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LOGICA DIFUSA
Dámaso López Aragón
Introducción
La lógica difusa tiene su origen en la década de los
60, en la Universidad de Berkeley - California, la
cual fue desarrollada por Lofti Zadeth a través de
la teoría de conjuntos difusos.
La lógica difusa surgió, como una generalización
de la lógica clásica, por el deseo de representar de
manera más fiel la realidad.
Introducción
En esta presentación haremos explicaremos el
concepto de la lógica multivaluada de la lógica
difusa.
Primero haremos una introducción acerca de los
conjuntos difusos, y las operaciones en ese tipo de
conjuntos. A continuación, hablaremos sobre los
conjuntos disjuntos y finalizaremos con el tema de
inferencia y reglas difusas
Agenda
1. Logica Difusa
i. Concepto
ii. Características
iii. Ejemplo
iv. Lógica Clásica vs lógica difusa
2. Conjuntos difusos
3. Inferencia difusa
Lógica Difusa: Concepto
• Lógica basada en la teoría de conjuntos que
trata de imitar el comportamiento de la lógica
humana.
• Se utiliza para representar la información
imprecisa, ambigua o vaga, para tomar
decisiones razonables en un entorno de
incertidumbre.
Lógica Difusa: Características
• Representación de la imprecisión en lenguaje
natural.
• Utiliza conjuntos disjuntos, relaciones difusas,
variables difusas.
• Estos elementos se combinan en el proceso de
inferencia. Este proceso es un conjunto de
pasos que pasa la información precisa a difusa
o viceversa.
Lógica Difusa: Concepto
Lógica Difusa: Características
• Es una extensión de la lógica clásica; es una
lógica multivaluada.
• Hace uso de aproximaciones matemáticas en
la resolución de ciertos problemas
• Trata de producir resultados exactos a partir
de datos imprecisos
Lógica Difusa: Ejemplo
En la lógica clásica, el estado de una puerta es
abierta o falsa.
• Puerta Abierta: true
• Puerta Cerrada: false
Lógica Difusa: Ejemplo
Para la lógica Difusa establece que una puerta no
tiene que estar solo abierta o cerrada, podemos
encontrar otros estados:
• Puerta abierta (1)
• Puerta bastante abierta (0.8)
• Puerta abierta a medias (0.5)
• Puerta casi cerrada (0.1)
• Una puerta está cerrada (0)
Lógica Difusa: Otros Ejemplos
• Juan es más alto que Pedro. El cuantificador
“más” es difuso. El enfoque concreto: Juan
mide 1.80 m y Pedro mide 1.65 m
• El porshe va mucho más rápido que el
volskwagen. El cuantificador “mucho más” es
difuso. El enfoque concreto: El porshe va a 150
km/h y el volkwagen va a 80 km/h.
Lógica Clásica vs Lógica Difusa
Lógica Clásica
Tiene dos valores:
verdadero o falso
Lógica Difusa
Tiene otros valores que
puede ser finitos o
infinitos
Predicados que forman Predicados difusos: casi,
parte del Universo que parcialmente, semi y no
no son difusos: abierto o difusos: abierto o
cerrado
cerrado
Lógica Clásica vs Lógica Difusa
Lógica Clásica
Lógica Difusa
Manejo de sólo dos
Cuantificadores como
cuantificadores: todos y “pocos”, “muchos”,
algunos
“frecuentemente”, etc.
Uso de variables
lingüísticas: “viejo” o
“joven” utilizando la
variable edad.
Lógica Clásica vs Lógica Difusa
Agenda
1. Logica Difusa
2. Conjuntos difusos
i. Definición
ii. Función de pertenencia y membresía
iii. Variable difusa y lingüística
iv. Operaciones de conjuntos difusos
v. Relaciones difusas
3. Inferencia difusa
Conjuntos: Definición
Es una reunión o agrupación de elementos que
cumplen con una determinada condición
B
𝐴 = { 𝑥 𝜖 𝑅 /𝑥 ≤ 5}
1
2
3
4
5
Conjuntos: Definición
El conjunto clásico suele definirse:
• Lista enumerada de números
• Definición que determina si un elemento
pertenece o no.
• Función de pertenencia.
