Download Didáctica del Álgebra y de la Trigonometría

Vicerrectorado Académico
Universidad Nacional Abierta
Selección de Lecturas
Didáctica del Álgebra
y la Trigonometría
Caracas, 2005
Índice
Introducción ........................................................................................................ 3
Lecturas
1
Comprensión de la igualdad por parte de los niños: El fundamento del
álgebra .................................................................................................. 5
2
Ecuaciones radicales............................................................................ 15
3
Concepciones del álgebra escolar y usos de variables ....................... 33
4
Desarrollo del razonamiento algebraico en los primeros grados ......... 45
5
Enseñanza y aprendizaje del álgebra desde el preescolar hasta el último
año de la secundaria ........................................................................... 53
6
Una nueva álgebra: Herramientas, temas, conceptos ......................... 77
7
Ayudar a realizar la transición al álgebra ............................................. 93
Introducción
Esta selección de lecturas corresponde a la asignatura Didáctica del
Álgebra y la Trigonometría. Estas fueron escogidas de diversas fuentes y de
manera tal que le ayuden a usted en el logro de los objetivos planteados. El
campo de investigación en la didáctica del álgebra y la trigonometría ha crecido
enormemente en las últimas dos décadas. Especialmente en el área de álgebra.
Este crecimiento es de tal magnitud que resulta muy difícil conocer todas las
investigaciones producidas y publicadas hasta ahora. Por ello, nos ocupamos de
ofrecerle a usted una selección de investigaciones y propuestas didácticas que le
sirvan de orientación para iniciarse en este vasto campo.
En nuestro país se abandonó la idea de un curso separado de álgebra en
la escuela a finales de la primera mitad del siglo XX. La reforma curricular de
entonces agrupó contenidos de aritmética, álgebra, geometría, y trigonometría
plana y esférica bajo el término Matemáticas. Más tarde, a comienzos de los
años setenta, esa denominación de los bloques de contenido desapareció y la
asignatura pasó a denominarse Matemática, en singular. Ese cambio se realizó
bajo la influencia de la llamada “matemática moderna”, la cual enfatizaba la
unidad de las matemáticas en una sola ciencia llamada Matemática. La idea
central de esta propuesta curricular era la enseñanza de las estructuras
matemáticas, tales como la de espacio vectorial. A partir de esta reforma se
produjo una “algebrización” del currículo. Es decir, el álgebra, entendida como
el estudio de las estructuras, pasó a ocupar el lugar central. Tenemos entonces
que el conocimiento del álgebra y la trigonometría así como de su didáctica
constituye un conocimiento fundamental para ser un buen profesor de
matemáticas.
En términos generales, tenemos que las lecturas están organizadas en el
mismo orden de las lecciones a las que corresponden. Aunque a lo largo de las
lecciones se hace referencia a lecturas tratadas en otras lecciones. Podemos decir
que la Lectura 1 se corresponde con la Lección 1. En esta lectura se trata las
concepciones que los niños y niñas tienen del signo de igualdad. La
comprensión del significado del mismo es vital para el aprendizaje del álgebra.
La Lectura 2 corresponde a la Lección 2. En esta lectura se introduce al lector a
la consideración del acceso a oportunidades de estudio del álgebra en la escuela
como un derecho civil. Como se verá en la lectura, en ésta se plantea una
situación muy particular al sistema escolar estadounidense. Sin embargo, en ella
se mencionan asuntos que nos ayudan a reflexionar sobre nuestros propios
problemas de injusticia social en la escuela y el papel que juegan las
matemáticas en la promoción de esa injusticia. Las lecturas 3 y 4 están
relacionadas con la Lección 3. En esta lectura se tratan las diferentes
3
concepciones del álgebra así como los diferentes usos de las variables en esta
rama de las matemáticas. Usiskin sostiene que nuestra manera de concebir la
enseñanza del álgebra en la escuela está influenciada por estas concepciones y
usos. El contenido de la Lectura 4 tiene que ver con el desarrollo del
pensamiento algebraico en los primeros grados. Esta lectura complementa a la
anterior en el sentido que en ella se discuten asuntos relacionados con las
estrategias que usan los estudiantes para resolver problemas de matemáticas.
Con esta lectura completamos entonces una discusión acerca de concepciones
del álgebra, usos de las letras en álgebra y las estrategias que usan los
estudiantes para resolver problemas. La Lectura 5 se corresponde con la Lección
7 y está dedicada a una nueva concepción del álgebra escolar. Picciotto y Wah
plantean que resolver el problema del aprendizaje del álgebra pasa por cambiar
nuestras concepciones de la misma. No se trata entonces de continuar enseñando
lo que tomamos hoy por álgebra a todos los estudiantes. La Lectura 6 está
relacionada con la Lección 10. En esta lectura se presenta un panorama general
de la enseñanza y aprendizaje del álgebra desde el preescolar hasta el último año
de la educación secundaria. Una vez nos encontramos con una lectura que nos
presenta el problema de la enseñanza y el aprendizaje del álgebra en los Estados
Unidos. Esto se debe en parte a que en ese país se produce una gran cantidad de
investigaciones en este campo y se genera una variedad enorme de propuestas
curriculares. Nuestros programas se han diseñado bajo la influencia de los
Estados Unidos desde los años veinte del siglo pasado. Por tanto, es importante
conocer las propuestas curriculares y las investigaciones en didáctica del álgebra
y la trigonometría que en ese país se generan. Por último, tenemos la Lectura 7
la cual está asociada a la Lección 11. En esta lectura retomamos el problema de
la enseñanza del álgebra en relación con la transición desde la aritmética. Al
discutir este asunto, la transición de la aritmética al álgebra, se retoman algunas
de las ideas ya discutidas en lecturas anteriores, tales como los distintos usos de
las letras o variables en el álgebra. A continuación mostramos en una tabla la
correspondencia entre las lecturas y las lecciones.
Las lecturas incluidas en esta selección deben ser consideradas como un
todo. Ellas se complementan unas a las otras. La lectura de cada una tal vez le
lleve a reconsiderar las lecturas anteriores. Esperamos que le sean de utilidad
para comprender mejor los procesos de enseñanza y aprendizaje del álgebra y la
trigonometría en la escuela.
Las lecturas 1, 3, 4, 5 y 6 fueron traducidas por María Eugenia Pirela y
las lecturas 2 y 7 fueron traducidas por Noemy Gómez. La selección de las
lecturas, la revisión técnica de todas las traducciones, así como la diagramación
y las gráficas, son de mi responsabilidad.
Julio Mosquera
Lectura 1
Comprensión del Signo de Igualdad en los Niños: El
Fundamento del Álgebra*
La Comprensión de los Niños de la Igualdad: El Fundamento del Álgebra
Muchas escuelas estadales y distritales, así como Los Principios y
Estándares para las Matemáticas Escolares: Versión para Discusión (Principles
and Standars for School Mathematics: Discussion Draft) (NCTM 1998)
recomiendan que el álgebra sea enseñada en los años de la primera infancia.
Aunque los niños pequeños con frecuencia entienden mucho más de lo que se
tradicionalmente cree, los adultos pueden tener problemas conceptualizando lo
que constituiría álgebra apropiada para la primera infancia. En la actualidad 15
profesores y tres universidades están involucradas en un proyecto para definir lo
que la instrucción del álgebra puede y debe ser para niños pequeños. En este
artículo, analizamos el concepto de igualdad, la cual es una idea crucial para el
desarrollo del razonamiento algebraico en niños pequeños.
Errores o Falsas Ideas acerca del Signo Igual
No obstante los profesores frecuentemente usan el signo igual con sus
estudiantes, es interesante explorar lo que los niños entienden acerca de igualdad
y el signo igual. Al comienzo de este proyecto muchos profesores les pidieron a
sus estudiantes que resolvieran el siguiente problema:
8+4=+5
Al inicio este problema parecía trivial para muchos profesores. Por
ejemplo, una profesora de sexto grado dijo: “Seguro, colaboraré y le pondré este
problema a mis estudiantes, pero no tengo idea porque esto será de interés para
ustedes”. Esta profesora halló que sus veinticuatro estudiantes pensaron que 12
era la respuesta que debía ir en el cuadro. Ella encontró este resultado tan
interesante que antes de que pudiéramos ponernos en contacto con ella, le pidió
a los otros profesores de sexto grado que les pusieran este problema a sus
estudiantes. Como se muestra en la tabla 1, los 145 estudiantes de sexto grado a
quienes se les dio el problema pensaron que bien 12 o 17 debían en el cuadro.
¿Por qué tantos estudiantes tienen dificultades con este problema?
Claramente, los niños tienen una comprensión limitada de la igualdad y del
*
Falkner, K. 1999). Children’s understanding of equality: A foundation for algebra.
Teaching Children Mathematics, 232-236.
5
6  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
signo igual si piensan que 12 o 17 es la respuesta que va en el cuadro. Muchos
niños pequeños, sin embargo, comprenden como modelar una situación que
involucra hacer las cosas iguales. Por ejemplo, Mary Jo Yttri, una maestra de
kindergarten, les puso a sus estudiantes el problema 4 + 5 =  + 6. Todos los
niños pensaron que 9 debía ir en el cuadro. Yttri entonces modeló esta situación
con los niños. Juntos, hicieron una pila de cuatro cubos, luego una pila de cinco
cubos. En otro espacio hicieron pilas de nueve y seis cubos. Yttri les preguntó a
los niños sí cada conjunto tenía el mismo número de cubos. Los niños sabían
que el conjunto no tenía el mismo número de cubos y fueron capaces de decirle
a la maestra como podían hacer que ambos agrupamientos tuvieran el mismo
número de cubos. Sin embargo, aun después de realizar esta actividad los niños
pensaban que 9 debían ir en el cuadro de la ecuación.
Este incidente sorprendió a Yttri y a los investigadores. Ellos habían
pensado que los niños de kindergarten tendrían poca experiencia con el signo
igual y no se habrían formado las falsas ideas acerca de la igualdad, demostrada
por niños más grandes. Sin embargo, aun los niños de kindergarten parecen tener
concepciones erróneas estables acerca del significado del signo igual que no se
eliminan con uno o dos ejemplos o una simple explicación. Este incidente
también demuestra que niños tan jóvenes como los de edad de kindergarten
tienen una comprensión adecuada de situaciones de igualdad que involucran la
compilación de objetos pero tienen dificultades para relacionar esta comprensión
con representaciones simbólicas que involucran el signo igual. Un esfuerzo
concertado por un período extendido es requerido para establecer las nociones
apropiadas de igualdad. Los docentes también deben preocuparse por las
concepciones de los niños de igualdad tan pronto como sean introducidos
símbolos para operaciones de números repetitivas. Otras falsas ideas acerca de la
igualdad pueden hacerse firmemente intrincadas (ver "Acerca de las
Matemáticas” p. 234).
Behr, Erlwanger y Nichols (1975); Erlwanger y Berlanger (1983); y
Anenz-Ludlow y Walgamuth (1998) han documentado, generalmente los niños
en la primaria piensan que el signo igual significa que debería realizar el cálculo
que lo precede y después del signo igual está la respuesta. Los niños de primaria
generalmente ven el signo igual como un símbolo que se refiere a la relación "es
lo mismo que".
No hay mucha variedad evidente en como el igual es usado típicamente
en la escuela primaria. El signo igual se coloca al final de una ecuación y sólo un
número viene después de él. Con frases numéricas tales como 4 + 6 = 10 ó 67 10 - 3 = 54, los niños están en lo correcto en pensar en el signo igual como un
signo para calcular.
Primero y Segundo Grado
Karen Falkner en la actualidad enseña en Primero y Segundo Grado. Los
niños usualmente están en la clase por dos años. El resto de este artículo muestra
Lectura 1  7
como los niños en esta clase han progresado en su comprensión de la igualdad
en el último año y medio.
Por algún tiempo, la resolución de problemas sobre anécdotas ha sido
una parte integral de la enseñanza de las matemáticas en la clase de Falkner. Con
regularidad a los estudiantes se les pide que escriban expresiones numéricas que
muestren como resuelven problemas sobre anécdotas. Falkner espera que sus
estudiantes sean exitosos, en consecuencia, al principio cuando ella le pidió a sus
estudiantes que resolvieran la expresión numérica 8 + 4 =  + 5. Para su
sorpresa los estudiantes respondieron como la investigación indicó que lo harían.
La mayoría coloco 12 en el cuadro y algunos extendieron la expresión añadiendo
= 17. La discusión que prosiguió fue interesante. La mayoría dijo que 12 debería
ir en el cuadro porque “ocho mas cuatro es igual a doce”. El siguiente pasaje
ilustra la discusión que tuvo lugar en clase después de que los estudiantes habían
trabajado el problema.
Tabla 1. Porcentaje de niños que produjeron diversas soluciones a 8 + 4 = + 5
Respuestas dadas
Grados
Número
de niños
7
12
17
12 y 17
otras
1
0
79
7
0
14
42
1y2
6
54
20
0
20
84
2
6
55
10
14
15
174
3
10
60
20
5
5
208
4
7
9
44
30
11
57
5
7
48
45
0
0
42
6
0
84
14
2
0
145
Falkner: ¿Es lo mismo 8 + 4 que 12 + 5?
Anna: No
Falkner: Entonces ¿por qué colocaste 12 en el cuadro?
Anna: Porque 8 + 4 es igual a 12, ¿lo ve? (contando con sus dedos, muchos de
los niños asintieron con la cabeza).
Falkner: ¿Alguien tiene otra respuesta?
Adam: Es 7
Falkner: ¿Por qué?
Adam: Porque hay que tener la misma cantidad a cada lado del signo igual. Eso
es lo que significa el signo igual.
Falkner: Ya veo Adam, ¿podrías repetir eso? (Adam repite su explicación. Otros
niños, consideran a Adam un líder de clase, lo escuchan atentamente).
8  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Falkner: (señalando las expresiones numéricas en el pizarrón) Entonces Adam
tú dices que el signo igual significa que no obstante la cantidad que esté de un
lado del signo igual, la misma cantidad tiene que estar en el otro lado del signo.
(Mirando al resto de la clase) ¿Qué piensan acerca de lo que dijo Adam?
Anna: Si pero tiene que ser 12, porque 8 + 4 es igual a 12.
Dan: No, Adam tiene razón. Lo que sea que esté de un lado del signo igual tiene
que igualar lo que esté del otro lado 8 + 4 = 12 y 7 + 5 = 12, así que 7 va en el
cuadro.
La clase se fajó con este problema por algún tiempo. El signo igual es
una convención, el símbolo escogido por los matemáticos para representar la
noción de igualdad. Como no existe ninguna explicación lógica por la que el
signo igual no signifique “calcular”, Falkner pensó que era apropiado decirle a la
clase que ella estaba de acuerdo con Adam y con Dan. Sin embargo, decirle a la
clase lo que el signo igual significaba no era suficiente para que muchos niños
estuvieran en capacidad de adoptar el uso estándar del signo.
Entonces Falkner optó por desarrollar la comprensión de sus estudiantes
del signo igual a través de análisis de expresiones numéricas de verdadero y
falso; estos análisis están basados en el trabajo de Robert Davis (1964). Falkner
presentó expresiones numéricas, similares a las siguientes a sus estudiantes y les
preguntó si las expresiones numéricas eran verdaderas o falsas:
4+5=9
12 – 5 = 9
7=3+4
8 + 2 = 10 + 4
7 + 4 = 15 - 4
8=8
Las reacciones de los niños fueron interesantes. Todos estuvieron de
acuerdo en que la primera expresión era verdadera y en que la segunda era falsa.
Pudieron probar estas aseveraciones por varios medios. Estuvieron menos
seguros acerca de las expresiones restantes.
Falkner: ¿Qué hay acerca de esta expresión 7 = 3 + 4, es cierta o falsa? (intentos
de librarse de hacerlo alrededor, caras de alarma y refunfuños de la clase)
Gretchen: Si, 3 + 4 es igual a 7.
Ned: Pero la expresión esta mal.
Anna: Esta al revés.
Falkner: Pero Adam nos ha dicho que el signo igual significa que la cantidad de
cada lado del signo tiene que ser igual. ¿Eso es cierto aquí?
Anna: si, pero esta en el sentido incorrecto.
Lectura 1  9
Falkner: tratemos esto (ella modela el problema dándole a un niño siete cubos
Unifix * en una pila y pidiéndole que se parara a un lado de ella. Le dio a otro
niño una pila de cuatro cubos Unifix para una mano y una pila de tres para la
otra mano. Ese niño está parado al otro lado de ella. Ahora, ¿estos niños tienen
la misma cantidad de cubos?
Clase: Si.
Falkner: ¿Hace alguna diferencia a cual de mis lados ellos se paren? (ella les
pide que se cambien de lugares, lo cual ellos hacen)
Clase: No, pero…
Como pueden imaginarse, la cuarta expresión numérica causó confusión
a muchos niños. Algunos niños creyeron que la expresión numérica era cierta
porque 8 + 2 es igual a 10. Los niños que tienen una firme comprensión de la
igualdad estuvieron en capacidad de explicar que esta expresión numérica no era
verdad porque 8 + 2 es 10 y 10 + 4 es 14 y 10 no es lo mismo que 14.
Cuando Falkner llegó a la última expresión, 8 = 8, la clase estaba
bastante perturbada. Anna habló por los estudiantes cuando dijo: “bueno, si,
ocho es igual a ocho, pero usted no debería escribirlo de esa forma”. Durante las
pocas semanas de clases restantes, Falkner continuó dándoles problemas con el
signo igual en varios ubicaciones a sus estudiantes.
El Año Siguiente
En otoño, Falkner puso el mismo problema, 8 + 4 =  + 5, a su clase.
Unos pocos, pero no todos, de los niños quienes habían estado en el salón la
primavera anterior resolvieron el problema correctamente. Muchos nuevos en el
primer grado orgullosamente colocaron 12 en el cuadro; otros miraron la
expresión confundidos y pidieron ayuda. Una discusión similar a la de la
primavera siguió. Esta vez, sin embargo, unos pocos niños entendieron la noción
de igualdad y entusiasmados explicaron por qué el número 7 correspondía al
cuadro. Lilie dio la explicación más enérgica: “El signo igual significa que tiene
que ser parejo. La cantidad tiene que ser la misma en cada lado del signo igual
(gesticulando con las manos) es como un subibaja, tiene que estar nivelado".
Esta discusión de clase fue la primera de varias acerca de expresiones
numéricas similares abiertas. Cada discusión tenía niños dudosos, así como
niños que una vez más explicaron la idea de que cada lado del signo igual tenía
que "igualar" la misma cantidad. Mientras Falkner escuchaba las discusiones,
notó quien hablaba y observó las expresiones faciales, parecía que los niños
empezaban a asir esta noción de igualdad pero que el concepto no era fácilmente
o rápidamente comprendido. Falkner estaba convencida que la noción de
*
Los “cubos Unifix” es un material instruccional manipulable que consiste de un juego
de cubos de varios colores que se pueden encajar uno con otros por varias de sus caras.
10  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
igualdad tomaría algún tiempo para ser comprendida por todos los niños, y
regresaba a ella con frecuencia mientras transcurría el año.
Falkner integró la discusión de igualdad a lo largo del año escolar de dos
maneras. La primera continuó presentando expresiones numéricas abiertas en las
cuales ella modificaba la ubicación de la incógnita. Algunos ejemplos de estas
expresiones numéricas abiertas incluían lo siguiente:  = 9 + 5, 7 + 8 =  + ___
(ilegible) y 7 +  = 6 + 4. La segunda, presentó expresiones numéricas de
verdadero y falso, como las de los ejemplos, para alentar a los niños a
reflexionar sobre el significado del signo igual. También hizo que los niños
escribieran sus propias expresiones numéricas de verdadero o falso. Las tareas
que Falkner uso para construir la comprensión de los niños de la igualdad
también fueron tareas para construir su comprensión de operaciones numéricas.
Mientras el año trascurría, más y más niños comenzaron a comprender
la igualdad. En marzo la clase tenía la siguiente discusión:
Falkner: observen esta expresión numérica: 8 + 9 =  + 10. ¿Que debería ir en
el cuadro?
Carrie: Debería ser 17
Skip: Pero 8 + 9 es igual a 17, y 17 + 10 sería igual a 27, así que no está bien
colocar 17 en el cuadro.
Myra: Creo que debe ir 7 en el cuadro, 7 + 10 es 17 y 8 + 9 es 17. Ambos lados
están parejos. (Hay consenso general en la clase, aunque Carrie aun no está
convencida).
Falkner: Piensen acerca de lo que sabemos sobre el signo igual. Observen esta
expresión numérica: 4898 + 3 = 4897 + . ¿Pueden solucionar esta sin hacer la
suma?
Larry: Creo que 4 va en el cuadro, 4897 es 1 menos que 4898, así que se
necesita añadir 1 más a 3.
Falkner: ¿Alguien lo hizo de manera diferente? (Los niños sacuden las cabezas.
En general la clase concuerda que la manera de Larry da la respuesta correcta y
es fácil).
Tales discusiones acerca de expresiones numéricas les dan a los niños
un contexto importante para analizar la igualdad a lo largo del año escolar. A
medida que el año progresa, discusiones acerca de la igualdad se integran a las
discusiones sobre otros conceptos aritméticos algebraicos. En el siguiente
ejemplo, los niños analizan problemas mucho más sofisticados que involucran
una comprensión de variables y operaciones, así como la igualdad.
Falkner le pidió a la clase que observara la expresión a = b + 2. Ella les
dijo que la expresión era verdad y le preguntó a la clase ¿cual era mayor a o b?
Los niños que piensan en el signo igual como una señal para hacer algo tendrán
Lectura 1  11
dificultades con este problema. En virtud de que 2 es sumado a b y a nada es
adicionado a a, ellos pueden pensar que b es mayor. Primero la clase estuvo de
acuerdo en que a y b eran símbolos para variables, igual que lo eran un cuadro o
un triangulo. Luego la clase rápidamente estuvo de acuerdo en que a era mayor
y sus argumentos para tal posición indicaban claramente una sofisticada
comprensión de la igualdad.
Falkner: ¿Por qué piensan que a es mayor?
Anna: Ellos dividieron la b y 2 aparte; a los reúne a ambos.
Jerry: Creo que a (es mayor), Eso más 2 es parte de a.
Myra: Si, a tiene que ser mayor porque lo que sea b + 2 tiene que ser mayor que
b, porque se combinan los dos.
Anna: Exacto, a tiene en sí mismo el +2 y b no.
Lillie: Juntos ellos tiene que ser iguales; b+2 tiene que ser igual que a.
Conclusión
Discusiones como estas, las cuales involucran una cantidad siempre
creciente de niños, indica que los niños han aprendido a ver el signo igual como
un símbolo descriptivo de una relación en lugar de una señal para “hacer algo”.
En vista de que este artículo fue escrito antes del fin del año escolar, no hemos
recolectado el sumario de la data de la comprensión de los niños del problema 8
+ 4 =  + 5 en esta clase. Sin embargo, en un estudio piloto que involucra
salones de clase de Primero y Segundo Grado similares, en la misma ciudad,
encontramos que al final del año, catorce de dieciséis niños respondieron
correctamente que 7 debía ir en el cuadro.
Como un reflejo de nuestra introducción a la noción de igualdad y del
signo igual a esta clase y otras, continuamos asombrados por el interés y
emoción que los niños traen a las discusiones. Lillie usa su metáfora del subibaja
con el entusiasmo de un niño listo para jugar en uno. Skip esta genuinamente
escandalizado de que alguien llene el cuadro de modo que la ecuación se lea 17
= 27. Esto no son los comentarios aburridos de niños esperando el recreo, sino
las contribuciones entusiastas de niños que están explorando un nuevo mundo de
pensamiento y comunicación matemática y que están disfrutando el poder de ese
nuevo conocimiento. Estos niños están desarrollando una comprensión de la
igualdad mientras aprenden sobre números y operaciones. Esta comprensión les
permitirá reflexionar sobre ecuaciones y fijará bases firmes para el aprendizaje
posterior del álgebra.
12  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Acerca de las Matemáticas
Los niños deben entender que la igualdad es una relación que expresa la
idea de que dos expresiones matemáticas tienen el mismo valor. Es importante
para los niños comprender esta idea por dos razones: La primera, los niños
necesitan esta comprensión para pensar en relaciones expresadas mediante
expresiones numéricas. Por ejemplo, la expresión numérica 7 + 8 = 7 + 7 + 1,
expresa una relación matemática que es central para la aritmética. Cuando un
niño dice: “no recuerdo cuanto es 7 + 8, pero recuerdo que 7 mas 7 son 14 y 1
mas harían 15", el o ella está explicando una relación muy importante que es
expresada mediante una expresión numérica. Los niños que entienden la
igualdad tendrán una forma de representar dichas ideas aritméticas. Un niño que
tiene muchas oportunidades para representar y reflexionar sobre dichas
expresiones numéricas como 17 – 9 = 17 - 10 + 1 podría estar en capacidad de
usar el mismo principio matemático para resolver problemas más difíciles, tales
como 45 – 18, expresando 45 – 18 = 45 – 20 + 2. Este ejemplo muestra las
ventajas de integrar la enseñaza de la aritmética con la enseñanza del álgebra.
Haciendo eso, los profesores pueden ayudar a los niños a aumentar su
comprensión de la aritmética al tiempo que aprenden conceptos algebraicos.
Una segunda razón por la que la comprensión de la igualdad como una
relación es importante, es que la falta de dicha comprensión es una de los
mayores obstáculos con los que tropiezan los estudiantes cuando pasan de la
aritmética al álgebra (Kieran 1981; Matz 1982). Considere por ejemplo la
ecuación 4x + 27 = 87. ¿Cómo comienza resolver esta ecuación? Su primer paso
probablemente involucre restarle 27 a 87. ¿Por qué podemos hacer eso?
