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3) MECÁNICA CUÁNTICA F.CLASICA : Determinista Y t=0 y t=1 g Vo X {1900} F.CUÁNTICA : Indeterminista e- 1 2 {1925} , W Heisenberg Mecánica Matricial : [ ] estados {1926} E Schroedinger Mecánica ondulatoria O : y y ( x, t ) E E ( x , t ) ( r , t ) E E (r , t ) {1929} CUÁNTICA - RELATIVIDAD , Dirac - Sommerfeld 3.1) Experimento de la doble rendija 1 eD 2 D’ pantalla La radiación de e-s sobre las rendijas 1 y 2 produce un patrón de interferencia por difracción en la pantalla. Esta interferencia tiene que entenderse como producida por una “presencia” del electrón tanto en 1 como en 2. Si el experimento se realiza anulando una de las rendijas se obtendrían patrones típicos para c/u de ellos. Es más, si se superpone el experimento por una y luego por la otra, el patrón final no mostraría interferencia. Y’ ) e- 1 1 2 1 2 + 2 2 X’ 2 Y’ e- ) 1 2 2 X’ 2 Si los estados de los electrones son descritos por funciones Ψ, Ψ1:e-s por 1 y Ψ2:e-s por 2, entonces, las probabilidades de encontrar a los electrones en Y 2 se determina con los , por lo tanto, las curvas de probabilidad correspondientes a α y β son solo función de los estados Ψ1 y Ψ2 correspondientes e inclusive cuando se superponen en el experimento. Sin embargo el resultado original muestra interferencia, esto es, los estados e-s deben de influirse en 1 y 2 para que el patrón se pueda explicar, por lo tanto , el estado del e- debe de especificarse así: Ψ e= Ψ 1+ Ψ 2 De esta forma, al determinar la probabilidad para un e- se justifica la interferencia, e 2 1 2 1 2 2 1 2 cos 2 2 2 : desfasaje entre 1 2 En este experimento el e- esta deslocalizado debido a que deberá estar presente en 1 y 2. 3.2) PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG i) DE LA POSICIÓN Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (r y p) x : incertidumbre de la posición p p x xp 2 : incertidumbre de la cantidad de movimiento lineal Esta relación describe una interacción con el sistema que no se puede controlar, es proceso del universo. ii) DE LA ENERGÍA Y DEL TIEMPO E t 2 E : incertidumbre de la energía t : incertidumbre del tiempo 3.3) FUNCIÓN DE ONDA Ψ Es la función que describe el estado del sistema. Esto es, en ella está contenida toda la información del sistema. r r (t ) v a r P T r r (t ) continua 2da Ley : FRES d 2r m 2 r dt " OEM : E B " E E ( x, t ) E ( x, t ) EM sen{kx wt } E c de OEM 2 E 1 2 E 2 2 vc 2 x v t e- = e- = Ψ X ( x, t ) ( x, t ) ( x ) ( x) x PSI v Valores asociados H Ψ=E Ψ Ec. de Schroedinger CF Probabilidad La Ψ no es cuantificable, NO OBSERVABLE, sin embargo las mediciones se efectuarán con |Ψ|2 ,el cual se interpreta como densidad de probabilidad. |Ψ|2 : densidad de probabilidad … Indica la probabilidad de encontrar a la partícula en cierto volumen y en cierto tiempo. |Ψ|2dv :… en el V=dv |Ψ(x)|2dx : probabilidad de encontrar a la partícula en dx v P x a xX b " x": a, b Pab ( x ) dx a 2 b Debido a que la partícula debe encontrarse en el eje X, se establece la condición de normalidad de Ψ, dx 1 2 de la partícula en X! Las CF se describen usando sus valores esperados , CF <CF> CF CF 2 dx Ψ: Describe al sistema Ψ Interpretar Ejemplo: Problema de la partícula en una caja m v x L La partícula de masa m se mueve en una caja de lado L con velocidad v. Estado Cinemático: v Discretizar Sistema restringido: x < 0,L> Este confinamiento de m es lo que producirá, en la versión cuántica del problema, los estados discretos, Ψ Ψn En ; n =1,2,3,… Debido a que la v = cte y al confinamiento, entendiendo a este último como que m no podría estar en X=0 o L , la función de onda que describe los estados de m es, ( x) Asen kx Donde k 2 se escogerá de tal manera que describa la probabilidad cero de encontrar a m en x=0 o L, kx n , x 0, L kL n ; n 1, 2, 3 ,... kn n 2 L n 2L nv n , n n 2L 2 n ( x) Asen n x ; n 1, 2,3,... Estos n estados de m tienen asociadas energías, Ek,n dadas por 2 pn 2 1 2 Ekn mvn 2 2m h h2 n 2m 2n 2 m 2 h 2L h2n2 n 2 Ek ,n En 2m 8L m h2 2 n ( x) ASen nx , Ek ,n n 8mL L Principio de incertidumbre v=cte Ψ Ψ 0 L En (E1) Ψ n2=| Ψn L/3 0 2L/3 L/2 L/3 L 0 Ψn | 2L/3 L/2 n 2 L 9 3 4 2 1 1 3.4) LA ECUACION DE SCHROEDINGER Es la ecuación que debe satisfacer las funciones de onda Ψ y puede ser tan compleja como uno desee en el contexto de acercarse mejor a la descripción del problema físico. Por ejemplo, 1. HΨ=E Ψ Estados estacionarios H: Hamiltoneano operador de energía. E: energía del estado estacionario. 2. Ec de Schroedinger F. clásica Física Cuántica ( x, t ) A ( x)Cos wt .......................( ) 2 ( x, t ) 1 2 ( x, t ) 2 ..........................( ) x 2 v t 2 2 ( x, t ) 1 A Cos wt A ( x, t ) w2Cos wt 2 2 v x 2 ( x, t ) w2 p2 2 , ( x, t ) 2 ( x, t ) x 2 v 2 v 2 2 2 2 w 2 p v2 v v …..... Ec de Schrodinger E Ek E p cte p2 Ek E E p p 2 2m E E p 2m 2 2m ( x ) E E p ( x) 2 x 2 3. Caso general 2 2 i (r , t ) (r , t ) V (r , t ) (r , t ) t 2m 2 2 2 2 2 2 x y z 2 Ep E 2m x 2 2 2 v ih 2m t 2 v E 2m Resolviendo el ejercicio… 2 2m 0 L : 2 2 E x .. x x 0 x(t ) ASen{wt} 2mE ( x) ASen 2 x ............ ASen nx L h2 2 En n 2 8mh Ep v x 0 L L A Normalización : dx 1 A2 Sen 2 (cx )dx 2 A 2 L 0