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Introducción a la Física I
1. Mecánica
Tobias Stauber
Departamento de la Materia Condensada
Depacho: C-03-517
Teléfono: 914973805
Email: [email protected]
Introducción a la matematica
Introducción:Diferenciación
f ( x  x)  f ( x)
f ( x)  lim
x 0
x
f ( x)  x n  f ( x  x)  f ( x)  nx n1  x  O(x 2 )
f ( x)  x  f ( x)  nx
n
n 1
1
1 3 / 2
1 1
1/ 2
f ( x) 
 x  f ( x)   x

3
2
2
x
x
Introducción:Diferenciación
f ( x)  sin( x)  f ( x)  cos( x)
f ( x)  cos( x)  f ( x)   sin( x)
f ( x)  e  f ( x)  e
x
x
1
f ( x)  ln( x)  f ( x) 
x
Introducción: Regla del producto
f ( x )  g ( x ) h( x )
 f ( x)  g ( x)h( x)  g ( x)h( x)
sin( x)
1
f ( x) 
 g ( x)  sin( x), h( x)   x 1
x
x
cos( x) sin( x)
 f ( x) 

2
x
x
Introducción: Regla de la cadena
f ( x)  g (h( x))
 f ( x)  g (h( x))  h( x)
f ( x)  sin( ax)  g ( x)  sin( x), h( x)  ax
 f ( x)  cos( ax)  a  a cos( ax)
1
1
2
2
f ( x) 
 g ( x) 
, h( x )  x  a
2
2
x
x a
1
1
x
 f ( x)  
 2x  
3
3
2
2
2 x2  a2
x a
Introducción: Integración
b

F
(
x
)
dx

F
(
x
)

F
(
b
)

F
(
a
)

a
b
a
1 n 1
 x dx  n  1 x  C
n
1
 x dx  ln x  C
Introducción: Vectores
 x1 
 

3
x  x   x2   R
x 
 3
 x1  y1 


x  y   x2  y 2 
x  y 
3
 3
 x1 


 x    x2 
 x 
 3
Introducción: Producto escalar
Ángulo φ entre dos vectores:
Norma de un vector:
x  y | x || y | cos( )
| x | x  x  0
Dos vectores son ortogonales
x  y  x1
x2
y
ϕ
 xy  0
 y1 
 
x3    y2   x1 y1  x2 y2  x3 y3
y 
 3
x
Introducción: Producto vectorial
e1
e2
e3
x  y  x1
x2
x3  e1
y1
y2
y3
x2
x3
y2
y3
 e2
x1
x3
y1
y3
 e3
x1
x2
y1
y2
 x2 y3  x3 y2 


 x  y   x3 y1  x1 y3 , | x  y | | x || y | sin(  )

 

x y x y 
área del paralelelípedo P(x , y )
2 1
 1 2
El producto vectorial es ortogonal a x y y:
(x  y )  x  (x  y )  y  0
Si x y y son ortogonal
 xy  0
Introducción: Producto mixto
x1
x2
x3
[xyz]  x  (y  z )  y1
y2
y3
z1
z2
z3
El producto no varía cuando se
realiza un número de permutaciones
El producto mixto da el |volumen|
del paralelepípedo determinado
por los tres vectores:
[xyz]  [zxy ]  [yzx ]
[xyz]  [zyx ]
Introducción: Ejercicio
Calcular el volumen V del “cubo” determinado por los vectores:
 1
 2 
  1
 
 
 
x   2 ; y    3 ; z   0 .
 3
  1
 1
 
 
 
