular.
Base r
altura dθ
Que resultaría:
dA 
r  d
2
• Ahora por los
conceptos aprendidos
anteriormente
sabemos que la
integral representa
una suma de
riemman en un
intervalo dado, que
en este caso será el
tiempo, lo que nos da
la expresión:
r  d
dA 
2
r  d
2
dA  
r 
A
2
2
• Y como en este tipo el movimiento no
lleva una velocidad constante, es fácil
imaginar que un instante se moverá con
mayor o menor velocidad, que el inicio, y
se puede aplicar la formula antes citada
para obtener resultados iguales, siempre y
cuando se evalúe en intervalos iguales, no
demostramos esto ya que nuestros
conocimientos no alcanzan a cubrir los
requerimientos necesarios
Demostración tercera ley de kepler
• Para un planeta de masa m a una distancia r del
Sol, la atracción gravitatoria será la que obliga al
planeta a describir su órbita, por lo que ha de
ser la fuerza centrípeta que actúa sobre el
planeta. Igualando ambas fuerzas, la masa del
planeta puede simplificarse (ya que está
multiplicando en ambos miembros de la
igualdad) y podemos obtener el cuadrado de la
velocidad angular del planeta , lo que nos indica
que cuanto mayor sea la distancia al Sol (r),
menor será la velocidad del planeta
Fin