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LEYES DE LA DINÁMICA Y APLICACIONES
Unidad 14
CONTENIDOS.
1.2.3.4.5.6.7.-
Cantidad de movimiento.
Primera ley de Newton (ley de la inercia).
Segunda ley de la Dinámica.
Impulso mecánico.
Conservación de la cantidad de movimiento
Tercera ley de la Dinámica (acción y reacción).
Sistemas de referencia:
7.1.
7.2.
8.9.-
Inerciales.
No inerciales (sólo introducción y algún ejemplo sencillo).
La fuerza de rozamiento.
Estudio de algunas situaciones dinámicas:
9.1.
9.2.
9.3.
Dinámica de cuerpos aislados. Planos inclinados.
Dinámica de cuerpos enlazados. Cálculo de la aceleración y de la tensión.
Dinámica del movimiento circular uniforme.

CANTIDAD DE MOVIMIENTO (p)
Es el producto de la masa de una partícula por su velocidad.
p=m·v
Es un vector que tiene la misma dirección y sentido que v y es por tanto también
tangente a la trayectoria.
Como: v = vx i + vy j + vz k
p = m· v = m·(vx i + vy j + vz k) = m· vx· i + m· vy· j + m· vz· k
Con lo que: p = px· i + py· j + pz· k
PRINCIPIO DE INERCIA (PRIMERA LEY DE NEWTON)
Se basa en las apreciaciones de Galileo.
“Si no actúa ninguna fuerza (o la suma vectorial de las fuerzas que actúan es nula)
los cuerpos permanecen con velocidad (v) contante”.
Es decir, sigue en reposo si inicialmente estaba en reposo, o sigue con MRU si
inicialmente llevaba una determinada v.
2
SEGUNDA LEY DE NEWTON
“La fuerza resultante aplicada a un objeto es igual a la variación de la cantidad de
movimiento con respecto al tiempo, o lo que es lo mismo, al producto de la masa por la
aceleración”.
dp
d (m v)
dv
F = —— = ———— = m · —— = m · a
dt
dt
dt
ya que la masa, al ser constante, sale fuera de la derivada.
En general, suele existir más de una fuerza por lo que se usa:  F = m · a
DEDUCCIÓN DEL PRINCIPIO DE INERCIA
En realidad el primer principio, se deduce fácilmente a partir del anterior:  F = m · a.
Si la fuerza resultante sobre un cuerpo es nula ( F = 0)  a = 0  v = constante.
También puede deducirse:
Si  F = 0  dp = 0  p = constante  v = constante.
Ejemplo:
Un coche de 900 kg de masa parte del reposo y consigue una velocidad de 72 km/h en 6
s. Calcula la fuerza que aplica el motor, supuesta constante.
p = m · v2 – m · v1 = m ·(v2 – v1) = 900 kg · 20 m/s i – 0 i = 18000 i kg ·m/s
p
18000 i kg ·m/s
F = —— = ———————— = 3000 i N
t
6s
Se pueden sustituir diferenciales por incrementos, pues aunque así obtendría Fuerza
media, ésta coincidiría con F al considerarla constante.
IMPULSO MECÁNICO (I).
En el caso de que la fuerza que actúa sobre un cuerpo sea constante, se llama
impulso al producto de dicha fuerza por el tiempo que está actuando.
I = F · t = p = m · v2 – m · v1 = m · v
“El impulso mecánico aplicado a un objeto es igual a la variación en la cantidad de
movimiento de éste”.
3
Ejemplo:
Un tenista recibe una pelota de 55 g de masa con una velocidad de 72 km/h; y la devuelve
en sentido contrario con una velocidad de 36 km/h. Calcula el impulso que recibe la pelota
y la fuerza media que aplica el tenista, si el contacto de la pelota con la raqueta dura una
centésima de segundo.
I = F ·  t = p = m · v2 – m · v1 = 0,055 kg · (–10 m/s) · i – 0,055 kg · 20 m/s · i
I = –1,65 i kg ·m/s
I
–1,65 · i kg ·m/s
F = —— = ———————— = –165 i N
t
0,01 s
Lógicamente, tanto la componente del impulso como la de la fuerza tienen signo
negativo pues tienen sentido contrario al inicial de la pelota.
TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
De la propia definición de fuerza:
dp
F = ——
dt
se deduce que si F = 0, (o  F, resultante de todas aplicadas sobre una partícula),
es 0, entonces p debe ser constante.
Lo que significa que deben ser constantes cada una de sus componentes
cartesianas: px, py y pz, y por tanto también las de la velocidad  MRU.
PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN (TERCERA LEY DE NEWTON)
Si tenemos un sistema formado por dos cuerpos que interaccionan entre sí, pero
aislados de toda fuerza exterior, la cantidad de movimiento total de dicho sistema
permanecerá constante.
ptotal = p1 + p2 = 0
Si dividimos ambos miembros por  t
ptotal
p1 p2
 F = ——— = —— + —— = 0  F1 = –F2
t
t
t
Es decir, la fuerza que ejercida sobre 1(debido a la interacción de 2) es igual que la
ejercida sobre 2 (producida por 1).
4
Al actuar las dos fuerzas sobre cuerpos distintos ejercer, en general efectos
también distintos (aceleraciones distintas).
Por ejemplo, la fuerza con la que nos atrae la Tierra (Peso) tiene el mismo módulo
y sentido contrario que la Fuerza con nosotros atraemos a la Tierra.
Es evidente, en este caso que mientras la Tierra ejerce sobre nosotros un efecto
apreciable (aceleración de la gravedad), el efecto de 60 o 70 kp que ejercemos sobre la
Tierra es absolutamente despreciable.
Ejemplo:
Un libro está apoyado en la superficie horizontal de una mesa y se tira de él
horizontalmente con una cuerda ligera. Identifica las fuerzas que actúan sobre el libro y
sus correspondientes pares acción-reacción.

Hay tantas fuerzas como parejas de cuerpos interaccionan. Con el libro interaccionan:
la Tierra, la cuerda y la mesa.
 La Tierra actúa sobre el libro (peso) y el libro atrae a la Tierra (despreciable para la
Tierra).
 La cuerda aplica al libro la Tensión y el libro actúa sobre la cuerda con una fuerza igual
pero de sentido contrario.
 El libro empuja a la mesa con una fuerza igual a su peso. La reacción de la mesa es
la fuerza normal.
 Igualmente, la mesa se opone al deslizamiento del libro con una fuerza de rozamiento
y el libro actúa sobre la mesa con una fuerza igual pero de sentido contrario.
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN DOS
CUERPOS.
Ya hemos visto que si  F= 0, p debe ser constante.
En el caso de que la interacción sea un choque:
 pantes =  pdespués
m1 · v1 + m2 · v2 = m1 · v1’ + m2 · v2’
En el choque
distintos.
elástico v1’ y v2’ (velocidad con que salen rebotados los objetos) son
En el choque inelástico v1’ = v2’. (los dos objetos salen juntos incrustado el uno en
el otro).
Ejemplo:
Una canica de 8 g lleva una velocidad constante de 4 m/s, y golpea una bola de madera
de 200 g que está en reposo. Si como resultado del choque la canica sale rebotada con
una velocidad de 2 m/s, calcula la velocidad con que comienza a moverse la otra bola.
m1 · v1 + m2 · v2 = m1 · v1’ + m2 · v2’
5
8 g ·4 m/s i + 200 g · 0 i = 8 g ·(–2 m/s) i + 200 g · v2’
Despejando v2’ obtenemos:
32 g·m/s i + 16 g·m/s i
v2’ = —————————— = 0,24 i m/s
200 g
Ejercicio A: 
Una bola de billar choca a una velocidad de 4 m/s con otra bola igual que está parada.
Después del choque, la primera bola se mueve en una dirección que forma 30º con la
inicial, y la segunda con –60º con la dirección inicial de la primera. Calcula el módulo de la
velocidad final de cada bola. (Sol: 2 m/s y 3,46 m/s)
SISTEMAS DE REFERENCIA
Inerciales:
 El origen (observador) está en reposo o MRU.
 Son aplicables las leyes de Newton.
 Las aceleraciones son producidas por fuerzas debidas a la interacción entre
cuerpos (contacto o a distancia).
Sistemas no inerciales
 El origen (observador) lleva una determinada aceleración.
 No son aplicables las leyes de Newton.