V | x  (y  z ) | 14
Calcular el angulo entre y y z usando el producto escalar
(cosφ) y el producto vectorial (sinφ).
3
cos 1 
 1  2.174( 125o )
28 arccos
sin  2 
19
  2    1  0.968
28 arcsin
Introducción: mecánica
Introducción a la Mecánica
El fenómeno más obvio y fundamental que
observamos a nuestro alrededor es el de
movimiento... Prácticamente todos los procesos
imaginables pueden describirse como el
movimiento de ciertos objetos... Nuestra
experiencia diaria nos dice que el movimiento de
un cuerpo es influenciado por los cuerpos que lo
rodean; esto es por sus interacciones con ellos...
Hay varias reglas generales o principios que se
aplican a todas las clases de movimiento, no
importa cual sea la naturaleza de las interacciones.
Este conjunto de principios, y la teoría que los
sustenta, se denomina mecánica.
Introducción a la Mecánica
Para analizar y predecir la naturaleza de los
movimientos que resultan de las diferentes clases
de interacciones, se han inventado algunos
conceptos importantes, tales como los de
momento, fuerza y energía... La mecánica es la
ciencia del movimiento, es también la ciencia del
momento, la fuerza y la energía. Es una de las
áreas fundamentales de la física, y debe
comprenderse completamente antes de iniciar una
consideración de interacciones particulares.
Introducción a la Mecánica
La ciencia de la mecánica como la comprendemos
hoy día es el resultado principalmente de Sir Isaac
Newton, que produjo la gran síntesis denominada
principios de Newton. Sin embargo, muchas
personas más han contribuido a su avance.
Algunos de los nombres más ilustres son
Arquímedes, Galileo, Kepler, Descartes, Huygens,
Hamilton, Mach y Einstein. (Alonso y Finn, 1, 84)
Cinemática
Estudia las leyes del movimiento de los
cuerpos sin tener en cuenta las causas
que lo producen.
Velocidad
x
x
vmedia 
t
x(t)
Δx
velocidad media
Δt
x dx d
vins (t )  lim

 x(t )  x (t )
t  0 t
dt dt
velocidad instantánea
t
Aceleración
v
amedia 
t
v
v(t)
Δv
Δt
aceleración media
t
v dv d x  d 
ains (t )  lim

 2    x(t )  x(t )
t  0 t
dt dt
 dt 
2
aceleración instantánea
2
Movimiento rectilineo:
dx
v
 dx  vdt
dt
x
t
 dx   vdt
x0
0
 x  x0  vt
v const
dv
a
 dv  adt
dt
v
t
 dv   adt
v0
0
 v  v0  at
a const
Movimiento rectilineo:
dv
a
 dv  adt
dt
v
t
 dv   adt
v0
0
 v  v0  at
a const
dx
v
 dx  vdt
dt
x
t
t
1 2
x  x0  v0t  at
x dx  0 vdt  0 v0  at dt a
const
2
0
Movimiento circular:

Velocidad angular en radian/s .
Longitud de la circunferencia = 2·R
1 vuelta = 2 radianes
Posición:
R
1 2
 (t )   0  t  t
2
d 2
Velocidad angular:  

dt
T
2
d

Aceleración tangencial:  
dt 2
Período T: es el tiempo
que tarda en dar un ciclo
completo. Ida y vuelta
hasta el punto de origen
Tiro Parabólico
Movimiento bidimensional – pero el movimiento en
dirección x es independiente del movimiento en dirección y.
No aceleración en la dirección x: a=0
Aceleración constante en la dirección y: a=-g con g=9.8m/s2
Ejemplo: Un objeto es lanzado desde una altura h
con una velocidad v formando un ángulo ϕ con la
horizontal.
vx  v0 cos( ), v y  v0 sin(  )
Velocidad inicial:
1 2
x(t )  vxt; y (t )   gt  v y t  h
Trajectories:
2
Ejercicios
Cuando llega y que velocidad (v) tiene un objeto después de una caída de
10m (g=10m/s2)?
2h
t0 
 1.4s
g
v  gt0  2 gh  14
m
s
Un objeto es lanzado con una velocidad v0=10m/s formando un ángulo ϕ=600
con la horizontal. Que distancia (x) y altitud (y) alcanza (g=10m/s2)?
m
m
v x  v0 cos( )  5 , v y  v0 sin(  )  8.7
s
s
x  2vxt0  8.7m
2
t0 
vy
g
 0.87s
1 2 1 v y 3 v02
y  gt0 

