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UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO
CONGRUENCIAS Y
SEMEJANZAS DE FIGURAS
PLANAS
Prof. Francis Martínez Abreu,MA
GEOMETRIA:
El estudiante es capaz de identificar formas y
dimensiones geométricas, y utilizar el conocimiento
espacial para analizar sus estructuras, características,
propiedades y relaciones para entender y descubrir el
entorno físico.
◦ 9.G.5.1
Compara y contrasta la igualdad, la
congruencia y la semejanza.
¿Cómo son las figuras
mostradas?
Son idénticas
3
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
Congruencia
◦ .

Dos figuras son congruentes cuando
tienen la misma forma y tamaño, es decir,
si al colocarlas una sobre otra son
coincidentes en toda su extensión.
Criterios de congruencia
Triángulos congruentes
◦ Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus partes
correspondientes son congruentes.
D
A
B
C
ABC 
DEF
E
F
Definición: Dos triángulos ABC y DEF
son correspondientes si:
◦ Sus lados correspondientes son congruentes.
◦ Sus ángulos correspondiente son congruentes.
◦ En la figura
AB  ED, BC  DF y AC  EF
C
F



A

B


E
D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
◦ Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son
respectivamente congruentes con los de otro, entonces los
triángulos son congruentes.
◦ Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son
congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de
otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
◦ Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son
respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos
de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
◦ Criterio LLA: Si el lado más largo del triangulo, junto con otro
lado de éste, y el ángulo superior del lado más largo del triángulo
son congruentes con los del otro triangulo, entonces los triángulos
son congruentes.
Postulado LLL
◦ Si los lados de un triángulo son congruentes
con los lados de un segundo triángulo,
entonces los triángulos son congruentes.
A
D
C
B
ABC 
E
DEF
F
Postulado ALA
◦ Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son
congruentes con dos ángulos y el lado incluido de otro
triángulo, los triángulos son congruentes.
B
A
C
D
ABC 
CDE
E
Postulado AAL
◦ Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo son
congruentes con dos ángulos y el lado no incluido de
otro triángulo, los triángulos son congruentes.
A
D
F
C
B
E
ABC 
EFD
Postulado LAL
◦ Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo
son congruentes a dos lados y el ángulo incluido
de otro triángulo, entonces los dos triángulos son
congruentes.
B
E
A
C
ABC 
DEF
D
F
Ejercicios de Práctica
◦ Ejemplos:
◦ 1) En la figura, se tiene un triángulo ABC isósceles ( AC = BC) y se
ha dividido su base AB en 4 partes iguales. Cuáles triángulos son
congruentes?
Ejercicios de Práctica
◦ 2) Dado el triángulo rectángulo de lados a,b y c, se han
construido las figuras que están a sus lados copiándolo
varias veces y colocándolo en diferentes posiciones.
◦ Analiza los ángulos que son congruentes en las distintas
posiciones. ¿Podrías deducir que el cuadrado que se
forma es congruente en ambas figuras?
PROPORCIONALIDAD DE
SEGMENTOS
PROPIEDAD
BASE MEDIA
B
AC
MN 
2
N
M
A
C
MN // AC
20
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA:
El estudiante es capaz de identificar formas y
dimensiones geométricas, y utilizar el conocimiento
espacial para analizar sus estructuras, características,
propiedades y relaciones para entender y descubrir
el entorno físico.
7.G.10.1 Define e identifica semejanzas en figuras
bidimensionales, incluidas las partes correspondientes, la
razón de semejanza y las medidas de las partes
correspondientes. Determina la relación proporcional entre
las medidas de los lados correspondientes de figuras
semejantes.
¿Cómo son las figuras mostradas?
Son proporcionales
Son semejantes
23
Semejanza
• Dos figuras que tienen la misma forma,
aun con diferentes dimensiones, se
llaman semejantes.
• Dos figuras son semejantes si sus
ángulos correspondientes son iguales
y sus lados correspondientes
proporcionales.
• Los elementos que se corresponden
(puntos, segmentos, ángulos …) se
llaman homólogos.
◦ Dos figuras del
plano son
semejantes si los
cocientes de de
los segmentos
determinados por
pares cualesquiera
de puntos
correspondientes
son iguales.
ML
M 'L '
es la razón de semejanza
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados
proporcionales y los ángulos iguales.
a b c
El cociente    k
a ' b' c'
se llama razón de semejanza.
SEMEJANZA
DE TRIÁNGULOS
27
Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.
A
6m
C
5m
4m
B
Multiplica cada uno de los lados por
3.
P
18m
15m
R
Los lados del triángulo se han triplicado.
12m
Q
30
Identificamos algunos elementos :
3
RAZÓN DE SEMEJANZA :
LADOS HOMÓLOGOS
:
AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Además:
Si la altura relativa al lado AC mide a, podemos
afirmar que la altura relativa a su lado homólogo PR mide
3a.
Cualquier longitud (lados y líneas notables) en el triángulo
ABC se triplica en el triángulo PQR.
31