Podemos hacer eso porque restamos 27 de ambos lados de la ecuación. Sí el
signo igual significa una relación entre dos expresiones, tiene sentido que si dos
cantidades son iguales, entonces 27 menos de la primera cantidad iguale 27
menos de la segunda cantidad. Que pasa con los niños que creen que el signo
igual significa que deben hacer algo. ¿Qué oportunidad tienen de estar en
capacidad de entender la razón de que sustrayendo 27 de ambos lados de una
ecuación mantiene la relación de igualdad? Estos estudiantes sólo pueden tratar
de memorizar una serie de reglas para resolver ecuaciones. En virtud de que
dichas reglas no están arraigadas en comprensión, los estudiantes probablemente
las recordaran de forma incorrecta y no estarán en capacidad de aplicarlas
flexiblemente. Por estas razones, los niños deben comprender que la igualdad es
una relación más que una señal para hacer algo.
Lectura 2
Ecuaciones Radicales
¿Álgebra y Derechos Civiles?
Para que podamos, en nuestra condición de gente pobre y
oprimida, convertirnos en parte significativa de la sociedad, el
sistema bajo el que actualmente existimos debe cambiar
radicalmente. Esto significa que vamos a tener que aprender a
pensar en términos radicales. Utilizo el término radical en su
significado original – dirigir la atención a la causa fundamental
y comprenderla. Esto significa hacer frente a un sistema que no
se presta a sus necesidades e idear los medios por los cuales se
cambia ese sistema. Esto es más fácil decirlo que hacerlo. No
obstante, en el proceso de querer cambiar ese sistema, una de las
cosas que hay que enfrentar es cuánto tendríamos que hacer
para descubrir quiénes somos, de donde venimos y hacia dónde
vamos... Estoy diciendo lo que ustedes deben decir, también, que
para ver hacia donde vamos, no solo debemos recordar dónde
hemos estado, sino que debemos entender donde hemos estado.
Ella Baker
Las manifestaciones de protesta me hicieron despertar.
Hasta entonces, mi vida de negro se debatía en un conflicto. Yo era un
profesor de veintiséis años en Horace Mann, una escuela privada elitesca del
Bronx, que me movía de un lado al otro entre los mundos fuertemente
contrastantes del colegio universitario de Hamilton, la universidad de Harvard,
Horace Mann, y Harlem.
Las manifestaciones de desobediencia civil en las cuales la población
negra ocupaba asientos y se negaba a moverse me golpearon con fuerza, tanto en
el alma como en la mente. Estaba hipnotizado por las imágenes que veía casi
todos los días en las primeras páginas del New York Times - rostros negros
jóvenes y comprometidos, sentados en las barras donde se sirven almuerzos o
formando piquetes, abiertamente y con gran dignidad, desafiando la supremacía
de los blancos en el sur. Su apariencia reflejaba mi sentir.
Fue precisamente el movimiento de protesta lo que me condujo a
Mississippi por primera vez en 1960. Y ese viaje cambió mi vida. Volví a ese
estado al año siguiente y durante los cuatro años siguientes, me fui
transformando en la medida en que participé en el movimiento de registro de
votantes en ese estado. Las grandes campañas de protesta, identificadas así con
13
14  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
el Dr. Martin Luther King, Jr., se arremolinaban a nuestro alrededor, inspirando
a inmensas muchedumbres en amplios espacios públicos. Sin embargo, junto
con los estudiantes del movimiento de protesta en Mississippi, me sumergí y me
comprometí con la tradición más antigua pero menos conocida de la
organización de la comunidad. A mi modo de ver, Ella Baker, quien ayudó a
fundar la organización del Dr. King, simboliza esa tradición organizativa
representada por un trabajo callado en lugares remotos y el compromiso de
acción sostenida de los organizadores en las comunidades locales.
Ella fue nuestra “fundi”. En Tanzania, en donde viví por un tiempo en
los años 70, la palabra fundi de origen suahili es un concepto que indica
transmitir el conocimiento a través del contacto directo con las personas que son
fundis -- artesanos e instructores expertos. Ella Baker, al igual que otros, fue
nuestra fundi en la tradición de organización de la comunidad. Partiendo de otra
tradición africana, siento la necesidad de mencionar los nombres de al menos
algunos de estos líderes adultos e importantes de los pueblos negros de origen
rural que dieron forma no solamente al movimiento de los derechos civiles de
Mississippi, sino también al movimiento de los derechos civiles de la región del
sur, en su totalidad: Amzie Moore, Fannie Lou Hamer, Hartman Turnbow, Irene
Johnson, Victoria Gray, Vernon Dahmer, Unita Blackwell, Henry Sias, Aylene
Quin, C. 0. Chinn, C. C. Bryant, Webb Owens, E. W. Steptoe, Annie Devine, y
Hazel Palmer. Su labor, que también me educó a mí y a otra gente joven, cambió
el contexto político de un estado, y de la nación. Ellos fueron lo que nosotros
somos ahora.
En esos días, por supuesto, el tema principal fue el derecho al voto, y el
problema era el acceso político. El registro de los votantes no era de ninguna
manera el único asunto por el que podíamos luchar, pero era un problema crucial
y urgente: La gente negra no tenía un control verdadero sobre sus vidas políticas,
y era el tiempo propicio para organizar un movimiento que permitiera cambiar
esta situación. Existía un consenso sólido sobre el tema de ganar el derecho al
voto, y el movimiento para el registro de votantes – especialmente en donde se
desarrolló en la franja negra del Sur, captó la imaginación de los
estadounidenses, especialmente de los afroamericanos. De este modo, por un
período corto de tiempo, como había un acuerdo entre todas las personas que
actuaban para cambiar a Mississippi, pudimos obtener los recursos y captar
gente de todo el país para que fueran a trabajar con nosotros en un programa
común para obtener el voto. Hubo un consenso que estableció las bases para la
estrategia y la acción.
Hoy quisiera hacer mis comentarios sobre el problema social más
urgente que afecta a la gente pobre y a la gente de color que es el acceso
económico. En el mundo actual, el acceso económico y la ciudadanía plena
dependen de manera decisiva de las habilidades matemáticas y científicas. Creo
que la ausencia de conocimientos matemáticos en comunidades urbanas y
rurales de este país es un problema tan urgente como lo fue la falta de votantes
Lectura 2  15
negros registrados en Mississippi en 1961. Creo además que podemos conseguir
la misma clase de consenso que tuvimos en los años 60 para hacer un esfuerzo
por enmendar esta situación. Y creo que para solucionar este problema se
requiere exactamente del tipo de organización de la comunidad que cambió el
Sur en los años 60. Este ha sido mi trabajo -- y el del Proyecto Álgebra – en los
últimos veinte años.
Sé cuán extraño puede sonar el decir que la instrucción de
conocimientos matemáticos -- y el álgebra en particular – es la llave para el
futuro de las comunidades privadas de derechos civiles, pero eso es lo que
pienso, y creo con todo mi corazón. Permítame decirle cómo y por qué.
CÓMO LLEGARON LAS MATEMÁTICAS A CONVERTIRSE EN EL
CAMPO DE BATALLA DE LOS DERECHOS CIVILES
Cuando vine por primera vez a Mississippi, la mayoría de la gente negra
que vivía en esa tierra rica en algodón ubicada en el Delta – en la que ellos
constituían la mayoría de la población - trabajaba como servidumbre en las
plantaciones. No tenía ningún control sobre su vida política, su vida económica,
ni su vida educativa. Dentro de la sociedad industrializada de Estados Unidos, se
había permitido el crecimiento de un microcosmos de servidumbre. El
movimiento de los derechos civiles utilizó el voto y el acceso político para
intentar acabar con esa situación.
Estamos desarrollando hoy en día comunidades de siervos similares
dentro de nuestras ciudades. Esto comenzó a hacerse manifiesto en la medida en
que el movimiento de los derechos civiles del sur obtenía algunos de sus logros
más importantes. En 1965, Los Ángeles y otras áreas urbanas hicieron explosión
por tan sólo un segundo y todos se preocuparon por el tema. Los que vivimos en
esas áreas hoy en día estamos viendo cómo implosionan todo el tiempo. La
violencia y la criminalidad hacen que la gente se devore entre sí. La mayor parte
de lo que se propone en respuesta son “paños calientes”- construir más cárceles,
poner más policías en la calle. Eso implica tratar de resolver el problema de la
forma errada.
Lo fundamental en estos momentos es la necesidad de acceso
económico; el proceso político se ha abierto -- no hay barreras formales al voto,
por ejemplo, pero el acceso económico, aprovechándose de las nuevas
tecnologías y de la oportunidad económica, exige tanto esfuerzo como la lucha
política que se requirió en los años 60.
Se ha producido un gran cambio tecnológico que ubica la necesidad de
instrucción matemática como uno de los pilares fundamentales de toda
actividad. Tomemos por ejemplo el caso de dos máquinas que fueron muy
significativas a mediados del siglo XX y cuánto ha cambiado la sociedad desde
que fueron creadas. .
16  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
La plantación Hopson, a unas millas al sur de Clarksdale en la Carretera
49 (Highway 49), es una de las más grandes y más viejas de Mississippi. En
nuestro trabajo pasábamos a menudo por allí, en los años 60, sin estar
conscientes de su significado. En una parte de los terrenos de la plantación,
apenas a cierta distancia de la carretera principal a las orillas de un riachuelo y
cerca de una granja de cerdos, hay una vieja máquina oxidada, una de las
primeras máquinas algodoneras, usadas en el estado de Mississippi. En una señal
vieja situada en las cercanías se dice que el 2 de octubre de 1944, la plantación
de Hopson fue el sitio en el que se hizo la primera demostración de una máquina
algodonera de funcionamiento seguro. Ese día, una muchedumbre de casi tres
mil aparceros, terratenientes, y gente del pueblo se reunieron para mirar ocho
máquinas de rojo brillante recogiendo la cosecha en un campo de algodón.
Cada máquina recogió cerca de mil libras en una hora. Un bracero que
haga bien su trabajo podría recoger cerca de veinte a treinta libras de algodón
por hora. En ese primer día las máquinas recogieron todo el algodón que había
en el campo, unas sesenta y dos balas. En dólares y centavos de dólar, según los
cálculos notablemente exactos de Howell Hopson, el dueño de la plantación, el
costo de recolección del algodón con máquinas era de $5,26 mientras que el
costo de recogerlo a mano era de $39,41.
Luego, en una nota, Hopson hizo la comparación de la introducción de
la nueva máquina segadora con la introducción de la despepitadora de algodón
hace más de dos siglos. Pero Hopson restó importancia a las implicaciones
sociales de la máquina nueva. Al acelerar el procesamiento del algodón en rama,
la despepitadora de algodón había dado origen a la demanda de mano de obra
barata que fue cubierta por la esclavitud y servidumbre proveniente de África.
La aparcería dio continuidad a relaciones fundamentales de la esclavitud tales
como la mano de obra negra, el poder blanco. Aunque la esclavitud fue abolida,
en las décadas posteriores a la Guerra Civil todas las leyes y las autoridades
policiales del Estado estaban orientadas a asegurar que la vida económica de los
negros se restringiera al trabajo en los campos de algodón; y a que no se previera
ninguna otra posibilidad. La segregación en este sentido de la dependencia en la
mano de obra negra era una cuestión de supervivencia económica para los
blancos en estados como Mississippi. Con la cosechadora mecánica de algodón,
esta realidad cambió. Y este hecho no solamente comenzaría lentamente a
cambiar la economía de Mississippi, sino también su política. Dicho de una
manera simple, el trabajo manual negro llegó a ser cada vez más innecesario. La
cosechadora mecánica de algodón fue quizás la razón más importante por la que
el Consejo de Ciudadanos Blancos (White Citizens Council) pudo impulsar la
“exportación” de gente negra fuera del estado después de la decisión del
Tribunal Supremo de 1954 con muy poca objeción de parte de los grandes
dueños de plantaciones. La necesidad económica dejó de ser un factor limitante
frente a la virulencia del racismo blanco.
Lectura 2  17
La máquina recolectora de algodón era parte de una mayor
transformación tecnológica que afectaría la nación entera. El año antes de que el
algodón fuera recogido por primera vez con máquinas en Mississippi, en la
Universidad de Pensilvana el ejército de Estados Unidos contrató a algunos de
los mejores ingenieros de la escuela para desarrollar una máquina electrónica
con el fin de calcular las configuraciones usadas por las armas de artillería para
mejorar la precisión. El resultado fue la creación del Integrador y Computador
Electrónico Numérico (ENIAC, según sus siglas en inglés) que fue la primera
computadora programable del mundo. Era una máquina monstruosa, pesaba
treinta toneladas, medía diez pies de alto y ochenta pies de ancho y contaba con
más de dieciocho mil tubos de vacío o tubos electrónicos reemplazables. Aunque
tenía mucho menos capacidad que las computadoras portátiles típica de hoy en
día, ENIAC marcó el comienzo de la era de la computadora. Así como la
automatización y la cosechadora mecánica de algodón cambiaban los campos de
algodón y la agricultura del sur del país, igualmente, de manera inexorable, la
computadora llevó a que dejáramos de lado la línea de montaje al promover un
cambio en el trabajo que dejó de basarse en la tecnología basada en la industria
para pasar a la tecnología basada en las computadoras. Tanto en el campo como
en la fábrica, el Siglo XXI estaba siendo desarraigado.
Con la unión de la ciencia, la “alta” tecnología y el comercio, la
producción y la economía pasaron a ser dominadas por algo muy diferente a las
industrias de chimenea que surgieron en el siglo pasado. Entre los frutos de la
nueva tecnología estuvieron la fibra óptica, las computadoras y la electrónica,
los polímeros, “la investigación y desarrollo”, y una gama de tecnologías de la
información. Casi todo el que conduce un auto hoy en día conduce una
computadora rodante. Casi todas las personas que manejan un auto hoy en día lo
hacen conduciendo una computadora sobre ruedas Los fabricantes de autos de
Detroit ahora invierten más dinero en la instalación de computadoras y
microprocesadores dentro de los autos que en acero. En zonas industriales como
el área de Chicago, las plantas de acero y los mataderos cerraron o comenzaron a
trasladarse a otras áreas aproximadamente en el mismo momento en que la gente
comenzó a salir del Sur debido a la mecanización. El corredor industrial de las
grandes ciudades fabriles que se encuentran entre los Grandes Lagos y el
Atlántico que una vez impulsaron la economía adquirió un nuevo nombre: el
cinturón oxidado.
En vista de que ya no era tan necesario contratar a obreros para trabajar
en las líneas de montaje, aumentó la necesidad de contratar a lo que los
economistas han denominado “trabajadores del conocimiento”. Estos
trabajadores tienen habilidades técnicas relacionadas con las computadoras y
con la maquinaria automatizada, y habilidades interpersonales tales como la
capacidad de comunicarse con eficacia y de trabajar como parte de un equipo.
La necesidad de tales trabajadores continúa incrementándose al igual que sus
sueldos. La Asociación Estadounidense de Empresas Electrónicas (American
18  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Electronics Association, AEA) define a los trabajadores de alta tecnología como
aquellos que trabajan con computadoras, equipos electrónicos de consumo,
equipos de comunicaciones, componentes electrónicos, semiconductores,
electrónica industrial, fotónica, servicios del software, procesamiento de datos,
equipos electrónicos para la defensa. Esta industria pagó un total de $280 mil
millones en salarios entre 1997 y 1999 según la AEA. Voceros de la Asociación
señalaron que durante ese mismo período, los trabajadores de alta tecnología
ganaron 82 por ciento más de lo percibido por aquellos que trabajaban en otras
industrias.
El sesenta por ciento de los nuevos empleos requerirá habilidades que
habrán desarrollado sólo 22 por ciento de los jóvenes que se están incorporando
al mercado de trabajo. Estos trabajos requieren el uso de computadoras y en
ellos se paga alrededor de un 15 por ciento más que los trabajos que no lo
requieren. Y los trabajos que no requieren ese tipo de habilidades están
disminuyendo. Hoy en día, según informes del Departamento del Trabajo de
EEUU, 70 por ciento de todos los trabajos requiere la instrucción de la
tecnología; para el año 2010 todos los trabajos requerirán habilidades técnicas
significativas. Y si eso le parece inimaginable, considere este dato: el
Departamento del Trabajo afirma que el 80 por ciento de esos trabajos futuros
aún no existen. Sin embargo, ya existe una demanda para contratar a
trabajadores de alta tecnología. “Si vamos a hablar de una nube negra”, señaló a
un reportero el anterior presidente de AEA, Ed Bersoff, “tendríamos que decir
que de continuar la tendencia [y la industria tecnológica sigue creciendo],
debemos encontrar a un mayor número de trabajadores.” Se espera que el año
próximo, 1,3 millones de empleos en el sector de alta tecnología estén vacantes
y se prevé que la demanda de trabajadores con habilidades de alta tecnología se
duplique para el 2006.
Estas tendencias imponen nuevos requisitos en materia educativa y
resaltan un problema que no es nuevo. “El factor más importante que afecta la
producción de científicos, a largo plazo, es la terrible insuficiencia de nuestros
programas de educación de ciencia y matemáticas, a nivel de educación primaria
y secundaria”, según afirmó al Washington Post James J. Duderstadt, presidente
de la Fundación Nacional de la Ciencia. La función tradicional de la educación
matemática era identificar jóvenes brillantes con potencial en matemáticas y
encauzarlos hacia programas de matemáticas en los campus universitarios. El
proceso era casi autoselectivo. Antes de que pudieran sentirse atraídos por algo
interesante en el campo de las matemáticas, los estudiantes tenían que absorber
mucha matemáticas abstracta, a diferencia de, por ejemplo, los estudios sociales
o incluso de inglés, que en las manos de profesores creativos se podrían
presentar con eficacia y de manera interesante a través de la literatura, historias,
y acontecimientos. Estas materias no tenían que ser aburridas; mientras que se
esperaba que las matemáticas sí lo fueran.
Lectura 2  19
Y en la propia cultura, en nuestra cultura, la falta de conocimientos en
matemáticas es aceptable del mismo modo que es inaceptable el
desconocimiento de la lectura y la escritura. Se acepta que los estudiantes
reprueben matemáticas pero no en inglés. Los padres por lo general están atentos
a lo que ocurre con sus hijos si estos tienen problemas con el ensayo que deben
entregar al final del trimestre para su clase de inglés, o con el informe del libro
que le exigen, para cerciorarse de que lo estén escribiendo, y verificar la
ortografía y la gramática. Pero si un hijo está lidiando con una ecuación mientras
hace su tarea de álgebra, lo más probable es que su padre lo mire sobre su
hombro, arrugue la frente mostrando perplejidad, y luego diga algo como “Yo
nunca logré entender ese problema; haz lo mejor que puedas y trata de no
equivocarte.” Esto es un problema viejo. En efecto, la instrucción de la
matemáticas va descartando a los estudiantes ignorantes y los escogidos
terminan perteneciendo a una especie de sacerdocio formado por maestros de los
misteriosos secretos de las matemáticas gracias a lo que pareciera ser algún
talento o magia otorgado por Dios. Cuarenta por ciento de estudiantes que toman
cursos de cálculo para estudiantes del primer año en las universidades
estadounidenses no aprueban, Sin embargo, el no ser “bueno” en matemáticas de
ninguna manera implica inferioridad, más bien confirma que eres simplemente
como la mayoría de los estudiantes.
La relación de amor y odio que la gente negra tiene con la tecnología,
así como la presencia de escuelas pobres concentradas en comunidades negras
pobres incrementan el problema. Aunque la innovación tecnológica tiene raíces
profundas en la historia general del pueblo africano, tomemos por caso el
antiguo Egipto y algunos aparatos como el cigoñal; hay todo un historial de
inventores afroamericanos; incluso – según algunos - la idea de la despepitadora
de algodón fue esbozada por primera vez por un esclavo africano - en la mayor
parte de los últimos quinientos años la relación de la población negra con la
tecnología ha sido destructiva, y se ha convertido en una destrucción de
aspiraciones. La brújula condujo a los exploradores portugueses a África, las
armas de fuego ayudaron a conquistar el continente. El comercio de esclavos por
el Atlántico fue facilitado por la innovación en el diseño de las naves. Las
máquinas desplazaron al hombre que trabajaba en el campo, por lo que éstos se
fueron hacia el norte, y sus hijos fueron desplazados por una maquinaria de alta
tecnología más nueva.
Obviamente es una simplificación exagerada decir que la opresión negra
existe debido a la tecnología, por la invención de la carabela de tres mástiles, la
despepitadora, la máquina recolectora de algodón o la computadora. O decir que
esos zapatos deportivos de alta tecnología, anunciados por los jugadores de
baloncesto, son la causa de la delincuencia juvenil. Es necesario comenzar a
entender la tecnología; la gente negra no lo ha hecho así por lo que para la
mayoría es un problema. En los barrios marginales o en los pueblos rurales del
sur no hay mejoras en los garajes, con la ambición de diseñar algo mejor que
20  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Microsoft Windows. No hay ningún equivalente en programación por
computadora a las prácticas que se realizan todos los días en las canchas de
baloncesto o al mejoramiento diario del estilo rap por grupos de adolescentes. Es
incontable el número de jóvenes negros que desean convertirse en el próximo
Michael Jordan, o en Whitney Houston, o en Master P. Pocos tienen como meta
ser el próximo Steve Jobs u otro George Washington Carver. Los negros
conforman quizás 15 por ciento de la población de este país. En 1995,
obtuvieron el 1,8 por ciento de los doctorados en informática; 2,1 por ciento en
ingeniería; 1,5 por ciento en ciencias físicas; y 0,6 por ciento en matemáticas.
Oí recientemente el siguiente comentario que me hizo una mujer que
enseña matemáticas en la Universidad de Arkansas en Monticello. Ella me
comentaba que cerca del 80 por ciento de los estudiantes de primer año deben
tomar cursos de recuperación en matemáticas, en los cuales no pueden conseguir
créditos en la universidad. Otra persona, el jefe de un centro de asesoría
académica para estudiantes de las minorías en la Universidad de Kentucky en
Louisville, me informó que aproximadamente 90 por ciento de los estudiantes
pertenecientes a las minorías que ingresan a ese centro de estudios tuvieron que
tomar clases de recuperación de álgebra durante su primer año de estudios,
materia en la cual no consiguieron créditos. Un miembro del cuerpo docente de
la carrera de física experimental en Rutgers lamentaba recientemente la ausencia
de los estudiantes de las minorías en sus clases. Él comentaba: “Están en toda la
universidad, en las clases de recuperación”.
La tecnología industrial creó las escuelas que educaban a una élite para
que dirigiera la sociedad, mientras que el resto se preparara para el trabajo en las
fábricas realizando tareas repetitivas que imitaban lo que se hacía en las fábricas.
La nueva tecnología exige nuevos conocimientos: mayores destrezas
matemáticas para todos, tanto en las zonas urbanas como en las rurales. En el
almacén de un servicio de envíos del delta de Mississippi , que es la empresa que
genera más empleos en el área, por ejemplo, todos los montacargas tienen
computadoras. La compañía necesita trabajadores que entienden esas
computadoras y puedan decirles qué hacer para organizar mejor el trabajo.
La falta de conocimientos en matemáticas no es exclusiva de la
población negra como lo fue la negativa a otorgarle el derecho a voto en
Mississippi. Sin embargo, afecta de una manera mucho más intensa a la
población negra y a otros grupos minoritarios, convirtiéndolos en los siervos
designados de la era de la información, así como las personas con la que
trabajamos en los años 60 en las plantaciones eran los siervos de Mississippi.
Esta situación es apremiante. Piensen en las prisiones, la industria del
sector público que registra actualmente la tasa de más rápido crecimiento en este
país. Las filas de presos vienen creciendo cada año lo suficiente como para
llenar el estadio de los Yankees de Nueva York hasta desbordarlo. Una persona
que nazca este año tendrá una oportunidad en veinte de vivir una parte de su
Lectura 2  21
vida en la cárcel...a menos que sea negro, porque de ser así tendría una
oportunidad en cuatro. En su ensayo sobre “niños encarcelados”, los abogados
de Washington, D.C., José B. Tulman y Maria G. Hynes, tocan el tema de los
jóvenes en prisión: “en mayor porcentaje se trata de niños pobres, y de niños de
color.” Citan una relación entre la capacidad de leer y escribir y la prisión así
como entre la pobreza y la prisión. “Un alto porcentaje de jóvenes que se
encuentran recluidos en retenes y de adultos presos en penitenciarías son
personas con muy poca educación, y las habilidades de lecto-escritura en estas
poblaciones son muy bajas”.
Así pues hoy en día, como en los tiempos cuando el Partido Demócrata
por la Libertad de Mississippi (Mississippi Freedom Democratic Party, MFDP)
desafió a los demócratas de Mississippi en Atlantic City en 1964, siguen
planteándose la misma interrogante: ¿Cómo la gente que se encuentra en la parte
inferior de la pirámide social logrará salir de ese marasmo? En los años 60, en
Mississippi, eran los aparceros. En nuestros tiempos, a lo largo de todo el país,
son los estudiantes negros, latinos, y blancos pobres los que se encuentran
atrapados en el fondo con las prisiones haciendo las veces de plantaciones.
¿Tendremos una sociedad donde solamente un pequeño grupo de gente
esté preparado para el futuro, donde haya una gran brecha de conocimientos?
¿Cómo se estabiliza una sociedad como esa?
LAS MATEMÁTICAS COMO INSTRUMENTO DE LIBERACIÓN
La instrucción matemática y el acceso económico son la manera de dar
esperanza a las jóvenes generaciones. La lección que extraigo de la historia y de
las estadísticas que acabo de presentar es que la idea de ciudadanía requiere
ahora no solamente la instrucción en lectura y escritura sino la instrucción en
matemáticas y ciencia. Y la manera de garantizar esta instrucción necesaria es a
través de la educación concebida de una manera mucho más amplia que como
sucede en las aulas de clase.
Las nuevas tecnologías procesan la información a una velocidad y
cantidades sin precedentes, filtrándose en todas las partes no previstas de las
disposiciones económicas de la sociedad (de hecho, del mundo) -- piensen en la
relativa rapidez con la que las computadoras se han convertido en algo personal,
popular, y económico, creando de esta manera una demanda de trabajadores
competentes que entienden estas nuevas herramientas tecnológicas. “Las
empresas” se han visto forzadas a ejercer presión sobre la “educación” para
producir estudiantes con la comprensión y competencias indispensables.
