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Jueves, 17 de Marzo 2011
Capítulo 2
Mecánica Celeste
Órbitas elípticas. Kepler, Leyes de Kepler. Geometría del Movimiento Elíptico.
Galileo. Leyes de Newton. Ley de Gravitación Universal. Centro de Masas.
Órbitas Elípticas
La simplicidad inherente del modelo
Copernicano era estéticamente placentero,
sin embargo la idea de un universo
heliocéntrico no fue aceptada
inmediatamente.
Esto se debió a la falta de apoyo
observacional que demostrara que el
modelo geocéntrico era incorrecto.
Tycho Brahe (1546-1601)
Famoso astrónomo
danes observador a ojo
desnudo que siguió
meticulosamente el
movimiento de los
planetas utilizando
diversos instrumentos
astronómicos tal como el
cuadrante.
Johannes Kepler (1571-1630)
Matemático alemán.
Trató de explicar las
observaciones de Tycho
Brahe. Postuló un
modelo en que los
planetas no se movian
órbitas circulares sino
elípticas. Esto fue un
pequeño cambio desde
el punto de vista
matemático pero enorme
filosóficamente
Leyes de Kepler del movimiento
planetario
1)Los planetas se mueven en
elipses en uno de cuyos focos está
el Sol
2)La línea que conecta el Sol con el
planeta barre areas iguales en
tiempos iguales
3)El período orbital de un planeta al
cuadrado es igual al cubo de la
distancia promedio al Sol
Geometría del Movimiento
Elíptico
La ecuacion que define una elipse
es
Donde a es una constante que se
denomina semieje mayor y es la
mitad del eje major de la elipse.
La distancia b se conoce como
semieje menor
r y r’ son las distancias de la elipse
a los puntos focales F y F’.
Si F y F’ coinciden en el mismo
punto del espacio, entonces r=r’=a
que es la ecuación de un círculo
(que es un caso particular de una
elipse).
Geometría del Movimiento
Elíptico
La excentricidad e (0<e<1) de una
elipse se define como la distancia
entre los focos (FF’) dividida por el
eje mayor 2a.
Esto hace que la distancia de
cualquier foco al centro de la elipse
se pueda escribir como ae
Un círculo es una elipse con e=0
El foco donde se encuentra el Sol
se denomina foco principal y el
punto de la elipse más
cercano(lejano) al Sol se denomina
Perihelio(Afelio)
Geometría del Movimiento
Elíptico
En el punto mas extremo del
semieje menor se tiene r=r’ y como
r+r’=2a se tiene que r=a
Además, como por el teorema de
Pitágoras
Se obtiene que
Geometría del Movimiento
Elíptico
En coordenadas polares y
utilizando nuevamente el teorema
de Pitágoras se tiene que
lo cual se puede reescribir como
Utilizando la definicion de la elipse
(es decir que r+r’=2a) se tiene que
Ejercicio: Mostrar que el área total de la elipse es πab
Geometría del Movimiento
Elíptico
Una elipse es una clase de curva
conocida como secciones cónicas que
se obtienen al cortar un cono con un
plano.
Un círculo es una sección cónica con
e=0
Una elipse es una sección cónica con
0<e<1
Una parábola es una sección cónica
con e=1 donde p es la distancia en la
aproximación más cercana
Una hipérbola es una sección cónica
con e>1
Galileo Galilei (1564-1642)
Contemporáneo de Kepler. Fué quizás el
primer físico experimental. Estudió los
movimientos de los objetos y postuló que
todos caen con la misma acelaración,
independiente de su peso. Es el padre de la
astronomía observacional. Perfeccionó el
catalejo (que fue inventando el 1608) e
inventó y perfeccionó el telescopio.
Rapidamente, hizo una serie de importantes
descubrimientos observacionales que dieron
apoyo a la teoría heliocéntrica. Descubrió
que la banda de estrellas que cruza el cielo
de horizonte a horizonte, no es una nube
(como se suponia hasta ese momento) sino
un enorme cantidad de estrellas individuales
que no puden ser resueltas a ojo desnudo.
Descubrió que la Luna posee cráteres y que
no es una esfera perfecta.
Galileo Galilei (1564-1642)
Las observaciones que realizó de las
fases variables de Venus implicaron
que el planeta no emite luz propia, sino
que refleja la luz del Sol desde
diferentes configuraciones relativas
Sol-Tierra-Venus. Descubrió también
que el Sol tiene manchas que cambian
de cantidad y lugar. Realizó las
observaciones más daninas para el
modelo geocéntrico (que seguia siendo
apoyado por la iglesia católica): el
descubrimiento de 4 lunas en órbita
alrededor de Jupiter, indicando al
menos la existencia de otro centro de
movimiento que no era la Tierra.
