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UNIDAD 2
CONCEPTOS Y FUNDAMENTOS
DE LÓGICA DIFUSA.
Conceptos y
Fundamentos de Lógica
Difusa.
2.1 Conceptos básicos de Lógica
Difusa
2.1.1 Introducción y dos ejemplos.

La técnica esencial de la lógica difusa se basa en
cuatro conceptos fundamentales:

1). conjuntos difusos.- son conjuntos con fronteras
uniformes o suaves.

2). variables lingüísticas.- Son variables cuyos valores
son descritos cualitativamente y cuantitativamente
por un conjunto difuso.
…

3). Distribuciones de posibilidad.- restricciones
impuestas en el valor de una variable lingüística al
asignarle un conjunto difuso.

4). Reglas difusas si-entonces.- un esquema de
representación del conocimiento para describir una
proyección funcional o una fórmula lógica que
generaliza una implicación en la lógica de dos
valores.
Nota:

Los tres primeros conceptos son fundamentales
en todas las sub-áreas de la lógica difusa.

También, el cuarto concepto es importante
debido a que es la base de la mayoría de las
aplicaciones industriales de la lógica difusa
desarrolladas hasta hoy, lo cual incluye muchos
sistemas de control lógico difuso.
Problema A: Control simple de la
mezcla de flujo de aire


Temperatura ambiente, No tiene señal de retroalimentación de la
temperatura ambiente actual.
Tarea: controlar la cantidad de flujo de aire caliente y frío basado en una
temperatura objetivo. El flujo es controlado al ajustar el voltaje a la
bomba en la etapa de mezclado.
V

es el voltaje menor

V
es el voltaje mayor
Temperatura Objetivo (T)
Flujo de aire caliente
Controlador a lazo abierto
Voltaje (V)
Flujo de aire frío
Flujo de aire Mezclado
Problema B: Control automático
de una lavadora


La naturaleza de las decisiones que realizan los seres humanos en este
problema es fácil de entender y modelar.
Tarea: Se desea automatizar la selección del ciclo y el tiempo de lavado
basado en la cantidad de ropa y lo sucia que esta la ropa, lo cual es
proporcionado por dos transductores.
Cantidad de Ropa.
Que tan sucia esta
la ropa
Selección
Automática
Ciclo de lavado.
Tiempo de lavado.
2.1.2 Conjuntos Difusos

Un conjunto difuso es un conjunto con
fronteras suaves.
A
Fronteras en conjuntos clásicos
A

Fronteras en conjuntos difusos
Por ejemplo:

Si se quisiera representar dentro de la teoría de
conjuntos clásica, el conjunto de familias con ingresos
anuales altos.





Se propone un umbral: ≥ $ 80,000.00,
Familias con un ingreso de $ 79,999.00;
Limitación de la teoría de conjuntos clásica.
Algunos conjuntos tienen fronteras bien definidas (el
conjunto de personas casadas).
Muchos otros no tienen fronteras bien definidas (el
conjunto de parejas casadas felices, el conjunto de
escuelas con buenos alumnos egresados, etc.).



La teoría de conjuntos difusos al permitir que la
membresía sea graduada en un conjunto da
solución a las limitación que se presenta en la
teoría de conjuntos clásica.
Un conjunto difuso se define como una función
que proyecta objetos de un dominio de
conceptos (denominado Universo de Discurso) a
sus valores de membresía en el conjunto.
Dicha función se define como Función de
Membresía y es denotada por el símbolo Griego
µ.
Por ejemplo:

Representación de Familias de ingresos-altos.
µ
Alto
1
Ingresos al año
80 K
120 K
El conjunto difuso es asociado a un término lingüístico
Términos lingüísticos: beneficios

Asociar un conjunto difuso a un término
lingüístico ofrece dos beneficios importantes:
1. La asociación hace más fácil que un operador
experto exprese su conocimiento usando términos
lingüísticos.
 2.
El conocimiento expresado en términos
lingüísticos es más fácil de comprender.


Estos beneficios resultan en un ahorro
significante en el costo del diseño, la
modificación, y el mantenimiento de un sistema
lógico difuso.


