Download Making Teacher Preparation Our Business

La preparación en matemáticas
de los profesores de enseñanza
básica
Solomon Friedberg
Prof. of Mathematics and Chair
Department of Mathematics
Boston College
Chestnut Hill, MA 02467
USA
[email protected]
http://www2.bc.edu/~friedber
June 2008
Esto es (parte de) nuestro
trabajo

•
Enseñar
bien
matemáticas
requiere
“pedagogical content knowledge” (Liping Ma).
Muchos futuros profesores –incluso en el nivel
primario- no tienen ese conocimiento.
Los matemáticos, quienes trabajan con
razonamiento matemático todos los días y
comprenden
profundamente
qué
es
importante en matemáticas, están llamados a
compartir ese conocimiento. Esto vale en
todos los niveles, incluyendo la enseñanza
básica. (No es una tarea simple)

Pedagogical
content
knowledge
es
necesario, pero no suficiente. Por
ejemplo,
manejo
de
curso,
y
comprensión de asuntos interculturales
escapan del dominio matemático, pero
son claramente importantes..
Hacer frente a la necesidad


Los Matemáticos que no son especialistas en
educación matemática, también pueden
contribuir, incluso en el nivel básico.
No todos los miembros de un departamento
de matemáticas deben hacerlo; no todos son
buenos en esto o están interesados. Como
ocurre con otra enseñanza, uno necesita
conocimiento específico e interés.
En Massachusetts: Nuevos
Requesitos para Certificación
de profesores


Los requesitos anteriores: pasar un test que
implica 5 áreas, con matemáticas siendo el
18% del test. La prueba se pasa por un
promedio global.
Consecuencias del viejo test:

A) Un profesor puede obtener la certificación sin
tener conocimientos de la matemática de primaria.
B) Las universidades para preparar profesores de
primaria no requieren muchos cursos de
matemáticas (un curso en didáctica de las
matemáticas en cuatro años de instrucción!).


Nuevos requisitos: test de matemáticas
separado del
test de matemáticas para
primaria- a un nivel sofisticado. Suficientes
preguntas (cerca de 50) para hacer un test
“robusto”-que
puedan
dar
resultados
confiables.
Preguntas que enfatizan el pensamiento
matemático aplicado a la matemática de aula
del nivel básico.
La Regulación de
Massachusetts
“2. Matemáticas.
b. Los candidatos deben demostrar que poseen
habilidades fundamentales de cálculo y un
conocimiento profundo de la matemática de K-8.
Ellos deben demostrar que no solo saben como
hacer con la matemática de básica, sino que
entender y explicar a los estudiantes, en multiples
maneras, por qué eso tiene sentido.”
Tópicos Matemáticos





i.
iv)
ii.
iii.
iv.
Números y operaciones (la base de las áreas iiFunciones y álgebra
Geometría y medida
Estadística y probabilidades
Descritos en detalle en “Guidelines for the Mathematical
Preparation of Elementary Teachers”, Julio 2007.
Nuevos cursos para ayudar a
los estudiantes a prepararse

Nuevos requisitos para la certificación
estatal, para los programas de
preparación de profesores de primaria:3-4
cursos a nivel universitario de tópicos
matemáticos (9-12 horas semestrales)
“dictados por miembros del departamento
de matemáticas, posiblemente
acompañado por profesores de
educación.”
Ponderación sugerida para cada
tópico




