Download Semejanza de triángulos

SEMEJANZA DE TRIANGULOS
PROPORCIONALIDAD
TEOREMA DE THALES
DEFINICION
CASOS DE
SEMEJANZA
AUTOEVALUACIÓN
PROPORCIONALIDAD
Razón de segmentos: Es el cociente entre las longitudes de dos
segmentos.
Proporción de segmentos: Es la igualdad entre dos razones.
Propiedades: gozan de las mismas que las de las proporciones aritméticas:
Son
adimensionales
Se puede intercambiar medios o extremos
SABER PREVIO
Teorema de Thales: Cuando dos rectas secantes son
cortadas por una serie de rectas paralelas, los segmentos
determinados en una de las rectas son proporcionales a los
segmentos correspondientes de la otra recta.
Applet
SABER PREVIO
Teorema de Thales (Segundo enunciado): Cuando dos rectas
secantes son cortadas por una serie de paralelas, la razón entre dos
segmentos de una de las rectas es igual a la razón entre los
segmentos correspondientes de la otra recta.
Applet
SABER PREVIO
SABER PREVIO
Ejemplo 1.
En la siguiente escena tenemos un triángulo ABC. Por un punto B',
situado sobre uno de los lados del triángulo, hemos trazado una
paralela al lado BC, la cual corta al otro lado en C'. Observemos
que ahora tenemos un segundo triángulo, el AB'C'. Nos
preguntamos si hay alguna relación entre los dos triángulos.
Applet
Para dividir un segmento OP en partes iguales, se realiza la siguiente
construcción:
Sobre una recta auxiliar OR se ubican los puntos equidistantes: 1', 2', 3',
4', 5', 6' y 7'. Por cada uno de estos puntos se trazan paralelas al
segmento 7'P, las cuales determinan sobre OP los puntos requeridos
1,2,3,…. La justificación es:
TEOREMA
DE THALES
CONGRUENCIA
DE TRIANGULOS
FIGURAS SEMEJANTES
Toda paralela a un lado de un triángulo ABC determina con los otros dos
lados un nuevo triángulo AB'C' y se cumplen las dos condiciones siguientes:


Sus lados respectivos son proporcionales.
Sus ángulos respectivos son iguales.
Estas son las condiciones que han de cumplir dos polígonos para ser
semejantes.
TRIANGULOS SEMEJANTES
También se puede comprobar que en general si solo se cumple
una de las dos condiciones, las figuras resultantes no son
semejantes.
No obstante, en el caso del polígono más sencillo, el triángulo, sí
basta con una de las dos condiciones puesto que la otra se
cumplirá automáticamente.
DEFINICIÓN
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales,
en consecuencia sus lados homólogos serán proporcionales; es decir, si los
triángulos ABC y A´B´C´ son semejantes, se escribe
ABC ~
A´B´C´
y se verifica:
A = A´ B = B´ C = C´
AB/A´B´ = BC/ B´C´ = CA/C´A´= razón de semejanza
CORRESPONDENCIA BIUNIVOCA
A
A'
B
C
ABC ~
B'
A´B´C´
C'
ELEMENTOS HOMOLOGOS
ABC ~
A´B´C´
A PARTIR DE ESTA SEMEJANZA SE PUEDE PLANTEAR ALGUNAS RAZONES
ENTRE ELEMENTOS HOMOLOGOS
AB/A’B’ = AC/A’C’ = BC/B’C’ = h
AC
/ h A’C’ = … = CTE
En los elementos homólogos también se incluyen: alturas,
medianas, perímetros,etc.
Ejemplo 2
<ABC = 45.08
<EDF = 45.08
AB / ED = 1.46
BC / DF = 1.46
A
E
C D
B
¿Es verdadera la siguiente afirmación?
ABC ~
SI
DEF
NO
F
CONCEPTO
Para determinar si dos triángulos dados son semejantes bastaría con
comprobar si verifican estas condiciones. Pero existen algunos principios
que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin
necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos
principios se conocen con el nombre de casos de semejanza de
triángulos, o también, criterios de semejanza de triángulos.
Casos de semejanza de triángulos
Dos triángulos con sus ángulos
mutuamente iguales son semejantes
ABC ~
Applet
NLM
Primer caso A A
Sabemos que los ángulos de un triángulo SUMAN necesariamente 180º.
Si tenemos dos triángulos que tienen dos de sus ángulos respectivamente
iguales, el tercer ángulo también será igual, entonces, son semejantes estos
triángulos
ABC ~
DEF
Plantea, en tu cuaderno, la
proporcionalidad entre elementos
homólogos en la semejanza
mostrada.
EJEMPLO 2.
Compara los ángulos de los triángulos ABC y MNL. ¿Podemos decir
que son iguales dos a dos?.
Indica, en tu cuaderno de trabajo la correspondencia biunívoca
entre cada uno de los ángulos. Plantea las razones entre sus
elementos homólogos
Applet
Ejemplo 3
Si tenemos dos triángulos rectángulos de diferente tamaño, ¿Son
semejantes estos triángulos?
¿Por qué?
Respuesta:
NO, por que solo tienen un ángulo mutuamente
congruentes
Segundo caso LLL
Dos triángulos con los lados mutuamente proporcionales son
semejantes.
ABC ~
Applet
KLJ
Ejemplo 4
Los lados de dos triángulos miden, respectivamente, 8 cm, 10 cm y
12 cm (los del primero) y 52 cm, 65 cm y 78 cm (los del segundo).
Comprueba que son semejantes y calcula la razón de semejanza.
Sea la semejanza:
Como se verifica que
ABC ~
DEF
DE/AB = EF/BC = DF/AC
52 / 8 = 65 / 10 = 78 / 12 = 6,5
Entonces la razón de semejanza es 6,5
Ejemplo 6
Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros. Los
lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros
respectivamente. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es
la razón de semejanza?
Como se verifica que
12 / 30 = 16 / 40 = 20 / 50 = 0,4
Los triángulos son semejantes y la razón de semejanza es
0,4
Tercer caso LAL
Dos triángulos con dos lados mutuamente proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos igual, son semejantes.
A
E
B
F
C D
ABC ~
DEF
Ejemplo 8
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2
metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora
proyecta una sombra de 4,5 metros? (Haz un dibujo del
problema).
ABC ~
DEF
AB / DE = AC / DF
3 / h = 2 / 4,5
h=6
La altura del árbol es 6
metros
B
Ejemplo 9
Un cilindro circular recto se
inscribe en un cono de revolución
de 12 cm de altura y 4 cm de radio
en la base tal como se muestra en
la figura
Si el radio de la base del cilindro es
2 cm, halle su altura.
D
F
A
G
C
ABC ~
AB / DB = AC / DF
DEF
12 /(12 - h) = 4 / 2
h=6