Un concepto importante en la Lógica Difusa, que
permite tener los dos beneficios descritos, es el
de Variable lingüística.
Es importante subrayar que un conjunto difuso
siempre se define a partir del contexto de que se trate,
auque dicho contexto no este explicito en el
modelado del sistema. También, el contexto de
definición
de
un
termino
lingüístico
generalmente es especificado implícitamente
dentro de la aplicación en la cual es utilizado.
2.1.2.1 Diseño de Funciones de
Membresía

Se puede entender por conjunto clásico: una
colección o clase de objetos bien definidos.

Objetos que pueden ser cualquier cosa, tales
como: números, ciudades, colores, animales,
temperatura, etc. Estos objetos se conocen como elementos
o miembros del conjunto.

En la teoría de los conjuntos clásicos, se
utiliza la notación de función característica,
( A ), para indicar cuando un elemento
cualquiera pertenece o no a un conjunto.

El universo de discurso es el universo de
toda la información disponible en un
problema dado.

Un conjunto difuso es un conjunto que contiene
elementos, los cuales varían su grado de
pertenencia en el conjunto.

El concepto de función de membresía en la teoría de los
conjuntos difusos es una medida de la pertenencia
graduada de un elemento en un conjunto difuso.
Función de Membresía
Un elemento u de U.
Puede no pertenecer a A: (A(u) = 0),
Pertenecer un poco: (A(u) = con un valor cercano a 0),
Pertenecer moderadamente: (A(u) = con un valor no
muy cercano a 0 pero tampoco a 1),
Pertenecer demasiado: (A(u) = con un valor muy
cercano a 1),
Pertenecer totalmente a: (A(u)=1).


Debido a que el cambio de la función de
membresía de un conjunto a otro es
gradual en los conjuntos difusos, dichos
conjuntos son agrupamientos de elementos
en clases, también llamados etiquetas
difusas, las cuales a diferencia de los
conjuntos clásicos, no poseen fronteras
bien definidas.
¿Cómo se determina la forma exacta de
la función de membresía para un
conjunto difuso?.




Una función de membresía se puede diseñar en
tres formas distintas:
(1). Entrevistando a quienes están familiarizados
con las conceptos importantes del sistema, y
ajustándolos durante el proceso mediante una
estrategia de sintonización (hasta los 80s).
(2). Construyéndola directamente a partir de los
datos (2 y 3, después de los 80s).
(3). Mediante el aprendizaje basado en la
retroalimentación de la ejecución del sistema.

Se han desarrollado muchas técnicas para definir
la forma de las funciones de membresía (FM)
utilizando técnicas estadísticas, redes neuronales
artificiales y algoritmos genéticos.

Se debe de tener especial cuidado al diseñar las
FMs. Aun que se puede definir una FM de
forma arbitraria, se recomienda que se utilicen
FM parametrizables que puedan ser definidas
por un número pequeño de parámetros.
FMs más utilizadas: Simplicidad
µ
µ
1
1
l

p
l
r
Función de membresía
triangular y sus parámetros.

lp
rp
r
Función de membresía
trapezoidal y sus parámetros.
Estrategias especificas para seleccionar y ajustar las FMs se verán después.
Nota:


Las FMs que son diferenciables tienen ciertas
ventajas en las aplicaciones de sistemas neurodifusos (sistemas que aprenden funciones de
membresía utilizando técnicas de aprendizaje de
RNA).
Las funciones de membresía Gausianas han
sido utilizadas para dichos sistemas.
Resumen: diseño de FM




Directrices:
1. Siempre utilice FM parametrizables. No
defina una función de membresía punto por
punto.
2. Utilice una FM triangular o trapezoidal, a
menos que haya una buena razón para hacer lo
contrario.
3. Si desea que el sistema aprenda la función de
membresía utilice técnicas de aprendizaje de
RNA, escoja una función de membresía
diferenciable, como la Gaussiana.
2.1.2.2 Operaciones básicas en
conjuntos difusos

Para conjuntos clásicos se pueden realizar las
siguientes definiciones:
x  X  x pertenece a X
x  A  x pertenece a A
x  X  x no pertenece a A

para los conjuntos A y B en X, también se tiene:
A  B  A esta contenida en B si x  A, entonces x  B 
A  B  A esta contenida en o es equivalente a B
A B A B
y
B A
Algunas definiciones para conjuntos

Contenimiento:
( ) Un conjunto puede
contener a otro conjunto. Al conjunto más
pequeño se le llama Subconjunto.
( Subconjunto propio).