Pero este cambio tecnológico y la atención que genera también crea un
cierto espacio estrecho para aquellos preocupados por otras cosas diferentes a las
necesidades de las corporaciones. Dentro de este estrecho espacio, el Proyecto
Álgebra ha delimitado la meta de establecer la instrucción matemática para la
libertad y la ciudadanía.
22  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
¿Y por qué concentrarnos en el álgebra, entre todas las demás
disciplinas?
La computadora es, por supuesto, el símbolo del gran cambio
tecnológico que se ha producido desde la II Guerra Mundial. Todo el mundo
sabe que se está haciendo algo que implica el uso de computadoras; el correo
electrónico, Internet, los bits de memoria, y los bytes forman parte del uso
común. En el tiempo transcurrido entre ENIAC y Windows 2000, la
computadora se ha convertido en una fuerza cultural así como en un instrumento
de trabajo. (El único equivalente de un impacto similar en el que puedo pensar
es el automóvil). Estrictamente hablando, “la cultura” no es visible; lo que
vemos son las maneras como se manifiesta la cultura en sí. Todo el mundo está
dispuesto a aceptar que lo qué está accionando estas computadoras, hoy en día
imprescindibles, es el lenguaje matemático, simbólico. Así pues, mientras que la
manifestación visible del cambio tecnológico es la computadora, la cultura
oculta tras las computadoras es la matemática.
Eso sienta las bases; así se tiene algo que se puede organizar cuando el
estudiante esta preocupado por la instrucción matemática.
Al álgebra se le asignó un cierto papel y un cierto lugar en el sistema
educativo. Los estudiantes aprendieron cómo manipular las representaciones
simbólicas abstractas para los conceptos matemáticos fundamentales. Aquí es
donde aparece la historia, en la que se introduce una tecnología que coloca las
representaciones simbólicas en un lugar preponderante. Estas representaciones
son las herramientas para controlar la tecnología, y con el fin de utilizar esta
tecnología para organizar el trabajo hay que entender estas representaciones
simbólicas y el lugar que la sociedad ha asignado para que la gente joven
aprenda este simbolismo -esto es el álgebra. Así pues, ahora el álgebra se
convierte en una enorme barrera.
Antes, en el viejo sistema, el álgebra era una barrera en el sentido de que
junto con los idiomas extranjeros, actuaba como una de las puertas a través de la
cual se entraba a las instituciones de educación superior. Si los estudiantes no
estudiaban álgebra tenían que tomar un idioma y hacerlo bien. El álgebra no
podría detener su ingreso a la universidad – no estudiar álgebra podría significar
un obstáculo pero no podría detener el ingreso del estudiante. Y era aceptable
estar en la universidad sin tener capacidad para las matemáticas. La gente se
jactaba como el padre del que hablé anteriormente: “Nunca podría hacer ese
problema” dijeron en el campus.
Pero esos días quedaron en el pasado. Ya no es tan chévere ni está de
moda ser un ignorante total de matemáticas. La generación anterior podía salir
triunfante con esas carencias, pero la generación más joven que surge ahora no
puede; no si van a funcionar en la sociedad, si quieren tener viabilidad
económica, si quieren estar en posición de participar de manera significativa, y
de tener algo que decir en la toma de decisiones que afecta sus vidas. No pueden
Lectura 2  23
darse el lujo de ser totalmente ignorantes de estas herramientas e idiomas
tecnológicos.
De esta manera, el álgebra, que en un momento dado fuera el guardián
que impedía exclusivamente la entrada a las matemáticas superiores y el espíritu
religioso que permitía el acceso a ella, es ahora el guardián de la ciudadanía; y la
gente que no la tiene es similar a las personas que no podían leer y escribir en la
era industrial. Pero debido a la manera como se organizó el acceso al aprendizaje
del álgebra en la era industrial, su lugar en la sociedad bajo la vieja jurisdicción,
se ha convertido no en una barrera para el ingreso a la universidad, sino en una
barrera a la ciudadanía. Esta es la importancia del álgebra que ha surgido con la
nueva tecnología superior. No tenía que ser el álgebra.; esa es la decisión que
tomó la comunidad matemática con los años. En Francia, la geometría es la
fuerza impulsora de la educación matemática y tecnológica. Así pues, no hay
nada que diga que tiene que ser el álgebra. No hay nada que diga que tiene que
ser la geometría. Podría ser una mezcla de una serie de cosas -- y algunas
personas argumentarían que debería ser. Hay educadores y personas en general
que están impulsando una reforma de las matemáticas que desea hacerle una
mezcla, pero ellos están relacionándose con profesores y padres que entienden
que la geometría es una materia, y el álgebra otra. No entienden que haya
matemáticas unificadas. Por esta razón, no creo que se produzca un cambio
cultural en torno a esto muy pronto. Por ahora, tendrá que ser el álgebra.
LA ORGANIZACIÓN DEL ÁLGEBRA: LA NECESIDAD DE HACER UNA
EXIGENCIA
El Proyecto Álgebra se fundamenta en la idea de que la lucha en curso
por la ciudadanía y la igualdad para las minorías ahora está ligada a un problema
como lo es la instrucción en matemáticas y ciencias. . Esta idea determina una
serie de estrategias y opciones sobre la organización, la difusión y el contenido
del programa de estudios. Es importante aclarar que incluso el desarrollo de un
nuevo y excelente plan de estudios - un verdadero avance - no nos haría felices
si no tratara profundamente y seriamente el aspecto del acceso a la instrucción
para todo el mundo. Esa es la fuerza que impulsa el proyecto. El Proyecto
Álgebra no se trata de una simple transferencia de un conjunto de conocimientos
a los niños. Se trata de utilizar ese conocimiento como una herramienta para un
fin mucho más grande.
Una de las repercusiones de esta posición ha sido que no hemos
invertido una parte importante de nuestro tiempo en el desarrollo de un plan o
programa de estudios completo para ningún nivel. Lo que hemos hecho es tomar
lo que pensamos que era una intervención mínima para tratar de maximizar sus
efectos. En ese proceso comenzamos por definir lo que denominamos un
“piso’‘- una base, una meta o estándar aceptable para el componente matemático
de la instrucción de la matemática y las ciencias a nivel de la escuela media. El
piso es éste: hay que tener a todos los estudiantes de la escuela media listos para
24  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
hacer la secuencia matemática de la preparatoria universitaria cuando los
estudiantes llegan a la escuela secundaria.
Hay dos cosas que aclarar sobre este piso. Primero, es el piso, no el
techo. No estamos intentando poner restricciones o límites sobre lo que podría
aprender cualquier grupo de niños. En segundo lugar, en muchas maneras el
programa de estudios en matemáticas de la preparatoria universitaria es un
blanco móvil. Difiere de lugar a lugar, y está cambiando. Entonces, para cada
escuela, hay un blanco local. Mi metáfora es que “la gente está corriendo para
tomar el autobús”. El autobús se está moviendo, y la persona no puede
alcanzarlo desde una posición detenida. En la medida en que su velocidad
comienza a acercarlo a la velocidad del autobús, la persona tiene la posibilidad
de saltar.
En términos del plan de estudios, esto significa que para cada estudiante
de la escuela media hay un plan de estudios estándar, que es la secuencia de la
preparatoria universitaria en la educación media.. Lo que uno desea para los
estudiantes del Proyecto Álgebra es esto: independientemente del sistema que
esté vigente, ellos se comprometerán en el proyecto. En su sistema escolar,
independientemente de lo que esté vigente como programa de estudios estándar
de la preparatoria universitaria, uno querrá que los estudiantes se comprometan
con ese programa. Sin embargo, es importante que cualquier otra cosa que venga
a suplir o a sustituir el plan de estudios tiene que ser una preparación auténtica
para la universidad. No puede ser algo que se ponga en marcha para continuar
una tradición de vías separadas para algunos estudiantes.
No está claro que la frase “programa estándar de matemáticas en una
preparatoria universitaria” signifique algo coherente en términos de contenido
matemático. Sin embargo, la expresión significa, ciertamente, algo en relación a
lo que las instituciones universitarias van a aceptar como requisitos de admisión.
Debe significar, como mínimo, que cuando un estudiante termine ese programa
pasa a la universidad preparado para estudiar matemáticas a nivel universitario.
Ese es otro nivel por el que tenemos que preocuparnos, aunque nuestro trabajo
tiene que ver, en gran parte, con las escuelas de educación media. Nuestro
objetivo es cambiar la situación que existe actualmente, en la que un gran
porcentaje de estudiantes de las minorías que aprueban la escuela secundaria y
logran ser admitidos en una universidad tiene que tomar cursos de recuperación
en matemáticas para ingresar a una institución en la que puedan incluso
conseguir cursos de matemáticas con créditos universitarios.
En consecuencia, una parte de los estándares de instrucción elemental,
como lo es la base de conocimientos de todos los estudiantes, debe ser ésta:
cuando un alumno sale de la educación media debe estar listo para abordar en la
escuela secundaria la secuencia a realizar en la preparatoria universitaria.
Aunque es una meta móvil está definida, por lo que debe ser vista como otro
nivel: cuando un estudiante sale de la escuela secundaria, debe estar listo para
Lectura 2  25
emprender el programa de estudios universitario en matemáticas y ciencias, para
obtener todos los créditos universitarios.
Consideremos aquí el papel de los matemáticos. No hay ningún
elemento en la capacitación de los matemáticos que los prepare para conducir un
esfuerzo instruccional como ese. Sin embargo, el esfuerzo instruccional
realmente no puede tener éxito a menos que logre la participación activa de una
cierta masa crítica de la comunidad matemática. La interrogante sobre cómo
aprendemos a trabajar en diversas áreas está sin resolver. Esas áreas son amplias
y complicadas. Incluyen el plan de estudios, la filosofía instruccional, escuelas,
sistemas escolares, y aulas de clase individuales. Las comunidades y sus
procesos de cambio social también deben estar involucradas de una manera
fundamental, y en un sentido amplio, las políticas nacionales y locales. Para
trabajar realmente en todas estas áreas se requerirá que muchas personas adopten
una perspectiva más holística que la que hayan tenido anteriormente.
La organización en torno al álgebra tiene el potencial de abrir una puerta
que estaba cerrada. La instrucción matemática y el acceso económico son el
centro de atención del Proyecto Álgebra con el fin de brindar esperanzas a la
generación joven. Esto constituye un nuevo problema para los educadores. Es un
nuevo problema para el país. El papel que tradicionalmente cumplía la
educación en ciencias y matemáticas ha sido capacitar a una élite, crear un
apostolado, encontrar a algunos estudiantes brillantes y llevarlos a la
investigación universitaria. Esto no ha sido un esfuerzo de la instrucción.
Estamos poniendo sobre el tapete la instrucción, y más específicamente la
instrucción matemática. En lugar de eliminar las matemáticas avanzadas a todos
los alumnos menos a los mejores estudiantes, las escuelas deben comprometer a
todo aquel que obtiene esta instrucción así como han comprometido a todo aquel
que ha recibido una instrucción de lecto-escritura.
Se trata de una lucha cultural, la creación de una cultura de instrucción
matemática que va a funcionar dentro de la comunidad negra como lo hace la
cultura de la iglesia. Y esto quiere decir que las matemáticas no sólo estarán
basadas en la escuela, sino que estarán tan disponibles como la lectura y la
escritura. Los niños ahora asumen rutinariamente que alguien podrá explicarles
alguna palabra, o que alguien les enseñará a leer una oración si no la entienden.
También toman como cosa corriente que nadie pueda ayudarlos con sus estudios
superiores de matemáticas. Si proyectamos varias generaciones hacia el futuro
podremos ver un joven que ha crecido en una comunidad negra que ha podido
encontrar fácilmente en su propio vecindario las respuestas a sus preguntas sobre
matemáticas.
Es un poco como la guerra de guerrillas. Uno avanza. Retrocede. Mira el
lugar en el que se encuentra. Vuelve a avanzar. Busca una oportunidad. Busca
un punto débil, intentando descubrir dónde puede penetrar. Y trabaja a favor y
26  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
en contra de varias estructuras. Está dentro de ellas, pero trabaja contra ellas en
varios niveles.
En varios sitios del Proyecto Álgebra los estudiantes han formado el
Proyecto de la Gente Joven (Young People´s Project - YPP). Lo bueno del YPP
radica en que sus miembros están en las escuelas, pero organizacionalmente no
es parte del sistema escolar. Los miembros de YPP han abierto su propio espacio
en las escuelas, lo que les permite funcionar y conseguir una cierta presencia,
una cierta visibilidad allí, una cierta legitimidad. Conseguir un espacio en la
escuela es un paso grande para la gente joven. No va a ser fácil desalojarlos.
Mucha gente verá nuestra visión como algo imposible. Hay un aspecto
en el cual la mayoría de las personas no va a creer ni aceptar nada de este
programa hasta que se enfrenten al producto de tal esfuerzo: estudiantes que
salen de las aulas de clase armados con una nueva comprensión de las
matemáticas y con una nueva comprensión de sí mismos como líderes,
participantes, y estudiantes. Como he dicho anteriormente, en los años 60 todos
veían a los aparceros como apáticos hasta que logramos que exigieran su
derecho a votar. Eso finalmente llamó la atención. Aquí, donde los niños están
cayendo en masa hasta perderse de vista en grietas o abismos, convirtiéndose en
pasto para las cárceles, la gente dice que no desean aprender. Los únicos que
pueden disipar esa idea son los propios niños. Ellos, como la señora Hamer, la
señora Devine, E.W. Steptoe, y otros que cambiaron el rostro político de
Mississippi en los años 60, tienen que exigir lo que todo el mundo dice que no
quiere.
ACERCARSE AL PASADO: LAS RAÍCES DE NUESTRO MOVIMIENTO
El Proyecto Álgebra es antes que nada un proyecto de organización -- un
proyecto para organizar la comunidad más que un programa tradicional de
reforma escolar. Toma su inspiración y sus métodos de la tradición organizativa
del movimiento de los derechos civiles. Al igual que los derechos civiles, el
Proyecto Álgebra es un proceso, no un acontecimiento.
Hay dos aspectos claves de la tradición organizativa de Mississippi que
son la base del Proyecto Álgebra: la posición central que tienen las familias en el
trabajo de organización, y la organización en el contexto de la comunidad en la
que uno vive y trabaja. Como trabajadores de los derechos civiles en
Mississippi, fuimos absorbidos para formar familias mientras nos mudábamos de
un lugar a otro con apenas un dólar en nuestros bolsillos, y esta credencial –la de
ser uno de los niños de la comunidad – nos negaba los esfuerzos de la estructura
de poder blanco para etiquetarnos como “agitadores externos”. De esta manera
podíamos hundir nuestras raíces profundas en la comunidad, agrandando y
consolidando los nexos en y entre diversas comunidades, absorbiendo en nuestra
conciencia las memorias de la comunidad de “dónde hemos estado”,
forzándonos a comprender nuestra propia experiencia colectiva.
Lectura 2  27
Estamos luchando para enmarcar algunas preguntas importantes: ¿Hay
una manera de hablar hoy con la gente joven como lo hicieron Amzie Moore y
Ella Baker con nosotros en los años 60? ¿Hay un consenso para que los jóvenes
negros, latinos, y los blancos pobres tengan acceso a lo que impulsará ese
esfuerzo de instrucción? ¿Qué precio deben pagar para emprender tal lucha?
Al igual que Ella Baker, creemos en esta gente joven, que tiene la
energía, el valor, la esperanza de idear medios para cambiar su condición.
Aunque se expresa mucha preocupación por la educación de la gente joven
afroamericana hoy en día, con frecuencia me preguntan por qué he pasado a dar
clases en la escuela y a diseñar planes de estudios – enseñar en la educación
media y en la preparatoria, no menos que ello. Hay algo de crítica en esta
interrogante, la sugerencia de que estoy perdiendo mi tiempo, de que he
abandonado los esfuerzos en procura del cambio social verdadero, significativo.
Después de todo, al final, este trabajo “simplemente” conduce a los jóvenes a
encontrar un lugar cómodo en el sistema con un buen trabajo. No hay nada
“radical” en esto, me dicen. No se entiende lo que significa realmente “radical”,
por lo que podría ser útil repetir lo que Ella Baker postula como necesario para
la lucha de la gente pobre y oprimida: “Esto significa enfrentar un sistema que
no se ajusta a sus necesidades e idear medios a través de los cuales se cambia ese
sistema”
La palabra clave aquí es usted. Nuestros esfuerzos con la población
objetivo son los que definen la naturaleza radical del Proyecto Álgebra, y no las
especificidades del programa. Para ser mucho más claro, incluso el desarrollo de
un nuevo programa de estudios de excelente calidad – un verdadero avance -- no
nos haría felices si no le otorga un poder profundo y serio a la población
objetivo para exigir el acceso a la educación para todos. Eso es lo que está
impulsando el proyecto. Lo que es radical en lo que respecta al Proyecto Álgebra
son los estudiantes a los que estamos intentando llegar y la gente con la que
trabajamos para llevar a cabo un amplio esfuerzo de enseñanza de las
matemáticas -- los estudiantes negros y pobres y las comunidades en las que
viven, los generalmente excluidos. Las palabras de Ella en definitiva quieren
decir, bien sea para el derecho al voto o para el acceso económico, “Ustedes que
son pobres y oprimidos: ustedes deben, ustedes necesitan hacer cambios.
Ustedes deben moldear una lucha”. La gente joven que encuentra su voz en vez
de esperar que hablen en nombre de ellos constituye una parte crucial del
proceso. Tanto entonces como ahora se espera que los designados como siervos
se mantengan paralizados, incapaces de tomar una acción e incapaces de
expresar una exigencia, por lo que sus vidas dependen de la buena voluntad y las
buenas obras de otros. Creemos que el tipo de cambio sistémico necesario para
preparar a nuestra gente joven para las exigencias del siglo XXI requiere que la
gente joven tome las riendas de ese cambio.
Éstas son ideas radicales así como fue radical la manera como hace
cuarenta años se construyera el MFDP para que los aparceros y los jornaleros
28  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
pudieran expresarse. Lo que la hizo radical fue el trabajo, el esfuerzo por
estimular a este grupo a conferirse poder a sí mismo. Esta fue la gran lección de
Ella Baker, y aún un excelente ejemplo para nosotros hoy en día: que la
población objetivo también debe plantear sus demandas en lugar de hacer que
sus necesidades sean defendidas por reformadores “radicales” bien
intencionados. Usted puede decir que esto radicaliza al radicalismo. Esto fue lo
que aprendimos en Mississippi, que si logramos que la gente que está en la parte
inferior haga exigencias, primero a sí mismo, luego al sistema, se podrán hacer
algunos de los cambios más importantes. Ellos tienen que encontrar sus voces.
Independientemente de cuán grande fue Martin Luther, Jr., él no pudo ir y
desafiar la posición de los demócratas de Mississippi en Atlantic City. Él pudo
abogar por ellos y pudo apoyarlos, pero no pudo liderar el desafío. Los únicos
que podían hacerlo eran las personas de Mississippi. Y la gente no organizará
ese tipo de esfuerzo seminal en torno a la agenda de alguien más. Es algo que
debe ser internalizado. Se trata de nuestro programa.
Hubo personas que abogaron por los derechos civiles mucho antes de
que las secretarias de campo de SNCC (Student Non-Violent Coordinating
Committee, comité estudiantil de coordinación para la no violencia) y de CORE
(Congress Of Racial Equality – Congreso para la Igualdad Racial) llegaran a
Mississippi. De hecho, la decisión del Tribunal Supremo de 1954 fue una
victoria importante ganada por personas que abogaban por los derechos civiles.
Y quizás porque fue una decisión ganada fundamentalmente por los que
abogaban por los derechos civiles, procedió “con toda velocidad deliberada”.
Nadie discute la importancia de tales victorias, pero, no obstante, cuando los
aparceros, los jornaleros y los trabajadores domésticos encontraron su voz, se
alzaron, y exigieron un cambio, fue cuando culminó el juego político de
Mississippi. Cuándo esta gente, gente por la que otros habían hablado y abogado
tradicionalmente, se alzó y dijo: “Exigimos el derecho a votar”, refutando a
través de sus voces y sus acciones la idea de que no estaban interesados en hacer
eso, no pudieron ser rechazados, y de esta manera llegó a su fin el juego de
opresión que duró un siglo a través de la negación del derecho político.
Para entender el Proyecto Álgebra se debe comenzar con la idea de
nuestra gente joven considerada como objetivo, que encuentra su voz como
aparceros y jornaleros, criadas, granjeros, y trabajadores de todo tipo que
encontraron su propia voz en los años 60. Por supuesto hay diferencias entre los
años 60 y lo que el Proyecto está haciendo actualmente. Por una parte, el período
transcurrido entre el inicio de las manifestaciones de protesta caracterizadas por
la toma pacífica de ciertos lugares y el desafío por parte del MFDP en Atlantic
City fue sumamente breve, y estuvo intercalado entre dos elecciones
presidenciales (Kennedy-Nixon y Johnson- Goldwater). Cuando miro hacia
atrás, siento como si fueran veinte años multiplicados por cuatro; aún me resulta
difícil creer cuán corto fue ese período. Sin embargo, la instrucción de las
matemáticas requerirá un tiempo más largo. Hay una curva de aprendizaje
Lectura 2  29
pronunciada y lo que vemos en AP es algo que se desarrolla en varias
generaciones en la medida en que los trabajadores/organizadores de la
instrucción en matemáticas adquieren las habilidades y la capacitación a través
del estudio y la práctica y comienzan a abordar el sistema. Sin embargo, la gente
joven puede apresurar este proceso como lo hizo claramente la juventud en el
movimiento de los derechos civiles. Y, mientras que la campaña por el derecho
al voto se llevó a cabo en los estados sureños del país, el problema de la
instrucción de las matemáticas se está presentando en toda la nación.
Sin embargo, para entender el Proyecto Álgebra, se necesita entender el
espíritu y las lecciones cruciales que ofrece la tradición organizativa del
movimiento de los derechos civiles. En Mississippi, el mudo encontró su voz, y
una vez que la alzó, no pudo ser ignorado. Los organizadores aprendieron a
localizar los vastos recursos en las comunidades que parecían empobrecidas y
paralizadas a primera vista. Las lecciones del movimiento en Mississippi son
exactamente las que necesitamos aprender y poner en práctica para transformar
la educación de nuestros niños y sus perspectivas para el futuro. Al igual que en
los derechos al voto hace cuatro décadas, tenemos que fortalecer un consenso
sobre la instrucción de las matemáticas. Sin ella, sería casi imposible llevar al
país a un cambio sistémico en torno a la educación matemática. No se puede
cambiar este país a menos que haya un consenso. El país es demasiado grande,
demasiado enorme, demasiado diverso, demasiado confuso. Esto es parte de lo
que aprendimos en Mississippi. Lo aprendimos sobre el terreno,
experimentándolo.
En el presente trabajo presento las voces de otras personas como la mía
propia. Voces del movimiento: la de Ella Baker, por mencionar alguna. Voces
de mis colegas: la de Dave Dennis, especialmente. Y voces de niños: la de los
jóvenes del Proyecto Álgebra. Parte de lo que sucedió en Mississippi fue la
creación de una cultura de cambios en el clima de la conciencia de la gente
negra en ese estado. Es el establecimiento de este clima y cambio de conciencia
sobre las matemáticas en la comunidad más grande lo que en gran medida hará
posible cambiar el salón de clases; no obstante, estamos hablando de cambio
sistémico y como país aún no sabemos cómo hacer un cambio sistémico.
Nosotros no podemos señalar ningún sistema escolar en el que hayamos
establecido un cambio sistémico en torno a la educación matemática.
Este es un libro muy personal. Las historias y lecciones de Mississippi a
las que me refiero son historias y lecciones de la transformación en la gran
emoción que representa la lucha por el cambio. La historia que cuento sobre
cómo comenzó el Proyecto Álgebra es la continuación de esa historia de lucha y
transformación, en mi familia y en mi comunidad. Vemos en este libro las
nuevas necesidades del Siglo XXI, y que para cubrir esas necesidades nos
adentraremos en nuevos territorios de la misma manera como el registro de
electores nos llevó a las zonas rurales de Mississippi. Existe incluso una política:
¿Quién va a ganar el acceso a la nueva tecnología? ¿Quién va a controlarla?
30  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
¿Qué tenemos que exigir del sistema educativo para prepararnos para la nueva
era tecnológica? ¿Qué oportunidades tendrán nuestros hijos? Éstas son las
preguntas que en última instancia desafían al poder como lo hizo el movimiento
de los derechos civiles, a pesar de que ese movimiento precursor estaba más
relacionado con los mostradores de los restaurantes y las votaciones.
Lectura 3
Concepciones de Álgebra Escolar y Usos de Variables1
¿Qué es el Álgebra Escolar?
No es fácil definir el álgebra. El álgebra que se enseña en la escuela
tiene un contenido diferente del álgebra que se enseña en carreras matemáticas.
Dos matemáticos cuyos escritos han influenciado grandemente la instrucción de
álgebra a nivel universitario, Saunders Mac Lane y Garret Birkhoff (1967)
comenzaron su Álgebra con un intento de enlazar el álgebra escolar con la de la
universidad:
El álgebra comienza como el arte de manipular cantidades,
productos y el poder de los números. Las reglas para esta
manipulación sostenida por todos los números, de modo que la
manipulación puede ser llevada a cabo con letras en
representación de los números. Entonces parece que las mismas
reglas contenidas para varios tipos de números diferentes… y
que las reglas incluso se aplican a las cosas... las cuales no son
para nada números. Un sistema algebraico, como el que
estudiaremos, es un conjunto de elementos de cualquier clase en
los cuales las funciones tales como la suma y la multiplicación
operan, siempre que dichas operaciones satisfagan ciertas reglas
básicas. (p. 1)
Si la primera oración en la cita anterior es pensada aritméticamente,
entonces la segunda oración es álgebra escolar. Entonces, a los fines de este
artículo el álgebra escolar tiene que ver con la comprensión de "letras" (hoy en
día usualmente las llamamos variables) y sus operaciones, y consideramos que
los estudiantes estudian álgebra cuando se encuentran por primera vez con las
variables.