 Se introducen las llamadas fuerzas de inercia Finercia (virtuales) que no son el
resultado de la interacción entre cuerpos sino un artificio matemático para poder
aplicar las leyes de Newton:
Fi = – m· a
Cuando el sistema se encuentra en equilibrio se cumple el principio de D’Alembert:
 Freales + Finercia = 0
Comparativa de ambos sistemas en algunos casos
Viaje en autobús
Al arrancar con aceleración “a”, la persona se siente impulsada hacia atrás:
Sist. Inercial: (fuera del autobús). No existe fuerza y por tanto tampoco “a” (nadie
le empuja, permanece quieto por inercia).
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Sist. No inercial: (dentro del autobús). Como experimenta el viajero una
aceleración “–a” (hacia atrás) deberá existir una fuerza: Fi = – m · a
Dentro de un ascensor
Sea un cuerpo de masa “m” suspendido del techo por una báscula. Al subir el
ascensor con aceleración “a”, el objeto marca en la báscula una fuerza superior a su
peso:
Sist. Inercial: (fuera del ascensor). No existe equilibrio puesto que el objeto
acelera con “a” luego T + P = m · a (T– m· g = m· a)
T = m · (g + a) (T es la fuerza que marca la báscula)
Sist. No inercial: (dentro del ascensor).
Hay equilibrio. Se aplica el principio de
D’Alembert:  F = 0; T + P + Fi = 0
(T– m · g – m · a = 0)  T = m · (g + a)
Al tomar una curva
Sea una pelota de masa “m” que viaja sobre una plataforma móvil con velocidad
lineal constante. Al tomar la curva la plataforma se produce sobre ésta una aceleración
normal “an”, mientras que sobre la pelota no existe aceleración.
Sist. Inercial: (fuera de la plataforma). La pelota sigue recta con “v” constante y
se sale de la plataforma que gira.
Sist. No inercial: (dentro de la plataforma). La pelota sale lanzada hacia el
exterior una aceleración igual cuyo módulo vale “v2/R”. Ello implica la existencia de una
fuerza (virtual) hacia el exterior que se conoce como fuerza centrífuga.
FUERZA DE ROZAMIENTO (FR)
Es la fuerza que aparece en a superficie de contacto de los cuerpos, oponiéndose
siempre al movimiento de éstos.
Depende de:
 Los tipos de superficie en contacto.
 La fuerza normal N de reacción de la superficie sobre el objeto (normalmente
igual en módulo a PN excepto que se aplique una fuerza no horizontal sobre el
mismo).
No depende de:
 La superficie (cantidad).
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Tipos de fuerza de rozamiento:
Estático:
 Se opone y anula a la fuerza lateral mientras el cuerpo esté en reposo. Es igual a
la fuerza necesaria para iniciar un movimiento (de sentido contrario).
 Cuando un cuerpo está en reposo y se ejerce una fuerza lateral, éste no empieza
a moverse hasta que no la fuerza no sobrepasa un determinado valor (Fre).
 La fuerza de rozamiento se opone y anula a la fuerza lateral mientras el cuerpo
esté en reposo.
Cinético (o dinámico):
 Es la fuerza que se opone a un cuerpo en movimiento (Frc).
 Es algo menor que Fre (en el mismo caso).
Cálculo de FR
Fre(máxima) = e · N ;
Frc = c · N
En donde e y c son los “coeficientes de rozamiento estático y cinético
respectivamente, que dependen ambos de la naturaleza de las superficies en contacto y
N es la normal (perpendicular a).
La normal N es la fuerza de reacción de la superficie de deslizamiento sobre el
objeto debido a la PN y al resto de componentes perpendiculares al movimiento.
Manera práctica de obtención de Fre y Frc.
Se pone el objeto sobre la superficie y
se va inclinando ésta hasta que empiece a
moverse el objeto.
En ese instante: PT = Fre
Al no haber fuerzas exteriores: N = PN
m·g·sen  = re· m·g· cos 
sen 
re = ——— = tg 
cos 
Una vez iniciado el movimiento puede bajarse el ángulo hasta ’.
Análogamente, rc = tg ’.
Ejemplo:
Calcular las fuerzas de rozamiento estático y cinético al arrastrar una caja de 5 kg con una
fuerza de 20 N aplicada a una cuerda que forma un ángulo con el suelo de 30º, sabiendo
que e = 0,15 y c = 0,12. ¿Se moverá la caja?