Números and operaciones: 45%
Funciones & álgebra: 25%
Geometría & medida: 20%
Estadística & probabilidad: 10%
Describiré la guía más abajo. El documento
completo está disponible en el sitio web del
Departamento de educción de Mass. El cual
lo pueden encontrar en mi página web.
Sobretodo Profundidad
“Se espera que los candidatos a ser profesores
de enseñanza básica alcancen un dominio,
así como también una comprensión
profunda de aritmética, álgebra, geometría,
probabilidad del mismo modo que sus
estudiantes esperan de su maestro de K-8.
Ellos pueden alcanzar este nivel de
conocimientos si y sólo si:
1.
2.
3.
4.
Vea la aritmética (y el álgebra) como un pequeño, unificado,
coherente, consistente tema donde todo tiene sentido.
Apreciar la importancia de desarrollar claras y explícitas
definiciones y acordes al curso, así como usar razonamiento
lógico para llegar a conclusiones no ambiguas.
Experiencia y hacer matemática real, lidiando con problemas
de varios pasos, desafíos lógicos, y de soluciones no obvias.
Adquirir hábitos de pensamiento matemático: razonando,
conjeturando, visualizando, analizando, estimando,
explorando, justificando, y constantemente practicando el
“¿Por qué?”
5.
6.
Desplazarse por varios niveles de abstracción: desde los
“palotes” a los números romanos, al valor posicional, a la
notación científica; de los números a las variables (una
abstracción central del álgebra), a funciones.
Ganar la competencia y la confianza para analizar el
pensamiento matemático en sus estudiantes y engancharlos
en un productivo discurso matemático.
Algunas características


La Matemática está basada en definiciones y
pensamiento lógico (fracciones, razones, etc.).
Los profesores debieran saber que algunos
problemas están mal planteados (por ejemplo,
“Si a la mitad de los niños y a un cuarto de las
niñas del curso de la profesora López, les gusta
la leche, ¿ a cuál fracción del curso de la señora
López le gusta la leche?”).
Profesores HACIENDO
Matemáticas
“Hacer matemática real comprende lidiar con
problemas de fondo que no tienen solución obvia;
los profesores necesitan pasar por esta
experiencia, a un nivel que ellos puedan superar.
Las tareas debieran incluir actividades ricas y
problemas que amplíen la mente, desafíen el
intelecto, y desarrollen pensamiento matemático
(además de ejercicios que aseguren práctica y
competencias sólidas).”
Por ejemplo:
•
La suma de enteros consecutivos, suma de impares
consecutivos, y su interpretación geométrica; “problemas de
planteo” (word problems) que involucren esas sumas.
Problemas que requieren exploración, conjeturas, y
perseverancia:
A school has 961 lockers and 961 students. The first student
opens every locker, the second student changes every second
locker, the third student changes every third locker, and so on.
Which lockers are open after every student has passed by?
Analiza y propone una estrategia para el juego del NIM. Dos
jugadores cominezan con 13 lápices y van sacando de a uno o
de a dos; el jugador que saca el último pierde.
•
•
•
•
•
Problemas de planteo de varios pasos que sean desafiantes:
Dos señoras comienzan a caminar con el amanecer, de la villa
de cada una a la villa de la otra. Se encuentran al mediodía.
La primera señora llega a la villa de la otra a las 4:00PM,
mientras que la segunda señora llega a la villa de la primera a
las 9:00PM. Ellas caminan a ritmo constante . ¿A qué hora fue
el amanecer?
Problemas de planteo que van contra la intuición:
El 99% del peso de los pepinos frescos corresponde a agua.
300 kilos de pepinos son almacenados, hasta el momento que
son puestos a disposición del mercado, y se comprueba que en
ellos el 98% de su peso es agua. ¿Cuánto pesan ahora los
pepinos?
Preguntas abiertas que estimulen la reflexión:
Estima el número de peluqueros(as) en Santiago.
•
Números y Operaciones
Números y operaciones es la base para toda la
matemática de la escuela; conecciones y ejemplos
del álgebra y la geometría aparecen
frecuentemente y deben ser enfatizadas.
Para la completa comprensión de Números y
Operaciones, típicamente se requiere mas que un
semestre, porque se debe considerar un curso
integrado que tenga una secuencia de múltiples
líneas y una rica red de relaciones entre aritmética,
geometría, y álgebra.
Unos pocos conceptos y asuntos
que merecen especial atención:
•
•
•
•
La sutil y poderosa invención llamada valor posicional hace
posible toda la matemática moderna, ciencia, e ingeniería. Una
comprensión profunda elimina el misterio de los algorítmos de
cálculo, decimales, estimaciones, notación científica, —y
luego—polinomios.
Enteros, fracciones, decimales, porcentajes, y números mixtos
son todos solo simples números; ellos comparten las mismas
propiedadses y tienen un lugar en la recta numérica.
La recta númérica tiene una importncia crítica por si misma,
tanto como una conexión entre los números y el conteo con las
medidas lineales como un medio para interpretar y entender las
4 operaciones.
Sentido de número , matemática mental, y habilidades de
estimación son habilidades indispensables.




