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¿ Por qué los profesores de
enseñanza básica necesitan
saber matemáticas?
Dr. Solomon Friedberg
Profesor de Matemáticas y Director
Departamento de Mátemáticas
Boston College
Chestnut Hill, MA 0467
[email protected]
http://www2.bc.edu/~friedber
“Saber Matemáticas”
Las siguientes afirmaciones son ampliamente aceptadas en EEUU:
1)
Cuando un profesor enseña matemáticas, su conocimiento
matemático es un factor crucial en el éxito de los estudiantes.
Por ejemplo, el conocimiento le permite al profesor:
•
•
•
Reconocer los momentos propicios de enseñanza.
Estimular y responder preguntas.
Reconocer un razonamiento correcto que está fuera de los
márgenes conocidos, es decir, un razonamiento correcto pero no
estándar.



Dar explicaciones, para que las matemáticas
sean apreciadas como un asunto coherente y
no como un montón de reglas arbitrarias.
Reconocer cuáles cosas son importantes y
priorizar. (Por ejemplo, la importancia de la
suma automática de un solo dígito , lo mismo en
la resta, multiplicación y la división; la ley
distributiva).
Fomentar el razonamiento matemático en
equilibrio con los conocimientos técnicos
(ambos son importantes).
2) El conocimiento matemático necesario para
enseñar bien matemáticas, es un conocimiento
avanzado. Y NO es cierto que quienes entran a
la universidad poseen este conocimiento.
• ¿Puedes explicar por qué el algoritmo de la
división funciona?¿Por qué al multiplicar
fracciones
lo
hacemos
multiplicando
numeradores y denominadores, pero la suma no
funciona de la misma manera?
3) Este conocimiento no es adquirido en un curso
de Cálculo. Sino que debe ser transmitido en
cursos dedicados especialmente a ello.
4) Este conocimiento se relaciona con didáctica de
las matemáticas, pero no es lo mismo. Aprender
acerca de bloques de base 10, no garantiza un
buen conocimiento acerca del papel que juega
el valor posicional en la matemática de
enseñanza básica, pero ciertamente están
relacionados.


Un famoso problema estudiado por Liping Ma es
dar un problema de enunciado (word problem)
cuya respuesta resulte de dividir
2 1/2 en 3/8
Para responder a esto, hay que entender los
diferentes modelos o representaciones de la
división. Los profesores en EEUU (incluso
aquellos
con
experiencia)
tuvieron
un
desempeño bastante pobre en esta pregunta.
Ellos no tenían los conocimientos matemáticos
necesarios.
5) El Razonamiento matemático juega un papel
importante
en
el
éxito
de
la
enseñanza/aprendizaje de las matemáticas. Tal
razonamiento requiere que los futuros
profesores descubran situaciones matemáticas,
por sí mismos.
6)
Matemáticos,
educadores
matemáticos,
profesores de colegio, deben trabajar unidos
para preparar adecuadamente a los futuros
profesores, en todos los niveles.
El problema en EEUU
Muchos maestros de escuelas primarias en
EEUU son débiles en matemáticas.
Carecen de un conocimiento profundo de
las matemáticas que enseñan.

Si profesores de tercero básico leen (ellos
mismos) al nivel de sexto básico,
entonces habrá que hacer algo al respecto de
manera urgente.

Sin embargo, muchos profesores de primaria en
EEUU, no pueden “hacer” la matemática de
sexto.
¿Cómo enseña matemáticas cuando
Ud. no las entiende a fondo?
Ud.
se
centra
en
reglas,
procedimientos y memorización, o en
herramientas manipulables, juegos y
actividades que no se pueden
conectar facilmente con conceptos.
¿Por qué ha pasado esto?
Son pocos los profesores en EEUU a los cuales
se les pidió aprender más matemáticas en sus
programas de preparación.
En contraste, tienen muchos cursos de escritura y
lectura.
Frecuentemente los cursos de matemáticas que
ellos toman no son relevantes respecto a la
tarea de enseñar matemáticas en la escuela
primaria.
Pensamos que la matemática de
Kinder a sexto es fácil.
La matemática de la
enseñanza básica no es
básica.
Elementary School Math
is not elementary
Nuestras metas deben
apuntar a:
Proporcionar profesores de
enseñanza básica, con un
profundo conocimiento de la
matemática que enseñan.
Incluir un foco en “explicar por qué”
Afirmaciones deben tener razones
“Es importante que desde la infancia temprana, las
experiencias con las matemáticas, ayuden a entender
que las afirmaciones siempre deben tener razones.
Preguntas como "¿Por qué crees que es cierto?" Y
"¿Alguien cree que la respuesta es diferente, y por qué
piensas así? “ ayudan a los estudiantes a ver que las
afirmaciones deben ser apoyadas o refutadas por
pruebas ".
De los principios y normas del NCTM para la Matemáticas escolares
(capítulo 3) (PSSM), 2000.
Algunas Preguntas

¿Por qué “guardar” en la suma con reserva?

