Download consumidor bienes -"mientras que el"

Unidad 5: Funciones de varias variables
Optimización con Restricción
Multiplicadores de Lagrange
1
Optimización restringida
En muchos problemas, una función de dos variables
debe optimizarse sujeta a una restricción o condición
en las variables, por ejemplo si tenemos un
presupuesto fijo de $ 25000 y sólo debemos
emplearlo en la publicidad y la producción de textos,
queremos saber ¿cómo podríamos obtener el número
de textos que debe producirse para alcanzar nuestro
máxima venta ?
2
Multiplicadores de Lagrange
Dado el problema de optimización restringida:
Max (Min) f(x; y)
sujeto a: g(x; y) = k
El par (a; b) es un punto critico asociado al problema
anterior, si existe un valor λ, talque se cumple:
fx(a; b) =  gx(a; b)
fy(a; b) =  gy(a; b)
g(a; b) = k
Al numero λ se llama multiplicador de Lagrange
3
Procedimiento:
1. Hallamos los puntos críticos. Para ello resolvemos el
sistema:
fx(x; y) =  gx(x; y)
fy(x; y) =  gy(x; y)
g(x; y) = k
2. Evaluar f en todos los puntos críticos. Si el máximo
(mínimo) requerido existe, será el mayor (menor) de
estos valores.
4
Ejemplo 1
Resuelva el siguiente problema:
Maximizar f(x; y) = 3x – y + 6, Sujeta a: x2 + y2 = 40
Ejemplo 2
Encuentre los valores máximos y mínimo
de la función f ( x, y )  xy sujeto a la
restricción x 2  y 2  8
5
Ejemplo 3
El departamento de carreteras planea construir un
área de excursión para los automovilistas a lo largo
de una vía principal. Será rectangular, tendrá un área
de 5 000 yardas cuadradas y se cercarán los tres lados
no adyacentes a la carretera. ¿Cuál es la cantidad
mínima de cercado que se necesitará para completar
el trabajo?
6
Ejemplo 4
Un consumidor tiene US$ 600 para invertir en dos
artículos: el primero de ellos cuesta US$ 20 la unidad y el
segundo, US$ 30 la unidad. Suponga que la utilidad
obtenida por el consumidor de las “x” unidades del primer
artículo y del “y” unidades del segundo artículo está dada
por la función de utilidad de Cobb-Douglas
U(x; y) = 10 x0,6y0,4.
¿Cuántas unidades de cada artículo debería comprar el
consumidor para maximizar su utilidad?
7
Ejemplo 5
Un empresario vende dos bienes A y B en “x” y “y”
unidades donde las funciones de demanda son
PA  26  x
y PB  40  4 y
Además los costos totales de producción son
CT  ( x  y) 2
a. Hallar las cantidades que deben venderse de ambos
bienes para alcanzar la máxima utilidad.
b. Si por restricciones económicas debe cumplirse que
x + 2y = 17, determine las cantidades de ambos
bienes que deben producirse
8
Ejemplo 6
Una lechería produce x galones de leche entera a un precio
de P1 = 100 – x e y galones de leche descremada a un
precio de P2 = 100 - y. Si el costo total de producción es
C(x; y) = x2 + xy + y2,
a. ¿Cuántos galones de leche entera y de leche descremada
deben producirse para maximizar la utilidad?
b. Considere que la demanda de leche descremada es el
doble de la leche entera, ¿cuál es la producción que
maximiza la utilidad?
9
Para mas ejercicios, ver la guía del alumno.
Texto Haeussler pág 784 (los ejercicios del 1 al
15)
10