Sin embargo, siendo que el concepto de variable en si mismo es
multifacético, reducir el álgebra al estudio de variables no responde la pregunta
"¿Qué es álgebra escolar?”. Considere estas ecuaciones, las cuales todas tienen
la misma forma, el producto de dos números es igual a un tercero:
1. A = LW
2. 40 = 5x
1
Usiskin, Z. (1988). Conceptions of school algebra and uses of variables. En A. Coxford
y A. P. Schulte (Comps.) Ideas of algebra, K-12 (1988 Yearbook) (pp. 8-19). Reston,
VA: National Council of Teachers of Mathematics.
31
32  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
3. sin x = cos x · tan x
4. 1 = n (1/n)
5. y = kx
Cada una de ellas tiene un sentido diferente. Usualmente llamamos al (1)
una fórmula, (2) una ecuación (u oración abierta) a resolver, (3) una identidad,
(4) una propiedad y (5) una ecuación de una función de variación directa (a no
ser resuelta). Estos diferentes nombres reflejan usos diferentes para los cuales la
idea de variable es colocada. En (1) A, L y W representan el área, longitud y
ancho tienen el sentido de datos conocidos. En (2), tenemos la tendencia a
pensar que x es una incógnita. En (3) x es un argumento de una función. La
ecuación (4) a diferencia de las otras, generaliza un patrón aritmético y n
identifica un ejemplo del patrón. En (5), x es nuevamente un argumento de una
función, y el valor y k una constante (o parámetro dependiendo de cómo sea
usado). Sólo en (5) está allí el sentido de "variabilidad", del cual el término
variable surgió. Aun así, tal sentido no esta presente si pensamos en esa
ecuación como algo que representa la línea pendiente k que contiene al origen.
Las concepciones de variables cambian con el tiempo. En un texto de los
50 (Hart, 1951a), la palabra variable no es mencionada hasta la discusión de
sistemas (p.168) y entonces es descrita como un "número cambiante". La
introducción de lo que hoy llamamos variables viene mucho antes (p.11), a
través de formulas, con estas declaraciones misteriosas: “En cada fórmula, las
letras representan números. El uso de letras para representar números es la
característica principal del álgebra” (itálicas de Hart). En el segundo libro de
esa serie (Hart, 1951b) hay una definición más formal de variable (p. 91): "Una
variable es un número literal que puede tener dos o mas valores durante un
análisis particular".
Los textos modernos de finales de esta década tenían una concepción
diferente representada por esta cita de May y Van Engen (1959) como parte de
análisis cuidadoso de este término:
En líneas generales, una variable es un símbolo por el cual se
sustituyen nombres para algunos objetos, usualmente un número
en álgebra. Una variable está siempre asociada a un conjunto de
objetos cuyos nombres pueden ser sustituidos por ella. Estos
objetos son llamados valores de la variable. (p. 70)
Hoy en día la tendencia es evitar la distinción "nombre-objeto” y pensar en una
variable simplemente como un símbolo por el que se pueden sustituir cosas (mas
precisamente, cosas de un conjunto particular de sustitución).
La concepción de variable de “símbolo para un elemento de un conjunto
de reemplazo” parece tan natural hoy es raramente cuestionada. Sin embargo, no
es la única visión posible de variables. A comienzos de este siglo, la escuela
Lectura 3  33
formalista de matemáticas consideraba a las variables y todos los otros símbolos
matemáticos tan solo como marcas o notas en el papel relacionadas entre ellas
por propiedades asumidas o derivadas que también son notas en el papel
(Kramer, 1981).
Aunque podemos considerar dicha visión defendible por los filósofos
pero impráctica para los usuarios de las matemáticas, los paquetes de álgebra
para computadoras de hoy en día tales como MÁXIMA y muMath (ver Pavelle,
Rothstein y Fitch, 1981) tratan con letras sin necesidad de referirse a valores
numéricos. Esto es, las computadoras de hoy pueden operar de ambas formas
como usuarios experimentados y no experimentados de álgebra que opera
manipulando variables a ciegas sin ninguna preocupación por, o conocimiento
de lo que ellos representan.
Muchos estudiantes piensan que todas las variables son letras que
representan o significan números. Pero los valores que una variable toma no
siempre son números, aun en las matemáticas de bachillerato. En geometría, las
variables con frecuencia representan puntos, como se ve en el uso de las
variables A, B y C cuando escribimos "si AB = BC, entonces ∆ABC es isósceles”.
En lógica, las variables p y q con frecuencia significan proposiciones; en análisis
la variable f con frecuencia significa una función; en álgebra lineal la variable A
puede significar una matriz o la variable v para un factor y en álgebra avanzada
la variable * puede representar una operación. Esto último demuestra que las
variables no requieren ser representadas por letras.
Los estudiantes también tienden a creer que una variable siempre es una
letra. Esta visión está apoyada por muchos educadores, por
3 + x = 7 y 3 + ∆ =7
Son usualmente consideradas álgebra, mientras que:
3 + _____ = 7 y 3 + ? = 7
No lo son, aun cuando el espacio y el signo de interrogación son, en este
contexto de una solución deseada para la ecuación, lógicamente equivalentes a la
x y el ∆.
En resumen, las variables tienen muchas definiciones posibles,
referentes y símbolos. Tratar de enmarcar la idea de la variable un una sola
concepción simplifica demasiado la idea y distorsiona el propósito del álgebra.
DOS TEMAS FUNDAMENTALES EN LA INSTRUCCIÓN DEL
ÁLGEBRA
Quizás el tema más importante alrededor de la enseñanza del álgebra en
las escuelas hoy, se refiere al alcance en el que a los estudiantes debería
exigírseles ser capaces de hacer varias habilidades manipulables a mano. (Todo
el mundo parece reconocer la importancia de que los estudiantes tengan alguna
34  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
manera de realizar las destrezas). Un informe de NCTM-MAA de 1977
detallando lo que los estudiantes necesitan aprender de matemáticas en
bachillerato enfatiza la importancia de aprender y practicar estas destrezas. Más
aun informes recientes indican un tono diferente:
La tendencia básica en Álgebra I y II ha sido darle a los
estudiantes facilidades técnicas moderadas… En el futuro, los
estudiantes (y los adultos) puede que no tenga que hacer mucha
manipulación algebraica.... Algunos bloques de ejercicios
tradicionales pueden seguramente ser acortados. (CBMS, 1983, p.
4).
Un segundo tema relacionado con el programa del álgebra es la cuestión
del rol de las funciones y su tiempo de introducción. En el presente, las
funciones son tratadas en la mayoría de los libros de álgebra de primer año como
una materia relativamente insignificante y hacerse una materia importante en
álgebra avanzada o de segundo año. Aun en algunos programas de escuelas
primarias (ej. CSMP, 1975) ideas de funciones han sido introducidas tan
temprano como en primer grado y otros discuten que las funciones deben ser
usadas como el vehículo mas importante a través del cual las variables y el
álgebra son introducidas.
Es claro que estos dos temas se relacionan con el propósito de la
enseñanza y aprendizaje del álgebra, con las metas de la instrucción del álgebra,
con la concepción que tenemos de esta materia. Lo que no es tan obvio es que
ellos, se relacionan con las maneras en las cuales las variables son usadas. En
este trabajo trato de presentar un marco de referencia para considerar estos y
otros temas relacionados con la enseñanza del álgebra. Mi tesis es que el
propósito que tenemos en la enseñanza del álgebra, las concepciones que
tenemos de la materia y los usos de variables están intrincadamente
relacionadas. Los propósitos del álgebra están determinados por, o están
relacionados con, diferentes concepciones del álgebra, lo cual se correlaciona
con la importancia relativa dada a los varios usos de las variables.
Concepción 1: El Álgebra como Aritmética Generalizada
En esta concepción en natural pensar en las variables como patrones
generalizadores. Por ejemplo, 3 + 5 · 7 = 5 · 7 + 3 es generalizado como
a + b = b + a. El patrón:
3 · 5 = 15
2 · 5 = 10
1·5=5
0·5=0
Lectura 3  35
Se extiende para multiplicar números negativos (lo cual, en esta
concepción, es con frecuencia considerado álgebra no aritmética):
-1 · 5 = - 5
-2 · 5 = - 10
Esta idea es generalizada para dar propiedades como:
-
x··. y = xy
A un nivel más avanzado, la noción de variable como patrón
generalizador es fundamental en el modelaje matemático. Con frecuencia
hallamos relaciones entre números que deseamos describir matemáticamente y
las variables son herramientas extremadamente útiles en esa descripción. Por
ejemplo, el record mundial T (en segundos) para la carrera de la milla en el año
Y desde 1900 es descrito bien de cerca por la ecuación:
T = -0,4Y + 1020
Esta ecuación solamente generaliza los valores aritméticos hallados en
muchos almanaques. En 1974, cuando el record era 3 minutos 51,1 segundos y
no había cambiado en siete años, usé esta ecuación para predecir que en 1985 el
record sería 3 minutos 46 segundos (para gráficos ver Usiskin, 1976 o Bushaw et
al., 1980). El record real al final de 1985 era 3 minutos 46,31 segundos.
Las instrucciones clave para los estudiantes en esta concepción del
álgebra son traducir y generalizar. Estas son destrezas importantes no solo en
álgebra sino también en aritmética. En un compendio de aplicaciones de
aritmética (Usiskin y Bell, 1984), Max Bell y yo concluimos que es imposible
estudiar adecuadamente aritmética son implícita o explícitamente tratar con
variables. ¿Cuál es más fácil "el producto de cualquier número y cero es cero" o
"para toda n, n · 0 = 0”? La superioridad de las descripciones algebraicas sobres
las del idioma inglés de una cantidad de situaciones es debido a la similitud de
dos sintaxis. La descripción algebraica se parece a la descripción numérica, no
así la descripción en inglés. Un lector inseguro del valor de las variables debe
tratar de describir la regla para multiplicar fracciones primero en inglés, luego en
álgebra.
Históricamente, la invención de la anotación algebraica en 1564 por
Françoise Viète (1969) tuvo efectos inmediatos. En cincuenta años la geometría
analítica habría sido inventada y traída a una forma avanzada. En cien años fue
el cálculo. Tal es el poder del álgebra como aritmética generalizada.
36  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Concepción 2: El álgebra como estudio de procedimientos para resolver
ciertos tipos de problemas.
Considere el siguiente problema:
Cuando se suma 3 a cinco veces un cierto número, la suma es 40.
Halle el número.
El problema es fácilmente traducido al lenguaje del álgebra:
5x + 3 = 40
Bajo la concepción del álgebra como un generalizador de patrones, no
tenemos incógnitas. Generalizamos relaciones conocidas entre números, y ni
siquiera tenemos la sensación de incógnitas. Bajo esa concepción, este problema
esta terminado, hemos encontrado un patrón general. Sin embargo, bajo la
concepción del álgebra como un estudio de procedimientos, solo hemos
comenzado.
Lo resolvemos con un procedimiento. Quizás añadiendo -3 a cada lado:
5x + 3 + -3 = 40 + -3
Luego simplificamos (el número de pasos requeridos depende del nivel
del estudiante y la preferencia del profesor):
5x = 37
Ahora resolvemos esta ecuación de alguna manera, llegando a x = 7,4.
El “cierto numero” en el problema es 7,4 y el resultado es fácilmente revisable.
Resolviendo esta clase de problemas, muchos estudiantes tienen
dificultad moviéndose de la aritmética al álgebra. Mientras que la solución
aritmética (“en su cabeza") involucra restar 3 y dividir entre 5, la forma
algebraica 5x + 3 involucra la multiplicación por 5 y la suma de 3, la operación
inversa. Esto es, para establecer la ecuación debe pensar exactamente lo opuesto
de la manera en que lo resolvería usando la aritmética.
En esta concepción del álgebra, las variables son bien incógnitas o
constantes. Mientras las instrucciones claves en el uso de variables como un
patrón generalizador son traducir y generalizar, las instrucciones clave en este
son simplificar y resolver. De hecho “simplificar” y "resolver” son a veces dos
nombres diferentes para la misma idea: por ejemplo, les pedimos a los
estudiantes resolver |x - 2| = 5 para obtener la respuesta de x = 7 o x = -3. Pero
podríamos pedirle a los estudiantes, “rescriba |x - 2| = 5 sin usar valores
absolutos”. Entonces podríamos obtener la respuesta (x -2)2 = 25, la cual es otra
oración equivalentes.
Polya (1957) escribió, “si no puede resolver el problema propuesto trate
de resolver primero algunos problemas relacionados” (p. 31). Seguimos ese
dictamen literalmente en la resolución de la mayoría de las oraciones, hallando
Lectura 3  37
oraciones equivalentes con la misma solución. También simplificamos
expresiones de modo que pueden ser comprendidas y usadas más fácilmente.
Para repetir: simplificar y resolver son más similares de lo que usualmente se las
hace ver.
Concepción 3: el álgebra como el estudio de las relaciones entre cantidades.
Cuando escribimos A = LW, la formula de áreas para un rectángulo,
estamos describiendo una relación entre tres cantidades. No existe la sensación
de una incógnita, porque no estamos resolviendo nada. El significado de
formulas tales como A = LW es diferente del significado de generalización tal
como 1 = n (1/n), aun cuando podemos pensar en una formula como un tipo
especial de generalización.
Por cuanto la concepción de álgebra como el estudio de relaciones
puede comenzar con fórmulas, la distinción crucial entre esto y la concepción es
que, aquí las variables varían. Esa es una diferencia fundamental entre las
concepciones evidenciadas por la respuesta usual de los estudiantes a la
siguiente pregunta:
¿Qué le pasa al valor de 1/x mientras x aumenta?
La pregunta parece simple, pero es suficiente para desconcertar a la
mayoría de los estudiantes. No hemos preguntado el valor de x, así que x no es
una incógnita. No le hemos pedido a los estudiantes que traduzcan. Existe un
patrón para generalizar, pero no es un patrón que parece aritmética. (No es
apropiado preguntar que le pasa al valor de ½ mientras 2 aumenta) es
fundamentalmente un patrón algebraico. Quizás por su naturaleza algebraica
intrínseca, algunos educadores de matemáticas creen que el álgebra debería ser
introducida inicialmente a través de este uso de variables. Por ejemplo, Fey y
Good (1985) ven lo siguiente como las preguntas claves sobre las cuales se base
el estudio del álgebra:
Para una función dada f(x), halle:
1. f(x) para x = a
2. x para que f(x) = a
3. x para que los valores mínimos o máximos de f(x) ocurran.
4. la rata de cambio en f cerca de x = a,
5. el valor promedio de f sobre el intervalos (a, b) (p. 48).
Bajo esta concepción, una variable es un argumento (ej. significa un
valor en el dominio de una función) o un parámetro (ej. significa un número del
cual otro número depende). Solo en esta concepción existen las nociones de
variables dependiente e independiente. Las funciones surgen inmediatamente,
para lo cual requerimos tener un nombre para los valores que dependen del
38  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
argumento o parámetro x. La anotación de funciones (como en f(x) = 3x + 5) es
una idea nueva cuando los estudiantes la ven por primera vez: f(x) = 3x + 5 se ve
y se siente diferente de y = 3x + 5. (En este sentido, una razón y = f(x) puede
confundir a los estudiantes porque la función f, mas que un argumento x, se ha
convertido en un parámetro. Ciertamente, el uso de f(x) para nombrar una
función, como lo hacen Fey y Good en la cita anterior, es visto por algunos
educadores como una contribución a esa confusión).
Las variables como argumentos difieren de las variables como
incógnitas es evidencia adicional por la siguiente cuestión:
Halle una ecuación para la recta que pasa por (6, 2) con una
pendiente de 11.
La solución usual combina todos los usos de variables discutidos hasta
ahora, quizás explicando porque algunos estudiantes tienen dificultades con ello.
Analizamos la solución usual. Comenzamos anotando que los puntos en una
línea están relacionados por una ecuación de la forma:
y = mx + b
Esto es ambas cosas, un patrón entre variables y una fórmula. En
nuestras mentes es una función con un dominio variable x y un rango variable y,
pero para los estudiantes no está claro cuales de m, x o b es el argumento. Como
un patrón es fácil de comprender, pero en el contexto de este problema, algunas
cosas son incógnitas. Todas las letras parecen incógnitas (particularmente la x y
la y, letras tradicionalmente usadas para ese propósito).
Ahora la solución. Ya que conocemos m, la sustituimos por ella:
y = 11x + b
Así m aquí es una constante, no un parámetro. Ahora necesitamos
encontrar b. Así b ha cambiado de parámetro a incógnita. Pero ¿cómo
encontramos b? usamos un par de los muchos pares en la relación entre x y y.
Esto es, seleccionamos un valor para el argumento x por el cual conocemos y.
habiendo sustituido un par de valores de x y y puede ser hecho porque y = mx +
b describe un patrón general entre números. Con la sustitución:
2 = 11 · 6 + b,
Así que b = -64. Pero no hemos encontrado x y y, aunque tenemos valores para
ellas, porque no son incógnitas. Solo hemos encontrado la incógnita b, y
sustituimos en la ecuación apropiada para obtener la respuesta
y = 11x - 64
Otra manera de hacer la distinción entre los diferentes usos de las
variables en este problema es emplear cuantificadores. Pensamos: para toda x y
y, existe m y b con y = mx + b. Le estamos dando el valor que existe para m, así
Lectura 3  39
encontramos el valor que existe para b usando uno de los pares "para todas las x
y y" y así sucesivamente. O utilizamos el lenguaje equivalente señalado:
sabemos que la línea es {(x, y): y = mx + b} y conocemos m y tratamos de
encontrar b. En el lenguaje de conjuntos o cuantificadores, x y y son conocidas
como variables falsas porque cualesquiera símbolos pueden ser usados en lugar
de ellas. Es bastante difícil convencer a los estudiantes y aun a algunos
profesores que {x: 3x = 6} = {y: 3y = 6}, aun cuando cada conjunto es {2}.
Mucha gente piensa que la función f f(x) = x + 1 no es lo mismo que la función g
con el mismo dominio que f y g(y) = y +1. Solo cuando variables son usadas
como argumentos pueden ser consideradas como variables falsas; este uso
especial tiende a no ser bien comprendido por los estudiantes.
Concepción 4: Álgebra como el estudio de las estructuras.
El estudio del álgebra a nivel universitario involucra estructuras tales
como grupos, anillos, dominios integrales, campos y espacios vectoriales. Parece
tener poca semejanza con el estudio del álgebra a nivel de bachillerato, aunque
los campos de los números reales, números complejos, los distintos anillos
polinómicos que subyacen en la teoría del álgebra, las propiedades de dominios
integrales y grupos explican por qué ciertas ecuaciones pueden ser resueltas y
otras no. Aun reconocemos al álgebra como el estudio de las estructuras
mediante las propiedades que le atribuimos a las operaciones sobre los números
reales y los polinomios. Considere el siguiente problema:
Factorice 3x2 +4ax – 132a2.
La concepción de variable representada aquí no es la misma que
ninguna discutida previamente. No existe función o relación, la variable no es un
argumento. No existe ecuación a ser resuelta, así que la variable no está
actuando como una incógnita. No existe un patrón aritmético para generalizar.
La respuesta a la pregunta o cuestión factorial es (3x + 22a)(x -6a). La
respuesta puede ser revisada sustituyendo los valores para x y a en el polinomio
dado y en la respuesta factorizado, pero esto casi nunca es hecho. Si la
factorización fue revisada de esa manera, habría un débil argumento aquí de que
estamos generalizando aritmética. Pero de hecho, usualmente al estudiante se le
pide que revise multiplicando los binomios, exactamente el mismo
procedimiento que el estudiante ha empleado para obtener la respuesta en primer
lugar. Es tonto revisar repitiendo el procedimiento usado para obtener la
respuesta en primer lugar, pero en este tipo de problemas los estudiantes tienden
a tratar a las variables como marcas o indicadores en el papel sin números como
referentes. En la concepción del álgebra como estudio de las estructuras, la
variable es un poco mas que un símbolo arbitrario.
Existe un dilema sutil aquí. Queremos que los estudiantes tengan
referentes (usualmente números reales) para variables en mente como usan las
variables. Pero también queremos que los estudiantes estén en capacidad de
40  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
operar las variables sin tener que ir siempre al nivel del referente. Por ejemplo,
cuando se le pide a los estudiantes que deriven una identidad trigonométrica
tales como 2sin2x - 1 = sin4x - cos4x, no queremos que el estudiante piense en el
seno y coseno de un número especifico o aun que piense en las funciones de
seno y coseno, y no estamos interesados en radios ni triángulos. Simplemente
queremos manipular seno de x y coseno de x en una forma diferente usando
propiedades que son tan abstractas como la identidad que deseamos derivar.
En este tipo de problemas, se pone confianza en las propiedades de las
variables, en relaciones entre x, y y n, siendo sumando, factores, bases o
exponentes. La variable se ha convertido en un objeto arbitrario en una
estructura relacionada por ciertos componentes. Es la visión de variable la
hallada en el álgebra abstracta.
Muchas críticas han sido dirigidas en contra de la práctica de “atarugar
de símbolos” que domina las primeras experiencias con el álgebra. Lo llamamos
manipulación a “ciegas” cuando criticamos; destrezas “automática” cuando
premiamos. En última instancia todo el mundo desea que los estudiantes tengan
facilidad suficiente con los símbolos algebraicos para tratar con las destrezas
apropiadas abstractamente. La pregunta clave es ¿qué constituye “facilidad
suficientes”?.
Es irónico que las dos manifestaciones de este uso de variables, teoría y
manipulación, son vistas con frecuencia como campos opuestos en el
establecimiento de políticas hacia el currículo o programa del álgebra. Aquellos
en favor de la manipulación de un lado y los que están a favor de la teoría del
otro. Vienen de la misma visión de variable.
VARIABLES EN LA CIENCIA DE LA COMPUTACIÓN
El álgebra tiene una pequeña diferencia de contenido en la ciencia de la
computación de la que tiene en matemáticas. Existe con frecuencia una
diferencia de sintaxis. Por cuanto en el álgebra ordinaria, x = x + 2 sugiere una
ecuación sin solución, en BASIC la misma oración indica la reposición de una
de una ubicación de almacenaje particular en una computadora por un número
dos veces mayor. Este uso de variables ha sido identificado por Davis, Jockusch
y McKnight (1978, p. 33).
Las computadoras nos dan otra visión del concepto matemático
básico de variable. Desde el punto de vista de la computación, el
nombre de una variable puede ser pensado como la dirección de
ciertos registros de memoria específicos y el valor de la variable
puede ser pensado como el contenido de ese registro de memoria.
En la ciencia de la computación, las variables con frecuencia son
cadenas de letras y números identificadas. Esto indica un sentido diferente y es
el resultado natural de una posición diferente para la variable. Las aplicaciones
de computación tienden a involucrar grandes números de variables que pueden
Lectura 3  41
significar o representar distintos tipos de objetos. También, las computadoras
están programadas para manipular variables, de modo que no tenemos que
abreviarlas con el fin de facilitar la tarea de la manipulación a ciegas.
En la ciencia de la computación los usos de variables cubren todos los
usos que hemos descrito arriba para las variables. Todavía existe la
generalización de la aritmética. El estudio de algoritmos es el estudio de
procedimientos. De hecho, existen preguntas típicas de álgebra que se prestan al
pensamiento algorítmico:
Comenzar con un número. Añadirle 3, Multiplicarlo por 2.
Sustraerle 11 del resultado...
En programación, se aprende a considerar la variable como un
argumento más antes de lo acostumbrado en álgebra. A los fines de establecer
formaciones, por ejemplo, alguna forma de anotación de funciones es necesaria.
Y finalmente, porque las computadoras han sido programadas para ejecutar
manipulaciones con símbolos sin ningún referente para ellos, la ciencia de la
computación se ha convertido en un vehículo a través del cual muchos
estudiantes aprenden acerca de variables (Paper, 1980). En última instancia, en
virtud de esta influencia, es probable que los estudiantes aprendan los muchos
usos de las variables mucho antes de lo que lo hacen hoy.
42
Lectura 4
Desarrollo del Razonamiento Algebraico en los
Primeros Grados 2
El modelaje directo con objetos concretos puede ser una poderosa
estrategia de resolución de problemas para niños (Chambers, 1996). Sin
embargo, como las situaciones problemáticas se hacen más complejas, el valor
de estrategias más poderosas se hace aparente. Un enfoque algebraico en el cual
los estudiantes primero describan el problema usando una incógnita en una
ecuación y luego resuelvan la incógnita (Lesh, Post y Behr, 1987) es una de
dichas estrategias.
El uso de estrategias algebraicas es común entre los estudiantes de
escuela primaria en China y Japón pero relativamente poco común en los
Estados Unidos, buenos logros en matemáticas es consistentemente más alto en
esos países que en los Estados Unidos, más énfasis sobre el desarrollo de
estrategias algebraicas podrían promover las dobles metas de poder matemático
y álgebra para todo.
Oportunidades para el Razonamiento Algebraico
El problema de Proporción (Fig. 1) evalúa las destrezas de los
estudiantes para resolver problemas y el conocimiento de proporción en un
contexto de lectura de mapas. Los estudiantes comúnmente usan tres estrategias
para resolver este problema: Un enfoque aritmético, un enfoque algebraico o un
enfoque de medición. En el enfoque aritmético, los estudiantes típicamente
comienzan conociendo la información y trabajando para arribar a cantidades
desconocidas. En este problema puede que primero dividan 54 entre 3 para
hallar cuantos kilómetros están representadas por un centímetro en el mapa
luego multipliquen por 12 para obtener la distancia representada por los 12
centímetros entre Maríapan y Riobello. Ningún símbolo es usado para
representar la distancia y ninguna ecuación es usada para expresar las relaciones.
En el enfoque algebraico, los estudiantes primero escriben una ecuación
usando?, __, x, o una frase corta en español para representar la incógnita. Los
estudiantes que usan un enfoque algebraico para este problema normalmente
emplean un símbolo para representar la distancia desconocida entre Maríapan y
Riobello y expresar la relaciones entre las distancias en una proporción tal como
2
Cai, J. (1998). Developing algebraic reasoning in the elementary grades. Teaching
Children Mathematics, 225-228.