¿Cuál es una forma eficiente de restar 999?

Cuando tu multiplicas por 10, ¿Por qué “agregas
un cero” al final del número?
¿Por qué no se puede dividir por cero?

Hábitos Matemáticos
Las matemáticas deben enseñarse en todos los
niveles con un foco en la comprensión.
Memorización de hechos numéricos es esencial,
pero es más fácil cuando hay comprensión.
23571-999=?
23571-999 =23571-(1000-1)
=23571-1000+1.
Los Profesores necesitan un
entendimiento sofisticado de la
matemática de enseñanza básica.
Por ejemplo, para calcular 23571-999 como antes,
nosostros usamos:
Resultados de números
 La ley distributiva [quizás implicitamente]
 El sistema de valor posicional
Un profesor que no maneja esto fluidamente
no está preparado para enseñar la resta.

Conociendo el edificio y edificar
fluidez en los cálculos

Una vez que los niños han usado el “atajo”
999=1000-1 en restas (o sumas), ellos la
pueden usar en la multiplicación:
Usar la propiedad distributiva y el hecho que
999 = 1000-1 para encontrar 999 x 213
Por el contrario, el hábito de memorizar reglas y
algoritmos
sin
entendemiento
es
contraproducente. Estos efectos negativos
aparecen particularmente en el segundo ciclo
básico.
Profesores que no entienden bien matemáticas
tipicamente no enseñanan para que los
estudiantes entiendan, ellos no ayudan a sus
estudiantes a razonar matematicamente.
Algunas evidencias de esto:
1) Clases de matemáticas en 7 países: Resultados
de estudio de videos de clases TIMSS 1999
 Porcentaje de clases de octavo básico (en una
sub-muestra) que contienen el desarrollo de
racionales: Australia, Suiza: 25%. EEUU: 0%.
2) El estudio comparativo de Liping Ma entre los
profesores de primaria en China y EEUU: Los
profesores americanos no conocen muchos
tópicos y desaprovechan muchos momentos
cruciales de enseñanza.
¿Cuáles son los cambios que están
ocurriendo en Massachusetts?
•
Nuevos requisitos de certificación.
•
Nuevos cursos a nivel universitario.
¿Cuáles Cursos?
1.
2.
3.
Números y operaciones (“aritmética”)
Geometría, Medida, Probabilidad y
Estadística.
Patrones, Funciones y Álgebra (“álgebra para
profesores”)
Números y Operaciones









Valor Posicional
Definiciones de las 4 operaciones y modelos para explicarlas.
Resolución de Problemas.
Desarrollo de algoritmos, ¿Por qué funcionan?, Variaciones de
ellos.
Teoría básica de números – primos, divisibilidad, mcm,MCD
Fracciones
Razones, Porcentajes, tasas
Números negativos
Decimales
Este es un curso fundamental.
Aritmética es fundamental para el
resto de las matemáticas y en gran
parte de las ciencias, de la misma
manera que leer es fundamental para
la educación.
Metas del Curso




Presentar la aritmética como un tópico
coherente partiendo de definiciones y resultados
básicos.
Cambiar la perspectiva del “¿cómo?” al “¿por
qué?”
Aritmética no es solo un montón de reglas las
cuales hay que memorizar.
Entender tópicos importantes que son pasados
por alto (rol del valor posicional, ley distributiva).
Ejemplo - Fracciones
•
•
Es importante que los profesores
sepan como sumar, restar, multiplicar y
dividir fracciones y por qué se hace de ese
modo.
Es también importante que ellos entiendan
que las operaciones con fracciones son
solo extensiones de las operaciones con
números
naturales,
y
que
esas
operaciones son las que se extienden a
números reales y complejos.
Ejemplo - Multiplicación
3x5
3 ×12 = (3 × 10) + (3 × 2)
3
10
2
24 × 32
30
2
20
600
40
4
120
8
(a  b)(a  b)  a  2ab  b
2
a
b
a
a2
ab
b
ab
b2
2
Ejemplo de preguntas del examen
final

¿Cuántos millones son 23 billones?

Explica por que 9:0 no está definido.

Usa la propiedad distributiva y el hecho
que 2000 = 2000-2 para encontrar 1998 x
213. ¿Cuál otra propiedad de números y
operaciones usas en ese cálculo?
Haga un problema corto para ilustrar la
división 15 ÷ ¾
 Si un auto recorre 4/5 km in 2/3 minutos,
cuál es su rapidez en
a. kms por minuto
b. kms por hora.
 Para multiplicar 2.37
x 1.256 nosotros
primero multiplicamos 237 x 1256. Luego
contamos 5 puestos desde la derecha e
insertamos una coma. Explica por qué
esto es correcto. (Por favor no diga que
así es la regla!)