 3.75m
2
2 g 8 g
Leyes de Newton y fuerzas
Leyes de Newton (1686)
Las primeras leyes de Newton son:
1. Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento
uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su
estado por fuerzas impresas sobre él.
2. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz
impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual
aquella fuerza se imprime.
3. Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria:
o sea, las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales
y dirigidas en direcciones opuestas.
Leyes de Newton: Commentarios
1.
2.
La primera ley se puede tomar como una definición del sistema
inercial. Si no hay fuerzas actuando sobre un sistema y no
persevera su estado de reposo o movimiento uniforme, el sistema
de referencia no es un sistema inercial.
En términos matemáticos la segunda ley está escrita como:
dp
F
 mx
dt
3.
Es importante observar que este principio de acción y reacción
relaciona dos fuerzas que no están aplicadas al mismo cuerpo,
produciendo en ellos aceleraciones diferentes, según sean sus
masas. Por lo demás, cada una de esas fuerzas obedece por
separado la segunda ley. También es interesante que esta ley no
aplica en el contexto de campos magnéticos y de dipolos.
Tipos de fuerzas
En mecánica hablamos de fuerzas con independencia de
su naturaleza. Por consiguiente, ante un problema o
fenómeno determinado, será necesario determinar la
naturaleza de todas las fuerzas que intervienen en él.
Conocemos sólo cuatro fuerzas básicas en que puede
interaccionar la materia. Es decir, existen cuatro
interacciones fundamentales que explican las fuerzas
conocidas del Universo:
1. interacción gravitatoria
2. interacción electromagnética
3. interacción fuerte
4. interacción débil
Tipos de fuerzas
1. La interacción gravitatoria, que es la más débil de todas, mantiene
globalmente la Tierra, enlaza el Sol y los planetas dentro del sistema
solar y agrupa las estrellas en las galaxias. Es la responsable del
drama a gran escala del Universo.
2. La interacción electromagnética enlaza los electrones a los átomos y
los átomos entre sí para formar moléculas y cristales. Constituye la
interacción más significativa para toda la química y la biología.
3. La interacción fuerte aglutina los nucleones; agrupa íntimamente
neutrones y protones para formar los núcleos de todos los elementos.
La fuerza más intensa conocida en la naturaleza es también de
alcance muy corto. Es la interacción dominante de la física nuclear de
alta energía.
4. La interacción débil existe entre las partículas elementales ligeras (los
leptones: electrones, neutrinos y muones) y entre éstas y las partículas
más pesadas. Este tipo de interacción no puede formar estados
estables de la materia en el sentido en que la fuerza gravitatoria puede
formar un sistema solar.
Fuerzas de rozamiento
1. Son fuerzas que se oponen al movimiento de los
cuerpos, es decir, su valor no puede superar NUNCA la
fuerza que es aplicada, por lo que no cambia el sentido
del movimiento del cuerpo, solo lo frena.
2. Es una fuerza paralela al desplazamiento pero de
sentido contrario.
3. Es proporcional a las fuerzas normales entre las
superficies de contacto.
4. No depende del área de la superficie de contacto, pero
sí de la naturaleza de las sustancias.
5. Es mayor al iniciarse el movimiento que cuando se
encuentra en movimiento.
Fuerza gravitacional
La fuerza gravitacional entro dos objetos
es proporcional al producto de sus masas
y inversamente proporcional al cuadrado
de su distancia:
m1
3
m
G  6,67  1011
kg  s 2
m1m2
F G 2
r
r
m2
F1
F2

Forma vectorial: F2 es la fuerza, que ejerce la masa m1
sobre la masa m2
F2  G
m1m2
r2  r1
3
(r2  r1 )   F1
Principio de superposición
La dinámica de N objetos está determinada por N ecuaciones:
m1x1  F1 (x1  x N , x 1  x N , t )
m2x 2  F2 (x1  x N , x 1  x N , t )


mN x N  FN (x1  x N , x 1  x N , t )
Fi es la suma de todas fuerzas que actúan sobre la masa i
(superposición). Las fuerzas se suman como vectores.
Ejemplo: Sistema solar con el y los nueve planetas (N=10).
Oscilaciones
Movimiento circular↔lineal
No aceleración tangencial
 0
x(t )  R cos(t )
y (t )  R sin( t )
y

R
x
Oscilaciones libres
Ley de Hooke:
F  kx  mx  kx
x(t )  A sin( t )
k

m
•Elongación: (x) La posición de la partícula en cada instante
del móvil
•Amplitud: (A) Es la elongación máxima
•Período: (T) es el tiempo que tarda en dar un ciclo completo.
Ida y vuelta hasta el punto de origen.
•Frecuencia: (f=1/T) Corresponde a la inversa del período.
corresponde al nº de veces que cumple 1 ciclo en 1 segundo.
•Velocidad angular: (ω =2π/T) es proporcional a la frequencia.
Oscilaciones amortiguadas
Fuerzas de rozamiento suelen depender de la velocidad.
Fr  v  x  mx  x  kx
  4km : Oscilador con amortiguadamento debil
2
x(t )  Ae