9 propiedades simples gobiernan toda la aritmética; la propiedad
distributiva es el pegamento que une la adición con la
multiplicación; las propiedades y los sistemas numéricos anidados
uno dentro de otro (naturales, enteros, racionales, reales)
recapitulan a la aritmética en un pequeño, coherente paquete donde
todo hace sentido.
Sustracción y división son las “inversas” de la adición y
multiplicación, respectivamente, y sus “agentes” son opuestos y
reciprocos. Números con signo son a la adición y sustracción
como las fracciones son a la multiplicación y división.
Casi todos los números tienen asociados unidades, un punto
importante que es frecuentemente pasado por alto en los primeros
cursos. Las unidades allanan el camino para aprender fracciones y
proveen una guía crucial para resolver problemas—especialmente
aquellos que involucran razones.
Toda proporción involucra una tasa constante y es un ejemplo de
función lineal.
Funciones and Álgebra
El Álgebra, alguna vez considerado demasiado
avanzado para K–6, es ahora reconocido como un
tópico “abre puertas” y emerge en los grados de
enseñanza básica. Estudiantes de segundo grado,
por ejemplo, deben aprender que la sustracción 85 es un problema equivalente a 5+?=8. Porque un
objetivo clave de un profesor de básica es preparar
a sus estudiantes para el álgebra, y ellos debieran
ser competentes y seguros con el pensamiento
algebraico, especialmente en el uso de variables y
las soluciones de ecuaciones simples. Ellos
también debieran basarse en el álgebra implícita
que existe en el sistema decimal.
Los siguientes conceptos y
asuntos ameritan una atención
especial:
•
•
•
El álgebra generaliza a la aritmética. Expresiones racionales
ilustran la importancia de entender los números racionales.
El concepto de variable es la piedra angular del álgebra, es
crítico para traducir problemas de la vida real en matemáticas,
y es un gran obstáculo para mucha gente.
El concepto de función no es solo un obstáculo, sino que
frecuentemente una experiencia traumática. Uno debe aliviar
esto gentilmente vía funciones lineales usando “funciones
como máquinas” en el curriculum elemental. Pero los
profesores no se debieran poner nerviosos con problemas del
tipo:
•
Exprese el área del círculo en función de su perímetro.
•
1.
2.
3.
•
•
La comprensión de relaciones funcionales puede ser nutrida con
"gráficos cualitativos", por ejemplo:
José comenzó a caminar a la escuela, se detuvo a conversar, luego,
corrió de vuelta a casa para recibir colación, y luego corrió hacia la
escuela. Haga un gráfico esquemático de la distancia de su casa
versus el tiempo.
Dada la forma de un vaso y el agua que fluye hacia él a una
velocidad constante, haga un gráfico esquemático de la altura del
agua en el vaso vs tiempo.
Dado un gráfico de la velocidad de un vehículo vs el tiempo,
esbozar el gráfico de la distancia recorrida vs el tiempo. Dada la
distancia recorrida dibuja la velocidad
Una ecuación lineal (sin término constante) es una colección infinita
de prpporciones cuya constante de proporcionalidad es la
“pendiente” de la ecuación:
“La multiplicación cruzada” es solo un “ayuda memoria”, no un
principio matemático, el cual debiera ser usado solo por aquellos
que pueden explicar por qué funciona.
•
•
•
La íntima relación entre álgebra, geometría, y aritmética (e.g.,
números triangulares, Teorema de Pitagoras, funciones
lineales) son importantes, y la habilidad de moverse
fluidamente y con seguridad entre ecuaciones, tablas, y
gráficos es primordial . Esto requiere una definición propia de
gráfico como el conjunto de todos los puntos cuyas
coordenadas satisfacen una ecuación(o una inecuación) en dos
variables.
Patrones (regularidades) son transversales
(aritmético/numérico, geométrico, lingüístico, musical/rítmico)
pero los profesores necesitan ayuda para entender por qué son
importantes. Por ejemplo, las tablas de sumas y de
multiplicación, contienen varios interesantes patrones que
alivian la carga de la memorización. Los profesores también
tienen que evitar los problemas mal planteados relativos a
patrones que frecuentemente aparecen en los libros de texto.
Expresar algebraicamente un “problema de planteo” o
gráficamente o icónicamente; Traducción de información
verbal a lenguaje simbólico; y solución de problemas en
general son todos sutiles y difíciles.
Geometría y Medida
La Geometría adolece tanto de una sobre-abundancia de
definiciones (tanto es así que algunos curriculums parecen
una gran lección de vocabulario) como de una imprecisión
en algunas de las definiciones más importantes
(notablemente en congruencia y semejanza).
Los
profesores debieran darse cuenta que el vocabulario es
necesario para describir los conceptos espaciales
intuitivos, y que la presición es esencial en ese
vocabulario. Pero el propósito del vocabulario es hacer
posible el razonamiento matemático acerca de objetos
espaciales, y debieran dominar la precisión para guiar a sus
estudiantes mediante actividades de acuerdo al nivel, que
enfaticen el razonamiento y el desarrollo de la intuición
espacial, sin empantanarse en la terminología. Esta tarea
no es fácil y se basa en la propia bien desarrollada
intuición espacial del profesor.
Medición es fundamental, enlazando Geometría con
Números & Operaciones y Álgebra:


Una recta numérica aparece en toda regla, termómetro, escala,
velocímetro—y en cada eje de un gráfico multidimensional.
El modelo de área para la multiplicación provee una entrada
para longitud, perimetro, área, volumen, y área superficial:

Partiendo solamente con el área del rectángulo, obtenga la
fórmula del área del triángulo rectángulo, un triángulo no
rectángulo, un paralelogramo, y un trapezoide.

Derive la fórmula del volumen de un prisma rectangular. Use
esto para encontrar el volumen de un prisma triangular.

Si triplicas la arista de un cubo, ¿qué sucede con el área
superficial? ¿con el volumen?



Unidades y conversiones de unidades son el corazón de la
medición; las operaciones de multiplicación y división son
excelente lugar para discutir unidades compuestas.
La multifacética relación entre geometría, medición,
aritmética, y álgebra debiera ser explorada y explotada. Un
ejemplo clave es el Teorema de Pitágoras y su aplicación para
medir distancia en el plano:
Corta 4 triángulos rectángulos idénticos, con lados a, b, e
hipotenusa c. Dispóngalos para formar una nueva figura
geométrica y usa el conocimiento de áreas para probar que
a^2+b^2=c^2.

En una hoja de papel milimetrado dibuja ejes coordenados y
dibuja los puntos que satisfacen la ecuación x^2+y^2=1 . ¿Qué
figura es? Explica por qué.


La relación entre perímetro y área suele ser una fuente de
confusión :

Un rectángulo tiene perímetro P y área A.

Para un valor fijo de P, ¿Cuáles son los posibles valores de A ?

Para un valor fijo de A, ¿Cuáles son los posibles valores de P ?
Círculos, esferas, y muévase un poquito más allá de la
medición lineal.

Mida varios círculos y determine la razón entre el perímetro de
la circunferencia y su diámetro.

Explique por qué lás fómulas de volumen del cilindro, el cono y
la esfera tienen sentido.
Dominar unos pocos tópicos claves en
geometría les servirá mucho a los profesores
de enseñanza básica:




Visualización de objetos y movimiento en dos y tres
dimensiones.
Construcciones con regla y compás.
Propiedades de rectas paralelas, especialmente la
relación entre los ángulos en la transversal (el
“postulado de las paralelas”).
Una bien desarrollada intuición visual es más
importante que memorizar textualmente reglas
acerca de ángulos alternos internos y cosas de esas.