En un universo comprendido por
tres
elementos X = {a, b, c}, el número cardinal es
nx = 3. Y su conjunto potencial es:
P X   , a, b, c, a, b, a, c, b, c, a, b, c
Conjunto Difuso
Si se considera el siguiente conjunto difuso finito:
A = 0.2/u1, 0/ u2, 0.3/u3, 1/ u4, 0.8/u5. uU.


Entonces un conjunto difuso A de U será un
conjunto de parejas:
u U
A = {u, A(u)},

Considerando que xi es un elemento del soporte del
conjunto difuso A y que i es su grado de membresía
en A.
A = 1 / x1 + 2 / x2 +....+ n / xn.
Donde.
 El símbolo / Se emplea para unir los elementos del
soporte con sus grados de membresía en A, y.
 El símbolo + Indica que los pares de elementos y
grados de membresía listados forman colectivamente la
definición del conjunto A, en vez de cualquier tipo de
suma algebraica.
Conjunto difuso: universo de discurso finito y
no-finito
n





x

x

x






 A 1


A
2
A
i 
A

  

x
x
x




i 1
1
2
i

 

  A  x 
A  

x
U

La integral y la sumatoria
indican la unión de
elementos dentro de un
conjunto difuso A.
Conjunto difuso

Se entenderá que un conjunto difuso es
finito siempre que al poder enumerar a sus
elementos representativos este proceso
termine, independientemente del valor de
sus funciones de membresía.
Operaciones Básicas De Los Conjuntos
Clásicos

Las tres operaciones básicas en conjuntos
clásicos son: unión, intersección, y complemento.
UNION
INTERSECCIÓN
COMPLEMENTO
DIFERENCIA

A  B  x x  A o x  B
A  B  x x  A y x  B
A  x x  A, x  X 
A B  x x  A y x  B
El complemento de un conjunto se puede
denotar por: AC , ¬A, A .
__
Por ejemplo:

Si A y B son dos conjuntos de “percepciones
anuales por persona” definidos por:
A  x 100 K  x  200 K , x  U 
B  x 50 K  x  120 K , x  U 

Donde U es el universo de discurso [0,1000K]. Se
tiene que:
A  B  x 100 K  x  120 K , x  U 
A  B  x 50 K  x  200 K , x  U 
AC  x 0  x  100 K ó 200 K  x  1000 K 
Operaciones Básicas De Los
Conjuntos Difusos

Debido a que la membresía en un conjunto
difuso se mide en grados, las operaciones de
conjuntos deberían generalizarse a los conjuntos
difusos de forma acuerda (ilustrar).

La operación de intersección difusa es
matemáticamente equivalente a la operación de
conjunción difusa (AND), debido a que tienen
propiedades idénticas.
De operaciones de conjuntos a operaciones
lógicas

Para explicar la relación entre operaciones de
conjuntos y operaciones lógicas, primero se
hará un repaso de operaciones básicas en la
lógica clásica:
Una declaración en lógica clásica solo tiene dos
posibles valores: Falso o Verdadero.
 Dichas declaraciones lógicas pueden ser combinadas
al utilizar conectivas lógicas tales como: AND
(conjunción, denotada por л), OR (disyunción,
denotada por v), NOT (negación, denotada por ¬),
y IMPLY (implicación, denotada por → ).

Tabla de valores de verdad:
Conectivas Lógicas Clásicas

p
q
¬p
F
F
T
F
T
T
T
pq
pq
p→q
F
F
T
T
F
T
T
F
F
F
T
F
T
F
T
T
T
p y q son dos declaraciones lógicas (o proposiciones)
Conectivas Lógicas Clásicas
Una declaración conjuntiva compuesta pлq será
verdadera si y solo si ambas p y q son verdaderas.
 Una declaración disyuntiva compuesta p v q será
verdadera si y solo si cualquiera de las declaraciones
es verdadera.
 La negación de una declaración es verdadera si y
solo si la declaración original es falsa.