2m
t
sin( t )

k   


m  2m 
  4km : Oscilador sobreamortiguado
2
2
Oscilaciones forzadas
Se puede aplicar una fuerza variable con el tiempo:
Fe (t )  F sin( t )  mx  x  kx  F sin( t )
y (t )  A( ) sin( t )
Factor de
calidad:
Frequencia de
resonancia:
Q
km

k
0 
m
Péndulo
Fuerza gravitacional:
Aceleración:
F   mg sin 
v  l  l; a  v  l
Ecuación de movimiento: ml   mg sin    mg
Oscilador harmonico:
l  g  0

g
l
Sistemas de referencia
no inerciales
Fuerzas ficticias
Una fuerza ficticia es el efecto percibido por un observador
estacionario respecto a un sistema de referencia no inercial
cuando analiza su sistema como si fuese un sistema de
referencia inercial. La fuerza ficticia se representa
matemáticamente como un vector fuerza calculable a partir de
la masa de los cuerpos sobre la que actúa y una aceleración
dependiente al sistema de referencia no-inercial.
Otros términos equivalentes para caracterizar la inercia en este
tipo de análisis en que el punto de vista es no-inercial (es decir
acelerado) son pseudo-fuerzas o fuerzas inerciales.
La expresión fuerza ficticia no significa que dicha fuerza sea un
efecto óptico, sino que asumimos que ésta actúa sobre un
cuerpo cuando la realidad no es tal, ya que tan solo es una
invención para explicarnos de una forma simple, y hasta cierto
punto intuitiva, la aparición de efectos desacostumbrados.
Fuerzas ficticias
La variación de trayectoria o velocidad le sucede al coche, y el
pasajero sólo sigue su inercia.
Por ejemplo, el pasajero de un automóvil que toma como
referencia este, para medir la aceleración de su propio cuerpo,
cuando el vehículo frena o describe una curva, siente una
«fuerza» que le empuja hacia delante o a un lateral. En
realidad lo que actúa sobre su cuerpo no es una fuerza, sino la
inercia (a causa de la masa por la velocidad) que hace que
tenga tendencia mantener la dirección y cantidad de
movimiento. Si en lugar de tomar como referencia el propio
automóvil para medir la aceleración que sufren sus ocupantes,
tomamos como referencia el suelo de la carretera, y
determinamos la trayectoria del automóvil, vemos que la
variación de velocidad le sucede al coche y que el pasajero se
limita a seguir su inercia según la primera ley de Newton.
Rotación de una masa
• Rotación de una masa con vector de posición r alrededor de
un eje ω.
v   r
• El vector ωxr es in la dirección
perpendicular y dentro de la hoja.
• La velocidad está determinado por
v=ωR=|ω||r|sinϕ.
aT
a
 r


   (  r)





aceleración tangencial
aceleración normal
aN
Rotación del sistema de referencia
El punto de origen de los sistemas S y S’ sea el mismo y
S’ rote alrededor de un eje con la velocidad angular ω.
r  r
v  v    r
a  a  2(  v)    (  r )  (  r )


  
Coriolis
normal/centrípeta
tangencial
Fuerza centrífuga
Fcf   m  (  r )
Para un movimiento circular con radio r, la
norma de la fuerza centrífuga es:
mv
F  m r 
r
2
2
Fuerza centrífuga: Ejemplo
Que es el radio de un satélite geoestacionario?
2
T  24  60  60s   
 7.2  10  5 s 1
T
Mm
M
Fcf  Fg  m r  G 2  r  3 G 2  42.239km
r

2
Que velocidad tiene el satélite?
v  r  3.1km/ s
ω
Fuerza de Coríolis
ϕ
Fco  2m(  v)
Movimiento horizontal:
Fnorte  2mveste sin 
Feste  2mvnorte sin 
Caida vertical (arriba hacia oeste, abajo hacia este):
F  2mv cos   2mgt cos 
Fuerza de Coríolis: Ejemplo
Desviación lateral despues de una caida de h (φ=0):
md  2mv  2mgt
2

