Download operaciones con racionales decimales

Operaciones aritméticas
Suma o adición

La suma es una operación que se deriva de la
operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y compramos 2 ovejas
¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo
sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien
que hubiese contado varias veces el mismo caso,
recordaría el resultado y no necesitaría volver a
contar las ovejas. Sabría que 6 + 2 = 8.

Los términos de la suma se llaman sumandos.
Propiedades de la suma

a + b = b + a Esta propiedad se llama conmutativa.

Si tenemos que sumar varios números podemos
hacerlo en cualquier orden (esto se llama
propiedad asociativa). Si tenemos que sumar a, b,
c y d, podemos sumar primero a + b, después c + d
y después sumar los dos resultados anteriores, o
podemos sumar a + c, después b + d y después
sumar los dos resultados anteriores o podemos
sumar a + b y al resultado sumarle c y al resultado
sumarle d. En fin podemos sumar los números en
cualquier orden.

La suma tiene elemento neutro. El cero es el
elemento neutro de la suma porque siempre se
cumple que a + 0 = a.

La suma tiene elemento simétrico. El elemento
simétrico de un número es otro que sumado al
anterior da el elemento neutro. El elemento
simétrico de a es -a, porque a + (-a) = 0
Resta o substracción
Igual que la suma la resta es una operación que se
deriva de la operación de contar.


Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas
¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo
sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien
que hubiese contado varias veces el mismo caso,
recordaría el resultado y no necesitaría volver a
contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.

Los términos de la resta se llaman minuendo (las
ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que
se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad conmutativa
(no es lo mismo a - b que b - a)
Producto o multiplicación

Muchas veces tenemos que sumar un número
consigo mismo varias veces.

Por ejemplo, si tenemos que sumar 5 + 5 + 5 + 5 + 5
+ 5 + 5, sería más breve representarlo así, 57 (esto
significaría sumar 5 consigo mismo 7 veces).

La multiplicación es una forma abreviada de hacer
un tipo especial de sumas.

Los términos de la multiplicación se llaman
multiplicando (el número que se suma) y
multiplicador (el número de veces que se suma).
Propiedades de la multiplicación
propiedad conmutativa

ab=ba
propiedad asociativa

Si tenemos que multiplicar varios números
podemos hacerlo en cualquier orden

Si tenemos que multiplicar a, b, c y d, podemos
multiplicar primero ab, después cd y después
multiplicar los dos resultados anteriores, ó
podemos multiplicar ac, después bd y después
multiplicar los dos resultados anteriores o
podemos multiplicar ab y multiplicar el resultado
por c y después multiplicarlo por d. En fin
podemos multiplicar los números en cualquier
orden.
Propiedad distributiva respecto a la
suma

a(b + c) = ab + ac

La multiplicación tiene elemento neutro. El uno es
el elemento neutro de la multiplicación porque
siempre se cumple que a 1 = a.

La multiplicación tiene elemento simétrico. El
elemento simétrico de un número es otro que
multiplicado por el anterior da el elemento neutro.
1
1
a
El elemento simétrico de a es , porque  a   1
a
a
a
División

La división es la operación que tenemos que hacer
para repartir un número de cosas entre un número
de personas.

Los términos de la división se llaman dividendo (el
número de cosas), divisor (el número de personas),
cociente (el numero que le corresponde a cada
persona) y resto (lo que sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y en
caso contrario inexacta.
Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No
a
b
es lo mismo que
.
b
a
Potenciación

En bastantes ocasiones tenemos que multiplicar
un número por si mismo un número dado de
veces.

Por ejemplo: 5  5  5  5  5  5 5

Una forma de representar esta operación es 57
(esto quiere decir que hay que multiplicar 5 por si
mismo 7 veces).

El numero inferior se llama base y el superior
exponente.
Propiedades de la potenciación:

am.an = am+n

am
m-n
=
a
an

a0 = 1 (se deriva de la propiedad anterior am/am = 1
= am-m = a0)

(am)n = am.n

(ab  c)m = am  bm  cm

a-n = 1/an (se deriva de la segunda propiedad).
OPERACIONES CON
RACIONALES DECIMALES
Número Decimal

Cuando se efectúa la división (a : b) se obtiene un
Número Decimal.

