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Modelo de Drude
Transporte en metales
Metales
• Poseen un conjunto
de Propiedades
Particulares
– Excelente conductor
del calor y la
electricidad
– Ductiles
– Maleables
– Superficie brillante
• La mayoría de los
sólidos no son
metálicos (Sales,
óxidos)
• Sin embargo los
metales son una de
las substancias mas
interesantes.
• 2/3 de los elementos
son metálicos
Hacia 1900 se desarrolla el modelo de Drude, que
se usa hasta hoy
Suposiciones Básicas
•1897 Decubrimiento del electron (Thomson)
1900 Desarrollo de Drude sobre la base de la teoría cinética de gases
• El sólido (metal) es neutro. Como los electrones son
negativos y livianos, otras partículas positivas y pesadas
compensan.
• Las partículas positivas están inmóviles.
• Supondremos que cuando los átomos del sólido se los
pone uno junto a otro, los electrones de valencia se
desprenden y vagan por el metal.
• Los iones juegan el role de las partículas positivas
inmóbiles.
Aspectos Básicos de la Teoría
• Se trata de partículas (electrones) que se mueven sobre
un background de iones.
• Calculo de la densidad de electrones n=N/V:
– A: Masa atómica del elemento (gr/átomo)
– rm: Densidad en gr/cm3.
• Otro parámetro interesante es rs, radio de la esfera cuyo
volumen es igual al volumen por electrón de conducción.
• rs puede expresarse en términos del radio de Bohr
Detalles del Modelo
• A pesar de la elevada densidad del gas de los electrones, el
modelo los trata con la teoría de un gas diluido, con algunas
modificaciones.
– Se desprecian las interacciones del electrón con los otros
electrones y con los iones entre dos colisiones sucesivas.
– Implica que en ausencia de un campo externo entre colisiones se
mueve en línea recta.
– Con un campo externo el electrón se moverá de acuerdo a la ley de
Newton. Siempre ignorando la presencia de los otros electrones. Se
conoce como Aproximación de electrones independientes.
– Se define una colisión como un evento instantáneo que altera la
velocidad del electrón.
– Drude propone que estas colisiones ocurren con los iones y no con
los otros electrones
Detalles del Modelo
• Se supone que el electrón tiene una colisión con una
probabilidad por unidad de tiempo 1/t.
• Con esto la probabilidad que en un diferencial de tiempo dt el
electrón sufra una colision es dt/t.
• Nombres para t : Tiempo de relajación, Tiempo de colisión o
entre colisión, o Tiempo medio libre.
• Significado: el electrón elegido de manera aleatoria habrá
viajado por un tempo t antes de colisionar
• Se supone que t es independiente de la posición y velocidad del
electrón.
• El equilibrio térmico de los electrones solo se logra por
intermedio de estas colisiones.
• Luego de cada colisión el electrón emerge de la misma con su
velocidad que no tiene relación con su velocidad anterior.
• La dirección emergente es aleatoria y apropiada a la T del lugar
de la colisión.
Conductividad dc de un metal
• La corriente que fluye por un alambre metálico es, de acuerdo a
la ley de Ohm: I=V/R , donde R es independiente de V y de I.
• La manera de independizarlo de la geometría es con r . E= r j
La relación entre R y r es R= r L/A.
• Si n electrones se mueven con velocidad v darán lugar a una
corriente en la dirección de la velocidad
• En un tiempo dt se habrán desplazado vdt, de modo que n(vdt)A
habrán atravesado el área A perpendicular a v. Como cada
electrón porta una carga –e , de modo que la corriente que
atraviesa A será –nevAdt, y la densidad de corriente será j= -nev .
Esta es la corriente media en cualquier punto, y v es la velocidad.
• En ausencia de campo eléctrico v será cero, por lo tanto j
tambien.
• En caso de la presencia de un campo E la velocidad media no
será nula
Conductividad dc de un metal
• Sea t el tiempo transcurrido desde la última colisión. La
velocidad en ese momento será la velocidad luego de la
colisión v0, mas un adicional adquirida debido al campo: -eEt/m.
• Como el electrón emerge de la colisión en una dirección
aleatoria, lo referido a la contribución de v0 será nula.
• En consecuencia la velocidad media serála que venga de la
contribución -eEt/m, pero considerando el tiempo t. (j= -nev )
• Usualmente esto se pone en términos de la inversa de la
resistividad r, la conductividad s
Conductividad dc de un metal
• A partir de esta ecuación es posible estimar el tiempo de
relajación t= m/rne2
Conductividad dc de un metal
Conductividad dc de un metal
• De acuerdo a la tabla los valores típicos de la resistividad
está en el orden de mohm-cm. (rm es en esta unidad)
• A temperatura ambiente el valor de t es típicamente 10-14
a 10-15 segundos.
• Para un mejor entendimiento de este número es mejor
evaluar el camino libre medio l=v0t .
• En la época de Drude la velocidad media se evaluaba con
el teorema de equipartición de la energía: ½ mv02= ⅔ kBT.
• Calcular la velocidad media y el camino libre medio a
temperatura ambiente
Ecuación del movimiento
• Dos situaciones: con el campo eléctrico constante y con el
campo eléctrico variable en el tiempo.