43
44  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
x
12
=
54
3
Esta ecuación puede ser resuelta para x en una diversidad de formas. La
Fig. 2a muestra la respuesta de un estudiante usando una estrategia algebraica.
En una estrategia de medición, los estudiantes podrían usar un dedo, un
clip o un lápiz para medir la distancia entre Maríapan y Pueblomio en el mapa y
luego usar esa unidad de medida para medir la distancia desde Maríapan a
Riobello. Siendo que una unidad representa 54 millas, ellos multiplican las
unidades desde Maríapan a Riobello por 54 para obtener la distancia en
kilómetross. La mayoría de los estudiantes que usan esta estrategia obtiene un
buen estimado de la distancia real entre Maríapan y Riobello. Ver figura 2b.
En un estudio internacional (Cai, 1995), estudiantes estadounidenses y
chinos de Sexto Grado obtenían resultados similares en este problema, pero las
diferencias eran evidentes en sus procesos de solución. Más estudiantes chinos
usaron enfoques algebraicos, mientras que más estudiantes estadounidenses
usaron una estrategia de medición.
Figura 1. El Problema de Proporción
El mapa muestra la ubicación de tres ciudades
La distancia real entre Pueblomio y Maríapan es 54 kilómetros. En el mapa,
Pueblomio y Maríapan están 3 centímetros a parte. En el mapa, Maríapan y
Riobello están 12 centímetros a parte.
¿Cuál es la distancia real entre Maríapan y Riobello? Muestre como llega a la
respuesta
Ningún estudiante chino usó la estrategia de medición. Alrededor de la
mitad de los estudiantes de cada país usaron un enfoque aritmético.
Lectura 4  45
Figura 1: Muestras de respuestas de los estudiantes para el Problema de
Razones Proporciones
(a)
Una estrategia algebraica
(b)
Una estrategia de medición
El Problema Promedio (ver Fig. 3) también proporciona una oportunidad
para los estudiantes de usar el razonamiento algebraico. Para ser exitosos los
estudiantes deben entender el concepto de promedio. Los estudiantes chinos se
desempeñaron significativamente mejor en este problema que los estudiantes
estadounidenses, y un porcentaje significativamente mayor de estudiantes chinos
usaron enfoques algebraicos. En un enfoque algebraico, los estudiantes asumen
que x sombreros fueron vendidos en la semana 4:
(9 + 3 + 6 + x) ÷ 4 = 7
Resolviendo la ecuación para x, ellos determinan la respuesta, la cual es 10.
46  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Figura 3. El Problema Promedio
Ángela está vendiendo gorras para el Club de Matemáticas. El gráfico de abajo
muestra el número de gorras que Ángela vendió en las tres primeras semanas.
Semana 1
Semana 2
Semana 3
Semana 4
¿Cuántas gorras tiene que vender Ángela den la cuarta semana para que el
número promedio de gorras vendidas sea 7? ¿Muestre cómo hallo su respuesta?
Un importante número de estudiantes estadounidenses y chinos usaron
un enfoque aritmético en el cual calcularon el número total de sombreros
multiplicando el número promedio de sombreros por el número de semanas, eso
es, 7 x 4 = 28. Luego calcularon la cantidad de sombreros vendidos durante las
primeras tres semanas, que fue 9 + 3 + 6 = 18 y luego sustrajeron para
determinar el numero vendido en la semana 4, que era 28 – 18 = 10. En este
enfoque aritmético, la respuesta se obtiene trabajando hacia atrás a través de una
cadena de operaciones inversas usando el algoritmo promedio. En contraste, en
el enfoque algebraico, la respuesta se obtiene trabajando hacia delante usando el
algoritmo promedio para describir directamente la situación problema.
Algunos estudiantes estadounidenses resolvieron este problema
sumando o sustrayendo sombreros para “igualar” el número de sombreros
vendidos cada semana al número promedio de sombreros vendidos (7). Estos
estudiantes usaron el número promedio de sombreros vendidos como la base
para alinear la cantidad de sombreros vendidos en las semanas 1, 2 y 3. Siendo
que nueve sombreros fueron vendidos en la semana 1, esa semana tiene dos
sombreros extra. Siendo que tres sombreros fueron vendidos en la semana 2, se
requieren cuatro sombreros adicionales para alinearse con el promedio. Siendo
que seis sombreros fueron vendidos en la semana 3, se requieren un sombrero
adicional para alinearse con el promedio. Para alinear el número promedio de
sombreros vendidos en las cuatro semanas, deben venderse diez sombreros en la
semana 4.
Unos pocos estudiantes usaron una estrategia de ensayo y error: Primero
escogieron un número para la semana 4 luego revisaron para ver si el promedio
de la cantidad de sombreros vendidos en la semana cuatro era 7. Si el promedio
no era 7 escogían otro número para la semana 4 y revisaban de nuevo, hasta que
el promedio fuera 7.
Lectura 4  47
¿Qué podemos aprender de estudios internacionales?
Hallazgos de estudios transversales (ej. Becker, 1992; Cai, 1995) han
demostrado que estudiantes de cuarto y sexto grado están en posibilidad de usar
enfoques algebraicos para resolver problemas. La frecuencia en el uso de
estrategias algebraicas entre los estudiantes estadounidenses y chinos fue
sorprendentemente diferente. Los estudiantes de sexto grado en los Estados
Unidos tendían a usar enfoques visuales más frecuentemente que los estudiantes
chinos. Los estudiantes chinos de sexto grado tendían a usar enfoques
algebraicos más frecuentemente que los estudiantes estadounidenses (Cai, 1995).
Estudiantes japoneses de cuarto grado tendían a usar representaciones
relativamente más sofisticadas en sus procesos de soluciones que sus
contrapartes estadounidenses (Becker, 1992; Silver, Leung y Cai, 1995). En
situaciones en las que estudiantes de cuarto grado japoneses eran más propensos
a utilizar la multiplicación, los estudiantes estadounidenses de cuarto grado eran
más propensos a utilizar la suma.
Las diferencias en los usos de estrategias de soluciones entre los
estudiantes estadounidenses y los asiáticos pueden estar relacionadas con las
prácticas de instrucción. Los profesores chinos son alentados en el uso de
ejemplos concretos o materiales en los salones de clases de matemáticas, pero su
rol es mediar la comprensión de los conceptos matemáticos. El uso
relativamente menor en estudiantes estadounidenses de expresiones matemáticas
y uso más frecuente de representaciones visuales concretas puede sugerir que los
profesores estadounidenses alientan menos frecuentemente a los estudiantes a
irse hacia representaciones y estrategias más abstractas. Los profesores
estadounidenses tienden a creer los niños pequeños necesitan experiencias
concretas para comprender las matemáticas, afirmando en momentos que
experiencias concretas automáticamente llevan a la comprensión (Stigler y
Perry, 1988). Representaciones visuales concretas ayudan a los estudiantes
entender las matemáticas. Sin embargo, deberíamos esperar que los estudiantes
llegaran a la comprensión que vas más allá de la concreción (Clements y
McMilles, 1996). Para facilitar la transición de lo concreto a lo abstracto, los
profesores pueden capitalizar las soluciones de los estudiantes que son más
abstractas. Las discusiones de clases de esas soluciones ayudan a los estudiantes
a ver sus desventajas. Promover la transición de formas de pensamiento
concretas a más abstractas aumenta el éxito de los estudiantes en aprendizaje
posterior (NCTM, 1989).
El hallazgo de que algunos estudiantes de sexto grado fueron capaces de
usar enfoques algebraicos para resolver problemas abiertos indica que es posible
para niños pequeños desarrollar pensamiento algebraico. De hecho, esos
estudiantes de sexto grado estadounidenses que usaron enfoques algebraicos
fueron mejores solucionadores de problemas que aquellos que usaron
representaciones verbales o visuales (Cai, in press). Mientras tanto, los hallazgos
de que los estudiantes estadounidenses son menos propensos que sus pares
48  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
chinos a usar enfoques algebraicos nos reta a buscar mejores formas de
movernos más allá de las experiencias concretas para desarrollar el pensamiento
algebraico de los estudiantes.
El programa de matemáticas, aun en escuelas primarias y media, debería
incluir exploraciones de ideas algebraicas y procesos de modo que los
estudiantes de matemáticas puedan usar el pensamiento algebraico para resolver
una variedad de problemas del mundo real. El desarrollo del pensamiento
algebraico de los estudiantes es un paso importante para convertirse en personas
instruidas en matemáticas y no debería ser pospuesto hasta la escuela media o el
bachillerato. Aquí, una vez más, la experiencia china puede ser de ayuda.
En escuelas primarias chinas, los profesores alientan firmemente a los
estudiantes a resolver problemas de ambas formas aritmética y algebraicamente.
Los libros de texto y los libros de referencia de los profesores en China
contienen ejemplos que muestran como un problema puede ser resuelto usando
diferentes estrategias y recomiendan emplear varias lecciones comparando los
enfoques aritmético y algebraico. También contienen planes de lecciones
ejemplarizantes. Los objetivos de enseñar a los estudiantes a resolver problemas
aritmética y algebraicamente son (1) ayudar a los estudiantes a llegar a la
comprensión profunda de las relaciones cuantitativas representándolas aritmética
y algebraicamente, (2) guiar a los estudiantes a descubrir las similitudes y
diferencias entre enfoques aritméticos y algebraicos, y (3) desarrollar
habilidades y flexibilidad de pensamiento en los estudiantes usando enfoques
apropiados para resolver problemas (Division of Mathematics of People's
Education Press, 1993).
Las guías de los profesores suministradas en los salones de clase chinos
resaltan la importancia de alentar a los estudiantes a representar relaciones
cuantitativas usando diferentes estrategias. El problema del recibo dañado,
mostrado en la traducción de la Figura 4 , es un ejemplo. Se les da a los
estudiantes un recibo de compra dañado de cuatro sillas y dos mesas. En el
recibo los estudiantes pueden ver el número de sillas y de mesas compradas, el
precio unitario por silla y el monto total pagado. Sin embargo, la parte del
recibo con el subtotal de las sillas, el subtotal de las mesas y la parte del precio
unitario de las mesas estaba dañado. Los profesores primero les pidieron
resolver el problema usando tanto el enfoque aritmético como el algebraico,
luego presentar ambos enfoques en el pizarrón. La presentación de los enfoques
permite a los estudiantes compararlos fácilmente.
Después de la presentación de los enfoques, los profesores y los
estudiantes analizan las similitudes y las diferencias y los profesores las
resumen. Por ejemplo, ambos enfoques involucran la siguientes relación
cuantitativa: el costo de compra de las sillas + el costo de compra de las mesas =
al costo total. En el enfoque algebraico, la incógnita o el costo de cada mesa es
representado como x y está directamente involucrado en el proceso de solución.
Lectura 4  49
En contraste, el enfoque aritmético usa valores conocidos hasta que el costo
desconocido de cada mesa es determinado al final. Esta comparación da a los
estudiantes una oportunidad de experimentar las ventajas de usar el enfoque
algebraico para resolver el problema.
Figura 4. El problema de la factura rota y sus dos soluciones
Dos Soluciones
Enfoque Aritmético
El costo total es 328.000.
El costo de comprar cuatro sillas = 4 x Bs. 24.000 = 96.000
Por tanto el costo de comprar dos mesas = Bs. 328.000 – Bs. 96.000 = Bs.
232.000
Bs. 232.000/2 = Bs. 116.000. Entonces cada mesa cuesta Bs. 116.000
Enfoque algebraico
Sea x el costo de cada mesa.
4 x 24.000 + 2x = 328.000
2x = 328.000 - 96.000
x = 116.000
Por tanto cada mesa costó Bs. 116.000
Un vasta colección de ideas de enseñanza lleva al desarrollo de
razonamiento algebraico que puede ser encontrado en el "Pensamiento
Algebraico" se centra en el tema de Enseñándole Matemáticas a los Niños
(NCTM, 1997).
50  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Idea para la Investigación Acción
Ponga un problema como el de Proporción, el del Promedio o el del
Recibo Dañado, el cual haya sido modificado para reflejar un contexto local
familiar para su clase. Mientras los estudiantes trabajan en el problema, observe
sí estrategias aritméticas y algebraicas son utilizadas. Note cuales estudiantes
usan cuales estrategias. Presente a los estudiante distintas estrategias y haga que
analicen las ventajas y desventajas relativas de cada una. Cuando los estudiantes
usen estrategias aritméticas, pídales que traten de usar también estrategias
algebraicas. Puede que no sea apropiado usar los términos aritmético y
algebraico. Usted puede querer colocarles nombre de estudiantes de la clase que
hayan usado las estrategias, tales como la estrategia de Brenda o la estrategia de
Miguel. Note cuales estudiantes tienden a usar cada tipo de estrategia. Continúe
analizando las diferentes estrategias y sus ventajas relativas por un período de
varios meses. Grafique las estrategias usadas por cada estudiante, observe sí el
número de estudiantes que usan estrategias algebraicas aumenta en el tiempo.
Aquí se presentan algunos problemas que pueden ser usados para este
fin. Problemas más complejos, tales como el problema 4, hacen más aparentes
las ventajas de un enfoque algebraico.
• Problema 1: Mi tío Juan compró 5 kilos de mango. El pagó Bs. 10.000 y le
dieron Bs. 7.000 de vuelto. ¿Cuánto cuesta cada kilo de mango?
• Problema 2: La mamá de Juan gastó Bs. 5000 en 4 kilos de cambures y 6
kilos de plátanos. Los cambures le cuestan Bs. 600 por kilo. ¿Cuánto cuesta
cada kilo de plátanos?
• Problema 3: El Sr. González gastó Bs. 360.000 para comprar 3 mesas y 4
sillas. Cada silla cuesta Bs. 35.000. ¿Cuánto cuesta cada mesa?
• Problema 4: La tienda Del Video ofrece dos planes de alquiler. El plan A
cuesta Bs. 18.000 al año con membresía gratis más Bs. 1.500 por video
alquilado. El Plan B no tiene cargo por membresía pero cuesta Bs. 2.000 por
video alquilado. ¿Con qué cantidad de alquiler de video estos planes costarán
exactamente lo mismo en un año?
Lectura 5
Una Nueva Álgebra: Herramientas, Temas, Conceptos
Resumen
El curso tradicional de Introducción al Álgebra ocupa un lugar
fundamental en la escuela secundaria, pero ha sido inaccesible para muchos
estudiantes. Incluso los alumnos que parecen tener éxito en el curso sólo
desarrollan una comprensión superficial del material. Para tratar esto,
proponemos cambios pedagógicos (un acercamiento basado en herramientas) y
un cambio de dirección en el plan de estudios (que centraría su atención en
temas interesantes que relacionan el álgebra con otras actividades). Como un
ejemplo de este acercamiento contextual, basado en herramientas, presentamos
un conjunto de actividades sobre el tema del área, y las investigamos con la
ayuda de herramientas de manipulación, electrónicas, y de matemáticas
tradicional: instrumentos para trabajar con cuadrículas (cubos, papel para
representaciones gráficas, geoplanos, papel de puntos); herramientas de
visualización (diagramas de función, el Lab Gear, gráficos cartesianos);
herramientas de cómputo (calculadoras, graficadores); y herramientas de
papel-y-lápiz (tablas de valores, manipulación de símbolos). Estas actividades
ilustran la manera cómo el enfoque que proponemos conduce a una
comprensión más profunda de conceptos algebraicos tales como la raíz
cuadrada.
I. Necesitamos una Nueva Álgebra
El Álgebra es una Puerta
En un informe del College Board (Consejo de Institutos Universitarios)
denominado Changing the Odds (Cambio de las probabilidades) -1990- se
observó que los estudiantes de todos los grupos étnicos que toman dos años de
matemáticas en la escuela preparatoria tienen grandes probabilidades de
graduarse en la universidad. Ninguna otra materia de la escuela secundaria
muestra una asociación tan fuerte con el éxito académico. Según Donald
Stewart, quien era presidente del College Board: "estos resultados justifican que
se examine seriamente el establecimiento de una política nacional para
garantizar que todos los estudiantes tomen álgebra y geometría... Las
matemáticas son el portero del éxito en la universidad."
El álgebra es, de hecho, una puerta. Desafortunadamente, la puerta está
bloqueada para muchos estudiantes que incluso no han tenido la oportunidad de
tomar el curso. Entre los que lo han cursado, hay muchos que obtienen
calificaciones pésimas, E y hasta F. Incluso aquellos que obtienen calificaciones
51
52  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
promedio o buenas a menudo no la entienden lo suficientemente bien como para
recordar buena parte de la materia al año siguiente.
¿La solución es sustituir el álgebra por una materia más fácil,
posponiendo así los temas tradicionales de álgebra para más adelante? No. La
ubicación estratégica del álgebra en el plan de estudios no es enteramente
arbitraria. Tal y como se menciona en las Normas Curriculares del Consejo
Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM, por sus siglas en inglés):
“El álgebra es el idioma mediante el cual se comunica la mayor parte de
las matemáticas. También ofrece un medio de funcionamiento con conceptos en
un nivel abstracto, y después de aplicarlos, un proceso que fomenta a menudo
generalizaciones y razonamientos más allá del contexto original... la
representación algebraica es un requisito previo para un trabajo formal más
amplio en casi todos los temas matemáticos, incluyendo la estadística, el
álgebra linear, las matemáticas discretas, y el cálculo. Por otra parte, el uso cada
vez mayor de métodos cuantitativos, tanto en las ciencias naturales como en
disciplinas tales como economía, psicología, y sociología, ha hecho del
procesamiento algebraico una herramienta importante para la aplicación de las
matemáticas."
El problema no es si se enseña o no álgebra, sino cómo enseñarla.
Puesto que el enfoque tradicional ha resultado en un terrible fracaso, es hora de
repensar la materia de una manera fundamental.
Para Muchos, la Puerta está Cerrada
La falla del curso tradicional de álgebra proviene de cinco deficiencias
principales:
Unidimensionalidad: El énfasis abrumador que se pone en los cursos de
álgebra en la manipulación de símbolos es demasiado abstracto para muchos
estudiantes; para otros resulta aburrido. A falta de un contexto concreto para la
comunicación, las clases se dividen en dos grupos: los que "lo logran" y los que
no.
Autoritarismo: Todo conocimiento viene del profesor. La meta es manipular
símbolos, y el profesor es la fuente única de información sobre cómo
manipularlos correctamente. Los estudiantes dependen de la memorización de
algoritmos, y como esa es una tarea que se adapta mejor a las computadoras que
a los seres humanos, con frecuencia olvidan y se encuentran desamparados.
Falta de sentido evidente: El trabajo aparentemente no guarda ninguna relación
con las situaciones que los estudiantes pudieran encontrar en la realidad fuera
del aula de clase, o incluso en otras ramas de las matemáticas o de la ciencia.
Dicotomía Destrezas/ Enriquecimiento: la solución de problemas está relegada
al papel del enriquecimiento de conocimientos y está divorciada del propósito
fundamental del curso, que es la adquisición de habilidades limitadas a través de
Lectura 5  53
un ejercicio de repetición.
Organización temática: Los temas se enseñan en capítulos autónomos. Los
estudiantes tienen poco tiempo para absorber una nueva idea antes de pasar a la
siguiente. Incluso los problemas se construyen generalmente para probar una
sola habilidad, más que para recurrir y ejercitar todo el reservorio de
conocimiento matemático de los estudiantes.
Estas fallas son a nivel del plan de estudios y pedagógicos. Puesto que
son parte de la estructura del curso de álgebra tradicional, no podemos tratarlas
mediante la realización de cambios parciales. Es hora de crear una nueva
Álgebra, que presente cambios fundamentales de contenido y pedagogía.
Abrir la Puerta
Aunque no es posible convertir el álgebra en una materia fácil, o no
puede aprenderse sin esfuerzo, puede ser accesible a la mayoría de los
estudiantes. Una nueva álgebra que establezca los Estándares se diferenciaría
significativamente de la materia tradicional en los siguientes aspectos:
Multidimensionalidad: Un curso de este tipo utiliza la interacción de temas y
herramientas, para crear un andamiaje en torno al cual puedan construirse
lecciones en las que se aprendan conceptos de álgebra en un ambiente propicio
para la solución de problemas. (Véase Cuadro 1). La manipulación de símbolos
es solamente un aspecto del curso.
Capacitación a t ravés de Herramientas: Las herramientas de las matemáticas
son objetos (y ambientes electrónicos) que proporcionan modelos concretos y
manipulables de ideas abstractas y complejas, que los hacen accesibles e
interesantes. Son lo que Papert denomina "objetos para pensar" en Mindstorms
(1980), pero no necesariamente son herramientas computarizadas.
Motivación a Través de l os Temas: Los temas son contextos ricos en
conceptos matemáticos, tomados de problemas del mundo real o imaginarios,
donde pueden introducirse, explorarse, desarrollarse, y examinarse conceptos de
álgebra. Los temas bien escogidos pueden dar vida al álgebra, descubrir
relaciones con otras partes de las matemáticas, y apoyar la afirmación de que el
álgebra de hecho tiene aplicaciones.
Habilidades a Través d e la Resolución d e Problemas: La manipulación del
símbolo, más que ser el punto central del curso, se convierte en otra herramienta
para solucionar problemas, que es el principal modo de funcionamiento a lo
largo del curso.
Organización en Espiral: La interacción de herramientas y de temas posibilita
las representaciones múltiples de conceptos y la amplia exposición a ellos. Este
acercamiento permite una visualización previa y revisión sustanciales, y ayuda a
destacar las relaciones entre los conceptos.
54  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Figura 1: Una nueva álgebra
II.
Veinticuatro Actividades
Como ejemplo de este enfoque, resumiremos un grupo de actividades
que exploran el tema del área. Esperamos demostrar la abundancia
extraordinaria de experiencias algebraicas que son el resultado de
investigaciones de este tema con la ayuda de las siguientes herramientas
matemáticas: papel para representaciones gráficas, diagramas de función,
geoplanos, el Lab Gear, calculadoras científicas, y utilidades de graficación
electrónica. Muchas habilidades y conceptos algebraicos son aclarados con este
trabajo. Prestaremos especial atención al concepto de raíz cuadrada, que
generalmente se enseña muy mal en los cursos tradicionales.
Las actividades incluyen algunos problemas clásicos del movimiento
para la resolución de problemas, y algunos otros originales que han resultado
exitosos en nuestras clases. Sin embargo, lo que da mayor fuerza a este enfoque
no son las actividades individuales, sino su uso sistemático y coordinado para
abordar conceptos algebraicos, y la sinergia de sus interacciones. Este enfoque
del álgebra, contextual y basado en las herramientas, proporciona una
alternativa a la puesta en práctica parcial o a la no-puesta en práctica absoluta de
los Estándares de NCTM que pudieran convertirse en la norma, en ausencia de
un nuevo paradigma.
Mientras usted lee esto, le sugerimos que trate de resolver los
problemas. Mientras que a nivel inicial son accesibles a todos los estudiantes,
muchos problemas tienen la profundidad suficiente como para ser de interés
genuino para los profesores de matemáticas, a diferencia de gran parte del
programa de estudios de Álgebra Tradicional I que muchos profesores
consideran necesario, pero aburrido. Esta combinación de acceso, motivación, y
desafío hace que estos problemas resulten interesantes para una amplia sección
representativa de estudiantes, y asegura que esos alumnos estén listos para el
aprendizaje cooperativo y las clases heterogéneas. En la medida en que vaya
tratando de resolver los problemas, observe la variedad de actividades, que van
de lo visual, a lo numérico, a lo simbólico; de enfoques amplios a enfoques
limitados; y de lo exploratorio a lo explicativo. Compare esto con la monotonía
del curso tradicional. La variación en el estilo de las actividades permite llegar a
estudiantes con diversos estilos de aprendizaje, evitar la rutina aislante de la
Lectura 5  55
ejercitación sin motivación, y lograr una riqueza en el contenido matemático que
sería imposible en el formato tradicional.
Lo qué sigue es un resumen. Estas actividades no constituyen una
"unidad" que pueda enseñarse en un tiempo limitado, ni el orden en el que se
presentan es necesariamente el mejor. El objetivo que se busca es que dichas
actividades se difundan durante todo el año escolar, y deben estar sustentadas
por otro problema. Todas las actividades se han utilizado con éxito en clases
relativamente heterogéneas de Álgebra I.
Área sobre papel para representación gráfica
Un poliomino es una figura formada por cuadrados, unidos entre sí uno
al lado del otro. Los poliominos se pueden encontrar mediante la ayuda de
objetos manipulables (cubos o baldosas), o (aunque no de una manera tan
eficiente) simplemente dibujándolos en papel para representaciones gráficas. La
idea de los poliominos da origen a muchas preguntas en el campo de la
geometría combinatoria y de las matemáticas recreativas. Algunas de éstas
pueden mencionarse casualmente en un curso de Álgebra I, como una manera de
proporcionar las relaciones con estas otras partes de las matemáticas, pero
analizarlas en profundidad nos llevaría demasiado tiempo y espacio.
Después de hallar los poliominos hasta el área 5 y descubrir para qué son,
los principales problemas que nos preocupan son los siguientes:
1. ¿Para los poliominos de un área determinada, cuáles son los perímetros
posibles?
2. ¿Más específicamente, para los p oliominos d e un ár ea d eterminada,
cuál es el mayor perímetro posible? ¿el menor?
La investigación de estas interrogantes (con cierta orientación por parte del
profesor, en caso de ser necesario) lleva a los estudiantes a elaborar tablas,
buscar patrones, y graficar datos (de forma lineal y no lineal), que son
actividades recomendadas en los Estándares. La tabla que se elaboró como
producto de esta investigación aparece en el cuadro 2. (Véase también Picciotto,
1986.)
56  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Área
Perímetro Perímetro
más corto mayor
1
4
4
2
6
6
3
8
8
4
8
10
5
10
12
6
10
14
7
12
16
8
12
18
9
12
20
10
14
22
11
14
24
12
14
26
13
16
28
14
16
30
15
16
32
16
16
34
17
18
36
18
18
38
19
18
40
20
18
42
21
20
44
22
20
46
23
20
48
24
20
50
Figura 2: Área Poliomino/Tabla Perímetro
Una generalización en palabras y en notación simbólica es fácilmente
accesible a casi todos los estudiantes, en respuesta a la pregunta sobre el
perímetro mayor. El perímetro mayor es igual al doble del área, más dos. Es
decir, P = 2A + 2. Esta fórmula puede justificarse al referirnos a la tabla de los
valores obtenidos de manera empírica, o más significativamente a través de un
argumento geométrico basado en la forma de poliominos con perímetro máximo.