Para lógica clásica:
Si la proposición p representa la sentencia “x está en
el conjunto A”:
p es verdadera iff x ε A
 Y si la proposición q representa la sentencia “x está
en el conjunto B”: q es verdadera iff x ε B
 Entonces, p y q son verdaderas cuando x está en la
descripción de A y B:
(pлq) es verdadera iff x ε AB
 Y que p ó q es verdadera cuando x está en la unión
de A y B:
(p v q) es verdadera iff x ε AB
 Finalmente, p es falsa cuando x está en el
complemento de A:
p es verdadera iff x ε Ac.

Conclusión

Por lo tanto, los operadores de
intersección unión y complemento
en la teoría de conjuntos son
similares
a
la
conjunción,
disyunción y negación en lógica.
Operaciones Lógicas Difusas

Un operador común de conjunción (AND) difusa
es el operador mínimo. Con frecuencia la
intersección difusa se define como:
AB (x)= min{A(x), B(x)}

Intersección: En conjuntos difusos es el grado de
membresía que dos conjuntos comparten. Una
intersección difusa es el menor de la membresía
de cada elemento en ambos conjuntos.
Por ejemplo:

Se puede definir un conjunto difuso A de los
números reales muy cercanos a 8 y B como el
conjunto difuso de los números reales muy cercanos
a 15. Entonces, A  B se definiría como el
conjunto difuso de los números reales muy cercanos
a 8 “y” a 15. Tomando en cuenta la ecuación:
 AB x   A x  B x  min  A x, B x
y A = (1 0.8 0.4 0.5) y B = (0.9 0.4 0.0 0.7) se
tiene que:
AB(x) = (0.9 0.4 0.0 0.5).
Representación de la Intersección de difusa
ó conjunción difusa.
BajaMedia

A
B
1
Temperatura
Operaciones Lógicas Difusas

Un operador común de disyunción difusa es el
operador máximo. Por lo tanto, con frecuencia la
unión difusa se define como:
AB (x)= max{A(x), B(x)}

La unión (o disyunción) difusa, se lee “o” difusa,
y representa al conjunto difuso más pequeño
que contiene a A y que contiene a B. El
operador max (), toma como valor verdadero el
valor máximo de la función de membresía del
elemento x en A y B.
Ejemplo:


Se puede definir al conjunto difuso A de los
números reales muy cercanos a 8 y B como el
conjunto difuso de los números reales muy cercanos
a 15.
Tomando en cuenta la ecuación.
 AB x   A x  B x  max  A x, B x
y que A = (1 0.8 0.4 0.5) y B = (0.9 0.4 0.0 0.7)
se tiene que:
AB(x) = (1 0.8 0.4 0.7).
Representación de la Unión difusa ó
disyunción difusa.
BajaMedia

A
B
1
Temperatura
Operaciones Lógicas Difusas


El complemento de un conjunto difuso A se define por
la diferencia entre uno y el grado de membresía en A:
Ac (x)= 1- A (x)
Complemento (negación difusa):
El complemento de un
conjunto difuso es la cantidad que la membresía necesita
para alcanzar 1. Sea U un conjunto cualquiera y M =
[0,1], su conjunto asociado de membresía. Si se considera
a un conjunto difuso AU, entonces el complemento de
A será:
 
 
A u  1  A u ,

evidentemente, se cumple que:
¬ (¬A) = A
u U
Representación del complemento de un
conjunto difuso ó negación difusa

1
Medio
¬Medio
Temperatura
2.1.3 Variable Lingüística

Como un conjunto convencional, un conjunto difuso se
puede utilizar para describir el valor de una variable. Por
ejemplo, la oración “El porcentaje de humedad es
Bajo” utiliza el conjunto difuso “Bajo” para describir la
cantidad de humedad en un día. Más formalmente, se
expresa como:


Humedad es Bajo
La variable humedad en este ejemplo demuestra un
concepto importante en la lógica difusa:
La variable lingüística.
…

Una variable lingüística se puede interpretar
tanto cualitativamente mediante un termino
lingüístico (etiqueta: nombre del conjunto
difuso), como cuantitativamente mediante su
correspondiente función de membresía (la cual
expresa el significado del conjunto difuso).