Propiedades de triángulos y otros polígonos. La definición de
polígono es un asunto sútil, incluyendo su objeto dual como
una curva y una superficie. Ejercicios sobre triángulos y la
relación de los ángulos debiera la imensa utilidad de trazar
líneas auxiliares, e.g.:

El hecho que el triángulo es rígido y no otros polígonos es
frecuentemente pasado por alto en el curriculum de básica.

Prueba que la medida de los ángulos interiores de un triángulo
suman 180°.

Encuentra la suma de los ángulos interiores of an n-ágono.
Transformaciones: rotación, traslación, reflexión, y homotecias



¿Cuál es el efecto de las transformaciones en el área y el
volumen?
Precisar definiciones de congruencia y semejanza, usando
transformaciones, que se aplica a todas las figuras (no solo a
polígonos).
Triángulos semejantes y su relación con funciones lineales,
proporciones, y razones.
Estadística & Probabilidades
Estadística y probabilidad en el curriculum de K–
6 son simples y en su mayoría descriptiva, y en el
reciente Curriculum Focal Points del NCTM, se
reconoce su papel secundario frente al segundo
ciclo básico y la enseñanza media. Sin embargo,
los profesores deben entender los conceptos
básicos, incluido un mínimo de estadística
inferencial, y estar dispuesto a discutirlos con los
estudiantes.


Estadística descriptiva, gráficos, y como ellos son usados para
resumir información que son díficiles de digerir en detalle.
Rectas de mejor ajuste debieran ser discutidas, si bien no
derivadas rigurosamente.
Medidas de tendencia central (media, mediana, y moda) y
medidas de dispersión (rango, desviación estándar, etc.). Los
profesores debieran entender estas medidas, en que se
diferencian, y cómo se usan apropiadamente:

Por ejemplo, solo la moda funciona para datos cualitativos, pero
se comporta mal (discontinuo) con datos de medidas.


Permutaciones, combinaciones, y sus aplicaciones en el cálculo
de probabilidades.

¿De cuántas formas diferentes pueden ser reordenadas la letras
de la palabra “educador”?
¿La misma técnica funciona con la palabra “Mississippi”?
Explique.

¿Cuál es la probabilidad de obtener un póquer de aces en una
mano de cinco cartas?
Espacio muestral, eventos simples/compuestos, eventos
independientes/dependientes, probabilidad condicional.

Una moneda no cargada sale cara las cuatro veces que se lanza.
¿Cuál es la probabilidad de sello en el siguiente lanzamiento?

Su oponente saca dos manos de póquer de aces seguidas, ¿Qué
puede inferir?
Culminación del curso

Además, Massachusetts recomienda incluir
un cuarto curso para futuros profesores si es
posible, y se invita a las universidades a
diseñar cursos de culminación que enlacen
la matemática con la ciencia y la ingeniería.
Resumen: La Visión de
Massachusetts



Éxito en STEM (sciece, technology,
engineering and mathematics) requiere
profesores de primaria bien preparados en
matemáticas .
Los matemáticos puden y deben contribuir a
esta preparación, enseñando cursos
apropiados de conenido matemático.
Los matemáticos pueden ser efectivos
haciendo esto sin ser “educadores
matemáticos ” especialistas.
NOTA
Las Directrices aprobadas por la Junta
de Educación de Massachusetts han
tenido el efecto de aumentar la
participación de matemáticos y las
interacciones con los educadores de
matemáticas.
Se
han
celebrado
reuniones con los Presidentes de las
universidades para discutir la mejor
manera de satisfacerlas.
Mirada hacia el futuro: evaluar
los programas de formación
docente



Analizar lo apropiado y riguroso de las
matemáticas que se entregan a los aspirantes
a profesores de enseñanza básica en las
universidades en EEUU.
Recolectar programas y textos de estudio a lo
largo y ancho del país.
construir rúbricas para elaborar el curso tipo
Este paso está bajo
consideración en EEUU.
aciva