¿Cuál es el símbolo que se utiliza para representar
la semejanza de dos triángulos?
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
solo ojo queden
alineados el extremo superior del árbol y el de la vara de longitud conocida.
Distancias o alturas aplicando semejanza
◦ Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras, utilizadas
habitualmente por las guías y scouts, para estimar alturas
y distancias, recurriendo a la semejanza de triángulos.
◦ En este caso, es necesario que la persona pueda
observar el extremo superior del árbol reflejado en el
espejo.
CASOS DE SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS
35
Criterios de semejanza de triángulos
◦ existen algunos principios que nos permiten determinar si dos
triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar
todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen
con el nombre de criterios de semejanza de triángulos
Existen tres criterios de
semejanza de triángulos
1.
AA ( ángulo-ángulo)
2.
LLL (lado-lado-lado)
3.
LAL (lado-ángulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
POSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza.
Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos ángulos correspondientes
congruentes, entonces el tercero también será congruente y los
triángulos son semejantes”.
Criterio LAL de semejanza.
Teorema: “ Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo
congruente comprendido entre lados proporcionales”.
Criterio LLL de semejanza.
Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos son
proporcionales, entonces los triángulos son semejantes".
I.
Primer criterio AA
◦ Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son
semejantes entre sí.
A´
´
A


C

B
C’

´
´
Es decir: Si   ´ ,  
de lo anterior se deduce que
´
´
Entonces, D ABC semejante
con DA´B´C´
B´

Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
65
65
25
¡SI!
Por que al tener dos
de sus ángulos
congruentes, cumplen
con el criterio AA
II. Segundo criterio LLL
◦ Dos triángulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre sí.
A´
A
b
a
C
Es decir:
c
B
b´
a´
C’
B´
El cociente obtenido
de comparar los
lados homólogos
entre sí recibe el
nombre de razón de
semejanza.
c´
a
b
c
a´ = b´ = c´ =K
Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´
Ejemplo
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
1,5
3,5
=
3
7
=
P
B
C
3,5
5
10
Efectivamente , así es, ya que
los productos “cruzados” son
iguales
1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5
3,5 • 10 = 7 • 5 = 35
1,5
7
5
A
10
Q
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes
por criterio LLL
3
R
III. Tercer criterio LAL
◦ Dos triángulos que tienen dos lados
proporcionales y el ángulo comprendido entre
ellos es igual, son semejantes entre sí.
A´
A
a
C
a´

c
B
´
C’
Es decir:
a = c
a´
c´
y
c´
 = ´
Entonces D ABC semejante a D
A´B´C´
B´
Ejemplo
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
D
A
3
9
= 4
12
Efectivamente así
es, ya que los
productos
“cruzados” son
iguales
3 • 12 = 4 • 9
¿Los ángulos formados por
estos dos lados son
congruentes?
Por criterio LAL
9
E
3
B
C
4
Efectivamente,
porque, tal como se
señala en el dibujo,
ambos son rectos
12
F
Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
ALGUNAS
APLICACIONES DE
ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
◦ Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y
halla la razón de semejanza.
◦ a) 8 cm, 10 cm, 12 cm
b) 52 cm, 65 cm, 78 cm
Efectivamente, al
Representemos el ejercicio
calcular los productos
65
“cruzados”, podemos ver
12
la proporcionalidad entre
8
las medidas de los lados
78
respectivos
10
52
Comprobemos que las medidas de
los lados homólogos son
proporcionales
52 = 65 = 78 =
8
10
12
6,5
52 •10 = 8 • 65 = 520
65 • 12 = 10 •78 = 780
Para calcular la razón
de semejanza se
calcula una de las
razones
65 : 10 = 6,5
Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL
Ejercicio
◦ Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1.
¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?.
3
5
x=9
Representamos la situación
12 = y
4
z =15
Luego, debe ocurrir:
X
Y
Z
3
=
= 5 =
=3
3
4
1
Escala de
ampliación
Entonces:
La razón de
semejanza es 3
X =3
3
Y
4 =3
Z =3
5
X= 3· 3 = 9
Y = 4 · 3 =12
Z = 5 · 3 = 15
Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados
de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso
afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?.
50
20
30
12
16
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
“cruzados”
30x16=480 y 40x12=480
además
40x20=800 y 16x50=800
40
Comprobemos que las medidas de
los lados homólogos son
proporcionales
30 = 40 = 50
12
16
20
Para calcular la razón
de semejanza se
calcula una de las
razones
50 : 20 = 2,5
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros;
¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una
sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema).
p
o
s
t
e
3m
Son semejantes
por que cumplen
el criterio AA,
tienen iguales el
ángulo recto y el
ángulo de
elevación que
forman los rayos
solares con el
suelo
x
2m sombra
4,5m
Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su
sombra son semejantes, por lo tanto
Formamos la proporción 3
x
=
2
4,5
De
donde
X=
3 • 4,5
2
= 6,75m
PARA TERMINAR UNA
PEQUEÑA DEMOSTRACIÓN
Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC
Dadas las rectas AB y DE, son paralelas. Demuestra que el triangulo ABC
el triangulo DEC son semejantes.
B
C
A
E
Demostración
Afirmaciones
ABC  CDE
BAC  CDE
D
Razones
Por ser ángulos alternos internos entre
//
Por ser Ángulos alternos internos entre //
Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al
criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son
semejantes