El termino lingüístico es utilizado para expresar
conceptos y conocimiento, mientras la función
de membresía se utiliza para procesar el dato
numérico de entrada.
…

Una variable lingüística es como una
composición de una variable simbólica (una
variable cuyo valor es un número). Un ejemplo
de una variable simbólica es:


Forma = Cilíndrica
Donde Forma es una variable que indica la forma
de un objeto. Un ejemplo de variable numérica
es:

Altura = 4’
…

Con frecuencia, las variables numéricas son
utilizadas en ingeniería, ciencias, matemáticas,
medicina, y en muchas otras disciplinas.

Por otro lado, las variables simbólicas juegan un
papel importante en la inteligencia artificial y las
ciencias que tienen que ver con toma de
decisiones.
…

Utilizando la notación de la variable lingüística
se pueden combinar estos dos tipos de variables
dentro de una red uniforme, lo cual es de hecho
una de las razones principales de que la lógica
difusa haya tenido éxito en ofrecer una
aproximación inteligente en la ingeniería y
muchas otras áreas que tienen que ver con
problemas que manejan un dominio continua.
Modificadores Lingüísticos: Hedges

Existen muchos descriptores lingüísticos como son:
moderado, normal, alto, algo caliente, muy bajo, medio
normal, mas o menos alto, etc.

Uno de los conceptos importantes en la Lógica Difusa
es que en vez de enumerar todos estos diferentes
descriptores, se pueden generar de un conjunto esencial
de términos lingüísticos (llamado: Conjunto Término)
utilizando modificadores (por ejemplo: muy, mas o
menos) y conectivas (por ejemplo: “y”, “o”).
En Lógica Difusa a dichos modificadores se les
denomina:
Hedges

Ejemplo: Variables Lingüísticas Y
Valores Lingüísticos.

Si edad es interpretada como una variable
lingüística, entonces su conjunto término
T(edad) puede ser:
 joven, no joven, muy joven, no muy joven,  ,

medio viejo, no medio viejo,  ,



T edad   

viejo
,
no
viejo
,
muy
viejo
,
mas
o
menos
viejo
,
no
muy
viejo
,

,


no muy joven y no muy viejo, 


Donde cada término en
T(edad)
se
caracteriza por un conjunto difuso de un
universo de discurso X = [0, 100], como se
muestra en la siguiente figura.

Del ejemplo anterior, se observa que el
conjunto termino consiste de varios
términos primarios (joven, viejo)
modificados por la negación ("no") y/o
los adverbios (muy, mas o menos,
completamente, extremadamente, etc.), y
entonces ligados por conectivas tales como
y, o, y ni.
Universo De Discurso
Establecimiento Del Universo De
Discurso Para Las Variables
Lingüísticas

Se especifica el universo de discurso para
una variable de entrada y/o salida, cómo el
rango de valores posibles que puede tomar
la variable en cuestión para la aplicación
actual.

Dado que el universo de discurso para cada
variable debe ser trasladado a variables
lingüísticas (conjuntos difusos), se ha tratado de
normalizar que el número de conjuntos difusos
definido para cada variable sea un número
impar, recomendando que se inicie especificando
7 conjuntos para cada variable.

La determinación final del número de conjuntos
difusos definidos para cada variable se determina
heurísticamente, pues aún cuando se conocen
los efectos de tener pocos o muchos conjuntos
definidos en el universo, finalmente se
establecen los conjuntos definitivos observando
un funcionamiento satisfactorio del sistema.

Se recomienda especificar una cantidad de
conjuntos difusos más densa en aquellas zonas
donde se requieran cambios grandes en los
parámetros de salida del sistema a cambios
pequeños de sus parámetros de entrada.