Lectura 5  57
El perímetro mayor, como función del área, también se puede
representar mediante un diagrama de función (Ver Figura 3).
Figura 3: Diagrama de función para P = 2 A + 2
El diagrama de función es una herramienta para pensar sobre las
funciones que complementan la representación gráfica cartesiana, al hacer
énfasis en las diversas características de funciones. Por ejemplo, conceptos tales
como rango y dominio, la definición de función, función inversa, y el índice del
cambio, son más fáciles de entender con la ayuda de esta herramienta que con
los gráficos cartesianos (Arcavi, 1989). En el ejemplo antes mencionado, es
evidente que siempre que x aumente en 1, y aumenta en 2.
El perímetro menor es un problema sustancialmente más difícil, que
probablemente no será totalmente resuelto en los primeros días de clase. Sin
embargo, es interesante esforzarse en resolverlo, y en la mayoría de las clases se
descubrirá allí un patrón.
Finalmente, los gráficos cartesianos para los perímetros mayores y
menores (Ver Figura 4) pueden servir de base para una discusión interesante
sobre los resultados de esta investigación. Más adelante retomaremos este tema.
58  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Figura 4: Perímetros de poliminó
Área de un rectángulo
El resto de las lecciones asumen que existe cierta familiaridad con la
idea de que el área de un rectángulo es el producto de su longitud y anchura. Los
estudiantes necesitan probablemente repasar esto, preferiblemente con la ayuda
de objetos manipulables (cubos o baldosas) y/o papel para representaciones
gráficas. Una buena manera de lograr este análisis es con los problemas
siguientes:
3. ¿Cuántos rectángulos d iferentes d e á rea 24 puede u sted h acer d e
manera que sus longitudes y anchuras sean números enteros?
4. Conteste a las mismas preguntas para áreas de números enteros del 1 al
36.
El Área en Geoplanos
Otra herramienta para trabajar con cuadrículas es el geoplano, una chapa
de madera con clavos equidistantes en la que los estudiantes crean figuras con la
ayuda de ligas o elásticas. El trabajo que se ha iniciado en los geoplanos puede
terminarse en papel de puntos, en la medida en que aumente la necesidad de que
disminuyan los objetos manipulables. Hay muchos problemas geométricos
interesantes que se pueden analizar con la ayuda de geoplanos. Nos
concentraremos en el siguiente aspecto que nos lleva a un ámbito rico en
aspectos algebraicos:
5. Hallar formas en el geoplano de área 10 (casi todos los números enteros
proporcionarían una actividad igualmente interesante).
El propósito de esto es que los estudiantes comiencen a buscar formas en
la cuadrícula, cuyos lados no sean necesariamente horizontales ni verticales. Es
también una oportunidad de aprender sobre las coordenadas cartesianas como
Lectura 5  59
una manera de comunicarse sobre los clavos del geoplano. En la Figura 5
pueden verse algunas respuestas modelo.
Figura 5: Área 10
6. Encuentre el área de los triángulos del geoplano con un l ado horizontal
y un lado vertical.
Esto ayuda a los estudiantes a utilizar todo lo que saben sobre el área de
un rectángulo para encontrar el área de cierto tipo de triángulo. Es necesario que
el profesor se abstenga de enseñar cualquier fórmula de área en esta unidad,
puesto que la mera exposición a fórmulas que no hayan construido ellos mismos
con frecuencia atemoriza a los estudiantes, los coloca en una actitud mecánica, e
interfiere a menudo con su capacidad de pensar. Todas las técnicas para
encontrar el área deben originarse entre los estudiantes. (Ver Figura 6 para los
tipos de triángulos analizados en los Problemas 6-8.)
Figura 6: Áreas de triángulo
7. Encuentre el área de los triángulos del geoplano que tienen un lado
horizontal o un lado vertical.
Esto ayuda a los estudiantes a desarrollar las nuevas técnicas para
encontrar áreas del geoplano, incluyendo especialmente la suma, resta, y
división entre dos. Muchos estudiantes tienen también la idea errónea de que el
"área es cuando se multiplica". Esta actividad es una buena ocasión para aclarar
60  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
el significado del área, mientras se discuten operaciones en un contexto
concreto.
8. Encuentre el área de los triángulos del geoplano con vértices en (0,0), (b,
0), (x, y).
Una vez más una investigación completa sobre esto nos conduce a
tablas, patrones, y funciones interesantes, y al uso de variables. En particular,
resulta interesante descubrir que el área es una función de b y de y, pero no de x.
Los problemas como #2 y #8 brindan a los estudiantes la posibilidad de
buscar patrones en datos numéricos. Es útil a este nivel analizar datos de
naturaleza matemática, con los que resulta más fácil de trabajar. (Esto no implica
negar la importancia de manejar datos "reales”, cosa que también debe hacerse).
9. Encuentre cuadrados en el geoplano de todos los tamaños posibles.
En un geoplano de 11 por 11 se pueden encontrar 33 cuadrados
diferentes. Para los estudiantes resulta un desafío visual encontrarlos todos,
particularmente aquellos cuyos lados no son horizontales ni verticales. En la
Figura 7 se muestran algunos ejemplos. A través de esta investigación se puede
generar una discusión interesante sobre la inclinación, y sobre la inclinación de
las líneas perpendiculares, pero no vamos a examinar ese punto ahora. Otro tema
interesante es la exploración del número de cuadrados que hay en un geoplano
con dimensiones n por n, como una función de n.
Figura 7: Cuadrados de geoplano
10. Encuentre las áreas de los cuadrados del geoplano.
Con los cuadrados horizontales-verticales, esto lleva a una discusión
sobre cuadrados perfectos. Con otros cuadrados, se puede encontrar otro patrón
interesante, más complejo. Una estrategia basada en la sustracción consiste en
encajar el cuadrado en un cuadrado horizontal-vertical más grande, según se
muestra en la Figura 7, y restar los triángulos adicionales. (Una investigación
interesante en este punto consiste en utilizar esta técnica para encontrar el área
de los cuadrados construidos en los lados de los triángulos rectos, lo que por
supuesto conduce al descubrimiento del teorema de Pitágoras).
Lectura 5  61
Después de analizar muchos ejemplos específicos, se puede desarrollar
una estrategia para encontrar las áreas de manera eficiente. Los estudiantes
pueden incluso encontrar un fórmula: A = (a+b)2-2ab, donde a y b se definen
como en la Figura 7, y A es el área. La simplificación no es necesaria en esta
etapa, pero si los estudiantes saben cómo hacerlo, hallarán interesantes
resultados.
11. Encuentre los lados de los cuadrados, dada su área.
Esta es una oportunidad para definir la raíz cuadrada de un número, en el
contexto de los cuadrados perfectos (cuadrados horizontales-verticales), y en
general. Los lados de los cuadrados de área conocida se pueden medir en papel
de puntos en centímetros. Se pueden utilizar calculadoras para hallar valores más
exactos.
12. Encuentre la distancia que existe entre dos clavos de un geoplano.
A este nivel, los estudiantes no saben la fórmula de distancia e incluso
tal vez ni sepan el teorema de Pitágoras o ni piensen en usarlo aunque lo
conozcan. Sin embargo todas las actividades con el área y el Problema 11 han
preparado a los estudiantes para el método siguiente: construir un cuadrado, uno
de cuyos lados sea el segmento que conecta los clavos; encuentre su área; saque
la raíz cuadrada.
13. Utilice la Figura 8 y el concepto del área de un cuadrado para explicar
por q ué u na calculadora ar roja e l mismo va lor para 2·S QRT(5) y
SQRT(20).
Figura 8: √5, 2√5, 3√5, √20,…
14. Una pregunta similar se podría hacer sobre 3·SQRT(5) y la raíz cuadrada
de otro número. ¿Cuál es el número? Explique.
Después de discutir estos problemas, a los estudiantes se les puede pedir
que generalicen sobre n·SQRT(5), donde n es un número natural.
Área con el Lab Gear
Lab Gear es un sistema que puede ser utilizado para modelar muchos de
62  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
los conceptos y técnicas del álgebra (Picciotto, 1990). Parte del modelo depende
del “modelo de área de multiplicación”; en otras palabras, el hecho de que el
área de un rectángulo es igual al producto de su longitud y anchura. En la Figura
9 se muestran algunos de los componentes del Lab Gear, de tres bloques que
representan números, y dos que representan variables.
Figura 9: El Lab Gear
Una vez definidos los bloques de x y de y, es posible identificar el resto
de los bloques. Por ejemplo, la Figura 10 muestra 5x. El valor de este bloque
puede verse mediante el conteo, o colocándolo en la pieza de la esquina, donde
las dimensiones del rectángulo pueden encontrarse rápidamente.
Figura 10: Multiplicación
Mediante este método, se puede identificar el resto de los bloques. (Ver
Figura 11).
Figura 11: más Lab Gear
15. Demuestre 6x 2 con Lab Gear. Reorganice los bloques en un rectángulo.
Para este rectángulo, escriba la ecuación “longitud por anchura es igual al
área”. Reorganice l os b loques en ot ro rectángulo, y escriba una ecuación
para ella también.
Esta actividad puede incluso llevarse a tres dimensiones, en el contexto
del volumen de una caja.
16. Repita el problema anterior con 2x2+4x, y luego con 2x2+4x+2.
El trabajo con objetos, ofreciendo a los estudiantes experiencia
“práctica” con variables, puede ayudar a los estudiantes a evitar algunos errores
Lectura 5  63
comunes. Por ejemplo, se disiparía rápidamente la confusión de todo
principiante entre 2x, 2 + x, y x2. Todas estas cantidades aparecen en la Figura
12: es obvio que ni siquiera remotamente se parecen entre sí.
Figura 12: La ley distributiva
El propósito de la actividad anterior (y de otras como esa) es que los
estudiantes desarrollen una comprensión visual de la regla distributiva. El
problema era equivalente a factorizar la expresión. Comenzar con esta forma de
factorización ayuda a los estudiantes a desarrollar una sensibilidad por la ley
distributiva, que entonces se introduce fácilmente, inicialmente en la siguiente
forma: "multiplique cada bloque de la izquierda por cada bloque hasta arriba” –
asegúrese de obtener un rectángulo (o un cuadrado)."
Los Estándares nos animan a poner menos énfasis en la factorización.
Esto es absolutamente correcto en el sentido de que la factorización no es una
habilidad muy importante, ni en matemáticas ni en sus otras aplicaciones. Sin
embargo es un concepto importante, y sería un error eliminar la factorización del
plan de estudios. Desarrollar la habilidad para factorizar expresiones
complicadas es una pérdida de tiempo, pero un estudiante que no pueda
descomponer en factores una expresión algebraica no entiende plenamente la
multiplicación ni la ley distributiva.
La factorización y la distribución con objetos manipulables pueden
ayudar a que los estudiantes eviten otro error común: "la distribución del
cuadrado". (x+5)2 puede construirse fácilmente con el Lab Gear, y obviamente
no es igual a x2+25. Esta representación puede incluirse en un desarrollo
práctico para concluir el cuadrado. De hecho, la identidad de (a+b)2 se puede
descubrir con Lab Gear, y uno puede utilizar esa información para simplificar la
expresión anterior para el área de un cuadrado mientras se trabajaba sobre el
geoplano.
“Radical Gear”
La yuxtaposición mental del Lab Gear con el geoplano nos conduce a la
idea de una herramienta nueva: "rad gear", o bloques similares al Lab Gear de
tamaño sugerido según los cuadrados del geoplano. Por ejemplo, se puede hacer
un conjunto de bloques pegando papel de puntos de centímetro sobre una
64  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
cartulina, y cortándolo según el patrón que aparece en la Figura 13.
Figura 13: “Rad gear”
17. H aga u n r ectángulo en l a e squina, u sando s eis b loques “ rad g ear” d e
área 5.
a. Escriba una ecuación de la forma "longitud por anchura es igual al
área".
b. Compruebe la multiplicación con una calculadora.
18. Repita, utilizando cuatro bloques SQRT(5) y dos bloques 5.
Este tipo de problemas sienta las bases para una comprensión más sólida
de lo que sucede al manipular radicales. La meta no es tener exactitud en la
habilidad obsoleta de las simplificaciones complejas que implican muchos
radicales. Más bien, consiste en entender mejor la raíz cuadrada, una operación
fundamental.
Problemas de área del "mundo real"
Los ejemplos que hemos visto hasta ahora fueron generados por la
interacción del tema del área con diversas herramientas del aula. Otra dirección
Lectura 5  65
en la que podemos incursionar es la de ver el área en el contexto de los llamados
problemas “del mundo real”.
19. Se tienen 28 pies de verja para cercar un corral rectangular. ¿Cuál es el
largo, el ancho, y el área del corral en cuestión?
Una vez más los estudiantes pueden construir tablas, gráficos, y
diagramas de función basados en su investigación empírica. Una vez más surgen
patrones, y se pueden expresar de forma algebraica.
Se puede hacer una relación con el Lab Gear al llamar a la longitud y a
la anchura x e y. Entonces, se tiene la ecuación 2x+2y=28, y los bloques nos
permiten una solución manipulable al problema de expresar y en términos de x.
(Ver Figura 14. Una convención de Lab Gear es que cualquier bloque puesto "en
la parte de arriba" -- encima de otro bloque -- está precedido por un signo de
menos. La parte descubierta del bloque de abajo representa "lo que queda"
después de una sustracción. La línea vertical representa el signo igual.)
66  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Figura 14: Solución para y
Tenemos que y = 14-x, así que el área se puede expresar en términos de
x: A = x(14-x)
Una vez que las funciones se expresen en términos de una variable, x,
pueden ser incorporadas en la calculadora de representación gráfica. El hacer la
representación gráfica a mano permite, en casos simples, que los estudiantes
utilicen la graficación electrónica con mayor comprensión. (No es necesario ni
deseable ver una utilidad de graficación como una "caja negra".) Ver la Figura
15 para los gráficos como aparecen en un graficador electrónico. Los gráficos se
pueden utilizar para ayudar a responder los siguientes problemas:
20. ¿Qué dimensiones dan el área máxima si se da el perímetro de un
rectángulo?
Observe que antes de la pregunta hicimos el planteamiento general de la
relación entre las tres variables, antes de centrarnos en el problema. Esto da a los
estudiantes la posibilidad de decidir por sí mismos qué gráfico van a utilizar para
dar respuesta a la pregunta.
Figura 15a: perímetro constante
Lectura 5  67
Figura 15b: Área constante
21. Usted puede darse el lujo de tener 36 pies cuadrados de Astroturf para un
corral rectangular. ¿Cuál es la longitud, la anchura, y el perímetro del corral
en cuestión?
Como para este momento los estudiantes han tenido mucha práctica con
relaciones funcionales en varias representaciones, pueden deducir la función que
expresa perímetro en términos de uno de los lados (P = 2x + 72/x). Una
comprensión generalizada del comportamiento que tienen funciones de este tipo
es "demasiado difícil para Álgebra I". Sin embargo, después trabajar con
ejemplos más simples, y con la ayuda de un graficador electrónico, es
perfectamente legítimo presentar a los estudiantes los dos problemas siguientes.
22. ¿Qué dimensiones dan el menor perímetro para un rectángulo si se da el
área?
23. ¿Hay un rectángulo cuyo perímetro sea 28 y área 36?
Graficación de la Raíz Cuadrada
Al hacer un análisis retrospectivo de los problemas discutidos hasta
ahora, podemos ver que el uso de una serie de herramientas matemáticas permite
que los estudiantes desarrollen más de una representación para los conceptos de
álgebra. En particular, hemos analizado el concepto de raíces cuadradas con la
ayuda de los geoplanos, el modelo Lab Gear, y las calculadoras. ¿Qué tal si
intentamos utilizar la calculadora de representación gráfica para enfocar el
mismo concepto de una cuarta forma?
68  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
24. ¿Qué números tienen una raíz cuadrada que sea
a. ¿igual al número?
b. ¿menor que el número?
c. ¿mayor que el número?
Es una buena idea comenzar por explorar esto mediante ensayo y error
en una calculadora científica. Sin embargo, los estudiantes ganarán más agudeza
mediante la graficación de las funciones y = √x e y = x. (Ver Figura 16).
Figura 16: la función de la raíz cuadrada
Una Extensión
Un lector observador con memoria fotográfica podría notar que la forma
del gráfico de la raíz cuadrada recuerda en cierta forma al gráfico del perímetro
mínimo para un área dada del poliomino. Los dos gráficos se muestran en el
mismo eje en la Figura 17.
Lectura 5  69
Figura 17: Perímetros mínimos de poliomino
La manipulación de los gráficos mediante el cambio en los parámetros
puede ayudarnos a lograr un mejor ajuste. (Ver Figura 18.) Nótese que la
comparación gráfica con 4 sirve para recordar las ideas que ya teníamos sobre
los geoplanos y con el "radical gear".
Figura 18: Ajustando una curva
Obviamente, no hemos terminado este problema. Podríamos mejorar el
ajuste cambiando la curva hacia arriba una unidad, o mejor todavía, utilizando la
mayor función de los enteros. Finalmente, podríamos discutir la razón de este
70  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
ajuste relacionando lo que aprendimos en el problema del perímetro mínimo (en
el caso continuo del rectángulo con área dada) con los datos que se originaron en
el problema del perímetro mínimo (en el caso discreto de un poliomino de área
dada). ¿Hasta qué punto dependerá de su clase y de su juicio el tratar de
solucionar este problema con sus estudiantes?
III. Herramientas, Temas, Conceptos
Herramientas
Mientras realizábamos las actividades, utilizamos, o podríamos haber
utilizado, las siguientes herramientas matemáticas manipulables, electrónicas, y
tradicionales: herramientas para trabajar con cuadrículas (cubos o baldosas,
papel para representaciones gráficas, geoplanos, papel de puntos); herramientas
de visualización (diagramas de funciones, Lab Gear, gráficos cartesianos);
herramientas de cómputo (calculadoras, graficadores); y herramientas del papel
y lápiz (tablas de valores, manipulación de símbolos).
Vemos cuatro ventajas principales de un enfoque basado en
herramientas:
Acceso: Al proporcionar la retroalimentación inmediata, estas herramientas
permiten que todos los estudiantes se involucren en conceptos matemáticos
significativos: análisis de datos; uso de tablas, búsqueda de patrones;
generalización y uso de variables; funciones lineares, cuadráticas, y racionales;
cuadrados, raíces cuadradas y operaciones con radicales; la ley distributiva y
factorización; optimización y resolución de ecuaciones; para no mencionar las
relaciones con muchos otros temas.
Discurso: Las herramientas también facilitan la transición de un formato de
clase tradicional a uno donde la norma está basada en el descubrimiento del
aprendizaje, la solución de problemas, y el trabajo cooperativo. No sólo son
objetos con los que se piensa, sino también objetos sobre los que se puede
hablar. En lugar de que la autoridad del profesor se convierta en el árbitro único
de la corrección, las herramientas permiten que los estudiantes utilicen el
razonamiento y la discusión sobre una referencia concreta como una manera de
juzgar la validez de declaraciones matemáticas.
Independencia: Mientras que los estudiantes trabajan con las herramientas en
un cierto plazo y desarrollan una mayor comprensión de los conceptos del
álgebra, tienen cada vez menos necesidad de ciertas herramientas (tales como los
objetos manipulables o los diagramas de funciones), que han servido
simplemente como puente para entender ideas abstractas. Por otra parte, se
convierten en usuarios más sofisticados de otras herramientas, (como por
ejemplo calculadoras y graficadores electrónicos), que seguirán siendo útiles a
través de sus carreras matemáticas. En ambos casos, los estudiantes son más
independientes, y por lo tanto más seguros de sí mismos.
Lectura 5  71
Representaciones Mú ltiples: Hay una sinergia en la interacción de las
herramientas matemáticas. Un estudiante que haya pensado en raíces cuadradas
de una manera multidimensional, con la ayuda de geoplanos, de papel de puntos,
de “radical gear”, calculadoras, y calculadoras graficadoras, tiene mucha mayor
capacidad para entender que uno que sólo haya practicado operaciones
inmateriales con los radicales, particularmente si las relaciones entre las
representaciones se han hecho explícitas.
Temas
Las veinticuatro actividades fueron inspiradas en el tema del área. Las
diversas herramientas, temas y conceptos que tocamos están interrelacionadas,
como puede verse en el mapa de estas conexiones (Figura 19). Naturalmente, no
podíamos abordar todo lo que aparece en este artículo, pero no es irreal suponer
que muchos de estos temas estén entre los que se estudian en un curso de un año.
Nótese que las numerosas relaciones que existen entre los temas de álgebra, y
entre ellos y los temas geométricos se hacen evidentes por el enfoque temático,
aunque éste se ve opacado en el plan de estudios tradicional que asume una
secuencia arbitraria dentro del álgebra, y no puede hacer las conexiones
geométricas. (el mapa correspondiente al curso tradicional de álgebra puede
verse en la Figura 20.)
72  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Según lo demostrado anteriormente, los temas geométricos tales como el
área y la distancia son una mina de oro para el trabajo de álgebra. Sin embargo,
Lectura 5  73
puesto que en un curso introductorio de álgebra se deben incluir asuntos tales
como funciones exponenciales, leyes de exponentes, ecuaciones y
desigualdades, etcétera, se necesitarán otros temas. Aquí aparecen algunos
ejemplos de los temas que hemos considerado ricos en contenido matemático en
un nivel apropiado: movimiento; optimización; crecimiento y cambio;
restricciones satisfactorias; elaboración de comparaciones. Los temas bien
escogidos ofrecen:
Conexiones con el álgebra y otras ramas de las matemáticas.
Motivación para temas específicos y para el aprendizaje del álgebra en general.
Aplicaciones en otros campos.
El enfoque en espiral, puesto que una idea fundamental se puede ver de
antemano, y examinar posteriormente, cada vez en el contexto de un tema
diferente.
Conceptos
Aunque la manipulación de símbolos es una herramienta útil, la
manipulación exacta y/o rápida ya no se justifica como una meta central de la
nueva álgebra. Por el contrario, la meta debería ser la comprensión de los
conceptos. Las herramientas y los temas son los medios, no el fin: su propósito
es ayudar a crear un curso en el que los estudiantes puedan aprender conceptos
de álgebra tales como función, números, variables, operaciones, ecuaciones, y en
términos más generales, estructuras matemáticas. Las herramientas y los temas
crean un ambiente que faculta y motiva a los estudiantes, en el que la resolución
de problemas, el descubrimiento y el aprendizaje cooperativo pueden prosperar,
y donde las habilidades pueden desarrollarse naturalmente y en contexto.
Aunque las herramientas y los temas bien seleccionados son necesarios,
no son suficientes para garantizar que los estudiantes generalizarán y
transferirán su comprensión de un contexto a otro. Básicamente, esto vendrá de
que nuestros estudiantes aprendan cómo pensar matemáticamente, lo que puede
lograrse mejor a través del trabajo en grupo, de discusiones orientadas por el
profesor, y la escritura , y estará mejor supervisado a través de una serie de
técnicas de evaluación tales como informes, proyectos, y pruebas. Estos
cambios, que aparecen bien descritos en los NCTM Standards (1989, 1991),
deben realizarse conjuntamente con la puesta en práctica del enfoque contextual
basado en las herramientas.
En la medida en que se profundice la comprensión de los conceptos del
álgebra por parte de los estudiantes, ellos estarán ganando sentido del símbolo:
una valorización del poder del pensamiento simbólico, una comprensión del
momento y la forma de aplicarlo, y una percepción de la estructura matemática.
El sentido del símbolo es un nivel de la instrucción matemática que va más allá
del sentido de número. Es el requisito previo y verdadero para un trabajo
74  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
avanzado en matemáticas y ciencias, y el propósito real de un nuevo curso de
Álgebra.
Figura 21: Modelo sugerido de una nueva álgebra
Lectura 6
Enseñanza y Aprendizaje Álgebra desde el Preescolar hasta
Último Grado de Secundaria
La forma en que se organiza un currículo matemático configura la
oportunidad de aprendizaje de los estudiantes. Una agenda de investigación
dirigida a entender y apoyar el desarrollo de la competencia matemática debe
examinar las formas en las que la instrucción de las matemáticas es organizada.
Esto debe hacerse estudiando de cerca la organización y presentación de temas
y habilidades matemáticos particulares en el currículo escolar.
La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas son probablemente
mejor estudiadas dentro de los dominios (campo) y contextos matemáticos
específicos, pero pueden haber aspectos de la enseñanza y aprendizaje de la
matemática que son más generales y que pueden ser estudiados a través de
múltiples dominios y contextos. Cuando se ha conducido previamente una
investigación sistemática centrada en el aprendizaje de áreas especificas de las
matemáticas, por ejemplo una investigación sobre el aprendizaje temprano por
niños de números, suma y resta, el beneficio de la enseñanza y el aprendizaje es
sustancial 3. Esta experiencia sugiere que sería fructífero centrar investigaciones
coordinadas en cómo los estudiantes aprenden dentro de otros dominios de
interés de la matemática escolar. Esta investigación debe incluir estudios de
como se desarrolla en el tiempo la comprensión, destreza y habilidad para usar
ese conocimiento es esos dominios. También debe incluir estudios de cómo se
configura dicho aprendizaje en virtud de las variaciones en como se ofrece la
instrucción a los estudiantes, por la forma en que esa instrucción es organizada
dentro de las escuelas y por la amplitud de las políticas y contexto ambiental
que afecta la forma en que las escuelas trabajan. Por varias rezones, las cuales
analizaremos de seguidas, el Panel de Estudio de Matemáticas RAND
(recomienda que el tema de interés inicial de elección para investigación
centrada, coordinada y de desarrollo debe ser el álgebra. Definimos el álgebra
de forma amplia para incluir la forma en que se desarrolla a lo largo del
currículo de kindergarten hasta el 12° grado (K-12) y su relación con otros
temas de interés matemáticos entre los que se cuenta el álgebra y con los cuales
tiene conexión.