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F = 20 N se descompone en:
Fx = 20N ·cos 30º = 17,3 N; Fy = 20N ·sen
30º = 10,0 N
N = P – Fy = 5 kg · 9,8 m/s2 – 10 N = 39 N
Fre= e · N = 0,15 · 39 N = 5,85 N
Frc = c · N= 0,12 · 39 N = 4,68 N
Sí se moverá hacia la derecha, pues Fx > Fre
DINÁMICA DE CUERPOS AISLADOS.
Se basa en la segunda ley de Newton:  F = m · a
Hay que determinar todas las fuerzas que actúa sobre el cuerpo y sumarlas
vectorialmente.
Si hay fuerzas oblicuas al movimiento suelen descomponerse éstas en paralelas y
perpendiculares al mismo.
Estática:
Estudia los cuerpos en equilibrio
Se cumple que: a = 0   F = 0.
MOVIMIENTO SOBRE PLANO HORIZONTAL.
Si arrastramos un objeto tirando con una
fuerza “F” de una cuerda que forma un ángulo “”
con la horizontal.
Dibujamos todas las fuerzas que actúan.
Descomponemos la fuerza F en Fx y Fy.
Si existe rozamiento determinamos si Fx > Fre
para comprobar si se mueve.
Aplicamos :  Fx = m · a;  Fy = 0
Ejemplo:
Calcular la aceleración de la caja del ejemplo anterior: Datos: m = 5 kg F = 20 N,  = 30º,
c = 0,12.
Calculamos todas las componentes de las fuerzas existentes:
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Fx = 20N ·cos 30º = 17,3 N; Fy = 20N ·sen 30º = 10,0 N
Fy = 0  N = P – Fy = 5 kg · 9,8 m/s2 – 10 N = 39 N
Frc = c · N = 0,12 · 39 N = 4,68 N
Una vez que sabemos que Fx> Frre, aplicamos:
 Fx = m · a; 17,3 N – 4,68 N = 5 kg · a
17,3 N – 4,68 N
a = ——————— = 2,524 m · s–2.
5 kg
PLANOS INCLINADOS.
Puede descender sin necesidad
empujarlo si PT > Fre.
de
Si arrastramos o empujamos con una
fuerza “F” hacía abajo, descenderá si F + PT >
Fre.
Si arrastramos o empujamos con una
fuerza “F” hacía arriba:
Ascenderá si: F > Fre + PT
No se moverá si: PT – Fre < F < Fre + PT
Descenderá si F < PT – Fre
Recordad que Fr tiene siempre sentido contrario al posible movimiento.
Ejemplo:
Se moverá un baúl de 100 Kg situado en una superficie inclinada 15º con la horizontal,
sabiendo que e y c valen 0,30 y 0,28 respectivamente.
PT = P · sen  = 980 N · sen 15 = 253,6 N
PN = P · cos  = 980 N · cos 15 = 946,6 N
Al no existir otras fuerzas oblicuas: N = PN (sentido contrario)
Fre= e · N = 0,30 · 946,6 N = 284 N
Como PT < Fre el baúl no se moverá.
No se mueve hacia arriba porque Fre no toma su valor máximo.
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Ejemplo:
¿Qué fuerzas habrá que realizar en el ejercicio anterior a) hacia abajo, b) hacia arriba,
para que el baúl comience a moverse? c) ¿Con qué aceleración se moverá si se empuja
hacia abajo con una fuerza de 100 N. Datos: m = 100 kg,  = 15º, e = 0,30 y c = 0,28.
PT = 253,6 N ; PN = N = 946,6 N; Fre= 284 N
a) Fmínima (abajo) > 284 N – 253,6 N = 30,4 N
b) Fmínima (arriba) > 284 N + 253,6 N = 537,6 N
c) Fc = c · N = 0,28 · 946,6 N = 265,0 N
 F = 100 N + 253,6 N – 265,0 N = 88,6 N = 100 kg · a  a = 0,886 m · s–2
DINÁMICA DE CUERPOS ENLAZADOS.
Cálculo de aceleración y tensión.
