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Las Matemáticas:
Herramienta fundamental
en el Análisis Económico
Profesor: Max Garza Valle
Alumno: Manuel Vélez Gallardo
ITESM Noviembre 2005
Antecedentes

Economía como ciencia: siglo XVIII

Aplicación matemática: fines de siglo XIX

Apéndices matemáticos: Libros de
Microeconomía. Textos de Economía
Ambiental. Comercio Internacional.
Economía Administrativa. Política Pública
Economía del Bienestar, etc.
Usos específicos
Funciones Lineales y No Lineales
 Cálculo Diferencial e Integral
 Interpretación de Gráficas. Diagramas de
Dispersión.
 Elasticidades
 Relaciones de productividad, rendimientos
y costos.
 Utilidad, Producción y Mercados.
 Multiplicador de Lagrange
 Matrices

Funciones
 Desde
antes del siglo XX y en el XXI,
se ha graficado la demanda y la
oferta con la variable independiente
en el eje Y.
P
En Economía, la variable
independiente es el precio.
Aún cuando con este
diseño no se distorsiona la
información.
Q
Pendiente de una Recta
Y = a + mx; en Economía P = 12 + (-1/2)q;
P = 12 + (-1)q; m = -1
m= -1/2
2
la pendiente =-1 ó -1/2
Para la Oferta (roja) = 1
2
Y
Y  Y1
m

X X  X 1
P
P
12
6
12
Q
12
Q
Pendiente en una Curva
 En
este caso, para encontrar la
pendiente en un punto, trazamos la
tangente en ese punto y calculamos
la pendiente de la recta.
P
La pendiente de la curva en el
punto b es igual a -1/5, que se
obtiene de la pendiente de la
recta.
10
b
50
Q
Posibilidades de Producción
 De
acuerdo con la Ley de
Rendimientos Decrecientes o Costos
Crecientes de David Ricardo
Costo de Oportunidad
A
200
La gráfica ilustra que, al
pasar del punto A al B, las
variaciones de A son cada
vez mayores, lo cual se
interpreta como costos
crecientes del producto B
en términos de A.
1 2
3 4 5B
Elasticidades

Usando el término de pendiente podemos
comprender los conceptos de elasticidad de
la demanda.
Elasticidad Precio-Demanda
P
Ed 
12
%Q P Q P Q P
 



% P Q Q P P Q
Mide la sensibilidad de la cantidad
demandada ante variaciones del
precio.
60
Q
Elasticidades
Para P = 12; la Ed = ∞…¿Por qué?
Para P = 6; la Ed = -1 …¿Por qué?
Para P = 0; la Ed = 0 …¿Por qué?
P
Si volvemos a la grafica anterior y
consideramos el término P/Q (que es un
elemento de la fórmula de Ed)
observamos que para el punto A, P =12,
la Q = 0; y al dividir P/Q, el cociente es
∞, y ∞*®=∞
12A
60B Q
Similarmente para el punto B, ahora
P = 0 y el cociente de P/Q = 0, y 0®=0
Elasticidades

De igual manera la economía se interesa
en la elasticidad cruzada y la elasticidad
ingreso, donde la variable precio del bien
X se sustituye por el precio de otro bien Y
(elasticidad cruzada) y el Ingreso
(elasticidad ingreso).
Qx Py
E xy 

Py Qx
Q I
EI 

I Q
Producción
 En
economía se analiza el tema de
producción con funciones de tercer
grado que nos muestran diferentes
rendimientos de un factor variable
(Trabajo L).
–Crecientes
–Constantes
–Decrecientes
Producción

Q = 80L + 240L2 – 4L3
Q = unidades producidas
L = cantidad de trabajo

En todo proceso productivo de corto plazo,
al mantener un factor fijo (K), e ir
agregando unidades del factor variable (L)
para cierto nivel de Q, aparecen los
rendimientos marginales y absolutos
decrecientes.
Producción
Todo proceso productivo se caracteriza por
revelar tres etapas de rendimientos:
– Rendimientos Crecientes: La producción
aumenta en mayor proporción que el
trabajo. El ∆Q > ∆L
– Rendimientos Constantes: El ∆Q = ∆L
– Rendimientos Decrecientes: El ∆Q < ∆L
 Entonces se utiliza el cálculo diferencial y
las segundas derivadas, para encontrar los
puntos máximos:

Producción
PMg = ∆Q/∆L = dQ / dL
 PMe = Q/L


Usando estos dos conceptos que
gráficamente se representan con
funciones que en un principio crecen y
después disminuyen; son importantes
para determinar los límites de las etapas,
en su puntos máximos.
Producción
Q = 20L + 60L2 – L3
 PMe = 20 + 60L – L2
 PMg = 20 + 120L – 3L2

El PMg es máximo cuando su derivada =
0; 120 – 6L = 0; L = 20.
 El PMe es máximo cuando su derivada es
0; 60 – 2L = 0; L = 30. (fin de etapa 1)
 Q es máxima cuando L = 40. PMg=0, (que
es el fin de la segunda etapa).
 Para L > 40; los rendimientos de la
producción son absolutamente
decrecientes. Es ineficiente o irracional.

