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3) MECÁNICA CUÁNTICA
 F.CLASICA : Determinista
Y
t=0
y
t=1
g
Vo
X
{1900} F.CUÁNTICA : Indeterminista
e-
1
2
{1925} , W Heisenberg
Mecánica Matricial : [ ] estados
{1926} E Schroedinger
 Mecánica ondulatoria
O : y  y ( x, t ) 

E  E ( x , t )  ( r , t )
E  E (r , t ) 
{1929} CUÁNTICA - RELATIVIDAD , Dirac - Sommerfeld
3.1) Experimento de la doble
rendija
1
eD
2
D’
pantalla
La radiación de e-s sobre las rendijas 1 y 2 produce un patrón de interferencia
por difracción en la pantalla. Esta interferencia tiene que entenderse como
producida por una “presencia” del electrón tanto en 1 como en 2.
Si el experimento se realiza anulando una de las rendijas se obtendrían patrones
típicos para c/u de ellos. Es más, si se superpone el experimento por una y luego por
la otra, el patrón final no mostraría interferencia.
Y’
)
e-
1
1
2
1
2
+ 2
2
X’
2
Y’
e-
)
1
2
2
X’
2
Si los estados de los electrones son descritos por funciones Ψ, Ψ1:e-s por 1 y
Ψ2:e-s por 2, entonces, las
probabilidades de encontrar a los electrones en Y
2
se determina con los  , por lo tanto, las curvas de probabilidad
correspondientes a α y β son solo función de los estados Ψ1 y Ψ2
correspondientes e inclusive cuando se superponen en el experimento.
Sin embargo el resultado original muestra interferencia, esto es, los estados e-s
deben de influirse en 1 y 2 para que el patrón se pueda explicar, por lo tanto , el
estado del e- debe de especificarse así:
Ψ e= Ψ 1+ Ψ 2
De esta forma, al determinar la probabilidad para un e- se justifica la
interferencia,
 e
2
 1   2  1   2  2 1  2 cos 
2
2
2
 : desfasaje entre 1   2
En este experimento el e- esta deslocalizado debido a que deberá
estar presente en 1 y 2.
3.2) PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE
DE HEISENBERG
i) DE LA POSICIÓN Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (r y p)
x : incertidumbre de la posición
p
p
x

xp 
2
: incertidumbre de la cantidad de
movimiento lineal
Esta relación describe una interacción con
el sistema que no se puede controlar, es
proceso del universo.
ii) DE LA ENERGÍA Y DEL TIEMPO
E t 
2
E
: incertidumbre de la energía
t
: incertidumbre del tiempo
3.3) FUNCIÓN DE ONDA Ψ
Es la función que describe el estado del sistema. Esto es, en ella está contenida
toda la información del sistema.
r  r (t )  v  a
r P
T
r  r (t )  continua
2da Ley : FRES
d 2r
m 2 r
dt
" OEM : E  B "
E  E ( x, t )
E ( x, t )  EM sen{kx  wt  }
E c de OEM
2 E 1 2 E
 2 2 vc
2
x
v t
e-
=
e- = Ψ
X
 ( x, t )   ( x, t )   ( x )
 ( x)  x
PSI 
v
Valores
asociados
H Ψ=E Ψ
Ec. de Schroedinger
CF
Probabilidad
La Ψ no es cuantificable, NO OBSERVABLE, sin embargo
las mediciones se efectuarán con |Ψ|2 ,el cual se interpreta como
densidad de probabilidad.
|Ψ|2
: densidad de probabilidad …
Indica la probabilidad de encontrar a la partícula
en cierto volumen y en cierto tiempo.
|Ψ|2dv
:… en el V=dv
|Ψ(x)|2dx : probabilidad de encontrar a la partícula en dx
v
P
x
a
xX
b
" x": a, b  Pab   ( x ) dx
a
2
b
Debido a que la partícula debe encontrarse en el eje X, se establece la
condición de normalidad de Ψ,

  dx  1
2
 de la partícula en X!

Las CF se describen usando sus valores esperados , CF <CF>

CF 
 CF 
2
dx

Ψ: Describe al sistema
Ψ  Interpretar
Ejemplo: Problema de la partícula
en una caja
m
v
x
L
La partícula de masa m se mueve en una caja de lado L con
velocidad v.
Estado Cinemático: v
Discretizar
Sistema restringido: x
< 0,L>
Este confinamiento de m es lo que producirá, en la versión cuántica del
problema, los estados discretos,
Ψ Ψn  En ; n =1,2,3,…
Debido a que la v = cte y al confinamiento, entendiendo a este último
como que m no podría estar en X=0 o L , la función de onda que
describe los estados de m es,
 ( x)  Asen kx
Donde k  2

se escogerá de tal manera que describa la
probabilidad cero de encontrar a m en x=0 o L,
kx  n , x  0, L
kL  n ; n  1, 2, 3 ,...
kn 
n
2

L
n
2L
nv
 n 
, n 
n
2L
 2
 n ( x)  Asen 
 n

x  ; n  1, 2,3,...

Estos n estados de m tienen asociadas energías, Ek,n dadas por
  
2
pn 2
1
2
Ekn  mvn 

2
2m
h
h2
n
2m
2n 2 m
2










h

 2L 


h2n2

 n 

 2  Ek ,n  En
2m
8L m
h2 2
 
 n ( x)  ASen  nx  , Ek ,n 
n
8mL
L 
Principio de
incertidumbre
v=cte
Ψ
Ψ
0
L
En (E1)
Ψ
n2=|
Ψn
L/3
0
2L/3
L/2
L/3
L
0
Ψn |
2L/3
L/2
n
2
L
9
3
4
2
1
1
3.4) LA ECUACION DE SCHROEDINGER
Es la ecuación que debe satisfacer las funciones de onda Ψ y puede
ser tan compleja como uno desee en el contexto de acercarse mejor a
la descripción del problema físico. Por ejemplo,
1. HΨ=E Ψ
Estados estacionarios
H: Hamiltoneano operador de energía.
E: energía del estado estacionario.
2. Ec de Schroedinger
F. clásica
Física Cuántica
 ( x, t )  A ( x)Cos wt .......................( )
 2 ( x, t ) 1  2 ( x, t )
 2
..........................( )
x 2
v
t 2
  2 ( x, t ) 
1
A
Cos
wt

A ( x, t ) w2Cos wt



2
2 
v
 x

 2 ( x, t )
w2
 p2
  2 ,  ( x, t )  2  ( x, t )
x 2
v
2
 v
2
2
2
2
w  2      p 
  
  
v2  v   v   


…..... Ec de Schrodinger
E  Ek  E p  cte
p2
Ek 
 E  E p  p 2  2m  E  E p 
2m
2
2m

(
x
)


E  E p  ( x)
2 
x 2
3. Caso general

2 2
i  (r , t )  
  (r , t )  V (r , t ) (r , t )
t
2m
2
2
2
  2  2
2
x
y
z
2 

  Ep   E
2m x 2
2 2
 

   v  ih 
2m
 t 
 2

 v   E

 2m 
Resolviendo el ejercicio…
2
2m
0  L : 2    2 E
x


..
x   x  0  x(t )  ASen{wt}
 2mE 
 ( x)  ASen  2 x 


 
 ............  ASen  nx 
L 
h2 2
En 
n
2
8mh
Ep
v
x
0
L

L
A  Normalización :   dx  1   A2 Sen 2 (cx )dx
2

A
2
L
0