Ejemplo
Decimal Finito (exacto) y Periódico.
Fracción Decimal

Son fracciones cuyo denominador es una potencia
de 10.


Ejemplo :

Ejemplo : Expresar la fracción
fracción decimal.
común en
2.- VALOR POSICIONAL

En el sistema numérico se utilizan diez símbolos
llamados dígitos iguales a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
que ocupan un valor de posición.

Ejemplo : 3 985 426.17035

Ejemplo: 52.3
Este número puede separarse en
52 + 0.3 = 52 +
.
Aquí, el 52 es el número entero , donde la
posición del 2 es la unidad y 5 la decena. La
cantidad siguiente es la fracción decimal 0,3 =
NÚMEROS DECIMALES
Estos números son racionales ya que pueden
escribirse como fracción.
NÚMEROS PERIODICOS

Es el (los) número(s)
indefinidamente.

a)

b)

c)

d)

e)
que
se
repite(n)
NÚMEROS ANTEPERÍODOS
TRANSFORMACIÓN DE
NÚMERO DECIMAL A FRACCIÓN

Se lleva a número entero y se divide por una
potencia de diez, esta depende de la cantidad de
números que hay después de la coma.

Ejemplo :
TRANSFORMACIÓN DE NÚMERO
DECIMAL PERIÓDICO A FRACCIÓN.

Se lleva a número entero el numerador y se divide
por una cantidad de acuerdo a la cantidad de
números periódicos existentes y si existen
antiperíodico se deben agregar ceros de acuerdo
al número de estos.
 Ejemplo :



Nota : Se debe memorizar la transformación de
números decimales conocidos a fracción.
Ejemplo :
Ejemplo: Expresar en fracción común :
•
Reducción de fracciones
•
Multiplicación de fracciones
•
División de fracciones
•
El Mínimo Común Múltiplo MCM
•
Suma de fracciones
•
Fracciones complejas
a
b
Numerador
Denominador
Genéricamente se les llama miembros
Si cada miembro de una fracción
se multiplica o se divide por una
misma cantidad diferente de cero,
el valor de la fracción no se altera
 En una fracción se pueden cambiar
simultaneamente los signos del numerador
y del denominador sin alterar el valor
de la fracción.
 Si se cambia el signo del numerador ó
el signo del denominador, se debe cambiar
entonces el signo que precede a la fracción.
La suma de dos o más fracciones que
tienen el mismo denominador es una
fracción que tiene como numerador
la suma de los numeradores y como
denominador el mismo de las fracciones.
2a
6b
4a  5b


ab ab
ab
2a
6b
4a  5b 2a  6b  4a  5b



ab ab
ab
ab
2a
6b
4a  5b 2a  6b  4a  5b




ab ab
ab
ab
6a  b

ab
1. Se factoriza cada denominador.
2. Se encuentra el MCM de los denominadores.
3. Se multiplican los dos miembros de cada fracción por el
cociente que se obtiene al dividir el MCM de los
denominadores entre el denominador de la fracción considerada.
4. Se combinan los numeradores obtenidos en el paso anterior
empleando para cada uno el signo colocado antes de la fracción
a que pertenecía. Se escribe entonces el resultado sobre el
común denominador.
La mínima expresión de una fracción
es aquella en la cual el numerador y
el denominador no tienen factores
comunes.
La mínima expresión de una fracción es aquella en la cual el
numerador y el denominador no tienen factores comunes.
Para reducir una fracción a su mínima
expresión se factorizan primero el
numerador y el denominador y luego
se divide cada uno de ellos entre cada
factor. que les sea común.
a c a  c ac
 

b d b  d bd
a c a d a  d ad
   

b d b c b  c bc
a
a
d
a

d
ad
b   

c b c b  c bc
d