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Índice
• Leyes de Newton
• Interacción Gravitatoria
• Reacción en Apoyos
•
•
•
•
•
Leyes del Rozamiento
Ejemplos
Leyes de la Dinámica en SRNI
Ejemplos
Teorema de la Cantidad de Movimiento. Conservación.
• Teorema del Momento Cinético. Conservación.
• Percusión
• Fuerzas Centrales. Leyes de Kepler.
Índice
• Trabajo. Fuerzas Conservativas.
• Energía Potencial
• Teorema de la Energía Cinética. Conservación.
• Teorema de la Energía Mecánica. Conservación.
1ª Ley de Newton: Principio de Inercia
Todos los cuerpos perseveran en su estado de reposo o de movimiento
rectilíneo y uniforme salvo que se vean forzados a cambiar ese estado
por fuerzas impresas.
Toda partícula libre permanece en reposo o en movimiento rectilíneo y
uniforme.
F=0
v = cte
S es inercial
Sistema de referencia S
2ª Ley de Newton:
Principio de Proporcionalidad
El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza impresa y se hace
en la dirección de ésta.
dp
F 
 ma
dt
p es la cantidad de movimiento o momento lineal de una partícula
m es la masa inercial
a es la aceleración
F es la resultante de fuerzas y depende en el caso más general de la
posición y velocidad de la partícula y del tiempo
3ª Ley de Newton:
Principio de Acción y Reacción
Para toda fuerza de acción ejercida sobre un cuerpo hay siempre una
fuerza de reacción (ejercida sobre otro cuerpo causante de la acción)
igual pero de sentido opuesto.
Ejemplo
Tierra
Fuerzas de Atracción
Gravitatoria
Fuerzas de Repulsión
en el Apoyo
Electromagnéticas
Nota: las fuerzas de acción y reacción pueden ser (p. fuerte) o no colineales (p. débil)
Interacciones Básicas de la Naturaleza
La fuerza es la cuantificación numérica que modela el concepto
físico de interacción.
Interacción
Intensidad Alcance Sentido
Fuente
Fuerte
Fuerte
Corto
Atractivo
(repulsivo a
cortas
distancias)
Estabilidad
del núcleo
Electromagnética
Fuerte
Largo
Atractivo o
repulsivo
Carga
eléctrica
Débil
Débil
Corto
No aplicable Reacciones
entre
partículas
Gravitatoria
Débil
Largo
Atractivo
Masa
Interacción Gravitatoria
Ley de Gravitación Universal
Todos los cuerpos se atraen entre sí mediante fuerzas
directamente proporcionales al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
las separa.
F1 2  G
r1
F12
r2 –r1
F21
r2
G
G
m1m2
r2  r1
2
m1m2
r2  r1
2
m1m2
r2  r1
3
( r2  r1 ) 
( r2  r1 )

r2  r1
u12
Campo Gravitatorio: mide como el cuerpo modifica
el espacio
g1 ( r2 )  G
r1
g2
r2 –r1
r2
m1
r2  r1
g1
g 2 (r1 )  G
3
( r2  r1 )
m1
r1  r2
3
(r1  r2 )
Es central, radial y conservativo. Para r1=0 en
un r genérico:
g1
r
ur
m1
dV r
g1 (r )  g1 (r )ur  
,, V  G
dr r
r
Principio de Superposición:
g2
g1
r
r2
g (r )  g1 (r )  g 2 (r )
r1
Campo Gravitatorio Terrestre: Peso y Energía Potencial
mT  R
R