Conjuntos: Ejemplo
El conjunto de números reales mayor o igual a 5
𝐴 = { 𝑥 𝜖 𝑁/𝑥 ≥ 5}
µ(4) =0
µ(7) =1
Conjunto Difuso: Concepto
Un conjunto difuso se caracteriza por una
función de pertenencia µ(x) que puede tomar
cualquier valor en el intervalo cerrado [0,1], es
decir, valores comprendidos entre 0 y 1
Conjunto Difuso: Ejemplo
Sea
el conjunto de temperaturas calientes
registradas en una caldera, podría definirse como:
µc(T) =
0,
T-20
10
1,
si T ≤ 20;
si T > 30;
Conjunto Difuso
Los conjuntos disjuntos definidos sobre universos
discretos, se definen como un conjunto de tuplas
de la forma (elemento, función)
F = {(x, µF(x)) | x ε U}
En el ejemplo anterior, las temperaturas calientes se encuentran
entre 19 a 31, tenemos:
C = {(19,0), (20,0), (21,0.1), (22,0.2), (23,0.3), (24,0.4), (25,0.5),
(26,0.6), (27,0.7), (28,0.8), (29,0.9), (30,1), (31,1)}
Notación de Zadeh: Notación difusa
Propone una notación sobre universos discretos
F = µF (x1)/x1 + µF (x2)/x2 + µF (x3)/x3 + … + µF (xn)/xn
Esta notación se puede resumir
de esta manera:
Para conjuntos
notación sería:
continuos,
µF (x)/x
𝑥ε𝑈
la
𝑈
µF (x)/x
Función de Pertenencia
Un conjunto difuso se define como una función
de pertenencia que empareja elementos del
Universo con elementos del intervalo [0, 1].
Función Singleton
Función Trapezoidal
Función Triangular
Función S
Función Gaussiana
Donde:
m es el valor medio de la campana de gauss
k es una constante dada mayor a 0 (k>0)
Función Pseudo-Exponencial
Donde:
m es el valor medio de la campana de gauss
k es una constante dada mayor a 0 (k>0)
Función de Membresía
Una función de membresía se define sobre
universos continuos, generalizando la notación
de sumatoria con el símbolo
Función de
membresía
Notación de
Zadeh
Variables Difusas
Universo de Discurso.
Es el conjunto de valores que puede tomar una
variable.
Por ejemplo, consideremos al conjunto de
personas de una comunidad; donde la
comunidad será nuestro Universo. Este Universo
estará formado por personas jóvenes, adultas,
altas, bajas, etc.
Variables Difusas
Una variable difusa es cualquier valor que está
basado en la percepción humana, más que en
valores precisos que se pueden medir.
Por ejemplo: si la persona es muy alta, si el
vehículo corre a excesiva velocidad.
Variables Difusas
Valores para la variable difusa “velocidad
Variables Lingüísticas
Un conjunto difuso se puede utilizar para
describir el valor de una variable.
Por ejemplo: “Juan es una persona baja” utiliza
el conjunto difuso “bajo” para describir el tamaño
de la persona.
La variable tamaño demuestra un concepto
importante en la lógica difusa: variable
lingüística.
Variables Lingüísticas
Existen muchos descriptores lingüísticos como
son: moderado, normal, alto, algo caliente, muy
bajo, medio normal, mas o menos alto, etc.
Uno de los conceptos importantes en la Lógica
Difusa es generar de un conjunto esencial de
términos lingüísticos (Conjunto Término)
utilizando modificadores (muy, mas o menos) y
conectivas (“y”, “o”).
En Lógica Difusa a dichos modificadores se les
denomina: Hedges
Variables Lingüísticas
Si edad es una variable lingüística, entonces su
conjunto término R(edad) puede ser:
R (edad) =
joven, no joven, muy joven, no muy joven,…
medio viejo, no medio viejo,…
viejo, no viejo, muy viejo, mas o menos viejo,..
no muy joven y no muy viejo, …
Operaciones entre conjuntos difusos
La SUMA ALGEBRAICA de dos
conjuntos difusos A y B es un conjunto
difuso A+B. Su función de pertenencia es:
µ(A+B) = µ(A) + µ(B) - µ(A)µ(B)
Operaciones entre conjuntos difusos
El PRODUCTO ALGEBRAICO de dos
conjuntos difusos A y B es otro conjunto
difuso A.B. Su función de pertenencia es:
µ(A+B) = µ(A).µ(B)
Operaciones entre conjuntos difusos
La POTENCIA de orden “m” de un
conjunto difuso A, es un conjunto difuso
cuya función de pertenencia es:
µ(Am) =[µ(A)]m
Operaciones entre conjuntos difusos
La UNION de conjuntos difusos A y B es
un conjunto difuso AUB en U cuya
función de pertenencia es:
µAUB(x) ={x / max[µA(x), µB(x)]}
Operaciones entre conjuntos difusos
La INTERSECCION de conjuntos difusos
A y B es un conjunto difuso A∩B en U cuya
función de pertenencia es:
µA∩B(x) = {x / min[µA(x), µB(x)]}
Operaciones entre conjuntos difusos
El COMPLEMENTO del conjunto difuso
de A es un conjunto difuso A en U cuya
función de pertenencia es:
µA(x) = { x / [1 - µA(x) ]}
Operaciones entre conjuntos difusos
Sea:
Donde A y B son conjuntos
Operaciones entre conjuntos difusos
AUB
A∩B
A’
Relaciones difusas
Una relación difusa es un conjunto difuso de
tuplas, donde cada tupla tiene un grado de
pertenencia entre 0 y 1.