• En términos del momento
• Dado el momento p(t) al tiempo t, calculemos cual será su valor
a t+dt.
• Este electron tiene una probabilidad de chocar en ese tiempo
que es dt/t, y una probabilidad de no haber chocado: 1-dt/t
• Si no hay colisiones en ese tiempo simplemente evolucionara
bajo una fuerza f(t).
• En ese tiempo habrá adquirido un momento adicional f(t)+O(dt)2.
• La contribución de los electrones que no colisionan entre t y t+dt
es una fracción (1-dt/t) por su momento medio.
• Despreciando la contribución de los que colisionan en este
periodo tendremos
Ecuación del movimiento
• La contribución de los electrones que si han colisionado entre t y t+dt
es del orden de (dt)2
• Por que? : estos electrones son solo una fracción dt/t. Estos solo
contribuirán a agrandar p solo si adquieren algo de momento en la
dirección de v . El momento que adquieren es f(t) dt, como máximo.
• La corrección a lo de arriba será entonces del orden de dt/t f(t) dt. En
consecuencia no afectan el primer orden en dt .
• Reescribiendo
• Dividiendo por dt y tomando el limite para dt tendiendo a cero tenemos
Efecto Hall y Magnetoresistencia
• El experimento de hall surge como busqueda de la
magnetoresistencia.
• En la configuración del experimento hay dos relaciones de
interes:
• La magnetoresistencia y el coeficiente Hall
Efecto Hall y Magnetoresistencia
• En la mayoría de los metales signo de RH es concordante con
portadores de carga negativos.
• Solo en algunos casos es positivo. Esto lleva a la necesidad
de mejorar la teoría de metales.
• Consideremos la magnetoresistencia teniendo en cuenta un
campo Ex y Ey, y un Hz.
• La fuerza actuando sobre cada electrón será:
En el estado estacionario
Efecto Hall y Magnetoresistencia
Multiplicando estas ecuaciones
Por –net/m, se tiene:
Siendo s0 la conductividad
de corriente continua
• El campo de Hall Ey es determinado con el requerimiento que
la corriente transversal sea cero (jy=0)
Notar que el coeficiente solo depende de n. En la realidad R
depende también del campo y la temperatura. Se requiere una
Teoría mas elaborada para tener en cuenta este comportamiento
Magnetoresistencia
• Los resultados de la teoría de Drude dejan claro que la
resistividad no es funcion de H (segunda ecuación).
• La cantidad wct es importante. Si su valor es pequeño J es
practicamente paralelo a E.
• El ángulo entre E y J es conocido como Angulo de Hall. (tan
f= wct )
• wc es la frecuencia de cicrotrón.
Caso del Aluminio
Conductividad alterna (ac)
• Sea un campo eléctrico
• La ecuación del movimiento se convierte en
• La solución al estado estacionario es de la forma
• Reemplazando tenemos
• Dado que j= -nep/m
• Se puede escribir
• Esto se conoce como conductividad dependiente de la
frecuencia
Conductividad alterna (ac)
• Hay un par de aproximaciones, la primera tiene que ver con
no haber considerado el efecto del Campo magnético. La
relación entre ambos campos tiene un factor v/c.
• La segunda tiene que ver con que la misma fuerza ha
actuado sobre el electrón todo el tiempo. Mientras que en
este caso el campo varía en el espacio.
• El calculo está localizado en r. Este campo pudo haber
variado entre el r y el último punto de la colisión. Esta
distancia no es mayor al camino libre medio. Por lo tanto si la
longitud de onda de la perturbación es >> que el c.l.m.,
entonces la aproximación es correcta.
• Esto es aplicable al campo electrico de la luz visible, cuya
longitud de onda es en general >> que el c.l.m.
Interacción con el campo EM
• Las ecuaciones de Maxwell
• Teniendo en cuenta la dependencia temporal
• Tenemos:
• Esto toma la forma de la ecuación de onda
• Con una constante dieléctrica compleja dada por:
Interacción con el campo EM
En la aproximación wt>>1
En primera aproximación tenemos
Donde tenemos la frecuencia del plasma
Cuando e es real y negativo la onda decae exponencialmente
en el espacio (wp >w).
Mientras que si e es positiva (wp <w) la solución se vuelve
oscilatoria. En este caso el metal es transparente.
Expresando en términos de las variables atómicas:
Con los valores de resistividad y radios atómicos se puede
verificar la condición wp t >>1
Frecuencia de Plasma
• Los metales alcalinos se vuelven transparentes en la región
ultravioleta
Oscilaciones de carga
• Una perturbación de la carga eléctrica en un metal, o en un
gas de electrones, genera oscilaciones con frecuencia w
• De la ecuación de continuidad
• Con la ley de Gauss
• De la Ecuacion de Ohm : J(w)=s(w)E(w)
• tenemos
Esto tiene solución si
La naturaleza de estas ondas de
densidad de carga (plasmones u
oscilaciones de plasma) se
entiende en términos de un
modelo simple
La consecuencia termina siendo la oscilación de las
cargas. Se las denomina oscilaciones de Plasma o
Plasmones.