M
P  MgT ( R)  M  G 2 
 9.81 ms 2
P
R  R
R

R
mT 

EP  MV ( R)  M  G
  MgT ( R) R
R 

 M 9.81R ( SI )
Reacción en Apoyos
Partícula sobre Superficie:
Fuerzas de Acción
y Reacción
Sin rozamiento
Partícula
sobre Curva:
Fuerzas de Acción
y Peso
Con rozamiento
Leyes del Rozamiento Seco
Rozamiento Estático: Velocidad relativa entre objetos nula
1º)
FRe  e N ,, e  coeficiente de rozamiento estático
2º) FRe Límite  e N
Sólo en el caso límite se conoce el sentido de la fuerza, que
es opuesto al posible sentido de movimiento
Leyes del Rozamiento Seco
Rozamiento Dinámico: Existe velocidad relativa
v
3º) FR d  d N ,, d  coeficiente de rozamiento dinámico
FRd tiene sentido opuesto a v
En general, e≥d no dependen del área de contacto y sí de
la naturaleza y forma microscópica del área de contacto.
Ejemplo: Caso Estático
d0 (longitud natural)
M1
x1
M2
T  FRe1  K ( x1  d 0 )  0
T  M2g  0
N1  M1 g  0
FRe debe verificar:
FRe1  e1 N1
Si el sistema está apunto de moverse: FR e1   e1 N1
Valor mínimo del coef. de rozamiento: e1  FR e1
N1
Ejemplo: Caso Dinámico
d0
M1
x1
Condiciones
iniciales:
x1(0) = x0
y2(0) = y0
v1(0) = V >0
v1(0) =-v2(0)
M2
T  d N1  K ( x1  d0 )  M1a1
N1  M1 g  0
T  M 2 g  M 2 a2
Ligadura: a1  a2
El sentido del rozamiento se debe a la velocidad inicial.
En el caso de V = 0 y que no se halle estático se debe
suponer un sentido para el rozamiento y probar que la
aceleración se opone a éste.
Leyes de la Dinámica en SRNI
r
r’
S’ no inercial
F  ma
a  a ' ao '    r '   (  r ')  2  v '
F  mao '  m  r ' m  (  r ')  2m  v '  ma '
S inercial
F  Finercia  ma '
Finercia esta compuesta por la fuerza de traslación del origen,
tangencial y centrífuga (todas forman el arrastre) y de Coriolis.
Ejemplos
En S:
S
En S’:
S’
O’
aO’
N  Mg  0
R  Macoche

R
 FRe  Matangencial
R  Mao '  0
 FRe  M  R  0
Ejemplos

FRe  Manormal
R
FRe  M  2 R  0

v’
y’
 d N  Ma y '
 R  Max'
 d N  M  2 y '  Ma '
R  2Mv '  0
Impulso Mecánico de una Fuerza
t2
I   F dt
t1
Teorema de la Cantidad de Movimiento
t2
I   F dt  p2  p1  mv2  mv1
t1
v1
F
v2
Sistema de referencia inercial S
F
Principio de Conservación de la Cantidad
de Movimiento
La cantidad de movimiento de una partícula se mantiene constante
si la resultante de las fuerzas exteriores es nula.
dp
Si F  0 
 0  p(t )  p(0)  cte
dt
F=0
v = cte
Sistema de referencia inercial S
Momento Angular o Cinético en un Punto
LA  AP  p  AP  mv
A
P
v
F
Momento Angular o Cinético respecto a un Eje
ue
A
P
Le  LA  ue  ( AP  p)  ue
v
F
LA
Teorema del Momento Cinético en un Punto Fijo
dLA
M A  AP  F 
dt
Teorema del Momento Cinético en un Eje Fijo
dLe d ( LA  ue )
M e  M A  ue 