Una de las cualidades que caracterizan a los
sistemas difusos es el manejo de información
ambigua, esta característica la adquieren
debido a la forma en que se especifican los
conjuntos difusos cubriendo el universo de
discurso de las variables de entrada y/o salida,
por lo que la ambigüedad que puede ser
admitida por el sistema depende del
grado de traslape entre los conjuntos
definidos.

Respecto del grado de traslape que deben
tener dos conjuntos contiguos,
se
recomienda en 25% del área total al
inicio del desarrollo (conjuntos simétricos),
aún cuando se sabe que el funcionamiento del
sistema no es muy bueno con estos
conjuntos, también se recuerda que esto no
es una generalización, pues su adecuación
depende del grado de precisión deseado en la
respuesta del sistema.
Consideraciones para la
especificación de los C D´s:


1) Cada punto en el universo de discurso debe
pertenecer al dominio de al menos una función
de membresía; al mismo tiempo, debe
pertenecer al dominio de no más de dos
funciones de membresía.
2)
Ningún par de funciones de membresía
deben tener el mismo punto de máxima
membresía.
Consideraciones para la
especificación de los C D´s:


3)
Cuando dos funciones de membresía se
traslapan, la suma de los grados de membresía
para cualquier punto en el traslape debe ser
menor o igual a uno.
4)
Cuando dos funciones de membresía se
traslapan, el traslape no debe cruzar el punto de
máxima membresía de cualquier función de
membresía.

Durante la especificación de los conjuntos difusos que
cubren los extremos inferior (función Z) y superior
(función S) del universo de discurso considerado, es de
gran importancia que se hagan de una manera
adecuada, ya que estas funciones son muy importantes
para la estabilidad del funcionamiento del sistema,
pues evalúan las situaciones extremas consideradas
para el establecimiento del universo de
discurso.
2.1.4 Distribución de Posibilidad

La asignación de un conjunto difuso a una
variables difusa restringe el valor de la variable,
tal como lo hace un conjunto clásico (crisp).

Sin embargo, la diferencia entre los dos es que la
idea de valores posible vs. valores imposible se
convierte en un asunto de grado.
Por ejemplo:


Se realizó un acto terrorista y la policía reporta que el
sospechoso de poner la bomba tiene una edad entre 20
y 30 años.
Lo cual puede expresarse al asignar el intervalo [20, 30]
a una variable, que representa la edad del sospechoso:


Edad (sospechoso)=[20, 30]
De forma especifica el intervalo limita la edad a: 20, 21,
…,30, y es imposible que el sospechoso tenga una edad
fuera de dicho rango. Lo anterior introduce una
frontera clasica entre los valores posibles y los
imposibles.
…


Para situaciones en que una frontera bien
definida no se desea, la lógica difusa ofrece una
alternativa
más adecuada –generalizar la
distinción binaria entre lo posible vs. lo
imposible a un asunto de grado llamado la
posibilidad.
Por ejemplo, si se asigna el conjunto difuso
JOVEN, el cual tiene la siguiente función de
membresía:
…
π
JOVEN
1
17 18 19 20
21
22
23
24
25
26 27
28 29
30
31 32
EDAD
Una distribución de posibilidad del conjunto
difuso Joven
…

Para la edad del sospechoso, se obtiene una
distribución a cerca de los grados de posibilidad
de la edad del sospechoso (la posibilidad de que
el sospechoso tenga 19 años es de 0.7, mientras
que la posibilidad de que tenga 21 hasta 28 es de
1).
 ∏Edad(sospechoso)(x) = µJOVEN(x)
…

Donde



∏
denota una distribución de posibilidad de la edad del
sospechoso.
Y x
es una variable que representa una edad del
sospechoso.
Cuando se asigne un conjunto difuso A a
una variable X, la asignación resultará en
una distribución de posibilidad de X, la
cual se define por la función de membresía
A.