d  gt
1
3
d  gt
3
Duración de
la caida:
2h
t
g
h
d
2
2h h 100m
d  h
 2cm
3
g
Potencial y fuerzas
conservativas
Trabajo y energía potencial
F
ϕ
r
El trabajo W está definido como el
producto escalar de la fuerza F y el
desplazamiento r:
W  F  r  Fr cos 
El trabajo tiene unidades de energía:
kg  m 2
1J  1N  m  1
s2
Para fuerzas conservativas el trabajo es independiente
del camio y se puede definir la energía potencial Epot:
r2
W   F  dr  E pot (r1 )  E pot (r2 )
r1
Energía cinética
r2
La energía potencial está dado por:
W   F  dr  E pot (r1 )  E pot (r2 )
r1
dv
Con la segunda ley de Newton F  ma  m
se puede
dt
escribir el trabajo como:
r2
r2
v2
v2
dv
dr
1
2
W   F  dr   m  dr   m  dv   mv  dv  m v
dt
dt
2
r1
r1
v1
v1
v2
v1
1 2
 mv
2
La energía cinética está dado por:
Ekin
Conservación de la energía mecánica:
Ekin  E pot  const.
Potencial de fuerzas unidimensionales
Solo diferencias de la energía
potencial son relevantes.
La cantidad física es la fuerza:
E pot    dxF( x)  C
F ( x)  
dE pot ( x)
dx
La energía potencial para
una fuerza constante:
F   mg  E pot  mgx
El energía potencial para
un muelle:
1 2
 kx
2
F   kx  E pot
Energía potencial de una masa
La energía potencial para
dos cuerpos masivos:
E pot
m1m2
 G
; r  x2  y2  z 2
r
m1m2
x
3
x
r
E pot
mm
Fy  
 G 1 3 2 y
y
r
E pot
mm
Fz  
 G 1 3 2 z
z
r
Fx  
Para la fuerza
obtenemos:
F  G
Potencial de una masa m:
m1m2
r
3
r
E pot
m
 (r )  G
r
 G
leyes de conservación y
Simetrías
Teorema de Noether (1915): la existencia
de simetrías comporta la existencia de
leyes de conservación.
Conservación de energía
Conservación de la
energía:
E  Ekin  E pot
1 2
 mv  E pot
2
Velocidad de una masa
despues de una caida
desde la altura h:
E1  E pot ; E2  Ekin  Ekin  E pot  mgh
Velocidad de escape:
E1  Ekin  E pot ; E2  0  Ekin   E pot  G
v  2 gh
mM
R
Momento lineal
Definición: el momento es
un vector con la misma
dirección de la velocidad
p  mv
dp
F
dt
La segunda ley de Newton es:
Se define el impulso mecánico:
Si no hay fuerzas externas, el
movimiento está conservado:
t2
p2
t1
p1
I   F  dt   dp  p 2  p1
p antes  p despues
Ejemplo: Conservación de momento
Una escopeta de 2kg dispara una bala de 50g con una
velocidad de 300m/s. Calcular la velocidad de retroceso.
pbala  pescopeta
0.05kg  300m / s
v
 7.5m / s
2kg
Un cañón dispara un proyectil de 2kg con una
velocidad 100m/s debido una fuerza constante que
acuta 0,05s. Calcular la aceleración y la fuerza.
v 100
m
a