Álgebra como Dominio Matemático y Materia Escolar
Utilizamos el término "álgebra" para cubrir ampliamente las ideas y
3
Killpatrick, Swafford & Findell, 2001.
75
76  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
herramientas matemáticas que constituyen la rama mas amplia de la disciplina,
incluyendo temas de interés y extensiones modernas de la materia. El álgebra es
el fundamento de todas las áreas de las matemáticas porque proporciona las
herramientas (ej. el lenguaje y estructura) para la representación y análisis
cuantitativo de relaciones, para situaciones de modelaje, para la resolución de
problemas y para establecer y probar generalizaciones. Un aspecto importante
del álgebra en las matemáticas contemporáneas es su capacidad para
proporcionar y unificar conceptos matemáticos generales. Esta capacidad es un
recurso poderoso para construir coherencia y conectividad en el currículo
matemático de las escuelas, a través de los grados y a través de ambientes
matemáticos.
Históricamente, el álgebra comienza con la introducción de símbolos en
letras en expresiones aritméticas para representar nombres de cantidades
indeterminadas. Estos símbolos pueden ser “desconocidos” en una ecuación
para ser resueltos o las variables en una relación funcional. En la medida que
los usos y las ideas del álgebra se han expandido, han venido a incluir
descripciones estructurales de sistemas numéricos y sus generalizaciones, y
también las nociones básicas de funciones y sus usos para el fenómeno de
modelaje empírico, por ejemplo como una forma de codificar modelos (diseño)
emergentes observados en data. El álgebra sistematiza la interpretación y
análisis de fórmulas, ecuaciones y funciones que hacen mucho de lo que es la
matemática y sus aplicaciones. El álgebra, tanto como dominio (campo)
matemático como materia escolar, abarca todos estos temas.
Los investigadores han realizado muchas recomendaciones acerca del
enfoque curricular apropiado para el álgebra escolar, así como que constituye
competencia en álgebra K-12 4. Común a la mayoría de estas recomendaciones
son las siguientes expectativas relacionadas con la competencia algebraica.
4
•
La habilidad de trabajar de forma flexible y significativamente con
fórmulas o relaciones algebraicas, para usarlas para representar
situaciones, para manipularlas y para resolver las ecuaciones que
ellas representan.
•
Una compresión estructural de las operaciones básicas de aritmética
y de las representaciones de anotación de números y operaciones
matemáticas (por ejemplo valor del lugar, anotación de fracciones,
exponenciación).
Véase por ejemplo, el Consejo Nacional de Profesores de Matemática 2000; Achieve
2000; Alianza Aprendizaje Primero, 1998; y varios esquemas o planes estadales de
matemáticas (por ejemplo, un plan de matemática para California en
www.cde.ca.gov/board/pdf/math.pdf, un plan de matemática para Georgia en
www.doe.kl2.ga.us/sla/ret/math-grades-l-8-edited.pdf, y un plan de matemática para
Illinois en www.isbe.net/ils/math/math.html).
Lectura 6  77
•
Una buena comprensión de la noción de función, incluyendo la
representación de funciones (por ejemplo, en formas de tablas,
analítica y grafica) teniendo un buen repertorio de las funciones
básicas (polinomios lineales y cuadráticos, y funciones
exponenciales, racional y trigonométricas), y usando funciones para
estudiar el cambio de una cantidad en relación con otra.
•
Saber como identificar y nombrar variables significativas para
modelar contextos cuantitativos, reconocer modelos y usar
símbolos, fórmulas y funciones para representar esos contextos.
Estas recomendaciones también apelan a los conceptos del álgebra para
ser conectados coherentemente a través de los años de primaria y secundaria y
para la instrucción que realiza estas conexiones. Consistente tanto con la
dirección del estado como con los esquemas y estándares nacionales, y las
visibles tendencias en materiales de instrucción usados a través de los Estados
Unidos, nuestra investigación propuesta examinaría la enseñanza y aprendizaje
del álgebra e ideas fundacionales y habilidades relacionadas comenzando con la
primaria y extendiéndola a través de los niveles de secundaria.
Por ejemplo, cuando niños de cinco años investigan la relación entre
barras de madera de colores de diferentes tamaños, están ganando experiencia
con las nociones fundamentales de proporcionalidad y medida, un ejemplo del
uso de modelos para comprender relaciones cuantitativas. Cuando, como un niño
de seis años, ellos representan estas relaciones simbólicamente, están
desarrollando las sensibilidades y habilidades matemáticas que pueden
prepararlos para aprender más tarde nociones algebraicas. Y cuando un niño de
siete años” cuenta salteado”, por ejemplo de dos en dos empezando por el
número tres (3, 5, 7 y así sucesivamente), pueden estar ganando experiencia con
las ideas básicas de relaciones lineales, las cuales son la base para comprender
modelos, relaciones y funciones.
A nivel medio de escuela, conexiones de razonamiento proporcional con
la geometría y medidas aparecen en la siguiente forma de análisis: Si se dobla la
longitud, ancho y profundidad de una piscina, entonces llevará cerca del doble
de baldosas en el borde superior de la piscina, cuatro veces la cantidad de pintara
para cubrir los lados y el fondo y ocho veces la cantidad de agua para llenarla.
A nivel de secundaria, el siguiente ejemplo ilustra varios de los temas
anteriores simultáneamente. Considere la temperatura T, de un recipiente de
helado sacado del congelador y dejado en un cuarto caliente. En cambio en T en
el tiempo t (medido periódicamente después de sacarlo) puede ser modelado
como una función,
T(t) = a - b2-t + b
donde a y b son constantes y b es positiva. Transformando este fórmula
algebraica a la forma
78  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
T(t) = a + b(1- 2-t)
y usando el conocimiento de funciones exponenciales, podemos ver que T(t)
aumenta periódicamente a una hora t = 0 hacia a + b a medida que el tiempo
avanza. Esto es porque mientras t aumenta, 2-t disminuye hacia cero. Muchos
matemáticos y educadores estarían de acuerdo en que los estudiantes deberían
alcanzar un nivel de competencia que les permita ver lo que a y a + b cada uno
representa, esto es, la temperatura de congelamiento y la temperatura de la
habitación respectivamente. Este nivel de competencia involucra entender lo que
significa para esta formula hacer un modelo del fenómeno en cuestión y
transformar la formula algebraica para hacer que ciertas características del
fenómeno sean más visibles al ser modeladas. También involucra la
interpretación de los términos de la fórmula y la comprensión de lo que la
formula dice acerca del fenómeno que modela.
En este caso, la formula para T fue dada y fue analizada
algebraicamente. Pero, ¿cómo se llega a dichas fórmula para comenzar? Esta es
(usualmente más difícil) la fase empírica de modelar un fenómeno, en el cual se
colecta cierta información, digamos, un conjunto de medidas T en ciertos
momentos en el tiempo, quizás dados por cierta fuente de data o información
electrónica, y luego se selecciona de un repertorio lo que mejor modela la data o
información. Este proceso puede ser bastante complejo pero es con frecuencia
realizable con el uso de tecnología para la mayoría de los modelos típicamente
incluidos en los currículos (programas) escolares. La educación comunitaria está
en medio de un período de cambios importantes en el álgebra escolar, con
visiones cambiantes y competitivas acerca de quién debe tomarla, quién debe
aprenderla, que debe cubrir y como debe ser enseñada. Tan reciente como hace
diez años, la situación era más estable: Generalmente, el álgebra era el campo de
los estudiantes universitarios, principalmente aquellos encaminados hacia
carreras en ciencias. El álgebra fue tomada como un curso separado visto por
primera vez en secundaria, se centraba en estructuras y procedimientos y con
frecuencia la enseñanza enfatizaba la fluidez procedimental y la competencia en
la manipulación de símbolos.
El álgebra escolar de hoy en día es interpretada por una variedad de
personas, incluyendo matemáticos, personas de negocios, profesores de
matemáticas y redactores de políticas, para hacerla un campo amplio abarcando
una amplia gama de materias. Muchas personas piensan que debía requerírsele a
todos los estudiantes, no sólo a unos pocos, y que debería tratarse a lo largo de
todos los grados no solo en secundaria. Los profesores y promotores de
materiales de instrucción están ahora comprometidos en ayudar a los estudiantes
de álgebra de tal forma que sea significativa y aplicable a un amplia gama de
contextos. Adicionalmente, las herramientas tecnológicas (por ejemplo:
Calculadoras gráficas y tutores de álgebra computarizados) disponibles para
ayudar a los estudiantes a entender y usar el álgebra, han cambiado
radicalmente. El álgebra escolar de hoy en día es dinámica en todos los aspectos.
Lectura 6  79
Beneficios de Concentrarse en el Álgebra
Seleccionamos el álgebra como área inicial de concentración para la
investigación propuesta y desarrollo del programa por tres razones
fundamentales.
La Primera, tal y como analizamos anteriormente, el álgebra es
fundamental para explorar la mayoría de las áreas de las matemáticas, ciencia e
ingeniería. Las anotaciones, pensamiento y conceptos algebraicas son también
importantes en una serie de contextos laborales y en la interpretación de la
información que los individuos reciben en sus vidas diarias.
Una segunda razón para seleccionar el álgebra como un área inicial de
concentración es su único y formidable rol guardián en la educación de K-12.
Sin competencia en álgebra, los estudiantes no pueden tener acceso a toda la
gama de opciones educativas y de carreras, y tienen oportunidades limitadas de
éxito. La falla en aprender álgebra está extendida y las consecuencias de esta
falla son tales que demasiados estudiantes están desprovistos de este derecho.
Esta restricción de oportunidades cae directamente sobre grupos ya
desaventajados y exacerba las desigualdades existentes en nuestra sociedad.
Mosses y Cobb discuten enérgicamente que el álgebra debía ser vista como "el
nuevo derecho civil" accesible a todos los ciudadanos Norteamericanos 5:
... una vez colocado exclusivamente como el guardián de las altas
matemáticas y el sacerdocio que ha ganado acceso a el, (el álgebra)
ahora es el guardián para la ciudadanía y la gente que no la tiene es
como la gente que no podía leer ni escribir en la era industrial... (la
falta de acceso al álgebra) se ha convertido no en una barrera para
entrar en la universidad sino en una barrera a la ciudadanía. Esa es la
importancia del álgebra que emerge con la nueva alta tecnología.
Finalmente, muchos liceos estadounidenses ahora exigen a los
estudiantes que demuestren competencia sustancial en álgebra antes de que
puedan graduarse. Estas exigencias son el resultado de estándares altos para las
matemáticas que están siendo adoptados por la mayoría de los estados como
resultado de la presión publica en general por estándares más altos y sistemas de
responsabilidad asociados. La reciente legislación “Que Ningún Niño se Quede
Atrás" ha reforzado estos movimientos. El aumento significativo en las
expectativas de desempeño en competencia en álgebra asociada con estos
estándares imponen retos para los estudiantes y profesores por igual. En el corto
plazo, la falta de investigaciones fuertes y utilizables en apoyo de mejoras en la
instrucción del álgebra probablemente liderará intervenciones y decisiones sobre
políticas fragmentadas y no sistemáticas. Estas intervenciones serán vulnerables
a la polémica de un ambiente político divisible. En el largo plazo, la
investigación y desarrollo aparejados con ensayo y evaluación serán necesarios
5
Moses & Cobbs, 2001.
80  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
para crear nuevos materiales, habilidades de instrucción y programas que
permitan el logro de altos estándares de competencia en las matemáticas.
Otros dominios (campos) de las matemáticas, tales como las
probabilidades, estadística o geometría, pueden competir por atención, junto con
el álgebra en nuestra investigación propuesta y programa de desarrollo. Cada
uno de estos campos es importante y pueden esgrimirse argumentos fuertes por
los cuales cada uno sería un buen punto de concentración para un trabajo
coordinado. Esperamos que, con el tiempo, el trabajo sistemático sea apoyado en
estas áreas. Todavía el álgebra ocupa un lugar importante entre los distintos
campos porque es más que un campo o dominio de interés. Proporciona
herramientas lingüísticas y de representación para el trabajo a través de las
matemáticas. Es una escogencia estratégica para enfocar temas de equidad en la
educación de las matemáticas y su preeminencia centralista y política la hace un
escogencia lógica para un primer enfoque dentro de un nuevo programa
coordinado de investigación y desarrollo.
¿Qué n ecesitamos sab er ac erca de la Enseñanza y Aprendizaje d el
Álgebra?
El álgebra es un área en la cual ya ha sido conducida importante
investigación educativa. Desde 1970, investigadores en los Estados Unidos y
alrededor del mundo, han estudiado sistemáticamente cuestiones acerca de
estudiantes aprendiendo álgebra y acumulando conocimiento útil sobre las
dificultades y equivocaciones que los estudiantes tienen en este campo. Los
investigadores han visto a los estudiantes entender términos y expresiones
literales, expresiones simplificadas, ecuaciones, problemas de palabras y
funciones y gráficos 6. Este trabajo previo que resalta los modelos de
pensamiento de los estudiantes y las dificultades que los estudiantes típicamente
tienen con el álgebra es invaluable como base para lo que se necesita ahora.
A pesar de la extensa investigación en esta área, hace falta investigación
sobre lo que está sucediendo hoy en los salones de clases de álgebra, cómo las
innovaciones en la enseñanza y aprendizaje del álgebra pueden ser diseñadas,
implementadas y evaluadas; y como las decisiones de políticas pueden
configurar el aprendizaje estudiantil y mejorar la equidad. Porque la mayoría de
los estudios se han concentrado en el álgebra a nivel de secundaria, sabemos
poco acerca del aprendizaje de ideas y habilidades algebraicas de estudiantes
más jóvenes Se sabe poco acerca de lo que sucede cuando el álgebra es vista
como una materia de K-12, es integrada con otras materias o se enfatiza una más
amplia gama de conceptos y procesos. La investigación podría alimentar el
perenne debate acerca de qué incluir, enfatizar, reducir u omitir. Vemos la
agenda propuesta de investigación del álgebra integrada por tres grandes
componentes:
6
Kieran, 1992
Lectura 6  81
•
Análisis y comparación de programa, instrucción y evaluación
•
Estudios de las relaciones entre la enseñanza, materiales de instrucción y
aprendizaje.
•
Estudio del impacto de las políticas de contexto sobre equidad y
aprendizaje estudiantil.
Análisis y comparación del Programa, Instrucción y Evaluación
Existe mucho debate y desacuerdo hoy en día respecto que materias,
conceptos, destrezas y procedimientos deben incluirse en el álgebra escolar. No
obstante, el debate con frecuencia tiene base en conjeturas y suposiciones sin
fundamento acerca de que es lo que esta sucediendo en las escuelas del país en
el área del álgebra. Nuestra agenda de investigación propuesta incluye una
descripción y análisis de las metas, áreas de énfasis, materias y orden lógico de
álgebra como son representadas en distintos programas, enfoques para la
instrucción, esquemas y evaluaciones actualmente en uso. El programa de
álgebra en el presente corre el riesgo se ser catalogado de manera simplista de
acuerdo con las “perspectivas” sobre el álgebra que ellos incorporan (ej.
Perspectivas “basadas en funciones”, “aritmética generalizada” o “del mundo
real”).
Los investigadores pueden proporcionar esquemas de trabajo y
herramientas importantísimas para la descripción sistemática y la comparación
del tratamiento curricular del álgebra y conducir esta descripción y comparación
a nivel Quizás las incorporaciones “puras” de estas distintas perspectivas
resultarán relativamente raras. Puede ser que muchos materiales de instrucción
integren varias perspectivas en construcciones complejas que involucren
decisiones intrincadas acerca del orden lógico y énfasis y motivación de ideas.
En resumen, las discusiones acerca de la naturaleza del álgebra escolar podrían
ser más productivas si estuviesen disponibles más herramientas más refinadas y
esquemas de trabajo analítico. Algunas herramientas, tales como encuestas o
estudios y otros instrumentos y metodologías para dicho trabajo descriptivo a
gran escala ya existen 7. Igualmente, varios grupos de especialistas y grupos de
profesionales han ofrecidos formas de categorización y perspectivas descriptivas
sobre el álgebra escolar 8. Necesitamos información sistematizada, confiable
sobre cómo el álgebra es efectivamente representada en los materiales
curriculares de primaria y secundaria contemporánea, como es diseñada y
promulgada.
7
Por ejemplo, El Tercer Estudio Internacional de Matemáticas y Ciencias (TIMSS por
sus siglas en inglés) Currículo de Esquema de Trabajo (ver Mullis et al., 2001); el
“Estudio del Mejoramiento de Instrucción” (2000) y otros alineaciones de esquemas de
trabajo descritos por Porter & Smithson, 2001.
8
Ver, por ejemplo, Chazan 2000; Bednarz, Kieran, & Lee, 1996; Kaput, 1998b;
Lacampagne, Blair, & Kaput, 1995.
82  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
A pesar de la agitación de los intensos debates sobre el álgebra, sabemos
muy poco acerca de los aspectos relevantes de lo que está sucediendo en las
escuelas. Poco sabemos acerca de cuales materiales de instrucción y
herramientas son usadas en los salones de clase del país para la enseñanza del
álgebra, como los profesores usan esos materiales en sus prácticas o como el
aprendizaje del álgebra por los estudiantes es evaluado. ¿Cuánto ha cambiado el
currículo del álgebra a nivel de secundaria? ¿Cuanto de las ideas y herramientas
del álgebra, desde cualquier perspectiva, han penetrado el programa escolar de
primaria? ¿Como los profesores de primaria y secundaria entienden y usan el
álgebra?, y ¿qué perspectivas de este campo tipifican sus conocimientos?
estudios descriptivos a gran escala podrían examinar tales áreas, como el uso de
los libros de textos por parte de los profesores, las formas en las cuales las
tecnologías son utilizadas en los salones de clase de álgebra, que herramientas y
enfoques delinean los profesores sobre la instrucción del álgebra y como las
ideas del álgebra se integran con otras áreas de las matemáticas.
Antes de que puedan hacerse recomendaciones para cambios y mejoras
en la enseñanza del álgebra y a los fines de invertir más estratégicamente en las
necesidades extendidas de intervención, los educadores, redactores de políticas,
fundadores e investigadores necesitan entender el estado actual de las cosas en
los salones de clases del país. Adicionalmente, nos hace falta conocimiento de lo
que los estudiantes aprenden con las diferentes versiones del álgebra, que
destrezas desarrollan, que comprensión del álgebra tienen y que son capaces de
hacer con ideas y herramientas algebraicas. Aun, la mayoría de las evaluaciones
son hechas sobre fuertes suposiciones acerca de cuando los estudiantes deben
estudiar álgebra y que deben aprender. El trabajo analítico puede hacer estas
suposiciones más explicitas y clarificar las consecuencias de la falta de
alineación entre lo que se le enseña a los estudiantes y lo que las evaluaciones
externas exigen.
Estudios de las Relaciones entre la Enseñanza, los Materiales de Instrucción
y el Aprendizaje.
El resultado deseado de esta agenda propuesta de investigación y
desarrollo es la comprensión por parte de los estudiantes del país del álgebra y
estar en capacidad de usarla. Alcanzar este resultado significará: (1) la selección
de ideas claves del álgebra y formas algebraicas de pensamiento para ser
desarrolladas de K-12; (2) diseño, prueba y adaptación de tratamientos de
instrucción y arreglos curriculares o de programas para ayudar a los estudiantes
a aprender esas ideas y formas de pensamiento; y (3) evaluación de los
resultados. Cada una de estas opciones necesita ser descrita, expresada, medida y
relacionada con el aprendizaje estudiantil, y se requerirá compilar pruebas de
alta calidad para estudiar el impacto de diversos diseños. La estrategia que
prevemos involucra el diseño de enfoques de instrucción particular y la
comparación de ellos con los regímenes existentes, así como entre ellos. Dicho
trabajo sistemático permitiría el desarrollo de conocimiento y herramientas para
Lectura 6  83
la enseñanza y aprendizaje del álgebra en varios niveles y en el tiempo. Distintas
consideraciones y áreas de enfoque, las cuales analizaremos de seguidas,
deberían dar forma a la organización del trabajo en esta parte de la agenda de
investigación.
Dado el rango o gama de perspectivas acerca de lo que debería constituir
álgebra escolar, existe un espacio en esta agenda para la investigación que
desarrolla enfoques curriculares y de instrucción que interpretan y prueban las
implicaciones de perspectivas particulares. Por ejemplo, Carpenter y sus colegas
han adoptado la visión de que la enseñanza de aritmética puede servir como base
para el aprendizaje del álgebra9. Su investigación explora como desarrollando la
capacidad de los estudiantes de primaria para examinar, probar y verificar o
desechar conjeturas puede apoyar importantes aprendizajes acerca de relaciones
matemáticas, lenguaje y representaciones. Agregando al trabajo existente10, otras
perspectivas sobre el álgebra requieren ser desarrolladas y estudiadas, tales
como la instrucción que sigue o acompaña la evolución histórica del álgebra, o
la instrucción que toma a la geometría, en lugar de la aritmética, como punto de
partida para la instrucción en álgebra 11. Para ilustrar como ideas básicas de
estructuras algebraicas han sido introducidas a estudiantes de educación media
desde una perspectiva geométrica, considérese el siguiente ejemplo 12:
Usted va a construir un jardín cuadrado y rodeará sus bordes con
baldosas cuadradas. Cada baldosa tiene 1 pie por 1 pie. Por ejemplo,
si las dimensiones del jardín son 10 pies por 10 pies, entonces usted
necesitará 44 baldosas para el borde.
¿Cuántas baldosas necesitaría usted para un jardín que tiene n pies por n
pies?
Los profesores han descubierto que los estudiantes generarán muchas
expresiones en respuesta a esta pregunta 13, a menudo con fuertes y claras
conexiones a las representaciones físicas reales de la situación. Por ejemplo, una
9
Carpenter & Levi, 1999.
Ver, por ejemplo, Chazan 2000; Gallardo 2001 y Heid 1996.
11
Wheeler 1996, p. 318.
12
Adaptado de Lappan et al., 1998, p. 20.
13
Ver Phillips & Lappan, 1998 y Ferrini-Mundy, Lappan & Phillios, 1996
10
84  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
respuesta correcta es 4n+4, la cual los estudiante explicarán diciendo que existen
cuatro lados, cado uno de los cuales es n pies de longitud, el "4n" representa las
baldosas requeridas a lo largo de cada uno de los cuatro lados, y el "+4” recoge
las esquinas. Esto es ilustrado por el diagrama abajo a la izquierda (cuando n =
3). Otras dos representaciones que serían correctas (cuando n = 3) son también
mostradas abajo.
4n + 4
4(n + 1)
(n + 2)2 - n2
En virtud de que estas distintas expresiones algebraicas representan la
misma cantidad física (el número de baldosas requeridas), los estudiantes
pueden usar la geometría para establecer su equivalencia. Aquí, la perspectiva
geométrica introduce a los estudiantes a las ideas iniciales de la estructura
algebraica.
El lenguaje juega un rol crucial en el álgebra y en consecuencia un
programa de investigación en esta área debe incluir trabajo sobre el lenguaje.
Las palabras usadas en álgebra (distribución, factor, modelo y aun mas y menos)
son familiares para los estudiantes desde otros contextos. En observaciones
sobre investigación algebraica, Wheeler 14 pregunta, “¿Qué pasa con la
interpretación del signo mas… cuando es colocado entre dos símbolos los cuales
no pueden ser combinados y reemplazados por otro símbolo?".Los problemas
con el lenguaje pueden afectar a los aprendices del idioma inglés en formas
diferentes de las que afecta a estudiantes para quienes el inglés es una segunda
lengua 16.
También será importante para los investigadores solicitar proyectos
diseñados para examinar las conexiones entre ideas significativas dentro de los
distintos tratamientos del álgebra. Por ejemplo, existe una base de investigación
acerca de la comprensión por los estudiantes de funciones17 que revela las
dificultades que los estudiantes tienen en distinguir funciones de otras relaciones
y en interpretar representaciones gráficas de funciones. Aun, poco sabemos
acerca de las relaciones entre la comprensión de los estudiantes de cómo las
funciones se relacionan con ideas tales como la correlación y curva de ajuste en
el análisis de data (información). ¿Cómo pueden los profesores y los materiales
de instrucción hacer efectivamente la conexión entre ideas matemáticas
relacionadas de modo que el conocimiento estudiantil se forme sistemáticamente
en el tiempo? El álgebra está repleta de casos donde las conexiones
probablemente ayuden a la formación de la comprensión de los estudiantes.
Considérese el hecho que muchos estudiantes pueden aprender a manipular X’s
y Y’s y nunca reconocer que X2 tiene una representación geométrica, un
cuadrado con un lado de longitud x. Ellos no reconocen que pueden visualizar la
14
Wheeler, 1996, p. 324.
Ver Collins, 1975.
16
Ver Moschkovich, 1999; Khisty, 1997; Secada, 1990; Gutiérrez, 2002a.
17
Ver Harrel & Dubinsky, 1992; y Leinhardt, Zaslavsky & Stein, 1990.
15
Lectura 6  85
diferencia entre x2 y y2 y (x + y)2 simplemente con un diagrama como el
siguiente:
(Figura)
Como sugieren las ilustraciones de ejemplo de este capitulo, las
conexiones entre las diferentes áreas de las matemáticas, álgebra y aritmética,
álgebra y geometría o álgebra y estadística, pueden ser examinadas de manera
fructífera usando el álgebra como campo para la investigación.
La investigación y desarrollo deben centrarse en como el álgebra puede
ser enseñada y aprendida efectivamente a lo largo de la primaria y la secundaria.
Esto involucrará un trabajo comparativo longitudinal sustancial y transversal.
Ciertas ideas pueden ser introducidas y venir a jugar un rol clave en el
aprendizaje más avanzado del álgebra.