La relación difusa R(U,V) es un conjunto difuso
en el espacio producto UxV, se caracteriza porla
función de pertenencia µr(x,y) donde x
pertenece a U e y pertenece a V.
R(U,V) ={((x,y), µR(x,y))| (x,y) ε UxV}
Relaciones difusas
La función µR de la relación puede ser descrita por:
1,
si x = y;
0.8, si | x – y | = 1;
0.3, si | x – y | = 2
La tabla
matricial sería
Agenda
1. Logica Difusa
2. Conjuntos difusos
3. Inferencia difusa
i.
ii.
iii.
iv.
Reglas Difusas
Estructura
Inferencia utilizando lógica difusa
Ventajas y desventajas de los sistemas
de inferencias
Inferencia Difusa
Se llama REGLAS DIFUSAS al conjunto de
proposiciones IF – THEN que modelan un
problema al que se quiere resolver.
Una regla difusa simple: “Si x es A entonces y es B”
A y B son conjuntos disjuntos definidos en los
rangos de “x” e “y”
Estructura de las Reglas Difusas
IF <antecedentes> THEN <consecuente>
El antecedente o premisa describe una
condición, y el consecuente o conclusión
describe la conclusión
Ejemplo:
IF carretera está seca THEN manejar es seguro
Estructura de las Reglas Difusas
1. Varios antecedentes (condición: rápido,
lento).
IF x is A AND y is B AND THEN z is C
2. Se clasifica en tres categorías el consecuente
de la regla difusa:
a) Consecuente Crisp: IF … THEN y=a
donde a es valor numérico simbólico
Estructura de las Reglas Difusas
2. Se clasifica en tres categorías el consecuente
de la regla difusa:
b) Consecuente Difuso: IF … THEN y is A
donde A es conjunto difuso
c) Consecuente Funcional:
IF x1 es A1 AND x2 es A2 AND x3 es A3
THEN y=a0 + 𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 x 𝑥𝑖
Donde a0, a1, a2, … an son constantes
Inferencia utilizando lógica difusa
La computación usando inferencia basada en
lógica difusa se aplica en: sistemas expertos,
robótica y reconocimiento de patrones.
El sistema de inferencia difuso se le conoce
como: sistema difuso de reglas, sistema experto
difuso, controlador difuso, modelo difuso.
Inferencia utilizando lógica difusa
El sistema de inferencia difuso está conformado
por tres componentes:
• Reglas difusas
• Base de datos o Diccionario (funciones de
pertenencia)
• Mecanismo de razonamiento: inferencias
Input
Reglas
Output
Inferencia utilizando lógica difusa
Los controladores manejan valores exactos
Velocidad
Controlador
Cantidad gasolina
Si el controlador usa lógica difusa, será
necesario realizar alguna conversión
Inferencia utilizando lógica difusa
Al proceso de conversión a la lógica difusa y
viceversa, se le denomina fuzzuficacion y
defuzzificacion
Entrada
exacta
fuzzificador
Controlador
difuso
defuzzificador
Salida
exacta
Inferencia utilizando lógica difusa
El controlador de lógica difuso (Fuzzy Logic
Controller) utiliza reglas IF – THEN en
conjunto con funciones de pertenencias difusas
para controlar el proceso y minimizar el error
del resultado.
Existen modelos de controlador difuso:
• Mamdani
• Sugeno o Takagi
• Tsukamoto
Inferencia utilizando lógica difusa
El controlador de lógica difuso (DeFuzzy Logic
Controller) halla un único valor para la salida
del sistema.
• Aplica el método de defuzzificación
disponible
• Lleva este valor de la salida de control a su
valor físico real.
Ventajas de los Sistemas de Inferencias
• La principal ventaja es su facilidad de
implementación
• Su modo de funcionamiento es similar al del
comportamiento humano
• Forma rápida y económica de resolver un
problema.
• No se requiere conocer el modelo
matemático que rige el funcionamiento del
sistema
Desventajas de los sistemas de inferencias
• Se requiere un tiempo de aprendizaje para
obtener mejores resultados en redes
neuronales.
• Ante modelos matemáticos, no obtener
buenos resultados aplicando lógica difusa