Explica por qué el producto de dos
negativos es un número positivo.
 Explica el criterio de “divisibilidad por 3”, y
por qué funciona.

Ejemplo: Proyecto Especial de
asignación de tareas para mi curso
1) Escriba un resumen de una página de uno de
los capítulos del 1 al 4 del libro de Liping Ma
“Knowing and Teaching Elementary
Mathematics: Teachers' Understanding of
Fundamental Mathematics in China and the
United States.”
2) Diseña una serie de 5 problemas “multi-partes” o
actividades multi-pasos que traten algún tópico del
curriculum de básica en el área de “Números y
operaciones” y que sean adecuados para el uso en la
sala de clases. Algunos otros ejemplos de temas
apropiados son la comprensión de valor posicional,
multiplicación de números de varias cifras y la
multiplicación de fracciones. Hay muchos otros. Sus
prácticas deben construir tanto habilidad algorítmica y
comprensión del tema que nos ocupa, y debe basarse
en su propia comprensión profunda del tema. Por lo
menos un ejercicio debería incluir un aspecto de la
matemática o la exploración de un problema que
requiere que los estudiantes amplíen su comprensión.
3)
Explica en un máximo de una página,
como la serie de problemas de la parte
(2) construye conocimiento matemático
en los estudiantes y como tu lo
descubres desde tu propio conocimiento
pedagógico.
Para más información de mi curso:
www2.bc.edu/~friedber/mt190
Geometría y Medida








Atributos de figuras geométricas.
Propiedades de líneas y ángulos
Semejanza y congruencia
Construcciones geométricas
Demostraciones básicas/geometría deductiva
Análisis de la dimensión.
Desarrollo de fórmulas estándar de área y volumen
Teorema de Pitágoras y la fórmula de distancia
Probabilidad y Estadisticas
Estadística Descriptiva
Gráfico de datos
Tendencia Central y desviación
Probabilidad básica, definiciones y conceptos
Conteo; Experimentos de varios pasos
Usos errados o abusivos de la estadística.
Patrones, Funciones y Álgebra
Aprender aritmética correcta y conceptualmente
potencia a los estudiantes a aprender álgebra
después. Por ejemplo, factorizar por 5:
5x^2 + 20 x - 10
se refiere a la propiedad distributiva. Multiplicar
polinomios está muy cerca de multiplicar
números.
El concepto de “función” clave en
matemáticas. Pero no siempre son bien
tratadas en el nivel básico. La enseñanza
de los patrones es con frecuencia un
asunto problemático (¿Cuál es el siguiente
término de la secuencia “3,1,4,1,5?”) Y
los profesores no saben cuál es el objetivo
de esto.

En un curso de primer año universitario,
nosotros queremos que los futuros
profesores reconozcan el álgebra como
una extensión natural de la aritmética.
Esto les ayudará a preparar estudiantes
para el álgebra.
Identificación de profundo
conocimiento pedagogíco en contenido
Un grupo liderado por Deborah Ball ha
escrito ítems diseñados para testear
“pedagogical content knowledge”, y
confirmar que altos puntajes en sus tests
están correlacionados con profesores
exitosos en la enseñanza de las
matemáticas.
Ejemplo de Pregunta
El curso de la Sra. López ha trabajado en
encontrar patrones en una tabla de 10x10 que
contiene los primeros 100 números. Una
estudiante, María, reconoce un interesante
patrón. Ella dice que si dibujas un “signo mas”
(+) como mostramos en la siguiente diapositiva,
la suma vertical es igual a la suma horizontal (es
decir, 22 + 32 + 42 = 31 + 32 + 33).
Regularidad de María
¿Cuál de las siguientes explicaciones dadas por los
estudiantes muestra una comprensión suficiente
de por qué esto es cierto para todos los signos
mas? (Marca SI, NO or NO ESTOY SEGURO
para cada una de ellas.)




El promedio de los tres números en la vertical es igual al
promedio de los tres números en la horizontal.
Ambas partes del signo igual suman 96.
No importa donde el “signo mas” esté, ambas partes suman
el triple del número del medio.
Los números de la vertical son “10 menos” y “10 más” que
el término del medio.
Comentarios Finales




Dictar estos cursos es profesionalmente
satisfactorio.
Hay una profundidad sorprendente en la
mátemática de K-8.
Enseñar a los futuros profesores de primaria
puede romper el círculo de fracaso matemático
que vemos día a día en nuestras aulas.
Matemáticos y educadores en matemáticas son
importantes en esta tarea.