Teoría de la Demanda
 Utilidad
Total = U = f(x,y) = 20
Utilidad Marginal de X, UMgX = ∆U/∆Qx
 Utilidad Marginal de Y, UMgY = ∆U/∆Qy


Principio de Utilidad Marginal Decreciente:
Al consumir un bien a medida que es
mayor la cantidad consumida, es menor la
utilidad que brinda una unidad adicional.
Curvas de Indiferencia
X
El consumidor es indiferente
ante cualquier combinación de
bienes representados en una
curva (hipérbola rectangular).
A medida que la curva se aleja
del origen, aumenta la
satisfacción.
U = 80
U = 60
U = 40
U = 20
Y
Optimización
 El
consumidor maximiza su utilidad
cuando la pendiente de una curva es
igual a su recta de presupuesto.
 Ingreso
= XPx + YPy
 Ejemplo:
I = 240; Px = 40; Py = 20
X = I/Px; Y = I/Py
Recta de Presupuesto
 El
consumidor puede maximizar el
nivel de utilidad, en cualquier punto
de su recta de presupuesto.
Y
Y
I/py
I/px
X
Optimización
 El
consumidor maximiza su utilidad
cuando la pendiente de la recta de
presupuesto es igual a la pendiente
de una curva de indiferencia.
 La
de las
TMSxy = UMgX / UMgY (pendiente
curvas)
 La pendiente de la recta es: Px/Py
 Optimización: UMgX / UMgY = Px/Py
Optimización de la Utilidad
X
U = 80
U = 60
U = 40
U = 20
Y
Optimización de la Utilidad
 El
consumidor siempre desea
ubicarse en la curva de indiferencia
de mayor nivel. Pero su ingreso y los
precios de los bienes que adquiere,
le restringen su nivel d utilidad.
 TMSxy
= UMx/UMy = Px/py
Multiplicadores Lagrange

Los multiplicadores Lagrange son muy
utilizados para maximizar funciones de
utilidad y de producción.
L  Q  F ( KL)   ( wL  rK  gasto)
Q
F ( KL)

  ( w)  0
L
L
Q
F ( KL)

  (r )  0
K
K
Q
  ( wL  rK )  0

Se resuelven las primeras dos ecuaciones y
se sustituye en la tercera, para encontrar las
cantidades óptimas de K y de L.
Optimización de Utilidad

De manera similar podemos maximizar
una función de utilidad usando Lagrange:
L  U  F ( XY )   ( xPx  yPy  Ing )
U F ( XY )

  ( Px)  0
X
X
U F ( XY )

  ( Py)  0
Y
Y
U
  ( xPx  yPy  Ing )  0

Se resuelven las primeras dos ecuaciones y
se sustituye en la tercera, para encontrar las
cantidades óptimas de X y de Y.
Matrices y Álgebra Lineal
 Es
muy utilizado el sistema de
matrices, y los sistemas Hegelianos y
Hesianos, para comprobar la
existencia de convexidad o
concavidad en las funciones de
utilidad y producción. Ello permite
comprobar si se cumplen las
condiciones necesarias y de
suficiencia en la optimización.
Conclusiones
 Las
Matemáticas son fundamentales
para desarrollar el razonamiento del
estudiante y resolver problemas de
economía con rapidez y exactitud.
 La
competitividad y habilidad de todo
profesionista se incrementa con un
mayor conocimiento de métodos
cuantitativos.
Conclusiones




Se necesita de habilidad y cierta imaginación
para trasladar los conocimientos matemáticos, a
la solución de problemas económicos.
Se facilita la comprensión de un modelo
económico al utilizar las herramientas
matemáticas, la lógica y representaciones
gráficas.
Sólo es cuestión de usarlas de manera adecuada,
lógica y eficiente.
Por lo tanto es necesario aprenderlas, recordarlas
y usarlas siempre que sea necesario.