La acción que ejerce un cuerpo sobre otro se
traduce en la tensión de la cuerda que los enlaza, que
es lógicamente igual y de sentido contrario a la
reacción del segundo sobre el primero.
Se aplica la 2ª ley de Newton a cada cuerpo por
separado, obteniéndose una ecuación para cada uno
con igual “a”.
Tenemos en cuenta únicamente las fuerzas que
tienen la dirección del movimiento, pues las
perpendiculares se anulan (P1 = N).
Utilizaremos componentes escalares con los que se consideran positivas las fuerzas
a favor y negativas las que van en contra.
Al sumar las ecuaciones miembro a miembro deben desaparecer las tensiones.
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Fr
1
Ejemplo:
¿Cuál será la aceleración del sistema y la tensión
de la cuerda suponiendo que hay movimiento y que
m1 = 5 kg y m2 = 2 kg y c vale 0,08?
m2
Cuerpo 1: T – Frc = m1 · a  T – c · m1 · g = m1 · a
Cuerpo 2: P2 – T = m2 · a  m2 · g – T = m2 · a
———————————————————————
2 kg · 9,8 m/s2 – 0,08 · 5 kg · 9,8 m/s2 = (5 kg + 2 kg) · a
2 kg · 9,8 m/s2 – 0,08 · 5 kg · 9,8 m/s2
a = ———————————––———— = 2,24 m/s2
5 kg + 2 kg
T = 5 kg · 2,24 m/s2 + 0,08 · 5 kg · 9,8 m/s2 = 5,12 N
Ejercicio B: 
¿Se moverá el sistema de la figura y en caso de que lo
haga hacia qué lado? Datos: m1 = 6 kg; m2 = 2 kg;
e = 0,12; c = 0,10;  = 30º.
Ejercicio C: 
N
T
P1T
T
P1

N
P1
P2
Calcular la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda del ejemplo anterior.
Datos: m1 = 6 kg ; m2 = 2 kg ; e = 0,12; c = 0,10;  = 30º.
DINÁMICA DEL M.C.U.
Se cumplen las siguientes condiciones:
 v = v = k  at = 0
 an = an= v2 / R = v2 / R = cte donde an es un vector dirigido hacia el centro de
la trayectoria.
Aplicando la 2ª ley de Newton deberá haber una fuerza también dirigida hacia el
centro cuyo Fn= m·an= m· v2 / R que se conoce como fuerza centrípeta (FC).
En caso de objetos que giran horizontalmente debido a una cuerda: F C = T .
En caso de un coche que gira FC = Fr.
Ejemplo:
Una bola de 200 g, sujeta a una cuerda de 1,5 m se mueve a v cuyo módulo constante es
6 m/s sobre una mesa sin rozamiento describiendo un círculo. Calcular la tensión de la
cuerda.
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El peso de la bola “P” queda compensado por la
reacción del plano” “N”, por lo que ambas fuerzas
se anulan
La tensión “T” es la responsable del movimiento
circular.
Es por tanto la fuerza centrípeta.
m · v2 0,2 kg · (6 m/s)2
T = ——— = ——————— = 4,8 N
R
1,5 m
Ejemplo:
La misma bola de 200 g, sujeta a una cuerda de 1,5 m se hace girar en aire a velocidad
constante describiendo un péndulo cónico. Si la cuerda forma un ángulo de 30º con la
vertical. ¿cuál será la velocidad de la bola?
La tensión es ahora una fuerza oblicua que
descomponemos en Tx que será la fuerza centrípeta
y Ty que neutralizará el peso de la bola:
0,2 kg · v2
Tx = T · sen 30º = ———–———
1,5 m · sen 30º
Ty = T · cos 30º = 0,2 kg · 9,8 m/s2 = 1,96 N
Resolviendo el sistema obtenemos que: v = 2,06 m/s
Movimiento de un cubo en vertical.
T + P = m · an
Ecuaciones escalares:
Arriba: T + m· g = m· an = m· v2 / R
Abajo: T – m· g = m· an = m· v2 / R
Si v = cte, T tiene que ser mucho mayor abajo.