Sabemos, por ejemplo, por ambas investigación y experiencia de los
profesores, que la noción de “igual” es compleja y difícil de comprender para los
estudiantes y es también una idea matemática central dentro del álgebra. El
signo igual (=) es usado para indicar la igualdad de los valores de dos
expresiones. Cuando una variable x está implicada, el signo igual puede denotar
la equivalencia de dos funciones (iguales valores para todos los valores de x) o
puede indicar una ecuación a ser resuelta, esto es, encontrar todos los valores de
x para los cuales las funciones toman el mismo valor. Muchos estudios de la
comprensión de los estudiantes y el uso de resolución de igualdad y ecuación18
han mostrado que los estudiantes llegan al álgebra de secundaria con nociones
confusas de igualdad. Por ejemplo, algunos estudiantes no piensan en el signo
igual como una declaración de equivalencia sino como señal para realizar una
operación, presumiblemente con base en experiencias en primaria con problemas
tales como 8+4=_____. De hecho algunos estudiantes de secundaria, al
comienzo de sus estudios de álgebra, llenarán en el espacio en "8 + 4 =+3” con
12. Los investigadores han sugerido que esta tendencia viene como resultado de
la experiencia de los niños en ejecutar operaciones aritméticas y escribir
respuestas inmediatamente a la derecha del signo igual.
El poder de los conceptos abstractos y anotaciones algebraicas permiten
la expresión de ideas y relaciones generalizadas. Igualmente central al valor del
álgebra es el conjunto de reglas para manipular esas ideas y relaciones. Estos
conceptos, anotaciones y reglas para manipular son invaluables para resolver
una amplia gama de problemas. Aprender a darle sentido y operar significativa y
efectivamente con procedimientos algebraicos presenta un reto formidable para
aprender y enseñar.
Constituye un reto especial para los profesores motivar el interés de los
estudiantes y fomentar la persistencia en este trabajo de fluidez simbólica que es
18
Ver, por ejemplo, Kieran, 1981 y Wagner, 1981.
86  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
fundamental para competencia algebraica. Investigadores, promotores y
profesionales por igual preguntan como tal capacidad es efectivamente
fomentada en el tiempo. Por ejemplo, ¿qué clases de significados pueden ser
anexados a los símbolos y manipulaciones para apoyar el aprendizaje de su uso
y significado? Aunque algunas relaciones algebraicas pueden ser modeladas con
base a la experiencia, otras son esencialmente abstractas o formales en carácter.
En casos en los que las relaciones son más abstractas, el significado con
frecuencia puede ser ubicado en los patrones y estructuras de las fórmulas y
operaciones mismas. ¿Y qué niveles de destreza o fluidez son apropiados para
los distintos grades o cursos? Por ejemplo, la competencia en la manipulación de
símbolos algebraicos que debe esperarse de un estudiante principiante de cálculo
es probablemente más elaborado y desarrollado del que se esperaría de un
estudiante de octavo grado. Argumentos de peso pueden ser hechos de que el
procedimiento fluido es mejorado por el uso repetido. Pero dicho uso repetido
también podría ser diseñado como parte de exploraciones conceptuales de
problemas matemáticos o como parte de la realización de proyectos matemáticos
y, ciertamente esta forma ha sido recurrida en muchos tratamientos curriculares
recientes del álgebra.
Otro tema actual que esta muy relacionado al desarrollo de la fluidez
simbólica es como diferentes usos de instrucción de tecnología interactúa con el
desarrollo de destrezas y conceptos algebraicos. La creciente disponibilidad de
tecnologías levanta nuevas preguntas acerca de qué significa “fluidez
simbólica”. . Estas son preguntas que aparecen en cada nivel de las matemáticas
escolares. La investigación y prueba empírica son esenciales para los
profesionales quienes requieren evidencias contundentes para tomar sabias
decisiones de instrucción.
La investigación acerca del álgebra se ha centrado más de cerca en
temas del aprendizaje de los estudiantes que en los temas de enseñanza del
álgebra, información basada en investigación acerca de los distintos modelos de
la enseñanza del álgebra a diferentes niveles y el impacto de esos modelos en
estudiantes aprendiendo diferentes aspectos del álgebra. Mas aun, la
investigación puede descubrir formas en las cuales los profesores trabajan, cómo
usan oportunidades particulares para aprender y como usan los materiales de
instrucción y similares, como preparan y enseñan las lecciones. Por ejemplo,
aunque se ha investigado el uso de textos por los profesores en varios estudios,
se sabe poco acerca de cómo los profesores de álgebra usan los libros de texto,
herramientas, tecnología y otros materiales de instrucción. Pero dicho
conocimiento sería crítico para cualquier mejora del aprendizaje de álgebra a
gran escala por estudiantes norteamericanos, en ello guiaría el diseño e
implementación de programas de instrucción.
19
20
Ver Heid, 1997 y Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001.
Kieran, 1992, p. 395
Lectura 6  87
En resumen, el cambio del escenario de la educación del álgebra
requiere que dirijamos nuestras energías de investigación colectiva para resolver
los problemas más urgentes que surgen como resultado de estos cambios. La
investigación de la enseñanza, aprendizaje y materiales de instrucción de álgebra
debe estar a la vanguardia de los esfuerzos para mejorar los resultados para
todos los estudiantes en el aprendizaje del álgebra en los salones de clase de K12 del país.
Impacto de l as Políticas d e C ontexto sobre el A prendizaje d e l os
Estudiantes
La atención en el álgebra también nos trae directamente a temas
relacionados con la organización del programa en las escuelas en los Estados
Unidos, con los requerimientos para tomar materias y graduaciones de
secundaria y con los usos de evaluaciones a los fines de la responsabilidad que
tiene consecuencias de gran alcance. Todos estos temas de políticas de contexto
se relacionan de manera crucial con asuntos de equidad, oportunidades de los
estudiantes de aprender y con las perspectivas para todos los estudiantes en las
escuelas en los EE.UU. de tener una amplia gama de opciones en sus vidas
profesionales y personales. Así, la investigación es crucial para comprender
mejor las implicaciones y resultados de las distintas políticas de selección y la
gama de escogencias curriculares y estructurales (por ejemplo, cuando es
tomada el álgebra y por quien) hechas por las escuelas y distritos en momentos
cuando las presiones y requerimientos a los profesores, administradores y
encargados de formular políticas estadales y locales son considerables y
contradictorias.
En el programa de secundaria y educación media de las escuelas de los
EE.UU., el álgebra es tratada típicamente como una materia separada y en la
actualidad la mayoría de los materiales en esa materia son nuevos para los
estudiantes. En contraste, las matemáticas en las escuelas primarias combinan
las experiencias de los estudiantes con varios tipos de campos matemáticos.
Estas tradiciones han sido recientemente cuestionadas por el análisis que
muestran que los programas de secundaria en muchos otros países no aíslan el
álgebra dentro de una materia aparte de otras áreas de interés21. Los currículos
de las escuelas primarias y medias en la mayoría de otros países tratan al álgebra
más extensivamente que los programas en los Estados Unidos. Muchos de los
materiales de instrucción desarrollados en los Estados Unidos en la década
pasada incluyen mayor integración de áreas de contenido y temas a nivel de
escuela secundaria y mayor atención al álgebra a niveles de escuela primaria y
media.
La investigación puede dirigirse a como estos distintos arreglos
curriculares tienen influencia sobre el aprendizaje de los estudiantes y sus
21
Schmidt et al., 1997.
88  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
decisiones de participar en cursos subsiguientes. Si el álgebra comienza a
penetrar el programa de primaria en la década que viene, ¿cómo cambiará su
trayectoria curricular en las escuelas primarias y medias? Dichos cambios
tendrán importantes implicaciones para la evaluación de la competencia
algebraica. El alcance del programa del álgebra, bien sea situado en la secuencia
tradicional de los cursos de secundaria o expandido a lo largo de los grados,
plantea preguntas importantes acerca de las oportunidades de educación
matemática disponibles a diversas poblaciones de estudiantes cuyo previo éxito
con las matemáticas escolares ha variado dramáticamente.
En virtud de que el álgebra ha sido identificada como una experiencia
importante de portero, las escuelas y distritos se debaten con preguntas acerca de
sí el álgebra debe ser requerido a todos los estudiantes y sí debe ser ofrecida en
el octavo grado. Existen algunas investigaciones que indican que el acceso
temprano al álgebra puede mejorar tanto el logro como la disposición de tomar
matemáticas avanzadas 22. Aun, no existe un cuerpo importante de trabajo para
apoyar a quienes toman las decisiones en las escuelas distritales sobre esta
materia y los temas son bastante complejos. Por ejemplo, las escuelas distritales
que han adoptado una política de que todos los cursantes de noveno grado tomen
álgebra, han eliminado los cursos de matemática general, matemática para el
consumidor y pre-álgebra. Esto parece un paso positivo para elevar los
estandartes para todos los estudiantes y una dirección que debería llevar a mayor
equidad para los estudiantes que tradicionalmente (y desproporcionadamente)
han ocupado los cursos de niveles más bajos. Algunas investigaciones sugieren
que este ciertamente ha sido el caso23.
Sin embargo, un programa de investigación dirigido a la mejor
comprensión de los temas que circundan a la educación del álgebra debería
cubrir los aspectos más sutiles de dicho cambio de política y la gama de
interpretaciones e implementaciones en virtud de este cambio en la política. Por
ejemplo, algunas escuelas han respondido con cursos de álgebra en el primer año
que se extienden dos años, que llenan los requerimientos de las matemáticas de
secundaria, sin llevar a los estudiantes más allá de sí hubiesen tomado álgebra en
el décimo grado. Y los profesores que se enfrentan con el reto de clases
heterogéneas de estudiantes de álgebra que vienen de una amplia gama de
experiencias e instrucciones de pre-álgebra, y posiblemente no convencidos de
la pertinencia de que todos los estudiantes deban estudiar álgebra, pueden
necesitar considerable apoyo y desarrollo profesional para dar un curso que llene
los altos estándares para la materia. Así, se requieren nuevos trabajos de
investigación para ilustrar la naturaleza y rango de las tendencias en la
implementación de ciertas políticas, así como las consecuencias para el
aprendizaje y participación exitosa y continua de los estudiantes en las
22
23
Ver Smith, 1996.
Ver, por ejemplo, Gamoran et al., 1997 y Lee & Smith, venidero.
Lectura 6  89
matemáticas. El álgebra ha asumido una posición política y social importante en
el programa; la investigación puede ayudar a explicar las implicaciones de esta
posición.
La investigación ha demostrado que dar álgebra en el noveno grado
aumenta significativamente las oportunidades de los estudiantes de continuar
con los estudios de matemáticas y tener éxito en niveles superiores de
matemáticas en la secundaria y la universidad 24. El papel del álgebra como
portero ha dividido a los estudiantes en clases con oportunidades
significativamente diferentes de aprender. En la actualidad, un alto y
desproporcionado número de estudiantes de color están inadecuadamente
preparados en álgebra y no tienen acceso a matemáticas serias más allá del
álgebra en la secundaria. La investigación sobre el nivel académico 25 indica que
las reducidas oportunidades de aprendizaje que caracteriza a las clases de
matemática de bajo nivel académico con frecuencia se alinean con nivel
socioeconómico y raza. Poco se sabe acerca del impacto de las decisiones
políticas, tales como la exigencia de álgebra a todos los estudiantes o incluir
álgebra en formas significativas en los exámenes finales de secundaria, sobre
estudiantes con distintos antecedentes y sobre estudiantes de color. Aun sin
respuestas a tales preguntas de importancia, las políticas de decisión que tienen
impacto directo sobre el futuro de los estudiantes son hechas diariamente.
Los Estados Unidos necesitan examinar más de cerca el tema del
aprendizaje del álgebra en esos segmentos de la población cuya tasa de éxito en
el aprendizaje del álgebra no ha sido alta. Existen vías promisorias para la
competencia en álgebra que parecen efectivas dentro del contexto social de las
escuelas de los barrios (inner-city) o las escuelas que sirven a los estudiantes de
color, más notablemente, los esfuerzos de Robert Moses y del Proyecto de
Álgebra. Se requiere la investigación para aclarar como la instrucción de las
matemáticas puede capitalizar las fortalezas que estudiantes de diferentes grupos
culturales y lingüísticos traen al salón de clase a los fines de mejorar el
aprendizaje del álgebra. Sabemos que la educación es un recurso dependiente y
que comunidades pobres con frecuencia sufren de la falta de profesores bien
adiestrados, administradores eficientes y de equipos que puedan apoyar la
instrucción. Algunas comunidades han desarrollado estrategias dirigidas a tratar
estos problemas de forma que sus efectos negativos sobre el aprendizaje de
estudiantes pueden ser reducidos o eliminado; necesitamos examinar estas
estrategias a través de investigación que permita la generalización y
refinamiento de dichas estrategias. El país también necesita una mayor
comprensión de las formas en las cuales las políticas, programa y oportunidades
de desarrollo profesional llevan a los profesores hacia un sentido de
24
25
Ver Usiskinm 1995, y National Center for Education Statistics, 1994a, 1994b.
Oakes, 1985 y Oakes, Garmoran y Page, 1992.
90  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
responsabilidad elevado para el aprendizaje del álgebra por todos los
estudiantes.
Lectura 7
Ayudar a Realizar la Transición al Álgebra
El conocimiento no es una entidad que puede ser fácilmente transferida
de aquellos quienes lo poseen a quienes no lo tienen (…) el conocimiento es
algo que cada individuo aprendiz debe construir por y para sí mismo. Esta visión
del conocimiento como una construcción individual (...) es usualmente
denominada constructivismo. (Lochhead citado por Blais 1988, 624).
Uno podría considerar que el álgebra sería una materia difícil de enseñar
dentro de una perspectiva constructivista, después de todo, el álgebra involucra
el uso de letras junto con reglas formales para la operación de esas letras. No
obstante, el enfoque o acercamiento para la instrucción presentado en este
artículo ilustra formas de desarrollar la comprensión de los estudiantes de
anotaciones no numéricas que son compatibles con una postura constructivista.
Estos enfoques han sido investigados y hallados accesibles tanto para estudiantes
de primaria como de media.
Las letras son usadas en álgebra en diferentes maneras (Küchemann
1981), sin embargo predominan dos usos. Uno de estos es el de usar letras para
representar una gama de valores como en la expresión de una solución general o
de generalización de patrones numéricos (ej. 3t + 6), el otro es el uso de letras
como incógnitas en, digamos, resolución de ecuaciones (ej. n + 5 = 17). El
NCTM 26 en su Programas y Estándares de Evaluación para Matemáticas
Escolares (1989) ha enfatizado ambos usos de letras como metas para la
enseñanza de las matemáticas en los grados 5° al 8°.
Letras para Representar una Gama de Valores.
El uso de letras para representar un rango de valores mucho más
descuidado en la enseñanza de pre álgebra, que su uso como incógnitas. En
virtud de que los estudiantes tienen poca experiencia en el uso de símbolos
algebraicos como herramienta con la cual pensar y expresar relaciones
generales, se encuentran con dificultades con este uso de las letras. Por ejemplo,
en un estudio sobre la concepción de generalización y justificación de los
estudiantes, Lee y Wheeler (1987) notaron que solo 8 por ciento de los
estudiantes que entrevistaron pudo usar anotaciones algebraicas para dichos
problemas como las siguientes:
26
National Council of Teachers of Mathematics (Consejo Nacional de Profesores de
Matemáticas).
91
92  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Una muchacha multiplica un número por 5 y luego añade 12.
Luego resta el número original y divide el resultado entre 4. Ella
nota que el resultado que obtiene es 3 más que el número
original con el que comenzó. Ella dice "creo que lo mismo
sucedería cualquiera que sea el número con el que empiece”.
Usando el álgebra, demuestre que la muchacha está en lo cierto.
La mayoría de los estudiantes trabajaron ejemplos numéricos y
concluyeron de eso ejemplos. Lee y Wheeler señalaron que no parece que los
estudiantes vean el álgebra como aritmética generalizada y, más aun, no creen
que la aritmética pueda ser generalizada.
Peck y Jencks (1988) han desarrollado un enfoque de enseñanza que
ayuda a los estudiantes a realizar enlaces o conexiones explícitas entre sus
anotaciones aritméticas y no numéricas de álgebra. Ellos describen algunas
lecciones sobre multiplicación en un salón de quinto grado en el cual los
estudiantes a quienes se le enseñó “a comprender partes de aritmética en
profundidad, hallaron el álgebra correspondiente completamente sensata y un
producto natural de su propio pensamiento" (p. 85). En este salón de clase, la
profesora fue de manera consistente "una realizadora de preguntas y una
insegura” nunca una persona que explicara ni un juez sobre lo correcto o
incorrecto” (p.86). Así, los papeles tradicionales de profesor y estudiante se
invirtieron. La profesora también creía que materiales físicos eran necesarios
para ayudar a los estudiantes a construir matemáticas con significado
internamente para si mismos.
La profesora no exigió a los estudiantes simplemente calcular las
respuestas de los diversos problemas de multiplicación. En su lugar, ella
comenzó por pedirles a los estudiantes que utilizaran papel de graficar y cintas
de pegar por ambas caras para mostrar la idea de “2 veces 3” (3 cuadrados vistos
dos veces, ver la fig. 1). Después, usaron papel de graficar subrayado cada 10
líneas, para modelar multiplicaciones de dos dígitos. Los estudiantes explicaron
atajos para multiplicar dichos pares 24 x 26 en términos de transportar las líneas
de los cuadrados debajo de la última línea subrayada hasta el final vertical de la
derecha (ver fig. 1b). Eventualmente, el profesor preguntó que pasaría silos diez
dígitos no fueran iguales y si los dígitos de unidades no sumaran 10. Los
estudiantes se apoyaron en el papel de graficar como un medio para llegar a sus
propias decisiones y al final surgió un modelo general como el que se muestra en
la figura 1c. Cuando quedó claro que los bordes de la misma figura
representaban el mismo número, los estudiantes estuvieron en capacidad
registrar dicha declaración como:
( + 5) · ( + 8) =  2 + 13 + 40
y aun
(x + 5)(x + 8) = x 2 + 13x + 40
Lectura 7  93
Figura 1. Conectar la multiplicación en aritmética y álgebra (adaptado de Peck
y Jencks [1988, 87-88])
(a)
2 x 3 (en la flecha)
(b)
24 x 26 = (2 x 3) x 100 + (4 x 6)
94  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
(c)
(△ + 6) (△ + 7) = △ 2 + 13 △ + 42
Ellos pudieron manejar expresiones como (x + 9)(x – 4) ó (x + 5)(x – 5)
imaginándose el modelo de papel de graficar y añadiéndole o removiendo
porciones de los lados. Note que Peck y Jencks hacen uso extensivo de
cuadrados y triángulos como primeros símbolos para números generales; se
estimula al lector a referirse a sus informes para los detalles del enfoque de
enseñanza.
De acuerdo con Peck y Jenks, uno de los bonos de este enfoque es que
los estudiantes estaban en capacidad de “reunir variaciones de una operación o
principio en grandes temas conceptuales y tratarlos como manifestaciones de un
solo concepto en lugar de cómo ideas separadas” (1988, 89). Por ejemplo, tal
generalización como:
a 2 – b 2 = (a + b)(a – b)
y
a 2 + 5ab – 14b 2 = (a + 7b)(a – 2b)
fueron vistas como simples variaciones del mismo tema conceptual.
Otra forma de introducir letras para representar una gama de valores es
el uso de tablas que representan relaciones funcionales. El juego de W.W.
Sawyer de Adivina Mi Regla descrito por Davis (1985), es un buen medio para
generar interés en los estudiantes en este tipo de actividad. Se les pregunta a los
estudiantes “¿puedes hacer una regla de modo que nosotros te demos un número,
tu uses tu regla sobre ese número nos digas la respuesta y nosotros tratemos de
adivinar cuál es tu regla?” (p. 201). Por ejemplo, la “regla” podría ser “cualquier
número que tu nos digas lo doblaremos y le sumaremos ocho”. Sí  es usado
Lectura 7  95
para representar el número dado a los estudiantes y∆ representa sus respuestas,
la tabla mostrada en la Figura 2 podría ser generada luego de escribir la regla:
( x 2) + 8 = ∆
Figura 2. Uso de una tabla para representar una relación funcional (adaptado de
Davis [1985, 202])

△
0
8
10
28
1
10
5
18
100
208
( x 2) + 8 = △
Nótese de todo lo dicho aquí que lo que se quiere decir con “una
transición al álgebra” no es una preparación para el curso tradicional de álgebra
de noveno grado, en el cual el énfasis es usualmente en el aprendizaje a
manipular símbolos sin significado mediante reglas aprendidas de memoria. Lo
que significa es una exploración de algunas ideas algebraicas clave en las cuales
los estudiantes (a) piensen acerca de las relaciones numéricas de una situación;
(b) las discutan explícitamente en leguaje simple de todos los días y (c)
eventualmente aprendan a representarlas con letras u otros anotaciones
inequívocas, tales como cuadrados y triángulos (adaptado de Davis [1985]).
Letras como Incógnitas
Los estudiantes se encuentran con incógnitas temprano en la primaria,
usualmente en el contexto de oraciones abiertas como  + 5 = 8. Las formas en
que niños de sexto y séptimo grado piensa acerca de dicha ecuación y tratan de
resolverla estaban centradas en el estudio llevado a cabo por Kieran (1988). Se
les preguntó a los estudiantes que significaba en una ecuación como 5 + a = 12.
Una respuesta típica era “una respuesta, doce menos cinco es siete”. Aquellos
que respondieron en esta forma creían que una ecuación tenía que ser revertida,
esto es, deshecha, para que la letra tenga significado. Otros estudiantes
replicaron que la letra significa el número natural que debe ser sumado a 5 para
ser igual 12; también vieron las operaciones de una ecuación en una secuencia
de izquierda a derecha en la cual ellos fueron presentados. Estos últimos
estudiantes se apoyaron en la substitución con valores de ensayo en la ecuación
96  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
para resolverlas, en contraste con los estudiantes anteriores, quienes resolvieron
ecuaciones simples transponiendo números y usando operaciones inversas.
A todos los estudiantes se les enseñó como pueden ser construidas las
ecuaciones desde igualdades aritméticas “escondiendo” uno de los números (ver
Herscovics y Kieran [1980] para más detalles). Subsecuentemente, se les enseñó
a resolver ecuaciones ejecutando la misma operación de ambos lados del signo
igual. Se halló que los estudiantes que habían comenzado el estudio con una
tendencia a revertir la forma de la ecuación usando operaciones para deshacer
tenían gran dificultad en tomarle sentido al procedimiento de solución de hacer
la misma operación de ambos lados de la ecuación. Este procedimiento parecía
más accesible para aquellos estudiantes que interpretaron dichas ecuaciones
como 5 + a = 12 como "el número que debería ser sumado a cinco para ser igual
a doce”. Este resultado sugiere que el procedimiento de adquisición de
significado para "la misma operación de ambos lados” puede requerir que se
invierta una buena cantidad de tiempo en un estadio previo desarrollando un tipo
de pensamiento “operaciones hacia delante” (ej. Para el ejemplo anterior, “¿Qué
número, cuando se le suma cinco da doce?”). La enseñanza de este tipo de
pensamiento era el centro de un estudio llevado a cabo por Whitman (1982).
Whitman comenzó su secuencia de instrucción con ecuaciones
contentivas de once operaciones (ej.  + 17 = 21), asegurándose que los
estudiantes aprendieran a interpretar ecuaciones fácilmente preguntándoles
preguntas tales como " ¿qué número sumado a siete da veintiuno?” En otras
palabras, el énfasis estaba en leer la ecuación como una pregunta a ser
respondida con un número. De seguidas, se les daban a los estudiantes prácticas
con ecuaciones de dos operaciones (ej. 2 · + 5 = 47, 3 ·∆ - 8 = 31, 48 – 3 · § =
6) y se invirtió mucho tiempo verbalizando dicha ecuación como, para el primer
ejemplo, " ¿qué número sumado a cinco es cuarenta y siete?” (42); “¿qué
numero es dos veces 42?” (21).
Whitman señala que es importante que los estudiantes aprendan a
asociar el producto de un número y un marco como sólo número. Ella insiste que
el procedimiento de “cubrir” (“cover up”), como ella lo llama ilustrado en la
Figura 3, ayuda a los estudiantes a vencer la tendencia a separar el número del
marco en el momento equivocado. Este procedimiento también fue de gran
ayuda a los estudiantes para ver la estructura general de las ecuaciones y para
descomponer esta estructura de una manera sistemática. Otro aspecto de la
investigación de Whitman fue la enseñanza de la técnica de resolución formal de
ejecutar la misma operación de ambos lados de la ecuación. Ello halló que los
estudiantes a quienes se les había enseñado el procedimiento de resolución de
ecuaciones “cover up” seguido de la técnica formal fueron más exitosos en la
resolución de ecuaciones que los estudiantes quienes habían aprendido solo la
técnica formal.
Lectura 7  97
Figura 3. El método cubrir (adaptado de Whitman [1982, 202])
Observaciones Finales
Este breve informe se ha centrado en un tema conceptual que
tradicionalmente causa dificultades a los estudiantes de álgebra principiantes, el
uso de las letras. Se ha tratado de ilustrar como estudiantes de álgebra pueden
surgir de su aritmética si su aritmética es completamente sensata para ellos. Peck
y Jencks (1988) han señalado que muy frecuentemente, se espera que los
estudiantes hallen significado en las matemáticas no a través de su propio
razonamiento sino reaccionando al razonamiento de profesores, escritores de
libros de texto y otros. Esta expectativa contrasta con una visión constructivista
del salón de clase donde los estudiantes son alentados a explorar su propio
razonamiento y conversar sobre sus enfoques entre ellos y con el profesor. En
tales clases, el profesor hace preguntas diseñadas para estimular la exploración,
investigación y toma de decisiones de parte de los estudiantes. Alentando a los
estudiantes a justificar sus propios razonamientos y expresar sus justificaciones
mediante anotaciones no ambiguas, los profesores fomentan la visión de que el
álgebra es una manera natural de de expresar lo que tiene sentido en aritmética.
Se espera que las actividades descritas en este artículo sirvan como catalizador
del pensamiento sobre y para generar enfoques constructivista a la enseñanza de
otros conceptos pre algebraicos.
Referencias
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98  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Herscovics, N. y Kieran, C. “Constructing meaning for the concept of equation.”
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of Mathematics, edited by L. Silvey, 199-204. Reston, Va.: The Council,
1982.