Galileo Galilei (1564-1642)
Publicó sus primeras observaciones en
su libro Sidereus Nuncius en 1610. En
1616, la iglesia lo obligo a deponer su
apoyo al modelo Copernicano. En
1632, publicó otro libro “Dialogo entre
los dos Máximos Sistemas del Mundo”.
Galileo fue llamado por la Inquisción
Romana y su libro fue prohibido. En
1992, el papa Juan Pablo II anunció
que
debido
a
una
“trágica
incomprensión mutua” la iglesia
Católica Romana estaba errada en
condenar a Galileo. En 2009 las
Naciones Unidas decretaron ese año
como el año Internacional de la
Astronomía en parte para conmemorar
los 400 años de los descubrimientos de
Galileo.
Isaac Newton (1642-1727)
Físico inglés, fué quizás, el científico más
grande de la historia. Hizo avances y
descubrimientos
en
las
leyes
de
movimiento,
astronomía,
óptica
y
matemática. Publicó su libro “Principia” en
1687 con sus trabajos en mecánica,
gravitación
y
cálculo.
Inventó
(independientemente con Leibnitz) el cálculo
variacional como respuesta al problema de
la braquistócrona (encontrar la curva a lo
largo de la cual un objeto sin rozamiento se
desliza en el menor tiempo posible)
planteado por Bernoulli. Acerca de su propia
carrera cientifica dijo “No sé cómo puedo ser
visto por el mundo, pero en mi opinión, me
he comportado como un niño que juega a la
orilla del mar, y que se divierte buscando de
vez en cuando una piedra más pulida y un
caparazón más bonito de lo normal,
mientras que el gran océano de la verdad se
exponía
ante
mí
completamente
desconocido.”
Leyes de Newton
Postuló tres leyes de movimiento además
de su ley de gravitacion universal.
1)Ley de Inercia: Un objeto en reposo
permanercerá en reposo y un objeto en
movimiento permanecerá en movimiento
rectilíneo con velocidad constante a menos
que una fuerza externa actue sobre el.
2)La fuerza total que actua sobre un objeto
es proporcional a la masa del objeto y a su
aceleración resultante.
3)Ley de Acción y Reacción: Por cada
acción hay una reacción igual y opuesta.
Ley de Gravitación Universal
Tercera ley de Kepler
Definición de período
(ω=v/r)
Multiplicando por la masa
(a=ω2r=v2/r)
Por la tercer ley de Newto
debe ser simétrica respe
amyM
Deducción de las Leyes de
Kepler
Aunque Kepler determinó la geometría del
movimiento planetario, no explicó la
naturaleza de la fuerza que lo gobernaba.
Newton cuantizo dicha fuerza y generalizó
el trabajo de Kepler derivando sus leyes a
partir de la ley de Gravitación Universal.
Centro de Masas
Centro de Masas
Energía Potencial y Cinética
La conveniencia de utilizar el centro de
masas se vuelve evidente cuando se
calcula la energía y el momento
angular
Se puede reescribir como:
donde
Momento Angular
V1=-μv/m1
V2=-μv/m2
Lunes, 21 de Marzo 2011
Primera Ley de Kepler
La aceleración de la masa reducida μ
Debido a la masa M es:
El momento angular de un sistema con un
de fuerzas central es una constante
Debido a que
Nótese que la última igualdad
proviene del hecho que
se tiene que:
Primera Ley de Kepler
Como el momento angular se conserva se
tiene que su derivada es cero, entonces:
donde D es un vector constante.
Esta es la ecuación de una sección
cónica de una elipse, parábola e
hipérbola. Comparando con la ecuación
de una elipse
se obtiene que el momento angular es:
y usando la definición del momento angular
se tiene que:
Segunda Ley de Kepler
Integrando desde el foco
de la elipse hasta una
distancia r, se tiene que
Elemento de area infinitesimal en polares
Segunda Ley de Kepler
Vector velocidad para un movimiento
elíptico en coordenadas polares
El momento angular L y la masa reducida
μ son constantes por lo tanto barre areas
Iguales en tiempos iguales
Segunda Ley de Kepler
Utlizando la ecuación
se puede obtener el perihelio
y afelio de la órbita
y las respectivas velocidades:
D
Vector velocidad para un movimiento
elíptico en coordenadas polares
donde se utilizó que
Segunda Ley de Kepler
es la energía potencial
media promediada a lo
largo de un período orbital
Mostrar que
es
notando que
Pero que
Tercera Ley de Kepler
Integrando la 2da Ley de Kepler a lo largo
de un período orbital P
Definición del área de una elipse
Elevando al cuadrado y reagrupando
Introduciendo la definición de excentricidad
Introduciendo la definición del momento
angular
Se obtiene la Tercera Ley de Kepler