∏X (x) = µA (x)
2.1.5 Reglas Difusa


La inferencia difusa basada en reglas se puede
entender de varias formas (conceptualmente,
matemáticamente, formalmente, etc.). Por
ejemplo:
Desde un punto de vista lógico, la inferencia
difusa basada en regla es una generalización de
un esquema de razonamiento lógico llamado
modus ponens.
Modus ponens: lógica clásica


En lógica clásica, si una regla es verdadera y el
antecedente de la regla es verdadera, entonces
puede inferirse que el consecuente de la regla es
verdadero.
Lo anterior es referido como modus ponens. Por
ejemplo, si la regla R1 es verdadera:


R1: IF el ingreso anual de una persona es más
grande que 120K THEN la persona es rica.
Y también, la siguiente declaración es verdadera:

El ingreso anual de Pedro es de 121K

Basados en el modus ponens , la lógica clásica
puede deducir que la siguiente declaración
también es verdadera:


Pedro es rico.
Una limitación del modus ponens es que no puede
manejar situaciones parciales, como por ejemplo,
la regla R1 y un caso diferente:

El ingreso anual de Juan es de $199,999.

Generalmente, se diría que Juan es un poco rico,
Sin embargo, el modus ponens no puede inferir si
Juan es rico o no utilizando la regla R1, porque
el ingreso anual de Juan no satisface el
antecedente de R1, aunque solamente le falta un
peso. El problema tiene dos causas:

(1) El antecedente de R1 no representa una
transición suave hacia la categoría “rico” lo cual con
frecuencia se observa en el razonamiento humano.


(2) El modus ponens no puede manejar una situación
donde el antecedente de una regla sea parcialmente
satisfecho.
Al tomar en cuenta tales limitantes, la
“inferencia difusa basada en regla” generaliza el
modus ponens, permitiendo que sus conclusiones
inferidas sean modificadas por el grado para el
cual el antecedente se satisfaga. Lo anterior es la
esencia de la “inferencia difusa basada en
reglas”.
Estructura de las reglas difusas
IF <antecedentes> THEN <consecuente>

El antecedente describe una condición, y el
consecuente describe una conclusión que puede
ser dibujada cuando las conclusión se obtienen.



Varios Antecedentes: (condición: rígida, elástica)
IF PosY is PAba and DesY is DCArr and PosZ
is HAdel THEN NDesY is SDesY;
El consecuente de las Reglas Difusa se pueden
clasificar en tres categorías:
1. Consecuente Crisp: IF …THEN y=a
donde a es un valor numérico no-difuso o valor
simbólico.

Pueden ser procesadas más eficientemente.
 2. Consecuente Difuso: IF…THEN y es A
Donde A es un conjunto difuso.
Es más fácil de entender y mas adecuado para capturar la
experiencia humana imprecisa.
 3. Consecuente Funcional:
IF x1 es A1 AND x2 es A2 AND x3 es A3 AND ...
n
…xn es An THEN y = ao +
a  x
i 1
i
i
Donde ao , a1 , a2 , … , an son constantes.
Puede ser utilizado para aproximar modelos no lineales
complejos utilizando un número pequeño de reglas.
Conceptos y
Fundamentos de Lógica
Difusa.
2.1 Conceptos básicos de Lógica
Difusa
Reglas para los problemas
planteados



Problema A:
R3: IF la temperatura objetivo T es baja, THEN
Coloque el voltaje a _V (prenda el flujo frío).
R4: IF la temperatura objetivo T es alta, THEN
coloque el ---V (prenda el flujo caliente).
Reglas para los problemas
planteados



Problema B: Lavadora automática.
R5: IF Cantidad de ropa es mucha AND que tan
sucia esta la ropa es rudo THEN el ciclo de
lavado es fuerte.
R6: IF Cantidad de ropa es medio AND que tan
sucia esta la ropa es normal-rudo THEN el ciclo
de lavado es normal
Variables y sus Funciones de
membresía

1

Rudo
Nrudo Nsuave
Suave
Mugrosidad de la ropa
1
Poco
Mucho
Cantidad de ropa

1
Medio
Delicado ligero Normal fuerte
Ciclo de lavado
Tabla de Reglas Difusas para el ciclo
de lavado
Poca
Medio
Mucha
Suave
Delicado
Ligero
Normal
Normal
Suave
Normal
Rudo
Rudo
Ligero
Normal
Normal
Ligero
Normal
Fuerte
Ligero
Normal
Fuerte
CANT. DE ROPA
MUGROSIDAD
Inferencia difusa basada en reglas