 2000 2
t 0.05
s
mv
F
 4000 N
t
Colision de dos masas
Dos objectos de masas m1 y m2 y velocidades v1 y v2 que intervienen
en un choque. Cuales son las velocidades finales u1 y u2.
Conservación de
momento:
m1v1  m2 v 2  m1u1  m2u2
Conservación de
energía cinética:
1
1
1
1
2
2
2
m1 v1  m2 v 2  m1u1  m2u 22
2
2
2
2
Momento de inercia
Energia rotacional:
1 2 1 2 2
E  mv  mr 
2
2
Momento de inercia I:
1 2
I  mr  E  I
2
Momento angular:
Conservación del
momento angular:
2
L  I
L1=L2
I1<I2→ω1>ω2
Simetrías y conservación
Homogenidad del tiempo→conservación de la energía
N
Ekin
mi 2
  vi
i 1 2
E  Ekin  E pot
d
 const.  E  0
dt
Homogenidad del espacio→conservación del momento
N
P   mi v i
i 1
d
P  const.  P  0
dt
Isotropía del espacio→conservación del momento angular
N
L   x i  p i , p i  mi v i
i 1
d
L  const.  L  0
dt
Leyes de Kepler
Describen el movimiento de los planetas
arededor del sol. Kepler sabía de la
existencia de 6 planetas: Tierra, Venus,
Mercurio, Marte, Júpiter y Saturno.
Leyes de Kepler (1609-1619)
1. Los planetas se mueven alrededor del sol en
elipses, estando el Sol en un foco.
2. La línea que conecta el Sol con un planeta
recorre áreas iguales en tiempos iguales.
3. El cuadrado del período orbital de un planeta
es proporcional al cubo (tercera potencia) de
la distancia media desde el Sol.
Comentarios: 1ra ley de Kepler
En la filosofía griega, muchos
(Platón y Aristóteles) pensaron que
la Tierra era una esfera en el
centro del Universo. La teoría
geocéntrica fue completada por
Claudio Ptolomeo en el siglo II.
La teoría heliocéntrica fue
propuesta en la antigüedad por el
griego Aristarco de Samos y en el
siglo XVI por Nicolás Copérnico. Sus
ideas marcaron el comienzo de la
revolución científica.
Comentarios: 2da ley de Kepler
El producto vectorial está relacionado con el
área que trascurre la masa:
1
1
L
df  x  dx  x  dx dt 
dt
2
2
2m
El momento angular L=mxxv está conservado:
L
f 
t
2m
x df
x+dx
dx
Comentarios: 2da ley de Kepler
La clave de la 2da ley de Kepler es
que, aunque la órbita es simétrica,
el movimiento no lo es. Un planeta
se acelera al acercarse al Sol,
obtiene su máxima velocidad al
pasar en su máxima aproximación,
y luego se desacelera.
Hay aproximadamente dos días menos en la parte del invierno!
(Tome un calendario y cuente los días de un equinoccio al otro):
1. La parte del invierno es más corta
2. La Tierra se mueve más rápido en la parte del invierno
Comentarios: 2da ley de Kepler
El hecho de que el hemisferio norte esté más cerca del Sol a
mediados de invierno y lo más retirado a mediados del verano,
hace que se moderen las estaciones, haciéndolas más suaves.
En el hemisferio sur, los haría más crudos, aunque los grandes
océanos ayudan a moderar su efecto.
El eje de la Tierra se mueva alrededor de un cono, con un ciclo
de 26000 años. En 13000 años, estaremos lo más cerca del Sol
a mediados del verano, y el clima se hará más extremo. Esto
puede ser un efecto ligado a los orígenes de la edad de hielo.
Comentarios: 3ra ley de Kepler
Para trayectorias circulares, la tercera
ley de Kepler se obtiene igualando la
fuerza gravitacional y centrifugal:
M
Fg  Fc  G 2   2 R
R
Fc
Fg
masa solar : M  2 1030 kg
3
R 3 GM
m
18


3
.
38

10
T 2 4 2
s2
Comentarios: 3ra ley de Kepler
3ra Ley de Kepler
T en años, a en unidades astronómicas; entonces T2 = a3
Las discrepancias son debido a la exactitud limitada
Planeta
Periodo T
Dist. a del Sol
T2
a3
Mercurio
0.241
0.387
0.05808
0.05796
Venus
0.616
0.723
0.37946
0.37793
Tierra
1
1
1
1
Marte
1.88
1.524
3.5344
3.5396
Júpiter
11.9
5.203
141.61
140.85
Saturno
29.5
9.539
870.25
867.98
Urano
84.0
19.191
7056
7068
Neptuno
165.0
30.071
27225
27192
Plutón
248.0
39.457
61504
61429
Secciones cónicas
Las leyes de Kepler forman todas secciones cónicas, las
elipses son las órbitas de los planetas y las parábolas son
muy parecidas a las órbitas de los cometas no periódicos, los
cuales comienzan sus movimientos muy lejos.
Las leyes de Kepler se
deduce a traves de las
leyes de Newton con el
potencial gravitacional:
m1m2
V  G
r
Elipse
a: eje semimajor
b: eje semimenor
e: ecentricidad e2 =a2-b2
p: latus rectum p=b2/a
Elipsis={P|F1P+F2P=2a}
Parábola
F: Foco
I: Directiz
Parábola={P|FP=QP}
Hipérbola
F1 y F2: Focos
a: semi-eje real
Hipérbola={P||F1P-F2P|=2a}
Secciones cónicas
Secciones cónicas están
escritas por (ε excentricidad):
(1   2 ) x 2  y 2  2 px  p 2
x2 y2
 2 1
2
a
b
p
p
a
;b 
2
1 
1  2
Hipérbola
(ε2>1):
x2 y2
 2 1
2
a
b
p
p
a 2
;b 
 1
 2 1
Parábola
(ε2=1):
1 2
x
y
4f
p
f 
2
Elipse
(ε2<1):