Download Criterios de semejanza de triángulos.

U.D. 9
*
2º ESO
π
FIGURAS SEMEJANTES
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
1
U.D. 9.3
*
2º ESO
π
CRITERIOS DE
SEMEJANZA
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
2
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
•
Dos triángulos serán semejantes si presentan igualdad de formas
pero distintas medidas en los lados.
•
En otras palabras, si sus lados son proporcionales y sus ángulos
correspondientes iguales.
a’
a
b
b’
• La razón de
proporcionalidad de sus
lados o razón de
semejanza es:
•
a’
b’
c’
• r = ---- = ---- = ----•
a
b
c
c
c’
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
• CRITERIO
• Dos triángulos serán semejantes si tienen sus lados proporcionales.
•
C’
C
•
•
•
a
b
a’
A
c
B
•
C
b’
•
A
A’
c’
B’
Tenemos que se cumple,
de entrada:
a
b
c
---- = ---- = ---a’
b’ c’
Sobre el lado A’B’ del
triángulo A’B’C’ se lleva el
segmento AB y se traza
una paralela al segmento
C’A’.
Al estar ambos triángulos
en posición de Tales, sus
ángulos son iguales y por
lo tanto son semejantes.
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
•
•
•
•
No siempre vamos a saber si dos triángulos tienen los tres lados
proporcionales y los tres ángulos correspondientes iguales.
Por ello se tienen tres criterios para su identificación.
CRITERIOS:
1.-
a=2,5
b=2
a=5
b=4
Tienen los lados proporcionales.
• EJEMPLO
• La razón de
proporcionalidad, en el
ejemplo, es:
•
5
4
3
• r = ---- = ---- = ------ = 2
•
2,5 2
1,5
c=1,5
c=3
•
•
CRITERIO
2.- Dos triángulos serán semejantes si tienen dos ángulos
correspondientes iguales.
•
Consecuencia: Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercer
ángulo también será igual
C
C’
b’
b’
c’
A’
A
B
a’
• Sobre el lado CA
se lleva el lado
C’A’ y se traza
una paralela al
lado AB.
• Como los ángulos
son iguales,
ambos triángulos
han quedado en
posición de Tales,
B’ por lo cual son
semejantes.
• EJEMPLO
• Tienen dos ángulos iguales.
• Si dos triángulos
tienen dos
ángulos iguales,
el tercer ángulo
también será
igual, pues
siempre:
• A+B+C = 180º
• C=180º - A – B
A=70º
A=70º
B=80º
B=80º
•
•
CRITERIO
3.- Dos triángulos serán semejantes si tienen un ángulo correspondiente
igual y los lados que lo forman son proporcionales.
•
•
•
De entrada sabemos que A=A’ y que se cumple
C’
C
a
b
A
a’
b’
B
c
b
c
A’
c’
b
c
--- = ---b’
c’
• Sobre el lado A’B’
se lleva el
segmento AB (
lado c) y se traza
un segmento
paralelo a B’C’.
• El triángulo
inscrito es igual al
ABC.
• Al quedar ambos
en posición de
Tales, son
B’ semejantes.
•
•
EJEMPLO
Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido vale igual.
•
•
•
•
•
•
•
•
b=2
b=4
A=90º
c=1,5
A=90º
c=3
•
•
•
La razón de
proporcionalidad, en el
ejemplo, es:
4
3
r = ---- = ---- = 2
2
1,5
Las hipotenusas
valdrán:
a=√(42+32) = 5
a´=√(22+1´52) = 2,5
Comprobamos que son
proporcionales:
5
r= -----= 2
2,5
TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES
•
•
Dos triángulos están en posición de Thales si tienen un ángulo común y los
lados opuestos a dicho ángulo son paralelos.
Los triángulos en posición de Thales son semejantes.
b’=3
a=30
a’=5
b’=4
a’=40
l’=6
l’=6
a=2,5
c=9
b’=32
b=1
b=2
c=1,5
c’=3
l=2
b=24
l=2
c’=12