El algoritmo consiste de tres pasos básicos y uno
opcional:
1.- Fuzzy Matching: Calcula el grado para el cual el dato
de entrada se iguala (relaciona) a la condición de la regla
difusa.
2.- Inferencia: calcula la conclusión de la regla a partir
de sus grados de relación (matching).
3.- Combinación: Combina las conclusiones inferidas
por todas las reglas difusas en una conclusión final.
4.- Defusificación (Opcional): para aplicaciones que
necesitan una salida crisp.
Fuzzy Matching para la conjunción


Mucha
Rudo
1
0.5
1
0.2
Cantidad de Ropa


Normal
1
1
min
Mugrosidad
Normal
Rudo
0.8
0.5
min
Cantidad de Ropa
Mugrosidad
IF la Cantidad de ropa es Mucha AND la Mugrosidad de la ropa es Rudo THEN….
Grado
de
relación
Inferencia: dos métodos

1.- Método de recorte (min): Este método
trunca la altura de la función de membresía
cuyos valores sean más grandes que el grado de
relación. (min-max)

2.- El método de escalamiento (prod): Este
método diminuye la función de membresía en
proporción al grado de relación. (prod-sum)
Inferencia difusa

Conclusión
difusa

1
“Y es A”
1
Conclusión Inferida
Consecuente Difuso
Método de Recorte


1
1
Consecuente Difuso Método de Escalamiento Conclusión Inferida
Combinación de Conclusiones
Difusas

Al combinar las conclusiones difusas a través de superponer los
conjuntos se aplica un operador difuso de disyunción, max, para
múltiples distribuciones de posibilidad de la variable de salida.
Combinación de Conclusiones
Difusas
Defusificación

Observando los cuatro pasos juntos
del algoritmo

Mucha
1

Rudo
1
Fuerte
min

1
1

Cantidad de Ropa

Normal
1
1
Mugrosidad

Normal Rudo
Normal
min
Ciclo
1
Salida
defusificada
Cantidad de Ropa
Mugrosidad
Resumen y Conclusiones Finales


Un conjunto difuso es un conjunto con fronteras
suaves tal que la membresía en el conjunto llega a ser
una materia de grado.
Un conjunto difuso tiene una representación dual: una
descripción cualitativa y utilizando un termino lingüístico, y
una descripción cuantitativa a través de una función de
membresía, la cual relaciona los elementos en un
universo de discurso para sus grados de membresía en
el conjunto.


Una variable lingüística es una variable cuyo
valores son una expresión que involucra
conjuntos difusos.
Cuando un conjunto difuso es asignado a una
variable cuyo valor difuso no es conocido, el
conjunto difuso sirve como una constante de
grado para facilitar que la variable tome un
cierto valor. Dicho grado de facilidad es
conocido como el grado de posibilidad.



Una distribución de posibilidad de una variable es
una función que relaciona elementos del
universo de discurso de la variable a sus grados
de posibilidad.
Una regla difusa if-then es un esquema para
representar conocimiento y asociación que es
inexacto e imprecisos por naturaleza.
La parte if de una regla difusa se conoce como
antecedente, y la parte then de la regla se conoce
como consecuente.

El razonamiento utilizando reglas difusas if-then
tiene tres característica principales. Primera, se
puede realizar la inferencia con información
parcial en las entradas de las reglas. Segunda,
típicamente se puede inferir la distribución de
posibilidad de una variable de salida de la
distribución de posibilidad de una variable de
entrada. Tercera, El sistema combina las
conclusiones inferidas de todas las reglas para
formar una conclusión global.


La mayoría de las aplicaciones de la lógica difusa
utiliza reglas difusas if-then.
Muchos sistemas difusos basados en reglas
necesitan producir una salida precisa utilizan un
proceso de defusificación para convertir la
distribución de posibilidad inferida de una
variable de salida a un valor preciso de
representación.