La velocidad mínima para que el agua no caiga se obtendrá cuando T (arriba)
tome el mínimo valor posible, es decir 0.
m· g = m· v2 / R 
Ejemplo:
v = ( g· R)1/2
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La misma bola gira ahora en un plano vertical. Sabiendo que v A = 10 m/s, vB = 8,4 m/s,
vC = 6,4 m/s, calcular la tensión de la cuerda en cada punto y
la aceleración tangencial.
a)
m · v2
TA – m · g = ———
R
0,2 kg · (10 m/s)2
TA = 1,96 N + ———————— = 15,3 N
1,5 m
b)
m · v2
0,2 kg · (8,4 m/s)2
TB = ——— = ———————— = 9,4 N
R
1,5 m
c)
m · v2
0,2 kg · (6,4 m/s)2
TC = ——— – m · g = ———————— – 1,96 N
R
1,5 m
TC = 3,5 N
Sólo existe at en B pues FT = P (m· at = m· g)  at = g = 9,8 m/s2
En a) y c) at es nula.
Curvas sin peralte (con rozamiento)
La fuerza de rozamiento hacia el interior de la curva es precisamente la fuerza
centrípeta.
v2
FR =  · m · g = m · —
R
Eliminando la masa podemos obtener el radio en función
v2
R
g ·
v
de la velocidad
o
 R g
viceversa:
Ejemplo:
Un coche de 1500 kg circula a 30 m/s por una carretera siendo 0,2 su coeficiente de
rozamiento estático entre las ruedas y el suelo. Calcula el radio mínimo de la curva sin
peraltar.
v2
(30 m/s)2
R = ——— = ————–—— = 459 m
g·
(9,8 m/s2) · 0,2
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Curvas peraltadas (sin rozamiento)
Nx = N · sen  ; Ny = N · cos 
Fy = 0  N · cos  – m g = 0

mg
 N = ——
cos 
La Nx es la responsable del giro:
mg
Nx = N · sen  = —— · sen 
cos 
v2
Nx = m g · tg  = m · —
R

v2
R
g · tg 
Ejemplo:
Un coche de 1200 kg circula por una curva de 50 m de radio peraltada 30º. Suponiendo
que no exísta rozamiento cuál será la velocidad que deberá llevar para no derrapar. ¿Qué
ocurriría si llevara una velocidad inferior?
v = (R · g · tg )½ = (50 m · 9,8 m·s–2 · tg 30º)½ = 16,8 m/s
Si “v” fuese inferior iría cayendo hacia el interior del peralte al no existir rozamiento.
Ejercicio:
¿Por qué los astronautas situados en la estación espacial Alfa a sólo unos cientos de km
de la superficie terrestre flotan en la nave?
Su peso es algo menor que en la superficie de la Tierra, pero es bastante
significativo.
Debido a que el peso está dirigido hacia el centro de la Tierra, actúa de fuerza
centrípeta que lo mantiene en órbita (está continuamente cayendo).
Si utilizáramos un sistema de referencia no inercial (la nave), tendríamos que acudir
a una fuerza inercial (centrifuga) para explicar el aparente equilibrio.
Ejercicio:
¿Cual será a altura de una órbita geoestacionaria? (los satélites permanecen siempre en
la vertical de un punto de la Tierra)
La velocidad angular del satélite es igual a la terrestre: 2 rad / 86164 s = 7,29 ·10–5
rad/s
El peso del satélite es igual a la fuerza centrípeta:
15
MT
m · G · ———— = m · 2 · (RT + h)
(RT + h)2
(RT +
h)3 =
MT
N m2 5,98·1024 kg
–11
G · —— = 6,67 ·10 —— · ———————
2
kg2 (7,29 ·10–5 s–1)2
RT + h = 4,22 ·107 m
h = 4,22 ·107 m – 6,37 ·106 m = 3,58 · 107 m
Ejercicio:
¿Cuántas veces menos pesará un objeto situado en un satélite en órbita geoestacionaria
en comparación la superficie terrestre?
El peso de un objeto en la superficie terrestre es: m · 9,8 m/s2.
El peso en la órbita geoestacionaria es:
MT
N m2 5,98·1024 kg
–11
m · G · ———— = m · 6,67 ·10 —— · —————— = m · 0.224 m/s2
(RT + h)2
kg2 (4,22 ·107 m)2
El cociente es:
m · 9,8 m/s2
——————– = 43,8 veces menos
m · 0.224 m/s2