dt
dt
Conservación del Momento Cinético en un Punto
Si M A  0  LA (t )  LA (t  0)  cte
Percusión
Impulso Mecánico producido por una fuerza instantánea
P
t0 t
t0
F dt ,, t  0
Una percusión supone una discontinuidad en el momento lineal y
cinético pero no en la posición.
F
v(t0t)
v(t0)
O
r
p(t0  t )  p (t0 )  P(t0 )
LO (t0  t )  LO (t0 )  r  P
Fuerzas Centrales
La recta soporte de la fuerza pasa por un punto fijo llamado
centro del campo.
ur
F  F (r ) u
r
F
O
r
Radial : F  F (r ) ur
M o  r  F  0  Lo  cte
Ejemplo: Fuerza Gravitatoria del Sol
mSol mPlaneta
F  G
ur
2
r
Leyes de Kepler
1ª) Las órbitas de los planetas son elipses en uno de cuyos focos
está el Sol.
LSol=cte, por tanto, r y v están siempre en un plano
perpendicular en el que se mueven los planetas.
LSol  cte  Trayectoria Plana
2ª) El vector de posición o radiovector de cualquier planeta con
respecto al Sol barre áreas iguales en tiempo iguales.
dA 
1
r  dr
2
Lo
dA

 cte
dt
2mSol
dr
r
Leyes de Kepler
3ª) Los cuadrados de los periodos de revolución son
proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las
elipses que describen los planetas.
T2
 cte
3
a
a
Para una órbita circular se demuestra usando que:
2
mSol m plan.
2



G

m
a

m
plan . normal
plan . 
 R
2
R
 T 
Trabajo de una Fuerza
1
dr
 W  F  dr  F 
dr
dr
F
r
2
dr
Mide la efectividad de la fuerza:
componente de la fuerza en la dirección
del desplazamiento por el
desplazamiento
Curva C
Sistema S
2
W1C2 

F  dr
1C
C
1 2
Propiedades: W
C
En general : W12
 W
 W1C'2
C
2 1
y W1Ccerrada
0
1
Fuerzas Conservativas
El trabajo no depende del camino:
C
1 2
W
W
C'
1 2
 curvas C y C ' entre 1 y 2
El trabajo a lo largo de cualquier curva cerrada es cero:
W
C cerrada

 F  dr 0
C
Existe una función energía potencial tal que:
C
12
W
 W12  ( E p (2)  E p (1))  E p
Cálculo:
E p ( r )  E p ( r0 ) 
r
r0 F dr
m
Energía Potencial
z
a) Fuerza Gravitatoria Constante
E p ( z )  E p ( z  0)  
z
z 0
(mg )k  dzk m g z
b) Fuerza Gravitatoria
M
r
m
ur
Mm
Mm
E p (r )  E p (r  )   (G 2 )ur  drur   G

r
r
r
d0
c) Fuerza Elástica
x
1
2
E p ( x)  E p ( x  d 0 )    K ( x  d 0 )i  dxi  K ( x  d 0 )
d0
2
x
Teorema de la Energía Cinética
2
C
1 2
W


F  dr 
1
F
1C
r
2
dv dr
1 C m dt  dt dt 
2
2
2
Curva C
Sistema S
1
1 C mdv  v  1 C 2 md (v  v ) 
1 2
1 2
mv (2)  mv (1)
2
2
dr
Conservación de la Energía Cinética
Si el trabajo realizado por la resultante de fuerzas es nulo se
conserva la energía cinética.
Si W1C2  0  Ec  cte
Teorema de la Energía Mecánica
El trabajo realizado por la resultante de fuerzas disipativas es
igual a la energía mecánica del sistema.
F  Fconservativas  Fdisipativas
 Ep  Ec
 Ec  Ep  Em (2)  Em (1)  Em
C
12 disipativas
W
C
12 disipativas
W
Conservación de la Energía Mecánica
Si el trabajo realizado por la resultante de fuerzas disipativas
es nulo se conserva la energía mecánica.
Si W1C2 disipativas  0  Em  cte
Para el rozamiento dinámico Wdisipativas<0, por tanto, se pierde
energía.
Ejemplo: Fuerza elástica F = - k x
x  a cos(t   )
2
v  a sen(
t )
T
El valor medio en un periodo
de la energía cinética es igual
al de la potencial
Ec 
Ec
1
mv 2 ,
2
1

T

t T
t
Ep 
Ec dt 
1
kx 2
2
Ep